2024吉黑兩省九校高三第五次模擬考試數(shù)學(xué)試卷及答案解析

吉黑兩省九校高三第五次模擬考試新高考數(shù)學(xué)試卷

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。

3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.若干年前，某教師剛退休的月退休金為6000元，月退休金各種用途占比統(tǒng)計圖如下面的條形圖.該教師退休后加強

了體育鍛煉，目前月退休金的各種用途占比統(tǒng)計圖如下面的折線圖.已知目前的月就醫(yī)費比剛退休時少100元，則目前

2.在聲學(xué)中，聲強級L（單位：dB）由公式L=101g1南運J給出，其中/為聲強（單位：w/m?）.4=60dB,

4=75dB,那么?=（）

4433

A.6B,1Q-5C.--D.1Q-2

3.已知x與V之間的一組數(shù)據(jù):

X1234

ym3.24.87.5

若y關(guān)于X的線性回歸方程為y=2.b—0.25,則用的值為（）

C.3.5D.4.5

4.函數(shù)y=sinx（3sinx+4cosx）（xeH）的最大值為加，最小正周期為T,則有序數(shù)對（河,7）為（）

A.（5,萬）B.（4,乃）C.（一1,2乃）D.（4,2萬）

5.音樂，是用聲音來展現(xiàn)美，給人以聽覺上的享受，熔鑄人們的美學(xué)趣味.著名數(shù)學(xué)家傅立葉研究了樂聲的本質(zhì)，他

證明了所有的樂聲都能用數(shù)學(xué)表達(dá)式來描述，它們是一些形如asin/zx的簡單正弦函數(shù)的和，其中頻率最低的一項是

基本音，其余的為泛音.由樂聲的數(shù)學(xué)表達(dá)式可知，所有泛音的頻率都是基本音頻率的整數(shù)倍，稱為基本音的諧波.下

列函數(shù)中不能與函數(shù)y=0.06sinl80000f構(gòu)成樂音的是（）

A.y=0.02sin360000/B.y-0.03sin180000/C.y-0.02sin181800/

D.y=0.05sin540000/

6.已知點P不在直線/、機上，貝產(chǎn)過點產(chǎn)可以作無數(shù)個平面，使得直線/、機都與這些平面平行”是“直線”機互相

平行”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

7.已知函數(shù)，（x）=3x+2cosx,若。=/（3也），b=于⑵,c=/（log27）,則”，b,c的大小關(guān)系是（）

A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a

8.蒙特卡洛算法是以概率和統(tǒng)計的理論、方法為基礎(chǔ)的一種計算方法，將所求解的問題同一定的概率模型相聯(lián)系；用

均勻投點實現(xiàn)統(tǒng)計模擬和抽樣，以獲得問題的近似解，故又稱統(tǒng)計模擬法或統(tǒng)計實驗法.現(xiàn)向一邊長為2。的正方形模

型內(nèi)均勻投點，落入陰影部分的概率為則圓周率萬R（）

A.4P+2B.4p+l

C.6-477D.4。+3

9.函數(shù)了。）=用的大致圖象為（）

11

C.-------D.—（=-----

2+JiA/2+兀

11.已知a,0表示兩個不同的平面，1為a內(nèi)的一條直線，貝心a〃口是“1〃0”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

12.已知等差數(shù)列｛4｝中，%+4=8貝11%+%+%+0+%=（）

A.10B.16C.20D.24

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知函數(shù)/（%）=2。（111》一%）+%2（0>0）有兩個極值點玉、%2（菁<%2），則/（%）+/（%2）的取值范圍為

22

14.雙曲線。:上-匕=1的左右頂點為A,3,以A5為直徑作圓0,P為雙曲線右支上不同于頂點5的任一點，連

43

接Q4交圓。于點Q,設(shè)直線依,。5的斜率分別為勺，后，若匕=4右，則丸=.

15.在二項式（x?+2『的展開式中，f的系數(shù)為.

16.如圖是一個算法的偽代碼，運行后輸出h的值為.

:a—0

：6<-1

：/<-2

：\V1iilc/<6：

:a—a/b：

;b—a+b：

：/4-/^2：

：EndWhile：

：Printb

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)設(shè)等差數(shù)列｛凡｝的首項為0,公差為a,aeN*;等差數(shù)列也｝的首項為0,公差為b,beN*.由數(shù)列｛4｝

和｛〃｝構(gòu)造數(shù)表M,與數(shù)表M*；

記數(shù)表”中位于第，行第j列的元素為與，其中與=4+%,(I,j=l,2,3,...).

記數(shù)表M*中位于第i行第/列的元素為&,其中47=%-%+1(l<i<b,ZeNSjeN*).如：ci2=ax+b2,

4.2=-，3?

(1)設(shè)。=5,6=9,請計算。2,6，°396,6，〃2,6；

(2)設(shè)a=6,6=7,試求％,&的表達(dá)式(用i,/表示)，并證明：對于整數(shù)。若f不屬于數(shù)表M,則f屬于數(shù)

表M*:

(3)設(shè)a=6,b=7,對于整數(shù)f,f不屬于數(shù)表M,求f的最大值.

18.(12分)已知函數(shù)/(x)=犬+21nx+4.

(1)當(dāng)〃z=5時，求f(x)的單調(diào)區(qū)間.

(2)設(shè)直線/是曲線y=的切線，若/的斜率存在最小值-2,求加的值，并求取得最小斜率時切線/的方程.

(3)已知f(x)分別在西，%處取得極值，求證：/(%1)+/(%)<2.

19.(12分)如圖，在A6C中，角A8C的對邊分別為a,b,c,且滿足asin3+6cosA=c,線段的中點

為D.

(II)已知sinC=巫，求NAD3的大小.

10

20.（12分）在多面體ABCDEF中，四邊形ABC。是正方形，CF±平面ABCD，CFDE,AB=CF=2DE=2,

G為5尸的中點.

（1）求證：CG±AF；

（2）求平面5b與平面所成角的正弦值.

21.（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy^,M為直線y=%-2上動點，過點作M拋物線C:k=》的兩條切線MA,MB,

切點分別為4，B,N為AB的中點.

（1）證明:MNLx軸；

（2）直線A3是否恒過定點?若是，求出這個定點的坐標(biāo)；若不是，請說明理由.

22

22.（10分）如圖，橢圓C：=+3=1（?！?〉0）的左、右頂點分別為4,A,上、下頂點分別為耳，層，且用（0,1）,

ab"

44耳為等邊三角形，過點（1，。）的直線與橢圓C在V軸右側(cè)的部分交于"、N兩點.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）求四邊形為MNg面積的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、D

【解析】

設(shè)目前該教師的退休金為X元，利用條形圖和折線圖列出方程，求出結(jié)果即可.

【詳解】

設(shè)目前該教師的退休金為X元，則由題意得：6000X15%-XX1O%=1.解得x=2.

故選D.

【點睛】

本題考查由條形圖和折線圖等基礎(chǔ)知識解決實際問題，屬于基礎(chǔ)題.

2、D

【解析】

由L=101g［溪［得坨/=上T2,分別算出人和A的值，從而得到）的值.

【詳解】

,?.￡=10（lg/-lgl0-12）=10（lg/+12）,

1g/=---12,

10

當(dāng)右=60時，坨4="—12=?-12=—6,.?./］=10-6,

11010

T754

當(dāng)L,=75時，lgA=」—12=——12=—4.5,.?.1,=KF，'9

21010

T10-6--

...’=——=10-15=102,

I210-45

故選：D.

【點睛】

本小題主要考查對數(shù)運算，屬于基礎(chǔ)題.

3、D

【解析】

利用表格中的數(shù)據(jù)，可求解得到1=2.5,代入回歸方程，可得亍=5,再結(jié)合表格數(shù)據(jù)，即得解.

【詳解】

利用表格中數(shù)據(jù)，可得％=2.5,

又y=2.1%-0.25,y=59

加+3.2+4.8+7.5=20.

解得切=4.5

故選：D

【點睛】

本題考查了線性回歸方程過樣本中心點的性質(zhì)，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)據(jù)處理，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于基礎(chǔ)題.

4、B

【解析】

3353

函數(shù)y=sinx（3sinx+4cosx）=3sin2x+4sinxcosx=2sin2x——cos2%+—=—sin（2x一。）+—（。為輔助角）

2222

二函數(shù)的最大值為M=4,最小正周期為7=萬=〃

故選B

5、C

【解析】

由基本音的諧波的定義可得力=叨(〃eN*),利用/=,==可得用=〃02(〃eN*),即可判斷選項.

T2萬

【詳解】

由題，所有泛音的頻率都是基本音頻率的整數(shù)倍,稱為基本音的諧波，

由/='=/,可知若力=nf,(“《］\*),則必有的=吟(〃eN*),

T2萬

故選:C

【點睛】

本題考查三角函數(shù)的周期與頻率,考查理解分析能力.

6、C

【解析】

根據(jù)直線和平面平行的性質(zhì)，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.

【詳解】

點尸不在直線/、上，

若直線/、m互相平行，則過點P可以作無數(shù)個平面，使得直線/、〃?都與這些平面平行，即必要性成立，

若過點P可以作無數(shù)個平面，使得直線/、加都與這些平面平行，則直線/、加互相平行成立，反證法證明如下：

若直線/、心互相不平行，則/,加異面或相交，則過點P只能作一個平面同時和兩條直線平行，則與條件矛盾，即

充分性成立

貝!1"過點P可以作無數(shù)個平面，使得直線/、機都與這些平面平行”是“直線/、機互相平行”的充要條件,

故選：C.

【點睛】

本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合空間直線和平面平行的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

7、D

【解析】

根據(jù)題意，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系分析可得/（x）在A上為增函數(shù)，又由

2=log24<log27<3<3^,分析可得答案.

【詳解】

解：根據(jù)題意，函數(shù)y（x）=3x+2cosx,其導(dǎo)數(shù)函數(shù)r（尤）=3-2sinx,

則有f'{x}=3-2$泡%>0在尺上恒成立，

則Ax）在R上為增函數(shù)；

又由2=log24<log27<3<3巴

則b<c<a；

故選：D.

【點睛】

本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，涉及函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

8、A

【解析】

計算出黑色部分的面積與總面積的比，即可得解.

【詳解】

,S陰2a2"-'2.

由〃=上=-----弓—=------，.?.萬=42+2.

S正4a24

故選:A

【點睛】

本題考查了面積型幾何概型的概率的計算，屬于基礎(chǔ)題.

9、A

【解析】

利用特殊點的坐標(biāo)代入，排除掉c,D；再由/(-；)<1判斷A選項正確.

【詳解】

/(-l.l)=^?<0,排除掉c,D；

-llnlll

行，

2”

InV2<InVe=—,Je<2>

2

/(-1)=V^lnV2<l.

故選：A.

【點睛】

本題考查了由函數(shù)解析式判斷函數(shù)的大致圖象問題，代入特殊點，采用排除法求解是解決這類問題的一種常用方法,

屬于中檔題.

10、A

【解析】

畫出不等式組表示的區(qū)域C,求出其面積，再得到必+/<2在區(qū)域。內(nèi)的面積，根據(jù)幾何概型的公式，得到答案.

【詳解】

x-2<0

畫出<%+y》0所表示的區(qū)域。，易知4(2,2),5(2,—2),

x-y>0

所以的面積為4,

1rr

滿足不等式V+y2V2的點，在區(qū)域。內(nèi)是一個以原點為圓心，及為半徑的］圓面，其面積為萬,

71

由幾何概型的公式可得其概率為p=a=t，

_4-8

故選A項.

本題考查由約束條件畫可行域，求幾何概型，屬于簡單題.

11、A

【解析】

試題分析：利用面面平行和線面平行的定義和性質(zhì)，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷.

解：根據(jù)題意，由于a,0表示兩個不同的平面，1為a內(nèi)的一條直線，由于“a〃0,

則根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理可知，則必然a中任何一條直線平行于另一個平面，條件可以推出結(jié)論，反之不成立,

.?.“01〃0是“1〃|?”的充分不必要條件.

故選A.

考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷；平面與平面平行的判定.

12、C

【解析】

根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)得到q+0=8=2%,再計算得到答案.

【詳解】

已知等差數(shù)列｛qj中，%+&=8=2%=>%=4

%+%+%+4+%=5a5=20

故答案選C

【點睛】

本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，是數(shù)列的?？碱}型.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、(-co,161n2—24)

【解析】

確定函數(shù)y=/(x)的定義域，求導(dǎo)函數(shù)，利用極值的定義，建立方程，結(jié)合韋達(dá)定理，即可求/(%)+/(%)的取值

范圍.

【詳解】

函數(shù)/（x）=2a（lnx—x）+f的定義域為（0,+。），f'（x）=2a（--l]+2x=,

kJJC

依題意，方程2爐—2依+2a=0有兩個不等的正根占、x?(其中玉＜%),

則A=4/—i6a>0=a>4,由韋達(dá)定理得%+4=a>0,XyX2=a>0,

所以

=

/（尤J+2?ln（x1x2）+^%2+龍；）-2a（無］+%）

222

=20111（卒2）+［（工］+%）~-2%々-2。（石+%2）=2tzlna+?-2a-2a=2tzlntz-?-2tz,

令/z（Q）=2Qlna-Q2_2a（Q>4）,則/（a）=21na-2〃，hr,（a）=--2=——

aa

當(dāng)。＞4時，則函數(shù)》="(。)在(4,+8)上單調(diào)遞減，則”(Q)v/z(4)=41n2—8v0,

所以，函數(shù)y=〃(a)在(4,+s)上單調(diào)遞減，所以，/z(a)＜/z(4)=161n2-24.

因此，/(3)+/5)的取值范圍是(—,161n2—24).

故答案為：(T,161n2-24).

【點睛】

本題考查了函數(shù)極值點問題，考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值，將/(不)+/(*2)的取值范圍轉(zhuǎn)化為以。為自變量的函數(shù)

的值域問題是解答的關(guān)鍵，考查計算能力，屬于中等題.

3

14、——

4

【解析】

2Q

根據(jù)雙曲線上的點的坐標(biāo)關(guān)系得原A怎?旦；=4匕=:，交圓。于點Q，所以建立等

%+2/一2%。一44

式kpA-kQB=-1,兩式作商即可得解.

【詳解】

設(shè)尸伍，治),4(—2,0)5(2,。)

『-4=1，婷=3］予-；汩-4)

2o

%%_%=3

kpAkpB=

XQ+2Xg_2_44

Q4交圓。于點Q,所以尸

\,3、

日左rkpAkpB=]k.3

易知：j4=^>-?PB=2=--

kpA%B=-l3

3

故答案為：-：

【點睛】

此題考查根據(jù)雙曲線上的點的坐標(biāo)關(guān)系求解斜率關(guān)系，涉及雙曲線中的部分定值結(jié)論，若能熟記常見二級結(jié)論，此題

可以簡化計算.

15、60

【解析】

直接利用二項式定理計算得到答案.

【詳解】

6

二項式+2)的展開式通項為：Tr+i=晨卜22'=C",2r.2,

取r=2,則V的系數(shù)為*?22=60.

故答案為：60.

【點睛】

本題考查了二項式定理，意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.

16、13

【解析】

根據(jù)題意得到：a=0,b=l,i=2

A=l,b=2,i=4,

A=3,b=5,i=6,

A=8,b=13,i=8

不滿足條件，故得到此時輸出的b值為13.

故答案為13.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)50,2020,-49(2)詳見解析(3)29

【解析】

(1)將。=5,6=9代入，可求出4，bn,可代入求品八4八可求結(jié)果.

(2)可求G",通過反證法證明，

(3)可推出/任加，/eAf*,f的最大值，就是集合M*中元素的最大值，求出.

【詳解】

(1)由題意知等差數(shù)列｛4,｝的通項公式為：4=5〃-5；

等差數(shù)列也』的通項公式為：bn=9n-9,

得%=%+b,=⑸-5)+(9/-9)=5i+9；-14,

則。2,6=50,。396,6=2020,

得dtj=a,-b.+l=(5/-5)-l9(j+l)-9]=5i-9j-5,

故4.6Z9.

(2)證明：已知a=6.b=7,由題意知等差數(shù)列｛4｝的通項公式為：an=6n-6.

等差數(shù)列仍“｝的通項公式為：2=7〃-7,

得%=4+年=(6i—6)+(7>7)=6i+7)-13,(i&N*,jGN*).

得%=q-6*=(6\6)-[7。+1)-7]=6L7j-6,住7,zeN*,…*).

所以若feAf,則存在veN,使r=6〃+7v,

若feM*,則存在“eN,4,6,veN*,使f=6〃—7v,

因此，對于正整數(shù)乙考慮集合％=｛x|元=/-6a,u&N,4,6｝,

即“，t-6,t-12,t-18,t-24,r—30,t-36].

下面證明：集合Mo中至少有一元素是7的倍數(shù).

反證法：假設(shè)集合"o中任何一個元素，都不是7的倍數(shù)，則集合"o中每一元素關(guān)于7的余數(shù)可以為1,2,3,4,5,

6

又因為集合中共有7個元素，所以集合中至少存在兩個元素關(guān)于7的余數(shù)相同，

不妨設(shè)為-6%,其中為，u2^N9%<出,,6.則這兩個元素的差為7的倍數(shù)，即。一%)-0-6%)=6("1-沆2),

所以％-〃2=。，與％矛盾，所以假設(shè)不成立，即原命題成立.

即集合中至少有一元素是7的倍數(shù)，不妨設(shè)該元素為-6%,%,,6,

則存在swZ,使1-6%=7$,%cN,z/0?6,即/=6%+7s,u*N,s^Z,

由已證可知，若/￡“，則存在“EN,?GN,使，=6〃+7v,而/e“，所以S為負(fù)整數(shù)，

設(shè)V=—s,貝!且/=6〃0-7口，UOEN9w0?6,veN*,

所以，當(dāng)4=6,6=7時，對于整數(shù)L若徐則徐加*成立.

(3)下面用反證法證明：若對于整數(shù)L9貝!|/任"，假設(shè)命題不成立，即1￡加*,且，

則對于整數(shù)方,存在幾eN,meN,ncN，w?6,veN*,使￡=6〃-7V=6〃+7根成立，

整理，得6(〃一九)=7O+y),

又因為meN,veN*,

.7

所以〃一〃=一(m+v)>0且〃一〃是7的倍數(shù)，

6

因為aeN,%,6,所以"-&6,所以矛盾，即假設(shè)不成立.

所以對于整數(shù)乙若feM*,貝/eM,

又由第二問，對于整數(shù)■“，則te"*,

所以/的最大值，就是集合M*中元素的最大值，

又因為r=6〃-7v,UGN,vGN*,u?6,

所以*,=(M*)s=6x6-7x1=29.

【點睛】

本題考查數(shù)列的綜合應(yīng)用，以及反證法，求最值，屬于難題.

18、(1)單調(diào)遞增區(qū)間為0,；］,(2,”)；單調(diào)遞減區(qū)間為］;,2)；(2)m=6,2x+y—1=0；(3)證明見解析.

【解析】

(1)由/'(九)的正負(fù)可確定/(%)的單調(diào)區(qū)間；

(2)利用基本不等式可求得％=1時，/'(九)取得最小值4-m，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知4-m=-2,從而求得根，

求得切點坐標(biāo)(1,7(1))后，可得到切線方程;

(3)由極值點的定義可知占，々是2爐-如+2=0的兩個不等正根，由判別式大于零得到機的取值范圍，同時得到

2

韋達(dá)定理的形式；化簡/(石)+/(毛)為-￡「+6,結(jié)合心的范圍可證得結(jié)論.

【詳解】

(1)由題意得:/(九)的定義域為(0,+8),

當(dāng)〃2=5時，/(x)=x2-5x+21nx+4,

922x2-5x+22,一￡|(》—2),

f(x)=2x-5+-=-----------=--------------

xxx

.,.當(dāng)%€[0]]和(2,+8)時，/,(%)>0；當(dāng)xej2]時，r(x)<0,

.?./(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為(2,+8)；單調(diào)遞減區(qū)間為[2]

2I22

(2)x>0,所以「./'(x)=2x+——m>2J2x---m=4-m(當(dāng)且僅當(dāng)2%=—，即x=l時取等號)，

Xj%

切線/的斜率存在最小值-2,「.4=—2,解得：m=69

.-./(1)=1-6+4=-1,即切點為(1,—1),

從而切線方程/：y+l=—2(%—1),即：2x+y-l=0.

/八、c22x2-mx+2

(3)f'(x)=2x+一一m=---------,

XX

f(x)分別在%],X2(%/%2)處取得極值，

.??王，樂(/w羽)是方程2廠—"忒+2=0,即2必—如+2=0的兩個不等正根.

X

m

則八二相？一16>0,解得：m2>16,且石+兀2=5〉。，%%2=1.

2

「?/(%)+/(々)=片+%；—加(%+々)+8+2111(玉光2)=(%1+x2)-2x1x2-m(x1+x2)+8+21n(x1x2)

2

(mV-4m門21m

=--2xl-mx——i-8+21nl=------1-6,

。24

加2

4>169-------F6<2,

4

即不等式/(占)+/(/)<2成立.

【點睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用，涉及到利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)證明不等

式等知識；本題中證明不等式的關(guān)鍵是能夠通過極值點的定義將問題轉(zhuǎn)變?yōu)橐辉畏匠谈姆植紗栴}.

兀冗

19、(I)B=—；(II)/ADB=—.

44

【解析】

(I)由正弦定理邊化角，再結(jié)合sinC=sin(A+6)轉(zhuǎn)化即可求解；

(II)可設(shè)AC=1,由，=占=匕=逐，再由余弦定理〃+。2一解得“=2&，即=￡=&,

sinCsin32

對AABD中，由余弦定理有AD=J%(后一20cos5=1,通過勾股定理逆定理可得AB~+AD~=BD2，進(jìn)而得

解

【詳解】

(I)由正弦定理得sinAsin_B+sin_BcosA=sinC.

而sinC=sin(%-A-B)=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB.

由以上兩式得sinAsinB=sinAcosB,即sinA(sin5-cos3)=0.

由于sinA>0,所以sinj8=cosj8,

又由于3e(O,?),得B=

(II)設(shè)c=l,在45c中，由正弦定理有上=—也nb=若.

sinCsinB

由余弦定理有a2+c2-2?ccosB=b2,整理得(?-20)(。+四)=0,

由于a>0,所以。=20,BD=-=42.

2

在AABD中，由余弦定理有AD=『+(應(yīng)丫-20cos5=1.

7T-TT

所以川2+">2=班>2,所以/胡。=彳，ZADB=-.

24

【點睛】

本題考查正弦定理和余弦定理的綜合運用，屬于中檔題

20、(1)證明見解析(2)X二

6

【解析】

(1)首先證明CGJ_A5,CG±BF,AB防=3,二CG,平面AB廠?即可得到Mu平面AB尸，CG±AF.

(2)以。為坐標(biāo)原點，DA,DC,OE所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面人跖

和平面BC尸的法向量，帶入公式求解即可.

【詳解】

(1)???。/，平面ABC。，ABI平面ABC。，：.CF±AB.

又：四邊形ABC。是正方形，AB±BC.

VBCb=C,...平面尸.

；CGu平面8CT,ACG±AB.

又,：BC=CF=2,G為5尸的中點，???CGL3產(chǎn).

■:ABBF=B,...CG，平面AB廠.

；AFu平面AB尸，CGJLAF.

(2)???。/，平面ABC。，CFDE,.平面ABCD.

以。為坐標(biāo)原點，DA,DC,OE所在的直線分別為x軸、V軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

如圖所示:

則。（0,0,0）,4（2,0,0）,C（0,2,0）,￡（0,0,1）F（0,2,2）.

AAE=（-2,0,1）,EF=（0,2,1）,￡>C=（0,2,0）.

設(shè)"=(羽y,z)為平面AEF的法向量,

n-AE=0,-2x+z=0

則9得<

nEF=02y+z=0

令尤=1,貝！J〃=(L—1,2).

由題意知DC=(0,2,0)為平面BCF的一個法向量,

n?DCA/6

PZIIDCTV6X2

平面BCF與平面AEF所成角的正弦值為Jl-

【點睛】

本題第一問考查線線垂直，先證線面垂直時解題關(guān)鍵，第二問考查二面角，建立空間直角坐標(biāo)系是解題關(guān)鍵，屬于中

檔題.

21、（1）見解析（2）直線A3過定點（；,2）.

【解析】

（1）設(shè)出A3兩點的坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)求得切線的方程，設(shè)出〃點坐標(biāo)并代入切線的方程，同理將4點坐標(biāo)

代入切線MB的方程，利用韋達(dá)定理求得線段中點N的橫坐標(biāo)，由此判斷出軸.

（2）求得N點的縱坐標(biāo)由此求得N點坐標(biāo)，求得直線A5的斜率，由此求得直線的方程，化簡后可得直線

AB過定點（；,2）.

【詳解】

⑴設(shè)切點A（X],尤：），5（%，后），y=2x,

工切線M4的斜率為2%,切線y一年二2石（工一%），

設(shè)—2）,貝！|有,_2一片=2%?_石），化簡得x；_2比]+/—2=0,

同理可的工；—2tx?+1—2=0.

??.再，%是方程工2—2a+%—2=0的兩根，???西+%2=2%,xrx2=t-29

X+x9.,

~——t—9??MNJ_x軸.

（2）:+，；）=+%）—=2%2—%+2,?。.N，,2產(chǎn)一1+2）.

=2

^AB~~—=Xy+x2=2t,直線AB：y-（2r-t+2\=2t（x-t\,即y-2=2心一工），

-x2\'