高中三年級上學(xué)期數(shù)學(xué)《兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用（染色問題）》教學(xué)課件

6.1.3兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用（染色問題）1.能通過染色問題綜合運用兩個計數(shù)原理2.在實際問題中合理運用分類和分步法則，做到不重不漏重點：掌握解決染色問題的基本分析方法，合理運用兩個原理難點：如何不重不漏的分析解決染色問題兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用：應(yīng)用兩個計數(shù)原理應(yīng)注意的問題(1)分類要做到“__________”，分類后再對每一類進行計數(shù)，最后用分類加法計數(shù)原理求和，得到總數(shù)．(2)分步要做到“__________”完成了所有步驟，恰好完成任務(wù)，當(dāng)然步與步之間要相互獨立．分步后再計算每一步的方法數(shù)，最后根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，把完成每一步的方法數(shù)相乘，得到總數(shù)．不重不漏步驟完整染色問題例1、用5種不同顏色給圖中的A、B、C、D四個區(qū)域涂色，規(guī)定一個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰的區(qū)域顏色不同，問有多少種不同的涂色方案？解析：按地圖A、B、C、D四個區(qū)域依次涂色，分四步完成：第一步，涂A區(qū)域，有5種選擇；第二步，涂B區(qū)域，有4種選擇；第三步，涂C區(qū)域，由于它與A、B區(qū)域不同，有3種選擇；第四步，涂D區(qū)域，由于它與B、C區(qū)域不同，有3種選擇.所以根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，得到不同的涂色方案種數(shù)共有5×4×3×3＝180(種)．例2、用紅、黃、綠、黑四種不同的顏色涂入圖中的五個區(qū)域內(nèi)，要求相鄰的兩個區(qū)域的顏色都不相同，則有多少種不同的涂色方法？解析：給各區(qū)域標記號A、B、C、D、E，則A區(qū)域有4種不同的涂色方法，B區(qū)域有3種，C區(qū)域有2種，D區(qū)域有2種，但E區(qū)域的涂色依賴于B與D涂色的顏色，如果B與D顏色相同有2種，如果不相同，則只有一種.因此應(yīng)先分類后分步．第一類，當(dāng)B、D涂同色時，有4×3×2×1×2＝48種，第二類，當(dāng)B、D不同色時，有4×3×2×1×1＝24種，故共有48＋24＝72種不同的涂色方法．種植問題例1、從黃瓜、白菜、油菜、扁豆4種蔬菜品種中選出3種，分別種在不同土質(zhì)的三塊土地上，其中黃瓜必須種植，求有多少種不同的種植方法．方法一(直接法)：若黃瓜種在第一塊土地上，則有3×2×1＝6種不同種植方法．同理，黃瓜種在第二塊、第三塊土地上，均有3×2×1＝6種．故不同的種植方法共有6×3＝18種．方法二(間接法)：從4種蔬菜中選出3種，種在三塊地上，有4×3×2＝24種，其中不種黃瓜有3×2×1＝6種，故共有不同種植方法24－6＝18種．例2、如圖，用6種不同的作物把圖中A、B、C、D四塊區(qū)域分開，若相鄰區(qū)域不能種植同一種作物，則不同的種法共有(

)A．400種B．460種C．480種D．496種解析：從A開始，有6種方法，B有5種，C有4種，D、A種相同作物1種，D、A不同作物3種，∴不同種法有6×5×4×(1＋3)＝480種．故選C.例3、某城市在中心廣場建造一個花圃，花圃分為6個部分(如右圖)現(xiàn)要栽種4種不同顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花，不同的栽種方法有______種.(以數(shù)字作答)(1)②與④同色，則③⑤也同色或③⑥也同色，所以共有N1=4×3×2×1×(1×1+1×1)=48種；所以，共有N=N1+N2+N3=48+48+24=120種.

(2)②與⑤同色，則⑥③或⑥④同色，所以共有N2=4×3×2×1×(1×1+1×1)=48種；(3)③⑤且④⑥同色，則共N3=4×3×2×1×1×1=24種

解法一：從題意來看6部分種4種顏色的花，又從圖形看，知必有2組同顏色的花，從同顏色的花入手分類求小結(jié)練習(xí)1、有4種不同的作物可供選擇種植在如圖所示的4塊試驗田中，每塊種植一種作物，相鄰的試驗田(有公共邊)不能種植同一種作物，共有多少種不同的種植方法？【錯解】

第一步，種植A試驗田有4種方法；第二步，種植B試驗田有3種方法；第三步，種植C試驗田有3種方法；第四步，種植D試驗田有2種方法；由分步乘法計數(shù)原理知，共有N＝4×3×3×2＝72種種植方法．【錯因】

若按A、B、C、D的順序依次種植作物，會導(dǎo)致D試驗田的種植數(shù)受B,C試驗田的影響，情況復(fù)雜．實際上種植D試驗田的情況，應(yīng)對B、C兩塊試驗田的種植情況進行分類討論，再用分類加法計數(shù)原理求解．【正解】方法一：第一步，種植A試驗田有4種方法；第二步，種植B試驗田有3種方法；第三步，若C試驗田種植的作物與B試驗田相同，則D試驗田有3種方法，此時有1×3＝3種種植方法．若C試驗田種植的作物與B試驗田不同，則C試驗田有2種種植方法，D也有2種種植方法，共有2×2＝4種種植方法．由分類加法計數(shù)原理知，有3＋4＝7種方法．第四步，由分步乘法計數(shù)原理有N＝4×3×7＝84種不同的種植方法．方法二：(1)若A、D種植同種作物，則A、D有4種不同的種法，B有3種種植方法，C也有3種種植方法，由分步乘法計數(shù)原理，共有4×3×3＝36種種植方法．(2)若A、D種植不同作物，則A有4種種植方法，D有3種種植方法，B有2種種植方法，C有2種種植方法，由分步乘法計數(shù)原理，共有4×3×2×2＝48種種植方法．綜上所述，由分類加法計數(shù)原理，共有N＝36＋48＝84種種植方法.2、由數(shù)字1,2,3,4,5,6可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)的個數(shù)是(

)A．11

B．12C．30 D．36解析：個位數(shù)字有6種選法，十位數(shù)字有5種選法，由分步乘法計數(shù)原理知，可組成6×5＝30個無重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)．答案：C3、如圖，一環(huán)形花壇分成A、B、C、D四塊，現(xiàn)有4種不同的花供選種，要求在每塊里種1種花，且相鄰的2塊種不同的花，則不同的種法總數(shù)為()A．96 B．84C．60 D．48解析：方法一：先種A地有4種，再種B地有3種，若C地與A地種相同的花，則C地有1種，D地有3種；若C地與A地種不同花，則C地有2種，D地有2種，即不同種法總數(shù)為N＝4×3×(1×3＋2×2)＝84種．方法二：若種4種花有4×3×2×1＝24種；若種3種花，則A和C或B和D相同，有2×4×3×2＝48種；若種2種花，則A和C相同且B和D相同，有4×3＝12種．共有N＝24＋48＋12＝84種．答案：

B4、如圖所示的幾何體由三棱錐P-ABC與三棱柱ABC-A1B1C1組合而成，現(xiàn)用3種不同顏色對這個幾何體的表面涂色(底面不涂色)，要求相鄰的面均不同色，則不同的涂色方案共有（

）A．36種 B．24種C．12種 D．9種解析：第一步：涂三棱錐P-ABC的三個側(cè)面，因為要求相鄰的面均不同色，所以共有3×2×