高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)（基礎(chǔ)知識+高頻考點(diǎn)+解題訓(xùn)練）集合

也-H-

第一"P集—食

1基礎(chǔ)卻織妥打牢強(qiáng)雙基I固本源I得基礎(chǔ)分I掌握程度

［知識能否憶起］

一、元素與集合

1.集合中元素的三個特性：確定性、互異性、無序性.

2.集合中元素與集合的關(guān)系：

元素與集合之間的關(guān)系有屬于和不屬于兩種,表示符號為紅和土.

3.常見集合的符號表示：

集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集

表示NN*或N+ZQR

4.集合的表示法：列舉法、描述法、韋恩圖.

二、集合間的基本關(guān)系

描述關(guān)系文字語言符號語言

集合相等集合A與集合B中的所有元素都相同A=B

間的子集A中任意一元素均為6中的元素/=8或a/

基本力中任意一元素均為8中的元素，且8中至

真子集/B或BA

關(guān)系少有一個元素力中沒有

空集是任何集合的子集0屋B

空集

空集是任何非空集合的真子集08（今0）

三、集合的基本運(yùn)算

集合的并集集合的交集集合的補(bǔ)集

若全集為〃則集合力的

符號表示AHB

補(bǔ)集為［/

?

圖形表示€15

意義{xX—4或xE而{xxE4且xE8}{xxE〃且*/}

［小題能否全取］

1.(*大綱全國卷)已知集合［={x|x是平行四邊形},B={x|x是矩形},C={x|x是正方形},D={x|x

是菱形}，貝I()

K.AQBB.醫(yī)6

C.DQC.X).AQD

解析：選B選項(xiàng)A錯，應(yīng)當(dāng)是照4選項(xiàng)B對，正方形一定是矩形，但矩形不一定是正方形.選項(xiàng)C

錯，正方形一定是菱形，但菱形不一定是正方形.選項(xiàng)D錯，應(yīng)當(dāng)是區(qū)4

2.(?浙江高考)設(shè)集合/={x［l<x<4},集合4={x|V-2x-3W0},貝IJ/C(［㈤=()

A.(.1,4)B.(3,4)

C.(1,3)D.(1,2)U(3,4)

解析：選B因?yàn)椋軰B={X\X>3,或x<-1},所以AC(［由={x|3<x<4}.

3.(教材習(xí)題改編)/=口,2,3}.,6={xER|V-ax+1=0,aEA},貝1J406=6時a的值是()

A.2B.2或3

C.1或3D.1或2

解析：選D驗(yàn)證a=1時B=0滿足條件；驗(yàn)證a=2時B={1}也滿足條件.

4,(?鹽城模擬)如圖,已知〃={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},集合/=

{2,3,4,5,6,8},B={1,3,4,5,7},C={2,4,5,7,8,9},用列舉法寫出圖中陰/影部分表示

的集合為--------?

解析：陰影部分表示的集合為^nm(［㈤={2,8}.

答案:{218}

5.(教材習(xí)題改編)已知全集〃={-2,-1,0,1,2},集合/=卜,=高，x,,貝"L,A=

解析：因?yàn)?=X、/?Ez|

當(dāng)〃=0時，X=-2；〃=1時不合題意；

〃=2時，x=2；〃=3時，x=1；

時，/Z；〃=-1時，x=T；

-2時，超Z.

故/={一2,2,1,-1},

又〃={-2,-1,0,1,2},所以[/={0}.

答案：{0}

1.正確理解集合的概念

研究一個集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制條件，當(dāng)集合用描述法表示時，

注意弄清其元素表示的意義是什么.注意區(qū)分｛x|y=f(x)｝、｛y|y=f(X)｝、｛(x,力|y=f(x)｝三者的不同.

2.注意空集的特殊性

空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集.在解題時，若未明確說明集合非空時，要

考慮到集合為空集的可能性.例如：則需考慮4=0和4W。兩種可能的情況.

.R.高頻，點(diǎn)要通關(guān)抓考點(diǎn)I學(xué)技法I得拔高分I掌握程度

HHHIGAOPINKAOD1ANYAO

元素與集合

典題導(dǎo)入

[例1]⑴(?新課標(biāo)全國卷)已知集合/={1,2,3,4,5},6={(x,y)\xEA,yEA,x-yEA],則6

中所含元素的個數(shù)為()

A.3B.6

C.8D.10

(2)已知集合〃={1,而,N={n,log27?},若M=N,則(/-〃)=.

[自主解答]⑴：8={(x,y)\xEA,yEA,x-yEA},A={1,2,3,4,5},

/.x-2,y-1；x-3,y-1,2；x-4,y-1,2,3；x-5,y-1,2,3,4.

■-B={(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1.),(5,2),(5,3),(5,4)},

?.選中所含元素的個數(shù)為10.

(2)由M=N知

[log2/7=a-[log277=1,

0,\m=2,

或

[?7=1[〃=2,

故E-A)2==-1或0.

[答案](1)D⑵-1或0

由題悟法

1.研究集合問題，一定要抓住元素，看元素應(yīng)滿足的屬性，對于含有字母的集合，在求出字母的值

后，要注意檢驗(yàn)集合的元素是否滿足互異性.

2.對于集合相等首先要分析已知元素與另一個集合中哪一個元素相等，分幾種情況列出方程(組)進(jìn)

行求解，要注意檢驗(yàn)是否滿足互異性.

以題試法

1.(1)(?北京東城區(qū)模擬)設(shè)只。為兩個非空實(shí)數(shù)集合，定義集合,+0=匕+引aCP,6E0,若戶

={0,2,5},Q={1,2,6),則夕+。中元素的個數(shù)為()

A.9B.8

C.7D,6

(2)已知集合/={a-2,2a?+5a,12},且一364貝1Ja=.

解析：(1)-：P+Q={a+b\a&P,6E0,P={0,2,5},Q={1,2,6},.?.當(dāng)z=0時，a+8的值為1,2,6；

當(dāng)a=2時，a+6的值為3,4,8；當(dāng)a=5時，a+6的值為6,7,11,

：.P+Q={1,2,3,4,6,7,8,H},.?.9+0中有8個元素.

(2)-3EA,

-3=a-2或-3=2,a+5a.

e3

-'-a=-1或a=

當(dāng)a=-l時，a-2=-3,2a+5a=-3,

與元素互異性矛盾，應(yīng)舍去.

,3,7,

當(dāng)a=-5時，a-2=2a+5a=-3.

3

J.a=-］滿足條件.

答案：(1)B(2)--

考點(diǎn)二集合間的基本關(guān)系

典題導(dǎo)入

［例2］⑴(?湖北高考)已知集合/={XH-3X+2=0,XGR),B=U|0<X5,XEN},則滿足條件

/U/8的集合C的個數(shù)為()

A.1B,2

C.3D.4

(2)已知集合/={x|logzxW2},6=(-8,a),若￡8,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(c,+°°),其中c

［自主解答］(1)由f-3x+2=0得x=l或x=2,

：.A={1,2}.

由題意知6={1,2,3,4},.?.滿足條件的C可為{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}.

(2)由log2^^2,得0〈啟4,

即月={x\0〈x<4},而8=(-8,a),W---

由于甘=及如圖所示，則a>4,即c=4.

［答案］(DD(2)4

由題悟法

1.判斷兩集合的關(guān)系常有兩種方法：一是化簡集合，從表達(dá)式中尋找兩集合間的關(guān)系；二是用列舉

法表示各集合，從元素中尋找關(guān)系.

2.已知兩集合間的關(guān)系求參數(shù)時，關(guān)鍵是將兩集合間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)

滿足的關(guān)系.解決這類問題常常需要合理利用數(shù)軸、Venn圖幫助分析.

以題試法

2.(文)(?鄭州模擬)已知集合力={2,3},B={x|ffly-6=0},若住4則實(shí)數(shù)0的值為()

A.3B,2

C.2或3D.0或2或3

解析：選D當(dāng)〃=0時，8=0￡/；

當(dāng)勿W0時，由6=1|^{2,3}可得

6

一=2或一=3,

mm

解得3或勿=2,

綜上可得實(shí)數(shù)0=0或2或3.

(理)已知集合/={y|y=y-f+2x},6={X||X-R|〈2013},若406=4則/的取值范圍是()

A.[-2012,2013]B.(-2012,2013)

C.[-2013,2Oil]D.(-2013,2Oil)

解析選B集合力表示函數(shù)y=y_f+2刀的值域,由t=-V+2x=-(x-D'lWl,可得

故/=[0,1].

集合6是不等式|x-加＜2013的解集，解之得2013〈水勿+2013,所以6=(〃-2013,0+2013).

因?yàn)樗?=4

如圖，由數(shù)軸可得

m-2013<0,

力+2013>1,m-201301m+2013x

解得-2012〈欣2013.

3集合的基本運(yùn)算

典題導(dǎo)入

［例3］(1)(?江西高考)若全集〃={1,2,3,4,5,6},M={2,3},N={1,4},則集合{5,6}等于()

A.M^NB.MCN

C.(［血U(［加D.(CAn,(［此

⑵(?安徽合肥質(zhì)檢)設(shè)集合/={x|/+2x-8<0},8=則分豕二圖中陰影部分表

示的集合為()級二)

A.B.［x\-4<X2}

C.{jr|-8<X1}D.{x|lWx<2}

［自主解答］(1)?.?"UNu{1,2,3,4},

(CAn(C加=［“(MJ心={5,6}.

(2)?,■/+2^-8<0,

-4<X2,

：.A-{x|-4<x<2},

又.：B=U|X1},

；?圖中陰影部分表示的集合為uS)={x1l^X2}.

［答案］(1)D(2)D

?>一題多變

將例3(1)中的條件“〃={2,3}"改為,試求滿足條件的集合〃的個數(shù).

解：由得心"

含有2個元素的集合〃有1個，含有3個元素的集合〃有4個，

含有4個元素的集合〃有6個，含有5個元素的集合〃有4個，

含有6個元素的集合〃有1個.

因此，滿足條件的集合〃有1+4+6+4+1=16個.

由題悟法

1■在進(jìn)行集合的運(yùn)算時要盡可能地借助Venn圖和數(shù)軸使抽象問題直觀化.一般地，集合元素離散時

用Venn圖表示；集合元素連續(xù)時用數(shù)軸表示，用數(shù)軸表示時注意端點(diǎn)值的取舍.

2.在解決有關(guān)等集合問題時，一定先考慮/或8是否為空集，以防漏解.另外要注

意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

以題試法

3.(?錦州模擬)已知全集〃=R,集合/={x|f-2x>0},B=U|y=lg(^-1)},貝等于

()

A.{x|x〉2,或x〈0}B.{x\KX2}

C.{x|l〈xW2}D.{x|lWg2}

解析：選C4={x|x(x-2)>0}={x|x>2,或x<0.},

B={x|y=lg(x-l)}={x|x-l〉O}={x\x>l},

CvA-{JTOW啟2}.

A(C/)CB={x|l〈xW2}.

和j解SSilll練要高用GAOXIAO抓速度|抓規(guī)范|拒絕眼高手低|掌握程度

金氮全員必做題

1.（?新課標(biāo)全國卷）已知集合/={x|f-x-2<0},B=U|-KX1},則（）

A.AB3.BA

C.A=BD.AHB-0

解析：選BA={x\x-x-2<0}={^|-KX2},

B={2-|

所以6A.

2.（?山西四校聯(lián)考）已知集合〃={0,1},則滿足機(jī)JN=.{0,1,2}的集合"的個數(shù)是（）

A.2B.3

C.4D.8

解析：選C依題意得，滿足〃U%={0,1,2}的集合”有{2},{0,2},{1,2},{0,1,2}共4個.

3.設(shè)集合尸={3,log2a},Q-{a,6},若7T10={0},則-U0=（）

A.{3,0}B.{3,0,1）

C,{3,0,2}D.{3,0,1,2}

解析：選B因?yàn)槭珹0={O},所以O(shè)ERlog2a=0,a=l,而0GQ所以右=0.所以2U0={3,0,1}.

4.(-遼寧高考)已知全集〃={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合Z=[0,1,3,5,8),集合B={2,4,5,6,8),

則([曲=()

A.{5,8}B.{7,9}

C.{0,1,3}D.{2,4,6}

解析：選B因?yàn)?U6={0,1,2,3,4,5,6,8),所以一)C(￡而=1—U而={7,9}.

5.(?合肥質(zhì)檢)已知集合/={-2,-1,0,1.2},集合8={xEZ||x|Wa},則滿足/8的實(shí)數(shù)a的

一個值為()

A.0B.1

C.2D.3

解析：選D當(dāng)a=0時，B={0}；

當(dāng)a=l時，B={-1,0,1.}；

當(dāng)a=2時，8={-2,-1,0,1,2}；

當(dāng)a=3時,8={-3,-2,-1,0,1,2,3},

顯然只有a=3時滿足條件.

6.已知全集〃=R,集合/={x|3Wx<7},B=U|/-7^+10<0},貝"〃(力口③=()

A.(-8,3)U(5,+8)B.(-°°,3]U[5,+°0)

C.(一8,3)U[5,+oo)D.(-co,3]U(5,+°°)

解析：選CV-7x+10〈0=(x-2)?(x-5)〈0今2〈K5,/C6={x|3Wx<5},

故]而=(-8,3)U[5,+8).

7.(?大綱全國卷)已知集合/=口,3,品,B={1,而,/U8=4貝IJ〃=()

A.0或鎘B.0或3

C.1或斕D.1或3

解析：選B法一：,.?/U8=4二醫(yī)4又/={1,3,3?},B={1,ni],:.m=3或m=^ln.

由〃="\/^導(dǎo)m=0或〃=1.但0=1不符合集合中元素的互異性，故舍去，故7=0或0=3.

法二：.：8={1,4，.?.必W1,，可排除選項(xiàng)C、D.

又當(dāng)加=3時,2={1,3,反},B={1,3},滿足4U8={1,3,啊=4故選B.

8.設(shè)S={x|x<-1,或x>5},7={x|a<x<a+8},SU7=R,則a的取值范圍是()

A.(-3,-1)B.[-3,-1]

C.(―8,-3]U(-1,+°°)D.(-°°,-3)U(-1,+8)

解析：選A在數(shù)軸上表示兩個集合，因?yàn)镾U7=R,由圖可得

a-15a+8x

水-1,

解得-3〈水—1.

H+8>5,

9.若集合〃=R,A={xk+2>0),6={x|x'l},貝uB)=.

解析：由題意得[/=(-8,1),

又因?yàn)?={x\x+2>0)={x\x>-2],

于是4C([za?)=(-2,1).

答案：(-2,1)

10.(?武漢適應(yīng)性訓(xùn)練)已知48均為集合〃={1,2,3,4,5,6}的子集,且/C8={3},(C㈤M=

⑴，([〃)C([㈤={2,4},則6n([〃)=_..

解析：依題意及韋恩圖得，8C([向={5,6}.

答案：{5,6}

11.已知R是實(shí)數(shù)集，|<V,N=3尸5-1},

則Ml(LR勵=

解析：M=U|X0,或x>2},所以(W=[0,2],

又心[0,+co),所以加([勵=[0,2].

答案:[0,2]

12.(?吉林模擬)已知〃=R,集合/=39_X-2=0},8={X|RX+1=0},(C源)=。，則〃=

1

寸

寸

解

時

析

夕

夕

2夕00O1⑵0

-----X-勿--2-

1

答

案O-_

13.（?蘇北四市調(diào)研）已知集合/={x?+aW（a+l）x,aER）,存在aCR,使得集合力中所有整數(shù)

元素的和為28,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

解析：不等式V+@?匕+1）才可化為5-45-1）?0,由題意知不等式的解集為{x|lW啟a}中

7X1+7

所有整數(shù)元素構(gòu)成以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，其前7項(xiàng)和為——-——=28,所以7Wa〈8,即

實(shí)數(shù)a的取值范圍是［7,8）.

答案：［7,8）

14.（?安徽名校模擬）設(shè)集合S尸（1,2,3,〃},若后冬把X的所有元素的乘積稱為X的容量（若

才中只有一個元素，則該元素的數(shù)值即為它的容量，規(guī)定空集的容量為0）.若X的容量為奇（偶）數(shù)，則稱

才為S的奇（偶）子集,則￡的所有奇子集的容量之和為.

解析：；&=口,2,3,4},.-.Z=0,{1},{2},{3},{4},{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},

(1,2,3},{1,2,4},[1,3,4},{2,3,4},[1,2,3,4}.其中是奇子集的為』={1},⑶，{1,3},其容量分

別為1,3,3,所以￡的所有奇子集的容量之和為7.

答案：7

B級重點(diǎn)選做題

1.(?杭州十四中月考)若集合4=X,噌WxWlOB=[-2,-1.1.2},全集〃=R,則

下列結(jié)論正確的是()

A.AC\B=1)B.([源)UB=[-1,1]

C.AUB=(-2,2)D.(E?4)CtB=[-2,2]

解析：選A???xC10,.-.yEE-1,1],

:.AC]B={-1,1}.

2.設(shè)/是自然數(shù)集的一個非空子集，對于止4如果加A,且94那么A是月的一個“酷元”，

給定S={xEN1y=lg(36-f)},設(shè)隹s,且集合〃中的兩個元素都是，，酷元"，那么這樣的集合〃有()

A.3個B.4個

C.5個D.6個

解析：選C由36-通0,解得一6〈木6.又因?yàn)閤EN,所以S={0,1,2,3,4,5}.

依題意，可知若左是集合〃的“酷元”是指六與爪都不屬于集合M.顯然k=0,1都不是“酷元”.

若4=2則好=4；若4=4,則5=2.所以2與4不同時在集合〃中，才能成為“酷元”.

顯然3與5都是集合S中的“酷元”.

綜上，若集合〃中的兩個元素都是“酷元”，則這兩個元素的選擇可分為兩類：

(1)只選3與5,即〃={3,5}；

(2)從3與5中任選一個，從2與4中任選一個，即〃={3,2}或{3,4}或{5,2}或{5,4}.

所以滿足條件的集合〃共有5個.

3.(?河北質(zhì)檢)已知全集〃=R,集合〃={x|x+a20},N=[x\log2(jr-1)<1},若“C([血={x|x

=1,或那么()

A.a=-1B.aW1

C.a=1D,

解析：選A由題意得〃={x|x2-a},N={^|KX3),所以[W={x|xWl,或x23},又〃C([蛇

={x\x=l,或x23},因此-a=l,a=-1.

4.給定集合4若對于任意a,bEA,有a+6E4且a-6C4則稱集合/為閉集合，給出如下三個

結(jié)論：

①集合力={-4,-2,0,2,4}為閉集合；

②集合/={川〃=3左4GZ}為閉集合；

③若集合4,4為閉集合，則4U4為閉集合.

其中正確結(jié)論的序號是一

解析：①中，-4+(-2)=-664所以不正確；

②中設(shè)〃1,a=3A,ik-3jfc,ki,jfcEZ,貝IJR+A2G4a-n,E.A,所以②正確；

③令4={-4,0,4},A={-2,0,2},則4,4為閉集合，但4U4不是閉集合，所以③不正確.

答案：②

5,已知集合力={x\x-2,x-3^0,xER},B-{x|/-2WXWR+2}.

(1)若[1,3],求實(shí)數(shù)0的值；

(2)若AQC祖求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

解：/={x|T,6={x〃-2W;r^m+2}.

伽一2=1,

(1)'：AC\B=[1,3],得加=3.

〔0+223,

(2)Cv.B={x\x<m-2,或X>R+2}.

,//UCRB、tn—2,>3或r+2<—1.

:.m>3或m<-3.

即卬的取值范圍為(-8,-3)U(5,+8).

6.(?衡水模擬)設(shè)全集/=R,已知集合〃={x|(x+3)2W0},{x\x+x-&^0}.

⑴求([也nv；

⑵記集合/=([也m”已知集合8={x|a-lW2<5-a,aER},若6U/=4求實(shí)數(shù)a的取值范

圍.

解：(1)?.-#={x|(x+3)W0}={-3},

N={x|V+x-6=0}={-3,2},

C{x|xCR且xW-3},

(Cn#={2}.

(2)4=(CMCN={2},

■：A^B=A,二醫(yī)4，占=?；?={2},

當(dāng)8=0時，a-l>B-a,/.a>3；

fa-l=2,

當(dāng)6={2}時，匚°解得a=3,

[5-乃=2,

綜上所述，所求a的取值范圍為{a|a》3