導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用(重點)-2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)(新高考地區(qū)專用)(原卷版)

考向14導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

【2022?全國?高考真題】曲線，=In|x|過坐標(biāo)原點的兩條切線的方程為

【2022?全國?高考真題】若曲線y=(x+a)e*有兩條過坐標(biāo)原點的切線，則。的取值范圍是

1.求函數(shù)導(dǎo)數(shù)的總原則：先化簡解析式，再求導(dǎo).注意以下幾點：

連乘形式則先展開化為多項式形式，再求導(dǎo)；三角形式，先利用三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為和

或差的形式，再求導(dǎo)；分式形式，先化為整式函數(shù)或較為簡單的分式函數(shù)，再求導(dǎo)；復(fù)合函

數(shù)，先確定復(fù)合關(guān)系，由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時可換元

2.利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線問題，一定要熟練掌握以下三點：

(1)函數(shù)在切點處的導(dǎo)數(shù)值是切線的斜率，即已知切點坐標(biāo)可求切線斜率，已知斜率

可求切點坐標(biāo).

(2)切點既在曲線上，又在切線上，切線還有可能和曲線有其它的公共點.

(3)曲線“在”點P(%,%)處的切線與“過”點尸(%,為)的切線的區(qū)別：曲

線y=/(x)在點P值,%)處的切線是指點P為切點，若切線斜率存在,切線斜率為k=『g,

是唯一的一條切線；曲線y=/(x)過點的切線，是指切線經(jīng)過點尸，點尸可以是切

點，也可以不是切點，而且這樣的直線可能有多條.

3.利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求參數(shù)的基本方法

利用切點的坐標(biāo)、切線的斜率、切線的方程等得到關(guān)于參數(shù)的方程(組)或者參數(shù)滿足

的不等式(組)，進(jìn)而求出參數(shù)的值或取值范圍.

4.求解與導(dǎo)數(shù)的幾何意義有關(guān)問題時應(yīng)注意的兩點

(1)注意曲線上橫坐標(biāo)的取值范圍；

(2)謹(jǐn)記切點既在切線上又在曲線上.

i.在點的切線方程

切線方程=/'（毛）（尤-尤0）的計算：函數(shù)y=f（x）在點AC%，/（尤0））處的切線方

%=/（尤0）

程為y-/（不）=/。；0）（>:-毛），抓住關(guān)鍵

k=于'（X。）

2.過點的切線方程

設(shè)切點為尸（%,%）,則斜率k=/（%）,過切點的切線方程為：y-y0=f'（x0Xx-x0）,

又因為切線方程過點A（m,〃），所以"-%=/'（尤0）（根-尤0）然后解出毛的值.（/有幾

個值，就有幾條切線）

注意：在做此類題目時要分清題目提供的點在曲線上還是在曲線外.

一、導(dǎo)數(shù)的概念和幾何性質(zhì)

1.概念函數(shù)/（尤）在x=不處瞬時變化率是lim電=lim/（%+泡-小。）,我們稱它

―一°Ax-。Ax

為函數(shù)y=〃x）在x=/處的導(dǎo)數(shù)，記作尸（%）或;/，=跖.

詮釋：

①增量Ax可以是正數(shù)，也可以是負(fù)，但是不可以等于0.Ax—0的意義：Ar與0之間

距離要多近有

多近，即|Ar-0|可以小于給定的任意小的正數(shù)；

②當(dāng)—0時，Ay在變化中都趨于0,但它們的比值卻趨于一個確定的常數(shù)，即存在

一個常數(shù)與

包=/（%+Ax）-。（尤0）無限接近；

AxAx

③導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)就是函數(shù)的平均變化率在某點處的極限，即瞬時變化率.如瞬時速度即是

位移在這一時

刻的瞬間變化率，即尸（X。）=lim包=lim/旬—四倉.

^->oAx-Ax

2.幾何意義函數(shù)y=/（尤）在x=x0處的導(dǎo)數(shù)（（%）的幾何意義即為函數(shù)y=〃尤）在點

P(x0,%)處的切線的斜率.

3.物理意義函數(shù)s=sQ)在點ZQ處的導(dǎo)數(shù)s'伉)是物體在小時刻的瞬時速度v，即

v=s'?o)；v=v⑺在點八的導(dǎo)數(shù)//)是物體在％時刻的瞬時加速度。，即a=M?o).

二、導(dǎo)數(shù)的運算

1.求導(dǎo)的基本公式

基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)

/(X)=c(C為常數(shù))rw=o

/(x)=xa(aGQ)/'(x)=axa~x

/(x)=ax(a>0,a^l)fr(x)=ax\na

f(x)=logax(a>0,aw1)

xma

/(x)=d「(x)=靖

/(x)=lnx

/1?=-

X

f(x)=sinxfr(x)=cosx

f(x)=cosx/r(x)=-sinx

2.導(dǎo)數(shù)的四則運算法則

(1)函數(shù)和差求導(dǎo)法則："(x)±g(x)]'=/(無)土g，(x)；

(2)函數(shù)積的求導(dǎo)法則："(x)g(x)]'=/(x)g(x)+/(x)g，(x)；

(3)函數(shù)商的求導(dǎo)法則：g(x)wO,則[2]=尸('g(x)一〃x)g'(x)

g(x)g(%)

3.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)

復(fù)合函數(shù)丁=的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y=/(u),〃=g(%)的導(dǎo)數(shù)間關(guān)系為y；=yu：

1.（2022.青海?海東市第一中學(xué)模擬預(yù)測（理））曲線y=xe>2在％=2處的切線方程為（）

A.y=3x+4B.y=4尤+3

C.y=3%-4D.y=4x-3

2,（2022.湖南.長沙縣第一中學(xué)模擬預(yù)測）函數(shù)y=21n（x+l）+sinx的圖象在％=0處的切線

對應(yīng)的傾斜角為。，則sin2==（）

3333

A.—B.±—C.—D.±—

101055

3.（2022?湖南?模擬預(yù)測）己知尸是曲線C：y=lnx+/+（若一°b上的一動點，曲線c在尸

點處的切線的傾斜角為。，若三則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.[273,0）B.[2>/2,0）C.卜》,2碼D.卜》,2應(yīng)]

4.（2022.安徽.巢湖市第一中學(xué)模擬預(yù)測（文））曲線>='三在點（1乃）處的切線方程為

kx-y+6=0,則左的值為（）

A.—1B.—C.—D.1

32

1.（2022?廣東?模擬預(yù)測）如圖是網(wǎng)絡(luò)上流行的表情包，其利用了“可倒”和“可導(dǎo)”的諧音生

動形象地說明了高等數(shù)學(xué)中“連續(xù)”和“可導(dǎo)”兩個概念之間的關(guān)系.根據(jù)該表情包的說法，

/'（X）在x=/處連續(xù)是/（X）在了=而處可導(dǎo)的（）.

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.（2022?湖北?模擬預(yù)測）若過點（％”）（加<0）可作曲線y=-V三條切線，貝。（）

A.0<n<—m3B.n>—m3C.n<0D.0<77=—m

4

3.（2022.全國.模擬預(yù)測（理））過點P（0,6）作曲線y=xe，的切線，當(dāng)-三<6<0時，切線

e

的條數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

4.（2022?湖北?黃岡中學(xué)模擬預(yù)測）已知a,6為正實數(shù),直線V=x-。與曲線y=ln（x+力相

切，則上1+?4的最小值為（）

ab

A.8B.9C.10D.13

5.（2022?四川省內(nèi)江市第六中學(xué)模擬預(yù)測（理））若函數(shù)/（x）=f+l與g（x）=2alnx+l的

圖象存在公共切線，則實數(shù)。的最大值為（）

2

A.-|B.eC.五D.e

6.（2022?云南師大附中模擬預(yù)測（理））若函數(shù)y=/（x）的圖象上存在兩個不同的點A,B,

使得曲線y=/（x）在這兩點處的切線重合，則稱函數(shù)y=/（x）為“自重合”函數(shù).下列函數(shù)中

既是奇函數(shù)又是“自重合”函數(shù)的是（）

A.y=lnx+xB.y=d

C.y=x-cosxD.y=x+sinx

7.（2022?山東濰坊?三模）過點尸（1,加）（加eR）有〃條直線與函數(shù)/（x）=xe*的圖像相切，當(dāng)

〃取最大值時，加的取值范圍為（）

A.--^-<m<eB.--<m<0C.--<m<0D.m<e

eee

8.（多選題）（2022?遼寧?渤海大學(xué)附屬高級中學(xué)模擬預(yù)測）已知，>0,〃>0,直線y=%+2a

與曲線y=ei_6+l相切，則下列不等式一定成立的是（）

A.—?—>9B.（ibW-C.y]a2+b2D.J2a+y[b<y/2,

ab95

9.（多選題）（2022?山東濰坊?模擬預(yù)測）過平面內(nèi)一點P作曲線y"lnx|兩條互相垂直的切

線4,4,切點為尸/、尸2（尸八尸2不重合），設(shè)直線4,4分別與y軸交于點A，B,則下列結(jié)論正

確的是（）

A.P1、尸2兩點的橫坐標(biāo)之積為定值

B.直線尸產(chǎn)2的斜率為定值

C.線段AB的長度為定值

D.三角形ABP面積的取值范圍為（0,1]

10.（多選題）（2022?江蘇?模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)〃力=（x2+ax+a）erx（aeR）的導(dǎo)函數(shù)尸（x）存

在兩個零點X[、x2（xl>x2）,當(dāng)。變化時，記點（無1，〃占））構(gòu)成的曲線為C1,點（無構(gòu)

成的曲線為C一則（）

A.曲線C|恒在x軸上方

B.曲線G與C2有唯一公共點

c.對于任意的實數(shù)乙直線y=f與曲線G有且僅有一個公共點

D.存在實數(shù)加，使得曲線C1、G分布在直線y=-x+機(jī)兩側(cè)

11.（2022?全國?南京外國語學(xué)校模擬預(yù)測）己知函數(shù)*x）=f-2,g（x）=31nx-依，若曲

線y=/（x）與曲線y=g⑺在公共點處的切線相同，則實數(shù)”.

12.（2022?江蘇?阜寧縣東溝中學(xué)模擬預(yù)測）已知a>0,b>0,直線>=x+a與曲線

21

y=e*'-26+1相切，則—!■丁的最小值為___________.

ab

13.（2022?山東泰安?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（乃=-/+辦2,寫出一個同時滿足下列兩個條件

的/（X）：.①在工內(nèi)）上單調(diào)遞減；②曲線y=〃x）（xNl）存在斜率為T的切線.

14.（2022.山東濰坊.模擬預(yù)測）已知〃x）=e*—1（e為自然對數(shù)的底數(shù)），g（x）=lnx+l,

請寫出與g（x）的一條公切線的方程.

15.（2022?山東師范大學(xué)附中模擬預(yù)測）已知函數(shù)〃x）=,g（x）=Y,若存在一條直線同

時與兩個函數(shù)圖象相切，則實數(shù)。的取值范圍.

—ln(2x-l),x>—

16.（2022.廣東佛山.模擬預(yù)測）已知函數(shù)〃彳）=<函數(shù)在1=1處的切線

x2+2cx+a,x<—1

2

方程為.若該切線與/（%）的圖象有三個公共點，貝"的取值范圍是

，真題練）

1.（2021.全國.高考真題）若過點可以作曲線y=e'的兩條切線，則（）參考答案

A.eb<aB.ea<b

C.0<a<ebD.0<b<ea

2.（2020?全國?高考真題（理））若直線/與曲線產(chǎn)石和好+產(chǎn)]都相切，貝I]/的方程為（）

A.y=2x+lB.y=2x+1C.y=1x+lD.>=；%+；

3.（2020?全國?高考真題（理））函數(shù)〃x）=/_2V的圖像在點（1,/⑴）處的切線方程為（）

A.y=—2x—lB.y=-2x+l

C.y=2尤一3D.y=2尤+1

4.（2022?全國?高考真題）已知函數(shù)/（無）=/_x+l,則（）

A./（x）有兩個極值點B./（x）有三個零點

C.點（0,1）是曲線y=/（x）的對稱中心D.直線y=2x是曲線y=/（x）的切線

5.（2022?全國.高考真題）曲線y=ln|x|過坐標(biāo)原點的兩條切線的方