第1章數(shù)列（培優(yōu)課數(shù)列求和）課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)選擇性

培優(yōu)課數(shù)列求和第1章數(shù)列湘教版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第一冊課標(biāo)要求1.掌握數(shù)列求和的方法;2.能夠根據(jù)給定的數(shù)列,選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠛?重難探究·能力素養(yǎng)速提升學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)目錄索引

重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點一公式法求和【例1】

已知數(shù)列{bn}滿足b1=1,bn+1=bn.(1)求{bn}的通項公式;(2)求b2+b4+b6+…+b2n的值.分析根據(jù)題意,判斷出數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,然后根據(jù)等比數(shù)列求和公式直接求解.規(guī)律方法

公式法求和主要是利用以下兩個基本公式:(1)等差數(shù)列的前n項和公式變式訓(xùn)練1在等差數(shù)列{an}中,公差d>0,其前n項和為Sn,且a2a3=45,a1+a4=14.(1)求Sn;探究點二裂項相消法求和【例2】

已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項和為Sn,2Sn=+an-2(n∈N+).(1)求證:數(shù)列{an}為等差數(shù)列;(2)記bn=,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.分析(1)利用an=Sn-Sn-1(n≥2),即可證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列;(2)結(jié)合(1)中結(jié)論,利用裂項相消法即可求解.兩式相減,化簡整理得(an+an-1)(an-an-1-1)=0(n≥2),由an>0,得an-an-1=1(n≥2).當(dāng)n=1時,2S1=+a1-2,得a1=2(負(fù)值舍去),故數(shù)列{an}是首項為2,公差為1的等差數(shù)列.規(guī)律方法

裂項相消法求和裂項相消法求和的實質(zhì)是將數(shù)列中的項分解,然后重新組合,使之能消去一些項,最終達(dá)到求和的目的,其解題的關(guān)鍵就是準(zhǔn)確裂項和消項.(1)裂項原則:一般是前邊裂幾項,后邊就裂幾項,直到發(fā)現(xiàn)被消去項的規(guī)律為止.(2)消項規(guī)律:消項后前邊剩幾項,后邊就剩幾項;前邊剩第幾項,后邊就剩倒數(shù)第幾項.(3)常見的裂項方法

變式訓(xùn)練2已知數(shù)列{an},其前n項和記為Sn,滿足a2+a4=10,an+2=Sn+1-Sn.(1)求數(shù)列{an}的通項公式;解

(1)因為Sn+1-Sn=an+1=an+2,所以an+1-an=2,即{an}是等差數(shù)列,且公差d=2.又a2+a4=2a1+4d=10,所以a1=1,所以an=1+2(n-1)=2n-1,即an=2n-1.探究點三分組求和法【例3】

已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,且a8=1,S16=24.(1)求數(shù)列{an}的通項公式an;(2)若等比數(shù)列{bn}是遞增數(shù)列,且b1+b4=9,b2b3=8,求(a1+b1)+(a3+b3)+(a5+b5)+…+(a2n-1+b2n-1).分析

設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,根據(jù)已知條件列關(guān)于a1和d的方程組,解方程組可得a1和d的值,即可得{an}的通項公式an;由等比數(shù)列的性質(zhì)求得b1和b4的值,進而可得數(shù)列{bn}的公比和通項公式,最后分組求和.解

(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,所以an=-6+(n-1)=n-7.規(guī)律方法

分組求和法的解題策略當(dāng)一個數(shù)列本身不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列,但如果它的通項公式可以拆分為幾項的和,而這些項又構(gòu)成等差數(shù)列或等比數(shù)列時,就可以用分組求和法,即原數(shù)列的前n項和等于拆分成的每個數(shù)列前n項和的和.變式訓(xùn)練3在等差數(shù)列{an}中,a2+a6=-20,前10項和S10=-145.(1)求數(shù)列{an}的通項公式;(2)若數(shù)列{an+bn}是首項為1,公比為2的等比數(shù)列,求{bn}的前8項和.解

(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,所以an=a1+(n-1)d=-3n+2.(2)由題意,an+bn=1×2n-1=2n-1,所以bn=2n-1+3n-2.所以{bn}的前8項和為(1+2+22+…+27)+(1+4+7+…+22)=

=255+92=347.探究點四并項轉(zhuǎn)化法求和【例4】

已知數(shù)列-1,4,-7,10,…,(-1)n·(3n-2),…,求其前n項和Sn.分析

該數(shù)列中正負(fù)項交替出現(xiàn),且各項的絕對值構(gòu)成等差數(shù)列,故可用并項轉(zhuǎn)化法求和.變式探究本例中,將條件改為“已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=1-5+9-13+…+(-1)n-1·(4n-3)”,求S15+S22-S31的值.所以S15=29,S22=-44,S31=61.故S15+S22-S31=-76.規(guī)律方法

并項轉(zhuǎn)化法求和的解題策略(1)一般地,當(dāng)數(shù)列中的各項正負(fù)交替,且各項的絕對值成等差數(shù)列時,可以采用并項轉(zhuǎn)化法求和.(2)在利用并項轉(zhuǎn)化法求和時,因為數(shù)列的各項是正負(fù)交替的,所以一般需要對項數(shù)n進行分類討論,最終的結(jié)果往往可以用分段形式來表示.探究點五分類討論法求解分段表示的數(shù)列的和【例5】

已知在數(shù)列{an}中,an=其前n項和為Sn.求:(1)S8,S15;(2)Sn.分析數(shù)列的通項公式為分段函數(shù)的形式,因此該數(shù)列的奇、偶項呈現(xiàn)不同的規(guī)律,奇數(shù)項是首項為1,公差為4的等差數(shù)列,偶數(shù)項為首項為9,公比為9的等比數(shù)列,在求和時,應(yīng)對奇數(shù)項和偶數(shù)項分別求和.規(guī)律方法

分段表示的數(shù)列的和的求法分段表示的數(shù)列求和的技巧性很強,一般是轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列與等比數(shù)列求解.解題時需要對數(shù)列的項數(shù)進行分類討論.需要特別說明的是在分段表示的數(shù)列中,規(guī)律是隔項成等差數(shù)列或成等比數(shù)列,因此數(shù)列的公差或公比與平時的公差、公比有所不同,解題時要特別留意.變式訓(xùn)練4已知正項等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,S3=7a1,且a1,a2+2,a3成等差數(shù)列.(1)求{an}的通項公式;解

(1)設(shè)公比為q,因為S3=7a1,所以a1(1+q+q2)=7a1,又因為a1>0,所以1+q+q2=7,解得q=2或q=-3(舍).因為a1,a2+2,a3成等差數(shù)列,所以2(a2+2)=a1+a3,即2(2a1+2)=a1+4a1,解得a1=4.所以{an}的通項公式為an=4×2n-1=2n+1.學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)A級必備知識基礎(chǔ)練1234567891011121.若數(shù)列{an}的通項公式是an=(-1)n·(3n-2),則它的前100項之和S100=(

)A.150 B.120

C.-120 D.-150A解析

S100=a1+a2+a3+…+a99+a100=-1+4-7+…+(-295)+298=50×3=150.故選A.123456789101112C解析

由等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)可知數(shù)列{an}為等比數(shù)列,且an=Sn-Sn-1=2n-1,1234567891011123.數(shù)列{an}的通項公式為an=,若{an}的前n項和為5,則n的值為

.

351234567891011124.設(shè)等差數(shù)列{an-bn}的公差為2,等比數(shù)列{an+bn}的公比為2,且a1=2,b1=1.求:(1)數(shù)列{an}的通項公式;(2)數(shù)列{2an+2n}的前n項和Sn.解

(1)因為a1=2,b1=1,所以a1-b1=1,a1+b1=3,依題意可得an-bn=1+2(n-1)=2n-1,an+bn=3×2n-1,故an=.(2)由(1)可知2an+2n=2n-1+5×2n-1,故Sn=(1+3+…+2n-1)+5×(1+2+…+2n-1)=+5×(2n-1)=5×2n+n2-5.1234567891011125.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,a1=1,a2+a3+…+a10=144.(1)求數(shù)列{an}的通項公式;(2)若bn=,設(shè)Sn是數(shù)列{bn}的前n項和,求Sn.解

(1)因為在等差數(shù)列{an}中,a2+a3+…+a10=144,a1=1,所以9+45d=144,所以d=3.所以數(shù)列{an}的通項公式an=3n-2.1234567891011126.數(shù)列{an},{bn}滿足anbn=1,an=n2+5n+6,n∈N+,則{bn}的前10項之和為(

)B級關(guān)鍵能力提升練D1234567891011127.已知在前n項和為Sn的數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=-an-2,則S101=(

)A.-97 B.-98 C.-99 D.-100C解析

由an+1=-an-2,得an+an+1=-2,則S101=a1+(a2+a3)+…+(a100+a101)=1-2×50=-99.故選C.1234567891011128.記Sn為數(shù)列{an}的前n項和,若a1=1,a2=2,且an+2-an=1+(-1)n+1,則S100的值為(

)A.5050 B.2600 C.2550 D.2450B解析

當(dāng)n為奇數(shù)時,an+2-an=2,數(shù)列{a2n-1}是首項為1,公差為2的等差數(shù)列;當(dāng)n為偶數(shù)時,an+2-an=0,數(shù)列{a2n}是首項為2,公差為0的等差數(shù)列,即常數(shù)列.則S100=(a1+a3+…+a99)+(a2+a4+…+a100)=50+×2+50×2=2

600.故選B.123456789101112

(1)解

設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,所以an=1+2(n-1)=2n-1.故數(shù)列{an}的通項公式為an=2n-1.12345678910111210.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且滿足Sn=2an-1,n∈N+.(1)證明數(shù)列{an}是等比數(shù)列,并求{an}的通項公式;(2)設(shè)bn=n·an,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.解

(1)當(dāng)n=1時,a1=S1=2a1-1,可得a1=1;當(dāng)n>1時,an=Sn-Sn-1=2an-1-(2an-1-1),即an=2an-1.則數(shù)列{an}是首項為1,公比為2的等比數(shù)列,可得an=2n-1.123456789101112(2)∵bn=n·an=n·2n-1,∴Tn=1×20+2×21+3×22+…+n×2n-1,①∴2Tn=1×2+2×22+3×23+…+(n-1)×2n-1+n×2n,②①-②