2024年高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：數(shù)列考查的九個熱點(diǎn)（解析版）

2024年高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)數(shù)列考查的九個熱點(diǎn)（解析版）

數(shù)列考查的九個熱點(diǎn)

熱點(diǎn)題型速覽

熱點(diǎn)一等差數(shù)列的基本計(jì)算

熱點(diǎn)二等比數(shù)列的基本計(jì)算

熱點(diǎn)三等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合計(jì)算

熱點(diǎn)四數(shù)列與函數(shù)的交匯

熱點(diǎn)五數(shù)列與不等式交匯

熱點(diǎn)六數(shù)列與解析幾何交匯

熱點(diǎn)七數(shù)列與概率統(tǒng)計(jì)交匯

熱點(diǎn)八等差數(shù)列、等比數(shù)列的判斷與證明

熱點(diǎn)九數(shù)列中的“新定義”問題

熱點(diǎn)一等差數(shù)列的基本計(jì)算

遒互工（2023春?河南開封?高三通許縣第一高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列｛&，｝為遞增數(shù)列，S“為

其前幾項(xiàng)和，。3+。7=34,。4，。6=280,則Si尸（）

A.516B.440C.258D.220

題目囪（2022秋.黑龍江哈爾濱.高三哈師大附中?？计谥校┠撤N卷筒衛(wèi)生紙繞在圓柱形盤上,空盤時盤芯直

徑為60mm，滿盤時直徑為120mm,已知衛(wèi)生紙的厚度為0.1mm,則滿盤時衛(wèi)生紙的總長度大約（）（兀1

3.14,精確到1?。?/p>

A.65mB.85mC.100mD.120m

題目回（2020.全國高考真題（理））北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層，上層中心有一塊

圓形石板（稱為天心石）,環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊,下一層的第一

環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則

三層共有扇面形石板（不含天心石）（）

A.3699塊B.3474塊C.3402塊D.3339塊

???

（2022?全國?統(tǒng)考高考真題）記Sn為等差數(shù)列｛aj的前幾項(xiàng)和.若2s3=3s2+6，則公差d=.

【規(guī)律方法】

1.等差數(shù)列中的基本量ahMd小S”,“知三可求二”，在求解過程中主要運(yùn)用方程思想.要注意使用公式時

的準(zhǔn)確性與合理性，更要注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性.在遇到一些較復(fù)雜的方程組時，要注意運(yùn)用整體代換思想，使

運(yùn)算更加便捷.

2.在等差數(shù)列｛%｝中,若出現(xiàn)斯^”，心,%+”等項(xiàng)時，可以利用等差數(shù)列的性質(zhì)將其轉(zhuǎn)化為與職有關(guān)的

條件;若求職項(xiàng)，可由am=y（am-n+am+n）轉(zhuǎn)化為求^m—n，^m+n或Q/n-7i+a?ri+n的值.

3.數(shù)列的基本計(jì)算，往往以數(shù)學(xué)文化問題為背景.

熱點(diǎn)二等比數(shù)列的基本計(jì)算

題目§（2020?全國?統(tǒng)考高考真題）設(shè)｛為｝是等比數(shù)歹!L且的+&2+&3=1，a>2+a3+a4=2,則a6+a7+a8=

（）

A.12B.24C.30D.32

〔題瓦⑹（2023廣東揭陽?惠來縣第一中學(xué)校考模擬預(yù)測）在《增減算法統(tǒng)宗》中有這樣一則故事:“三百七十

八里關(guān)，初行健步不為難;次日腳痛減一半,如此六日過其關(guān)”.其大意是:有人要去某關(guān)口，路程為378里，

第一天健步行走,從第二天起由于腳痛，每天走的路程都為前一天的一半，一共走了六天，才到目的地.則此

人后3天共走的里程數(shù)為（）

A.6B.12C.18D.42

〔題旦可（2023?全國高考真題）已知｛a?｝為等比數(shù)列，a2a4a5=a3a6,a9a1。=一8,則a7—.

【規(guī)律方法】

L等比數(shù)列運(yùn)算問題的一般求法是設(shè)出首項(xiàng)的和公比％然后由通項(xiàng)公式或前九項(xiàng)和公式轉(zhuǎn)化為方程（組）

求解.

2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前幾項(xiàng)和公式,共涉及五個量知其中三個就能求另外兩個，體現(xiàn)了

用方程的思想解決問題.

3.根據(jù)題目特點(diǎn)，可選用等比數(shù)列的性質(zhì).

熱點(diǎn)三等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合計(jì)算

題目區(qū)｝（2019?北京?高考真題）設(shè)｛an｝是等差數(shù)列，ai=-10,且a2+W,a3+8,a4+6成等比數(shù)列.

（I）求｛an｝的通項(xiàng)公式；

（II）記｛cm｝的前ri項(xiàng)和為Sn,求Sri的最小值.

題目回（2022?全國?統(tǒng)考高考真題）記S.為數(shù)列｛冊｝的前幾項(xiàng)和.已知為+n=2a“+L

n

（1）證明：｛a“｝是等差數(shù)列；

⑵若aztQg成等比數(shù)列，求當(dāng)?shù)淖钚≈?

題目五］（2023?天津?統(tǒng)考高考真題）已知｛a?｝是等差數(shù)列，a?+a5=16,05-?3=4.

2"-1

（1）求｛an｝的通項(xiàng)公式和X%.

￡=2"T

（2）已知也｝為等比數(shù)列,對于任意k￡N*,若2人1&n<2J1,則bk<an<bk+1,

kfe

（I）當(dāng)k>2時,求證：2-l<bk<2+l；

（II）求｛bj的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和.

熱點(diǎn)四數(shù)列與函數(shù)的交匯

[題目11]（2018?浙江?高考真題）已知chQQQ成等比數(shù)列，且ai+a2+a3+a4=ln（ai+a2+a3）.若?>1,則

A.Q]V2v。4B.Qi>>Q3,Q2V。4C.QjV；6X35^,2^>。4D*Qi>>Q3，Q2>>。4

題目至〕（2023秋?湖南長沙?高三雅禮中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖1所示,古箏有多根弦，每根弦下有一個雁柱,

雁柱用于調(diào)整音高和音質(zhì).圖2是根據(jù)圖1繪制的古箏弦及其雁柱的簡易平面圖.在圖2中,每根弦都垂直

于刀軸,相鄰兩根弦間的距離為1,雁柱所在曲線的方程為v=1.1",第九根弦（nGN,從左數(shù)首根弦在y軸

20

上，稱為第0根弦）分別與雁柱曲線和直線Z：y—x+1交于點(diǎn)An（xniy^和&（晨戒），則￡yM=.

n=0

（參考數(shù)據(jù):取1爐=8.14.）

雁柱"

圖1圖2

題目口口（2023秋?福建廈門?高三廈門一中?？茧A段練習(xí)）己知數(shù)列｛冊｝滿足的>0,冊+產(chǎn)

Jlog2an,n=2k—l,k￡N*

[2a-+2,n=2k,kEN^

（1）判斷數(shù)列伍2-1｝是否是等比數(shù)列？若是，給出證明；否則,請說明理由；

（2）若數(shù)列｛冊｝的前10項(xiàng)和為361,記b=--------------,數(shù)列8｝的前n項(xiàng)和為黑，求證：黑<白.

（lOg2a2n+l）?九+22

f2力力

題目叵^（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知4%紡）、B（，2,紡）是函數(shù)/（C）=—2，'2的圖象上的任意

[—1口=彳

兩點(diǎn)，點(diǎn)M在直線c=■上，且不訪=屆.

（1）求/1+62的值及V1+V2的值；

（2）已知$1=0,當(dāng)外>2時，51=/借）+/（孩）+/（￡）+-“+/（衛(wèi)戶），設(shè)源=2',北數(shù)列｛源｝的前九

項(xiàng)和,若存在正整數(shù)c,館,使得不等式，一。<白成立，求c和6的值；

熱點(diǎn)五數(shù)列與不等式交匯

題目叵]（2022?浙江?統(tǒng)考高考真題）已知數(shù)列｛冊｝滿足5=1,廝+1=詼—白履54*）,則（）

O

5577

A.2VIOOQIOOV—B.—<IOOQIOOV3C.3V1OO（ZIOO<C—D.—VIOOQIOOV4

?H（2023?浙江嘉興?統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在一個單位正方形中,首先將它等分成4個邊長為-1的小正

方形，保留一組不相鄰的2個小正方形,記這2個小正方形的面積之和為&；然后將剩余的2個小正方形分

別繼續(xù)四等分，各自保留一組不相鄰的2個小正方形,記這4個小正方形的面積之和為S2.以此類推，操

D.12

、題日匚（2023秋,四川綿陽?高三綿陽中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列入｝的前幾項(xiàng)和為S”且S4=4S2,

a3n=3a#2（neN*）

（1）求｛aj的通項(xiàng)公式，

⑵設(shè)鼠=一一,且｛吼｝的前幾項(xiàng)和為黑,證明，[

【題目|18）（2022?全國?統(tǒng)考高考真題）記S”為數(shù)列｛冊｝的前幾項(xiàng)和，已知a尸1,｛9｝是公差為專的等差數(shù)

歹山

（1）求｛aj的通項(xiàng)公式；

（2）證明：。+工+…+」-<2.

。2%,

題目叵（2021.全國.統(tǒng)考高考真題）設(shè)｛%｝是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，數(shù)列｛吼｝滿足勾=等.已知電，3a2,

O

9a3成等差數(shù)列.

⑴求｛廝｝和｛鼠｝的通項(xiàng)公式；

⑵記S”和黑分別為｛冊｝和也｝的前幾項(xiàng)和.證明：方〈■.

題目M（2023?河南鄭州?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列｛冊｝與｛口｝的前n項(xiàng)和分別為4.和且對任意nCN

*，冊+L%=彳（勾+L勾）恒成立.

⑴若4=量*，"=2,求瓦；

（2）若對任意外eN*,都有冊=以及2++人+…+—<X恒成立，求正整數(shù)仇的最小值.

。2。3Q3a4%。九+1J

演巨〕（2023秋?云南?高三云南師大附中?？茧A段練習(xí)）已知｛冊｝為等差數(shù)列，｛fej為等比數(shù)列，瓦=2al

']、/叱4

=2,勰=53-&3），W=4（b4—8），數(shù)列｛品｝滿足金=</0n+2'"'口.

I一一為偶數(shù)

（1）求｛冊｝和｛0｝的通項(xiàng)公式；

（2）證明：￡>>早.

i=lJ

熱點(diǎn)六數(shù)列與解析幾何交匯

題目包（2022.全國.統(tǒng)考高考真題）圖1是中國古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，44',BB',CC',DD'是桁，相鄰桁的

水平距離稱為步，垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖.其中CG,BBi,44i是舉，

。。,。。1,6?1,歷11是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為等^=0.5,票=如卷^=能言=%已

3D1-LzC/i

知甌防加成公差為0.1的等差數(shù)列,且直線04的斜率為0.725,則k3=（

A.0.75B.0.8C.0.85D.0.9

題目區(qū)（重慶?高考真題）設(shè)40,%）,B（4（）,C（g,%）是右焦點(diǎn)為F的橢圓*+5=1上三個不同的

點(diǎn)，則“因同,出同,|。同成等差數(shù)列”是“電+電=8”的（）

A.充要條件B.必要而不充分條件C.充分而不必要條件D.既不充分也不必要條件

題目24］（2021.浙江.統(tǒng)考高考真題）已知a,bC_R,ab>0,函數(shù)/（2）=ax2+b（xGR）.若f（s—t）,f（s）,f（s+

t）成等比數(shù)列，則平面上點(diǎn)（si）的軌跡是（）

A.直線和圓B.直線和橢圓C.直線和雙曲線D.直線和拋物線

熱點(diǎn)七數(shù)列與概率統(tǒng)計(jì)交匯

題目,（2023秋?江西?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）甲同學(xué)現(xiàn)參加一項(xiàng)答題活動，其每輪答題答對的概率均為小，

且每輪答題結(jié)果相互獨(dú)立.若每輪答題答對得5分,答錯得0分，記第i輪答題后甲同學(xué)的總得分為不,其

中i=l,2,…,九

⑴求成及9）；

（2）若乙同學(xué)也參加該答題活動，其每輪答題答對的概率均為|■，并選擇另一種答題方式答題:從第1輪答

題開始，若本輪答對，則得20分,并繼續(xù)答題;若本輪答錯，則得o分,并終止答題,記乙同學(xué)的總得分為y.

證明：當(dāng)i>24時，E（XJ>E（y）.

題目叵（2023秋?湖北荊州?高三沙市中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在正三棱柱ABC-4AG中，點(diǎn)A處有一只小螞

蟻，每次隨機(jī)等可能地沿各條棱或側(cè)面對角線向另一頂點(diǎn)移動,設(shè)小螞蟻移動n次后仍在底面ABC的頂

點(diǎn)處的概率為2.

?M

⑴求R,2的值.

⑵求必

遮目,(2019?全國?高考真題(理))為了治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，

為此進(jìn)行動物試驗(yàn).試驗(yàn)方案如下:每一輪選取兩只白鼠對藥效進(jìn)行對比試驗(yàn).對于兩只白鼠，隨機(jī)選一

只施以甲藥，另一只施以乙藥.一輪的治療結(jié)果得出后,再安排下一輪試驗(yàn).當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比

另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效.為了方便描述問題，約定:對

于每輪試驗(yàn),若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分,乙藥得一1分;若施以乙藥的

白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得一1分;若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分.

甲、乙兩種藥的治愈率分別記為a和0,一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為X.

(1)求X的分布列；

(2)若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開始時都賦予4分，⑵(i=0,l,…,8)表示“甲藥的累計(jì)得分為i時，最終認(rèn)為甲藥比

乙藥更有效”的概率，則00=0,「8=1，Pi—Q0i+她+CR+I(i=1,2,…,7),其中a=P(X=-1),b=P(X=

0),c—P(X—1).假設(shè)a=0.5,B—0.8.

(i)證明：｛Q+I—“｝(i=0,l,2,…,7)為等比數(shù)列；

(n)求.，并根據(jù)P4的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性.

熱點(diǎn)八等差數(shù)列、等比數(shù)列的判斷與證明

題目區(qū)|【多選題】(2022.廣東茂名.模擬預(yù)測)已知數(shù)列｛冊｝的前幾項(xiàng)和為S,電=1,S.+i=Sn+2?+l,數(shù)

歹［的前九項(xiàng)和為TLnCN*,則下列選項(xiàng)正確的為()

A.數(shù)列｛an+l｝是等比數(shù)列B.數(shù)列｛飆+1｝是等差數(shù)列

C.數(shù)列｛冊｝的通項(xiàng)公式為a“=2-1D.T>1

題瓦亙)(2021.全國.統(tǒng)考高考真題)記S”為數(shù)列｛冊｝的前幾項(xiàng)和，⑥為數(shù)列｛SJ的前n項(xiàng)積，己知卷+

⑴證明:數(shù)列｛葭｝是等差數(shù)列;

(2)求｛aj的通項(xiàng)公式.

熱點(diǎn)九數(shù)列中的“新定義”問題

題目如(2020.全國.統(tǒng)考高考真題)0-1周期序列在通信技術(shù)中有著重要應(yīng)用.若序列aQ…冊…滿足

｛0,1｝(i=1,2,…),且存在正整數(shù)m，使得ai+m=a*(i=1,2,…)成立,則稱其為0-1周期序列,并稱滿足

。計(jì)皿=囪(1=1,2,…)的最小正整數(shù)7n為這個序列的周期.對于周期為nz的0—1序列QQ…冊…，C(k)=

上23+@=1,2,…,加—1)是描述其性質(zhì)的重要指標(biāo)，下列周期為5的0—1序列中，滿足C(fc)W4(fc

mi=i3

=1,2,3,4)的序列是()

A.11010B.11011???C.10001?--D.11001

題目&K多選題】(2023秋?湖南長沙?高三周南中學(xué)?？茧A段練習(xí))古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙粒

和小石子來研究數(shù)，他們根據(jù)沙?；蛐∈铀帕械男螤?，把數(shù)分成許多類，如圖中第一行圖形中黑色小點(diǎn)

個數(shù)：1,3,6,10,…稱為三角形數(shù)，第二行圖形中黑色小點(diǎn)個數(shù)：1,4,9,16,--?稱為正方形數(shù)，記三角形

數(shù)構(gòu)成數(shù)列｛冊｝,正方形數(shù)構(gòu)成數(shù)列｛葭｝,則下列說法正確的是()

A

B.1225既是三角形數(shù)，又是正方形數(shù);

io1c

心^4^7；

i=\ui+lui+lJ

D.YmeN*,2總存在p,qCN*,使得bm=ap+aq成立；

［題目|32）（2022秋?山東?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若項(xiàng)數(shù)為n的數(shù)列｛飆｝滿足：aka“+j（i=1,2,3,…，。我

們稱其為九項(xiàng)的“對稱數(shù)列”.例如:數(shù)列1,2,2,1為4項(xiàng)的“對稱數(shù)列”;數(shù)列1,2,3,2,1為5項(xiàng)的“對稱

數(shù)列”.設(shè)數(shù)列｛品｝為2%+1項(xiàng)的“對稱數(shù)列”，其中J,C2…，+i是公差為2的等差數(shù)歹！J,數(shù)列｛cj的最大

項(xiàng)等于8,記數(shù)列｛cj的前2k+1項(xiàng)和為S2k+1，若$2-1=32，則％=.

7

數(shù)列考查的九個熱點(diǎn)

熱點(diǎn)題型速覽

熱點(diǎn)一等差數(shù)列的基本計(jì)算

熱點(diǎn)二等比數(shù)列的基本計(jì)算

熱點(diǎn)三等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合計(jì)算

熱點(diǎn)四數(shù)列與函數(shù)的交匯

熱點(diǎn)五數(shù)列與不等式交匯

熱點(diǎn)六數(shù)列與解析幾何交匯

熱點(diǎn)七數(shù)列與概率統(tǒng)計(jì)交匯

熱點(diǎn)八等差數(shù)列、等比數(shù)列的判斷與證明

熱點(diǎn)九數(shù)列中的“新定義”問題

熱點(diǎn)一等差數(shù)列的基本計(jì)算

遒U（2023春?河南開封?高三通許縣第一高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列｛④，｝為遞增數(shù)列，S“為

其前幾項(xiàng)和，。3+。7=34,。4，。6=280,則Si尸（）

A.516B.440C.258D.220

【答案】。

【分析】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列性質(zhì)求出。4，。6,再利用前幾項(xiàng)和公式求解作答.

【詳解】等差數(shù)列｛冊｝為遞增數(shù)列，則a4<aQ,由禽+。7=34,得為十期=34,而a4-aQ=280,

解得。4=14,。6=20,所以Si尸I"。；""）=11。6=220.

故選：。

、題目叵（2022秋.黑龍江哈爾濱.高三哈師大附中?？计谥校┠撤N卷筒衛(wèi)生紙繞在圓柱形盤上,空盤時盤芯直

徑為60mm，滿盤時直徑為120mm,已知衛(wèi)生紙的厚度為0.1mm,則滿盤時衛(wèi)生紙的總長度大約（）（兀心

3.14,精確到1m）

A.65mB.85mC.100mD.120m

【答案】B

【分析】依題意，可以把繞在盤上的衛(wèi)生紙長度，近似看成300個半徑成等差數(shù)列的圓周長，然后分別計(jì)算各

圓的周長，再借助等差數(shù)列前幾項(xiàng)和公式求總和即可.

【詳解】因?yàn)榭毡P時盤芯直徑為60mm，則半徑為30mm，周長為27rx30=60兀（mm）,

又滿盤時直徑為120mm，則半徑為60mm，周長為2兀X60=120兀（mm）,

又因?yàn)樾l(wèi)生紙的厚度為0.1mm,則與］阻=300,即每一圈周長成等差數(shù)列，項(xiàng)數(shù)為300,

于是根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，得：

門300X（60兀+120兀）?,、

5300=----------------------------------------=27000兀（mm）,

又2700071mm?84780mm弋85nz,即滿盤時衛(wèi)生紙的總長度大約為85nz,

故選:B.

題目§(2020.全國高考真題(理))北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層，上層中心有一塊

圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊,下一層的第一

環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊,向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則

三層共有扇面形石板(不含天心石)()

A.3699塊B.3474塊C.3402塊D.3339塊

【答案】。

【解析】

設(shè)第九環(huán)天石心塊數(shù)為an,第一■層共有n環(huán)，

則｛an｝是以9為首項(xiàng)，9為公差的等差數(shù)列,an=9+(n—1)x9=9n,

設(shè)Sn為｛QJ的前幾項(xiàng)和，則第一層、第二層、第三層的塊數(shù)分

別為Sn,S2n-Sn,S3n-S2n，因?yàn)橄聦颖戎袑佣?29塊，

所以S^n—S2n—$2九—S九+729,

3n(9+27n)2n(9+18n)_2n(9+18n)n(9+9n)

022=22+

即9n2=729,解得ri=9,

所以27(9+29x27)=34°2.

故選：C

題目⑷(2022?全國?統(tǒng)考高考真題)記S”為等差數(shù)列｛aj的前幾項(xiàng)和.若2s3=3s2+6，則公差d=.

【答案】2

【分析】轉(zhuǎn)化條件為24+2d)=2s+d+6,即可得解.

【詳解】由2s3=3s2+6可得2(ai+a2+a3)=3(ai+a2)+6,化簡得2a3—ai+a2+6,

即2(ai+2d)=2ai+d+6,解得d—2.

故答案為：2.

【規(guī)律方法】

1.等差數(shù)列中的基本量電,冊,義九,S”,“知三可求二”，在求解過程中主要運(yùn)用方程思想.要注意使用公式時

的準(zhǔn)確性與合理性，更要注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性.在遇到一些較復(fù)雜的方程組時，要注意運(yùn)用整體代換思想，使

運(yùn)算更加便捷.

2.在等差數(shù)列｛每｝中,若出現(xiàn)時_“，“%+”等項(xiàng)時，可以利用等差數(shù)列的性質(zhì)將其轉(zhuǎn)化為與必有關(guān)的

條件；若求項(xiàng)，可由am=y(am-n+am+n)轉(zhuǎn)化為求am-n,am+n回^^m—n~^~^m+n的值.

3.數(shù)列的基本計(jì)算，往往以數(shù)學(xué)文化問題為背景.

熱點(diǎn)二等比數(shù)列的基本計(jì)算

題目回(2020?全國?統(tǒng)考高考真題)設(shè)｛a?｝是等比數(shù)歹!J,且由+<12+&3=Laz+c^+a^2,則a6+a7+a8=

()

A.12B.24C.30D.32

【答案】。

【分析】根據(jù)已知條件求得q的值，再由a&+a7+a&—可求得結(jié)果.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛斯｝的公比為q,貝”ai+dj+cts—fli(l+q+q2)—1,

2

a2+a3+at—axq+a^+a^—chq(l+q+q)—q—2,

56!5

因此，a6+a,7+a8=a1q+a1q+a1q=aiQ°(l+q+q｝=q=32.

故選：D.

題目回(2023?廣東揭陽?惠來縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測)在《增減算法統(tǒng)宗》中有這樣一則故事:“三百七十

八里關(guān)，初行健步不為難;次日腳痛減一半,如此六日過其關(guān)”.其大意是:有人要去某關(guān)口，路程為378里，

第一天健步行走,從第二天起由于腳痛，每天走的路程都為前一天的一半，一共走了六天，才到目的地.則此

人后3天共走的里程數(shù)為()

A.6B.12C.18D.42

【答案】。

【分析】設(shè)第九(nCN*)天走每里，其中1WnW6,由題意可知，數(shù)列｛aj是公比為］的等比數(shù)列，利用等

比數(shù)列的求和公式求出囪的值，然后利用等比數(shù)列的求和公式可求得此人后3天共走的里程數(shù).

【詳解】設(shè)第n(nCN*)天走里，其中l(wèi)WnW6,由題意可知，數(shù)列｛冊｝是公比為十的等比數(shù)列，

所以，.JIT：)〕=1|_a-378,解得a產(chǎn)37腎32=102,

1—1-3263

2

192

所以，此人后三天所走的里程數(shù)為為+。5+。6=--------4——=42.

工

1—2

故選：D

題目0(2023?全國高考真題)已知｛飆｝為等比數(shù)列，。2。4。5=a3a6，。9。10=-8,則0>7=?

【答案】-2

35

【分析】根據(jù)等比數(shù)列公式對。2。4。5=Q3a6化簡得a?=1,聯(lián)立a9aio=-8求出g=—2,最后得a7=a、q,g=

d=_2.

【解析】設(shè)｛an｝的公比為q(qW0),則a2a4a5=。3。6=電1?，顯然a計(jì)0,

則。4=Q2,即。荷=Q2,則QiQ=1,因?yàn)?9。10=—8,則a］，Qi/=-8,

155

則<7=(/)3=—8=(—2)3,則/=-2,則Q7=arq?q=/=-2,

故答案為：一2.

【規(guī)律方法】

1.等比數(shù)列運(yùn)算問題的一般求法是設(shè)出首項(xiàng)的和公比q,然后由通項(xiàng)公式或前九項(xiàng)和公式轉(zhuǎn)化為方程(組)求

解.

2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前幾項(xiàng)和公式,共涉及五個量ai,%,q,n,S”,知其中三個就能求另外兩個,體現(xiàn)了用方

程的思想解決問題.

3.根據(jù)題目特點(diǎn)，可選用等比數(shù)列的性質(zhì).

熱點(diǎn)三等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合計(jì)算

題目-8~^（2019?北京?高考真題）設(shè)｛an｝是等差數(shù)列,的=—10,且Q2+IO,Q3+8,Q4+6成等比數(shù)列.

（1）求｛麗｝的通項(xiàng)公式；

（II）記｛an｝的前n項(xiàng)和為Sh，求Sn的最小值.

【答案】（I）an=2n—12;（II）—30.

【分析】（I）由題意首先求得數(shù)列的公差，然后利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式可得｛QJ的通項(xiàng)公式；

（II）首先求得Sn的表達(dá)式，然后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得其最小值.

【詳解】（I）設(shè)等差數(shù)列｛QJ的公差為d,

因?yàn)槌?1。，Q3+8,Q4+6成等比數(shù)列，所以（。3+8）2=（。2+1。）（。4+6）,

即（2d—2）Jd（3d—4）,解得d=2,所以an=-10+2（n—1）=2n—12.

（11）由（I）知an=2n—12,

所以s=T0+7-12xn=n2_lln=S_*2一早；

當(dāng)n=5或者九=6時，S九取到最小值一30.

題目回（2022?全國?統(tǒng)考高考真題）記S”為數(shù)列｛冊｝的前幾項(xiàng)和.已知T+九=2冊+1.

（1）證明：｛廝｝是等差數(shù)列；

（2）若Q4g，。9成等比數(shù)列,求sn的最小值.

【答案】（1）證明見解析；

（2）-78.

【分析】⑴依題意可得2s九+"2=2九冊十",根據(jù)冊n1,作差即可得到Q九一Qh-1=1,從而得

⑸一Ski,n>2

證；

（2）法一：由⑴及等比中項(xiàng)的性質(zhì)求出電，即可得到｛飆｝的通項(xiàng)公式與前九項(xiàng)和，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)

計(jì)算可得.

【詳解】（1）因?yàn)椤獈+九=2M+1,即2s+九2=271a+n①，

nzin

當(dāng)>2時，25九_]+（?1—1）2=2（n—1）Q九T+（?I—1）②,

2=

①一②得，2S"十"2-2Sn-i—（n—1）2nan+n—2（n—l）an_i—（n—1）,

艮口2Q九+2/1——1—2Tle——2（/1——1）Q九_]+1,

即2（九一l）an—2（n—1）廝-1=2（九一1）,所以an—an--^1,2且nGN*,

所以｛Q/是以1為公差的等差數(shù)列.

（2）[方法一]:二次函數(shù)的性質(zhì)

由⑴可得a4=a,i+3,a7=。1+6,a9=電+8,

又Q4,a7,Q9成等比數(shù)列，所以Q；=。9，

即4+6）2=（Q1+3）?（Q1+8）,解得Q1=—12,

n（nX）2

所以冊=九一13,所以Sn=-12n+~=-1n-^n=y（n-爭丫一等，

所以，當(dāng)n=12或n=13時，（51強(qiáng)11=-78.

［方法二］:【最優(yōu)解】鄰項(xiàng)變號法

由（1）可得。4=0-1+3,a7=的+6,。9=QI+8,

又。4,a7f。9成等比數(shù)列，所以底=。9，

即（。1+6）2=（Q1+3）?（Q1+8），解得Q1=-12,

所以an=n—13,即有ai<Q2V…Va12<0,的3=0.

則當(dāng)71=12或71=13時，（Sjmin=-78.

【整體點(diǎn)評】⑵法一：根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出S.的最小值，適用于可以求出S九的表達(dá)式;

法二:根據(jù)鄰項(xiàng)變號法求最值，計(jì)算量小，是該題的最優(yōu)解.

目兀（2023?天津?統(tǒng)考高考真題）已知｛廝｝是等差數(shù)列，a2+a5=16,a5-a3=4.

2n-l

（1）求｛廝｝的通項(xiàng)公式和匯氏.

i=T-x

k

（2）已知｛6“｝為等比數(shù)列，對于任意kCN*,若2-WnW2-l,則bk<an<bk+1,

kfc

（I）當(dāng)A;>2時,求證：2-l<bk<2+l；

（II）求｛&｝的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和.

2"-1

【答案】（1）。九=2n+1,》=3?4九t;

，=2"T

⑵（I）證明見解析；（II）葭=2、前幾項(xiàng)和為2鵬-2.

【分析】⑴由題意得到關(guān)于首項(xiàng)、公差的方程，解方程可得電=3,d=2,據(jù)此可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后

2n—1

確定所給的求和公式里面的首項(xiàng)和項(xiàng)數(shù)，結(jié)合等差數(shù)列前九項(xiàng)和公式計(jì)算可得￡心=3?4"』

￡=2"T

⑵（I）利用題中的結(jié)論分別考查不等式兩側(cè)的情況，當(dāng)2-VnW2上一1時，既〈斯，

取7i=2-i,當(dāng)2-2&n&2-1-1時，a”<瓦，取n=2i—l,即可證得題中的不等式；

（II）結(jié)合（I）中的結(jié)論，利用極限思想確定數(shù)列的公比，進(jìn)而可得數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后由等比數(shù)列前幾

項(xiàng)和公式即可計(jì)算其前幾項(xiàng)和.

【詳解】⑴由題意可得(02+°5=巖+笠=16,解得依Y

[恁―。3=2d=4[a=2

則數(shù)列｛&｝的通項(xiàng)公式為an=Qi+(?i—l)d=2幾+1,

2n—12n—12n—1

求和得￡a*=￡⑵+1)=2￡￡+(2"-1-2"-1+1)

i=2"-1i=2"-1i=2"-1

=2[2n-1+(2"-1+l)+(2n-1+2)+…+(2"-l)]+22

(2)(I)由題意可知，當(dāng)214n42弧-1時，瓦Va“,

fc

取九=21,則bk<a+尸2x2*^+1=2~+1,即bk<2+l,

k

當(dāng)232&n<2^-l時，an<bk,

fc-11k

取n=2-l,此時an=a2M_1=2(2^-l)+1=2-l,

據(jù)此可得少一1V瓦，

kfc

綜上可得：2-l<bk<2+l.

fckfc+1fc+1

(11)由(I)可知:2-l<bk<2+l,2-l<bk+1<2+l

2fe+1-l3,b-2k+1+l,3

則數(shù)列{&}的公比q滿足——<q=―k,—+1<—z-----=2+——

kkk

2?+l2+lbk2-l2-l

當(dāng)A:CN*,kf+oo時，(2-一2,(2+方42,所以q=2,

12^+1

所以2*—1＜瓦2-＜*+1，即封=2一六〈瓦〈號=2+卡，

當(dāng)kGN*,kf+8時t2,所以bi=2,

n

所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為bn=2,

其前n項(xiàng)和為：S“=2x(=2)=2“+i—2.

1—2

熱點(diǎn)四數(shù)列與函數(shù)的交匯

題目JjJ（2018?浙江?高考真題）已知。1，電,。3，。4成等比數(shù)歹U，且。1+電+。3+。4=1口（?+。2+。3）?若電＞1，則

A.QiV。3，。2＜。4B.電＞。3，。2＜。4C.Q]V的，。2＞。4D.的＞Q3,02＞。4

【答案】B

【分析】先證不等式力＞lnc+1,再確定公比的取值范圍，進(jìn)而作出判斷.

【詳解】令/（力）—X—Ina;—1,則/㈤=1—L,令/（力）=0,得力=1,所以當(dāng)x＞l時，/'（力）＞0,當(dāng)0VaV

x

1時，f{x}V0,因此/（力）＞/（1）=0,???力＞In1+1,

若公比q＞0,則。1+電+。3+。4＞。1+。2+。3＞111（。1+。2+。3）,不合題意；

若公比q4-1,則的+電+。3+。4=。1（1+q）（1+/）40,

2

但ln（Qi+Q2+Q3）=Infall+Q+g）]＞lnax＞0,

即ai+a2+a3+a4＜0＜ln（ai+a2+a3）,不合題意：

因此一1VqV0,q2e（o,i）,

/.（X1＞Qi/=a3,Q2V。2/=Q4V。，選A

【點(diǎn)睛】構(gòu)造函數(shù)對不等式進(jìn)行放縮，進(jìn)而限制參數(shù)取值范圍，是一個有效方法.如力—In力+1,

e”＞x+l,e°＞x2+l（x＞0）.

蜃目至〕（2023秋?湖南長沙?高三雅禮中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖1所示,古箏有多根弦，每根弦下有一個雁柱,

雁柱用于調(diào)整音高和音質(zhì).圖2是根據(jù)圖1繪制的古箏弦及其雁柱的簡易平面圖.在圖2中,每根弦都垂直

于。軸,相鄰兩根弦間的距離為1,雁柱所在曲線的方程為y=1.1",第九根弦（neN,從左數(shù)首根弦在y軸

20

上，稱為第0根弦）分別與雁柱曲線和直線Z：y—x+1交于點(diǎn)An{xn,y^和&（屋漏），則匯%或=.

n=0

（參考數(shù)據(jù):取1.產(chǎn)=8.14.）

雁柱"

圖1圖2

【答案】914

【分析】根據(jù)題意可得%^n+1,以=1.1。進(jìn)而利用錯位相減法運(yùn)算求解.

【詳解】由題意可知：yn=n+Lg：=l.r\

2020

則》外需=匯（"+1）L1"=1X1.1°+2x1.〕+…+20x1.119+21x1.120,

n=0n=0

20

可得LI=1Xl.f+2x1,12+…+20x1.120+21x1.121,

71=0

20

兩式相減可得:-Q.lxZy〃=-■-+1.120-21xl.l21^-21X1.121

n=01—1.1

l-l.l21+0.1X21xl.l211+1.1221+8.14.

=-------------------=-------=-------=-Ml4

-0.1-0.1-0.1.

20

所以匯外需=914.

n=0

故答案為：914.

題目①（2023秋?福建廈門?高三廈門一中?？茧A段練習(xí)）己知數(shù)列｛冊｝滿足的>0,冊+產(chǎn)

（log2an,n=2k—l,k￡N*

\2an+2,n2k,kEN"

（1）判斷數(shù)列｛a2”_J是否是等比數(shù)列？若是，給出證明；否則,請說明理由；

（2）若數(shù)列｛冊｝的前10項(xiàng)和為361,記勾=-----二------，數(shù)列｛0｝的前幾項(xiàng)和為方,求證：Tn<

（1。82。2九+1）?。2九+22

【答案】（1）數(shù)歹U｛電九-1｝成等比數(shù)列，證明見解析

（2）證明見解析

【分析】（1）推導(dǎo)出a2n+1=2M2=210g2a2X+2=4Q2,T,得至I］結(jié)論：

n-1

（2）先得至ija2n-i=ar4,a2n=2（n—1）+logzQi,從而得到SiG=341血+510g2al+20,令/（力）=341%+510g2

力+20,得到函數(shù)單調(diào)遞增，且由特殊點(diǎn)函數(shù)值得到aY-1,求出工=4V工,當(dāng)n^2時，利用裂

4n44

項(xiàng)相消法求和，得到

【詳解】（1）數(shù)列｛a2n_J成等比數(shù)列，證明如下：

根據(jù)總尸在弋九=2%,%CN*仔'

a2n+1=2°?=2g"1+2=2%如一產(chǎn)4a21；

0,a2?_1>0,強(qiáng)生=4,即數(shù)列｛a2n_J成等比數(shù)列.

a2n-l

（2）由（1）得,a2n-i=ar4kl,a2n=log2a2n-i=2（n-1）+log2ai,

故SIQ—di（40+41+42+43+44）+51og2Qi+2x（04-1+2+3+4）

=341a1+51og2ai+20,

由Si°=361，得341al+51og2?+20=361.

令/（劣）=3416+510g26+20,

當(dāng)力>0時，f（x）=341力+51og2T+20單調(diào)遞增，且/（l）=361=于（aj,

2n

故Q尸1,Ct，2n+1~4”=2,a2n+2=log2tti+2n=2n,

"bn（log2a2n+i）?a2n+2而，劣仇4<2!

當(dāng)九>2時，bn=-―1、=—Lj----）

4n24（n—l）n4'n—1n7

北=仇+與+…+勾〈和+(1號)+信一專)+…

綜上，知黑＜十

(2.2s

題目叵(2023隹國?高三專題練習(xí))已知4，1，%)、取，2,納)是函數(shù)/(，)=1-2￡’12的圖象上的任意

[TQ=E

兩點(diǎn)，點(diǎn)M在直線,上，且疝=痂.

⑴求力1+62的值及V1+V2的值；

(2)已知S1=0,當(dāng)九＞2時，$“=/《)+/(￡)+嗯)+?“+＜/((1)，設(shè)％=2耳,方數(shù)列｛%｝的前九

項(xiàng)和,若存在正整數(shù)C,M,使得不等式聲J＜[成立，求c和m的值；

【答案】(1)/1+/2=Lm+紡=-2

(2)存在,C=1,772=1

【分析】⑴根據(jù)點(diǎn)M在直線x=■上，設(shè)"(],紡，，利用AM—MB,可得/i+g=1,分類討論:①劣產(chǎn)

,力2=:；②力苒y時，gw；，利用函數(shù)解析式，可求%+紡的值；

(2)由⑴知，當(dāng)x1+x2=1時，%+紡=-2,.??/(2