2024年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 階段測試 平面向量與復(fù)數(shù)

考案［十二］階段測試（四）平面對量與復(fù)數(shù)

（本試卷滿分150分，測試時(shí)間120分鐘）

一、單選題（本題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的）

1.（2024?河南省頂級名校聯(lián)考）已知復(fù)數(shù)2=1+12°2|6為虛數(shù)單位），貝1］等于

（D）

A.72B.1

C.0D.鄧

［解析］因?yàn)閕4=l,則z=i+?M=i+i4XMS+1=2i,則z-l=2i-l,故|z—1|=

、241=/.故選D.

2.（2024?江西景德鎮(zhèn)一中期中）已知復(fù)數(shù)z=|（十-i）i1—i“i為虛數(shù)單位），則復(fù)

數(shù)z的共輾復(fù)數(shù)為（B）

A.2-iB.2+i

C.4-iD.4+i

［解析］因?yàn)?=1（「—i）i1-1=11+斕i1—i=［l2+~y/3~—i=2—i,所以2

=2+i.

3.（2024?北師大附中期中）已知向量a=（1,0）,6=（—1,1）,則（D）

A.a//bB.H_L6

C.（a—Z?）//bD.（a+6）J_a

［解析］因?yàn)榧?析,0）,b=（—1,1）,所以a+b=（0,1）,則（a+6）?a=0,即（a+6）

-La,故選D.

JI

4.（2024?黑龍江哈爾濱六中期中）已知平面對量a,b的夾角為〒，且|a|=2,1引=1,

J

則|a—2引=（B）

A.4B.2

C.1D.乖

［解析］Ia—2引2=（a—2b）2=F—4a?b+4-=|a『一4|a|,|Z?|cos—+41b\2,因?yàn)?/p>

O

向量a,6的夾角為弓，且㈤=2,|引=1,所以|a—26/=4—4義2義1義義+4=4,|2一2引

=2,故選B

O—94

5.設(shè)］.為虛數(shù)單位，a￡R,若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)片（B）

1+1

A.—2B.2

C.11D.1

LELra—2ia—2i1—ia-2a+2.a—2i―一、”

［斛析］Z=1+i=—干——=^-~21,因?yàn)閺?fù)數(shù)z=1+i7E純虛數(shù),

所以彳,解得a=2.故選B.

a+2,

6.（2024?遼寧名校聯(lián)盟聯(lián)考）歐拉公式e^ucos占+isin夕（JeR）是由瑞士聞名數(shù)

學(xué)家歐拉發(fā)覺的，該公式被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”，特殊是當(dāng)時(shí)，得到一個(gè)令人著

迷的美麗恒等式：e"+l=0,這個(gè)恒等式將自然對數(shù)的底數(shù)e,圓周率口，虛數(shù)單位i,自

5n

然數(shù)1和0完備地結(jié)合在一起，有些數(shù)學(xué)家評價(jià)它是“最完備的公式”.依據(jù)歐拉公式，e-

在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（C）

A.第一象限B.其次象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

［解析］e14=008^+isin2^^221,則e”在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為

［—坐，一書，位于第三象限.故選C.

7.（2024?江西九江一中期中）我國東漢數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注時(shí)，利用一

幅“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角

形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如圖所示.在“趙爽弦圖”中，若詼=a,BA^b.BE

=3旗則礪=(B)

1219

人年+/r

C-5a+5b

［解析］BF=BC+CF=BC+^A=BC+l（EB+BA）=詼+|/|刖小?斯+|

BA,解得赤'=￡詼+!|加，即滋故選B.

8.邊長為12的正三角形中，￡為%的中點(diǎn)，戶在線段〃上且441花：若/￡與

BF交于M,則說?法=（B）

A.-12B.-27

1527

C.--D.一丁

［解析］如圖1所示，取"'的中點(diǎn)G,連接EG.又￡為功的中點(diǎn)，所以EG//BF,即EG

〃好:易知尸為/G的中點(diǎn)，所以〃為熊的中點(diǎn).

解法一：（代數(shù)法）用〈港=）＞4（通+而=；崩+；而所以加=一；葩一；位BM=^（BA

+麗—誦+'AC-AB=_|法+土亦所以法=|逾一:亦所以法.法

=（一%4一?1,6—土/,=一得/?一（/刀?/0+上/不=——X12?一（X12X12Xcos

60°+上義122=—27.故選B.

16

解法二：（坐標(biāo)法）如圖2所示，以￡為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC,/￡所在的直線分別為x軸，y

軸建立平面直角坐標(biāo)系.因?yàn)檎切?8C邊長為12,所以￡（0,0）,/（0,6小）,MS,3^3）,

6（—6,0）,MA=（0,3^/3）,茄=（—6,-3A/3）,所以法?蕩=（0,34）?（一6,—3/）=

-27.故選B.

解法三：（極化恒等式法）取AB中點(diǎn)G',連接賬'.利用極化恒等式得加?茄=：

［（2啟）2—前$叱三游=—27,故選B.

二、多選題（本題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分.每個(gè)小題給出的4個(gè)選項(xiàng)中，全

部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分)

9.已知復(fù)數(shù)2=廠\,則以下說法正確的是(CD)

A.復(fù)數(shù)2的虛部為5

5

_91

B.復(fù)數(shù)z的共軌復(fù)數(shù)z=---

55

「II—亞

D.在復(fù)平面內(nèi)與z對應(yīng)的點(diǎn)在其次象限

［解析］因?yàn)?1.1+2；=—1+1，所以復(fù)數(shù)Z的虛部為4故A

錯誤；T=-|-|,故B錯誤；21=4一|)+以菩,故C正確；在復(fù)平面內(nèi)與Z對

應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(一|，(),在其次象限，故D正確.故選CD.

10.(2024?湖南長郡中學(xué)質(zhì)檢)設(shè)向量a=(2,0),6=(1,1),則(CD)

A.\a\=\b\B.(a—A)//b

.,,,JI

C.(a—物工bD.d與6的夾角為才

［解析］因?yàn)橄蛄縜=(2,0),b=(1,1),則|a|=2,|引=隹,A不正確;a-b=(1,

_1),而一1X1W1X1,即a—b與b不共線，B不正確；a—b—(1,—1),則1X1+(—1)X1

2X］IQx1、歷

=0,所以(a—6)_L6,C正確；cos〈a,6〉=：,---乎'又0W〈26〉W兀，

42+0x41…+12尸2

JI.....兀

于是得〈a,b)=—,即a與6的夾角為T，D正確.故選CD.

11.(2024?石家莊期中)下列命題中正確的是(AD)

11

11

若

+貝n

Z2-uZ--

A.-Z0

B.若復(fù)數(shù)zi,勿滿意片+3=0,則為=@=0

C.若2為復(fù)數(shù)，則Iz「=z2

D.若復(fù)數(shù)2滿意|Z—11=2,貝IJIz+iI的最大值為2+鏡

為

因

所以021=/019-/=(z3)673-/=

i,故A正確.令zi=l+i,Z2=l—i,滿意zi+z：=O,但ziWO,

22

Z2WO,故B錯誤.令z=z+5i,a,Z?￡R,則|z|=yj蛾+式|z\2=a-\-l）,z=（5+Z?i）2=

a—I）+2abi,但1/「Wz。故C錯誤.令z=d+6i,a,6￡R,則？-1=3一1+歷，|z—11

=yla-l2+A2=2,即（a—1）2+方=4,所以在復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)（a,6）的軌跡是以以1,0）為

圓心，以2為半徑的圓，|z+i|表示圓上的點(diǎn)到點(diǎn)產(chǎn)（0,—1）的距離&連接/所以如

=CP+2=^2+2,故D正確.故選AD.

12.（2024?廣東珠海一中檢測）如圖，已知△/回是邊長為2的等邊三角形，D,￡分別

是AC,的中點(diǎn)，物與方交于點(diǎn)。，則下列說法正確的是（BC）

LAB-CE=~\

fIf1一

B.BD=-BC+-BA

C.\OA+OB+OC\=0

D.瓦在反方向上的投影向量為所

0

［解析］依題意可知。是等邊三角形/灰的中心，耳=2.對于A選項(xiàng)，誦，亦誦?CE

I比\

=0,A錯誤.對于B選項(xiàng)，BD=^（BC+BA）=^BC+^BA,B正確.對于C選項(xiàng)，|澇+應(yīng)+龍

|=\20E-\-0C\=|0|=0,C正確.對于D選項(xiàng)，|戊7|=*=P=<,/LECB=—,所以況在

瓦上的投影向量為I由cosg?旦=,擊D錯誤.故選BC.

6\BC\4

三、填空題（本題共4個(gè)小題，每個(gè)小題5分，共20分）

13.（2024?遼寧重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考）已知復(fù)數(shù)z=a2+3a-4+（a2—a）i為純虛數(shù)（i為虛數(shù)

單位），則實(shí)數(shù)a的值為一4.

［才+38一4=0,

［解析］因?yàn)閺?fù)數(shù)z為純虛數(shù)，則有L」解得》=—4,所以實(shí)數(shù)a的值

〔才一石￡0,

為一4.

14.若a,6是兩個(gè)非零向量，且|a|=|引=4|a+6|,幾￡半，1則3與司+6的夾

角的取值范圍是一

［解析］依據(jù)題意，設(shè)|a+5|=力，則|川=|引=4方，設(shè)司與a+6的夾角為。，由

a*a~\-b

+b\=3得a+2a,6+斤=汽又|4=|6|,所以a+a,6=萬,所以cos

\a\\a-\~b\

a：工丁又平，1］貝"wcos夕W半，又OW?！簇?，所以0e

/方X2/方//zNZ

JlJI

_干_3__'

15.定義aX6是向量3和6的“向量積”，它的長度|aX引=|a|?\b\?sin3,其

中。為向量石和b的夾角，若〃=(2,0),u—K=(1,—^3),則|〃XH=2、何.

［解析］因?yàn)閡=(2,0),u—K=(1,一十)，所以v=u~(￡/—K)=(1,十)，

u?v21

=2,|v|=2,u?0=2.所以cosu,v=?4I故3=〃，v=60°.

結(jié)合公式|aX引=|a|?|b\?sin0,得v\=2X2Xsin60°=2y［3.

16.△/回中，〃為47上的一點(diǎn)，滿意礪應(yīng):若尸為物上的一點(diǎn)，滿意淳=康+嬴

o

141

(%>0,77>0),則加7的最大值為京；一+一的最小值為16.

~10—mn--------

［解析］因?yàn)榈Z=(應(yīng)；所以而=呆,所以方三蕨+疝=蕨+4蕨，因?yàn)锽,P,D

三點(diǎn)共線，所以〃+4刀=1,貝|4在W—"包一=；,則即即即最大值為/(當(dāng)且僅

44161b

當(dāng)加=4刀時(shí)取等號).2+2=(勿+4〃)金+3=竺^+&+822，T^+8=16,即包+工的最小值為

mn\mnjmn、mn

16(當(dāng)且僅當(dāng)m=4n時(shí)取等號).

四、解答題(本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

17.(2024?河北省保定模擬)(本題滿分10分)已知向量a,b,c是同一平面內(nèi)的三個(gè)

向量，且b=⑵1).

(1)若|a|=2，B,且，〃a,求a；

(2)若c=(-2,1),且6+力。與46—c相互垂直，求幾.

\x+y=20,

［解析］(1)設(shè)d=(x,y),依題意得

［2尸x,

x=4,

解得

y=2f

即a—(4,2)或a=(—4,—2).

⑵因?yàn)閎+X。=⑵1)+(一24，幾)=(2—24，1十4)，

入b—c=(2幾，幾)一(—2,1)=(24+2,4—1),

因?yàn)閎+4。與幾，一。相互垂直，所以(6+4c)?(4,—c)=0,

即4(1—4)(1+4)+(1+4)(4-1)=0,

所以3(1—幾)(1+幾)=0,解得幾=1或一1.

18.(2024?定遠(yuǎn)縣民族學(xué)校高三調(diào)研考試)(本題滿分12分)已知4(1,2),B{af1),

C(2,3),〃(一1,6),(Z6￡R)是復(fù)平面上的四個(gè)點(diǎn)，且向量宓而寸應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為為，

交

(1)若zi+z2=l+i,求zi,力；

(2)若|為+勿|=2,zi—Z2為實(shí)數(shù)，求46的值.

[解析](1)誦=(a—l,-1),茂仁(一3,6—3)

=1—i,Z2=-3+(ZJ—3)i

又zi+%=a-4+(Z?-4)i=l+i

[a-4=11a=5

?13-4=1'"b=5

/.zi=4—i,Z2=-3+2i

(2)由(1)得zi+Z2=(a—4)+(b—4)i,zi—Z2=(a+2)+(2—6)i,

丁IZ1+Z21=2,Zi—Z2為實(shí)數(shù)，

2

Ja—4+b~42=4,ja=4,

?心―9[b=2.

19.(2024?湘北高三月考)(本題滿分12分)已知a,Z?eR,方程/+以+8=0的一個(gè)

根為1—i,復(fù)數(shù)zi=a+6i,%滿意|0|=4.

(1)求復(fù)數(shù)行1；

⑵若Z1?Z2>0,求復(fù)數(shù)Z2.

[解析](1)依題意，得(1—i)2+a(l—i)+Z?=0,即(a+6)+(—2—0)i=0,

仿+6=0,\a——2,

由復(fù)數(shù)相等的定義及a6￡R,得八八解得，°

〔一2—a=0,〔6=2.

故復(fù)數(shù)zi=a—H——2—2i.

(2)設(shè)Z2=x+yi(x,p￡R),由|Z21=4,得/+/=16,

z1?@=(-2—2i)(x+yi)=(—2x+2y)—(2x+2。i,

—2x+2y>0,[y>x,

由zi?z>0,得即

22x+2y=0,[x=-y,

'x+/=16,

x=-2"\^2,

所以<x=-y,解得＜

、y=2*\/2，

.y>x,

所以z?=-2y[2+2^2i.

20.（2024?廣東珠海高三質(zhì)量檢測）（本題滿分12分）已知內(nèi)接于。。，AB=c,

BC—a,CA—b,。。的半徑為r.

⑴若應(yīng)+2應(yīng)+/應(yīng)■=（）,試求的大小;

⑵若/為動點(diǎn)，AO^AOC+nOB,試求1十〃的最大值.

[解析](1)；游+2初小應(yīng)=0,

：.Ab^2,dB+yl3OC,

.?.詬!=(22+/應(yīng)產(chǎn)，

<AgOB=OC=r,

：./=4d+2X2Xy[3rXcosZBOC+3r

解得cosZBOC=-N^~,

5兀

又/BOCG0,Ji),AABOC=—.

6

/、JI2兀

(2)VZBAC=—,：.Z,BOC=—9

'：AO=4無+nOB,

.?口=(八無+”施2,

9j[

*.r=幾2/+24urcos-T-+u2r,

o

^2+p2=4〃+l,

依據(jù)題意，可知4>0,〃>0,

■/I|〃2

(4+〃)2=3A〃+1W3?--------1----+1(當(dāng)且僅當(dāng)4=〃時(shí)等號成立),

「.(4+〃)?,.()<4+〃W2.

A+〃的最大值為2.

21.(2024?山東濰坊一中高三期中)(本題滿分12分)在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)

12

原點(diǎn)，A,B,C三點(diǎn)滿意應(yīng)上可灑+鼻南

OO

(1)求3的值；

\CB\

⑵已知力(1,cosx),8(l+cosx,cosx),xG0,—,f{x)=0A'(7C—|AB

.若f(x)的最小值為虱血，求gE)的最大值.

12

[解析]⑴由題意知，A,B,C三點(diǎn)滿意沆-§應(yīng)+§曲，

可得亦一應(yīng)=g(應(yīng)一應(yīng))，

2f2f—]-2

所以否=押=§(AC+CB),即河'=§亦

即否=2為，則|詼|=2|應(yīng)所以"工=2

\CB\

(2)由題意，得以=(1,cos分，0B=(1+cosx,cosx),

r19(2\

dc=-O4r+-d^r=[l+-cosX,cosx\,茄r=應(yīng)r一應(yīng)r=(cosx,0),所以函數(shù)f(x)=應(yīng)r?必r

uu\uJ

一(2加+,)|初|222〃+|n

=l+-cosx+cosX—|cosx=(cosx—iD)2-\-1—in.因?yàn)?,

2

所以cosxR[0,1],

當(dāng)成0時(shí)，當(dāng)cosx=0時(shí)，_f(x)取得最小值gGzz)=1,

當(dāng)0W必W1時(shí)，當(dāng)cosx=〃時(shí)，廣(x)取得最小值g(加)=1一

當(dāng)切>1時(shí)，當(dāng)cosx=l時(shí)，f(x)取得最小值g?=2—2加

1,成0,

綜上所述，g?=T—$0W辰1,可得函數(shù)g?的最大值為1,即g?的最大

2~2m,ni>l,

值為L

22.(本題滿分12分)已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)/(a,。)，點(diǎn)6(0,6)(其中8b為

常數(shù)，且a6n0),點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn).

⑴設(shè)點(diǎn)尸為線段也靠近4點(diǎn)的三等分點(diǎn)，0P=AOA+(1-A)OB^AeR),求A的值.

(2)如圖，設(shè)