三角形中位線和直角三角形斜邊中線（解析版） 八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)專題訓(xùn)練

專題16三角形中位線和直角三角形斜邊中線（解析版）第一部分知識(shí)與方法梳理類型一：三角形中位線1．定義：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段．2．定理：三角形中位線平行于三角形的第三邊且等于第三邊的一半．若DE為的中位線，則DE//BC，且．3．三角形中位線里隱含重要性質(zhì)：①三角形的三條中位線將原三角形分割成四個(gè)全等的三角形．EF、GE、GF是的三條中位線，則有：①②，②三角形的三條中位線組成一個(gè)三角形，其周長(zhǎng)為原三角形的周長(zhǎng)的一半，其面積為原三角形面積的四分之一．類型二：直角三角形斜邊中線定理：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．若AD為斜邊上的中線，則．相關(guān)結(jié)論：（1）；（2），為等腰三角形（3），拓展：在由兩個(gè)直角三角形組成的圖中，M為中點(diǎn)．相關(guān)結(jié)論：（1）；（2）．類型三：中點(diǎn)輔助線綜合倍長(zhǎng)中線及類倍長(zhǎng)中線構(gòu)造三角形中位線構(gòu)造直角三角形斜邊中線平行＋中點(diǎn)，構(gòu)造8字全等形作等腰三角形底邊上的高第二部分典例剖析類型一中位線定理的直接應(yīng)用1．（2023秋?連云港期末）在周長(zhǎng)為600米的三角形地塊中修建如圖所示的三條水渠，則水渠的總長(zhǎng)為300米．【分析】根據(jù)三角形中位線定理得到DE=12AC，EF=12AB，【解答】解：∵點(diǎn)D、E、F分別為AB、BC、AC的中點(diǎn)，∴DE、EF、DF都是△ABC的中位線，∴DE=12AC，EF=12AB，∵△ABC的周長(zhǎng)為600米，∴AB+BC+AC＝600米，∴DE+EF+DF=12（AB+BC+∴水渠的總長(zhǎng)為300米，故答案為：300．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形中位線定理，熟記三角形中位線等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋?六安期末）如圖，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，AD⊥BC于點(diǎn)D，BD=6，若E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，則EF＝2【分析】由三角形內(nèi)角和得，∠BAD＝45°，∠CAD＝30°，則AD=BD=6，AC=22，由題意得EF是△【解答】解：∵∠B＝45°，∠C＝60°，AD⊥BC，∴∠BAD＝45°，∠CAD＝30°，∴AD=BD=6，AC=∵E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，∴EF是△ABC的中位線，∴EF=1故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，等角對(duì)等邊，余弦，中位線．熟練掌握等角對(duì)等邊，余弦，中位線是解題的關(guān)鍵．3．（2024?阿城區(qū)模擬）如圖，在等邊△ABC中，D、E分別為AB、AC的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)F，使CF=12BC，連接CD和（1）求證：CD＝EF；（2）請(qǐng)直接寫出與∠F相等的所有角（∠F除外）．【分析】（1）直接利用三角形中位線定理得出四邊形DCFE是平行四邊形，進(jìn)而得出DE＝FC；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)解答即可．【解答】（1）證明：∵D、E分別為AB、AC的中點(diǎn)，∴DE為△ABC的中位線，∴DE∥BC，DE=12∵CF=12∴DE＝FC，∵DE∥FC，∴四邊形DCFE是平行四邊形，∴CD＝EF；（2）解：∵四邊形DCFE是平行四邊形，∴DC∥EF，∴∠F＝∠DCB，∠DCE＝∠CEF，∵DE∥BC，∴∠EDC＝∠DCB，∴∠EDC＝∠F，∵△ABC是等邊三角形，D是AB中點(diǎn)，∴∠DCB＝∠DCE，∴與∠F相等的所有角是∠EDC、∠DCB、∠DCE、∠FEC．【點(diǎn)評(píng)】此題考查三角形中位線定理，關(guān)鍵是利用三角形中位線定理得出四邊形DCFE是平行四邊形解答．4．（2023秋?沂源縣期末）如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P是對(duì)角線BD的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，AD＝BC，∠PEF＝30°，求∠FPE的度數(shù)．【分析】根據(jù)中位線定理和已知，易證明△EPF是等腰三角形，進(jìn)而可得出結(jié)論．【解答】解：∵在四邊形ABCD中，P是對(duì)角線BD的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，∴FP，PE分別是△CDB與△DAB的中位線，∴PF=12BC，PE=∵AD＝BC，∴PF＝PE，∴△EPF是等腰三角形．∵∠PEF＝30°，∴∠PEF＝∠PFE＝30°，∴∠FPE＝180°﹣∠PEF﹣∠PFE＝180°﹣30°﹣30°＝120°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形中位線定理及等腰三角形的性質(zhì)，解題時(shí)要善于根據(jù)已知信息，確定應(yīng)用的知識(shí)．類型二構(gòu)造中位線解題（重點(diǎn)）5．（2024?鹿城區(qū)校級(jí)開學(xué)）如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AB，AD的中點(diǎn)，BC＝10，CD＝6，EF＝4，∠AFE＝52°，則∠ADC＝142°．【分析】連接BD，根據(jù)三角形中位線定理得到BD＝2EF＝8，EF∥BD，根據(jù)勾股定理的逆定理得到∠BDC＝90°，結(jié)合圖形計(jì)算即可．【解答】解：連接BD，∵點(diǎn)E、F分別是邊AB、AD的中點(diǎn)，∴BD＝2EF＝8，EF∥BD，∴∠ADB＝∠AFE＝52°，BD2+CD2＝100，BC2＝100，∴BD2+CD2＝BC2，∴∠BDC＝90°，∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝142°，故答案為：142．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形中位線定理、勾股定理的逆定理，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．6．（2024?碑林區(qū)校級(jí)一模）如圖，在△ABC中，AB＝5，AC＝9，AD是∠BAC的角平分線，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，EF∥AD，則AF的長(zhǎng)是2．【分析】根據(jù)三角形的中位線定理，得EN∥AB，EN=12AB；根據(jù)平行線的性質(zhì)和等腰三角形的判定，得FN＝【解答】解：如圖，設(shè)點(diǎn)N是AC的中點(diǎn)，連接EN，則EN∥AB，EN=12∴∠CNE＝∠BAC．∵EF∥AD，∴∠DAC＝∠EFN．∵AD是∠BAC的平分線，∠CNE＝∠EFN+∠FEN，∴∠EFN＝∠FEN．∴FN＝EN=12∴FC＝FN+NC=12AB+∴AF＝AC﹣FC＝2，故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形中位線定理，等腰三角形的性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形中位線是解題的關(guān)鍵．7．（2024春?沙坪壩區(qū)校級(jí)月考）如圖，△ABC中，AD是∠BAC的角平分線，BD⊥AD，垂足為D，過(guò)D作DE∥AC交AB于點(diǎn)E，過(guò)D作DF⊥DE交AC于點(diǎn)F，連接EF，已知AB＝4，BD＝3，則EF＝1274【分析】延長(zhǎng)AC交BD的延長(zhǎng)線與H，先證△ABD和△AHD全等得BD＝HD，由此可證DE為△ABH的中位線，則點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得DE=12AB＝2，在Rt△ABD中由勾股定理求出AD=7，證△BDA和△DFA相似得DF=37【解答】解：延長(zhǎng)AC交BD的延長(zhǎng)線與H，如圖所示：∵AD是∠BAC的角平分線，∴∠BAD＝∠HAD，∵BD⊥AD，∴∠BDA＝∠HDA＝90°，在△ABD和△AHD中，∠BAD=∠HAD∠BDA=∠HDA=90°∴△ABD≌△AHD（AAS），∴BD＝HD，即點(diǎn)D為BH的中點(diǎn)，又∵DE∥AC，∴DE為△ABH的中位線，∴點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，在Rt△ABD中，DE為斜邊AB的中點(diǎn)，AB＝4，∴DE=12在Rt△ABD中，AB＝4，BD＝3，由勾股定理得：AD=A∵DE∥AC，DF⊥DE，∴DF⊥AC，∴∠BDA＝∠DFA＝90°，∵∠BAD＝∠HAD，∴△BDA∽△DFA，∴BD：DF＝AB：AD，即3：DF=4：7∴DF=3在Rt△DEF中，DE＝2，DF=3由勾股定理得：EF=D故答案為：1274【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形的中位線定理，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等，理解三角形的中位線定理，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，靈活運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．8．（2023秋?岱岳區(qū)期末）如圖，已知四邊形ABCD中，AC⊥BD，AC＝10，BD＝12，點(diǎn)E、F分別是邊AD、BC的中點(diǎn)，連接EF，則EF的長(zhǎng)是61．【分析】取AB的中點(diǎn)G，連接EG、FG，根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半求出EG、FG，并求出EG⊥FG，然后利用勾股定理列式計(jì)算即可得解．【解答】解：如圖，取AB的中點(diǎn)G，連接EG、FG，∵E、F分別是邊AD、CB的中點(diǎn)，∴EG∥BD且EG=12BDFG∥AC且FG=12AC∵AC⊥BD，∴EG⊥FG，∴EF=E故答案為：61．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，勾股定理的應(yīng)用，作輔助線構(gòu)造出直角三角形是解題的關(guān)鍵．9．（2023秋?大悟縣校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于點(diǎn)E，點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)．（1）如圖1，BE的延長(zhǎng)線與AC邊相交于點(diǎn)D，求證：EF=1（2）如圖2，探究線段AB、AC、EF之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫出你的結(jié)論：EF=12（AB﹣AC【分析】（1）利用ASA證明△ABE≌△ADE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出BE＝DE，AB＝AD，再根據(jù)三角形的中位線定理及線段的和差即可解決問(wèn)題；（2）先證明AB＝AP，根據(jù)等腰三角形的三線合一，推出BE＝PE，根據(jù)三角形的中位線定理即可解決問(wèn)題．【解答】（1）證明：如圖1中，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠DAE，∵BE⊥AE于點(diǎn)E，∴∠BEA＝∠DEA＝90°，在△ABE和△ADE中，∠BAE=∠DAEAE=AE∴△ABE≌△ADE（ASA），∴BE＝DE，AB＝AD，∵點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，∴BF＝FC，∴EF=12DC=12（AC﹣AD）=1（2）如圖2中，延長(zhǎng)AC交BE的延長(zhǎng)線于P．∵AE⊥BP，∴∠AEP＝∠AEB＝90°，∴∠BAE+∠ABE＝90°，∠PAE+∠APE＝90°，∵∠BAE＝∠PAE，∴∠ABE＝∠APE，∴AB＝AP，∵AE⊥BP，∴E為BP的中點(diǎn)，∴BE＝PE，∵點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，∴EF是△BCP的中位線，∴EF=12PC=12（AP﹣AC）=1故答案為：EF=12（AB﹣【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的中位線定理、等腰三角形的三線合一的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．10．（2023秋?廣饒縣期末）【三角形中位線定理】已知：在△ABC中，點(diǎn)D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)．直接寫出DE和BC的關(guān)系；【應(yīng)用】如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AB，AD的中點(diǎn)，若BC＝5，CD＝3，EF＝2，∠AFE＝45°，求∠ADC的度數(shù)；【拓展】如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)E，點(diǎn)M，N分別為AD，BC的中點(diǎn)，MN分別交AC，BD于點(diǎn)F，G，EF＝EG．求證：BD＝AC．【分析】【三角形中位線定理】根據(jù)三角形中位線定理即可得到結(jié)論；【應(yīng)用】連接BD，根據(jù)三角形中位線定理得到EF∥BD，BD＝2EF＝4，根據(jù)勾股定理的逆定理得到∠BDC＝90°，計(jì)算即可；【拓展】取DC的中點(diǎn)H，連接MH、NH，則MH、NH分別是△ACD、△BCD的中位線，由中位線的性質(zhì)定理可得MH∥AC且MH=12AC，NH∥BD且NH=【解答】解：【三角形中位線定理】DE∥BC，DE=12理由：∵點(diǎn)D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線，∴DE∥BC，DE=12【應(yīng)用】連接BD，如圖所示，∵E、F分別是邊AB、AD的中點(diǎn)，∴EF∥BD，BD＝2EF＝4，∴∠ADB＝∠AFE＝45°，∵BC＝5，CD＝3，∴BD2+CD2＝25，BC2＝25，∴BD2+CD2＝BC2，∴∠BDC＝90°，∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝135°；【拓展】證明：取DC的中點(diǎn)H，連接MH、NH．∵M(jìn)、H分別是AD、DC的中點(diǎn)，∴MH是△ADC的中位線，∴MH∥AC且MH=12同理可得NH∥BD且NH=12∵EF＝EG，∴∠EFG＝∠EGF，∵M(jìn)H∥AC，NH∥BD，∴∠EFG＝∠HMN，∠EGF＝∠HNM，∴∠HMN＝∠HNM，∴MH＝NH，∴AC＝BD．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形中位線定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，掌握三角形的中位線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．（2023秋?順德區(qū)校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，M是AD的中點(diǎn)，BM的延長(zhǎng)線交AC于N．求證：AN=12【分析】過(guò)D作DF∥AC交BN于F，根據(jù)DF∥AC和M是AD的中點(diǎn)，推出DF＝AN，同理得到F是BN的中點(diǎn)，推出DF=12【解答】證明：過(guò)D作DF∥AC交BN于F．∵DF∥AC，∴ANDF∵M(jìn)是AD的中點(diǎn)，∴AM＝DM，∴DF＝AN，∵D是BC的中點(diǎn)，DF∥AC，∴F是BN的中點(diǎn)，∴DF=12∴AN=12【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查對(duì)平行線分線段成比例定理，三角形的中位線定理等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能通過(guò)作輔助線得到三角形的中位線是解此題的關(guān)鍵．12．（2023春?洪澤區(qū)期中）如圖，在四邊形ABCD中對(duì)角線AC⊥BD，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)．若AC＝4cm，BD＝6cm，求EF的長(zhǎng)度．【分析】取BC的中點(diǎn)H，連接EH、FH，根據(jù)三角形中位線定理求出EH、FH，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可．【解答】解：取BC的中點(diǎn)H，連接EH、FH，如圖所示：∵E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，∴EH是△ABC的中位線，F(xiàn)H是△BCD的中位線，∴EH=12AC=2cm，F(xiàn)H=12BD=3cm，EH∥∴∠EHF＝90°，∴EF=E【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形中位線定理的應(yīng)用，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．13．（2023春?渠縣校級(jí)期末）如圖，△ABC的中線BD、CE相交于點(diǎn)O，F(xiàn)、G分別是OB、OC的中點(diǎn)，線段EF與DG之間有什么關(guān)系？為什么？【分析】連接OA，根據(jù)三角形中位線定理解答．【解答】解：EF＝DG，EF∥DG，理由如下：連接OA，∵F、E分別是OB、AB的中點(diǎn)，∴EF=12OA，EF∥同理，DG=12OA，DG∥∴EF＝DG，EF∥DG．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形中位線定理，三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半．14．（2023春?營(yíng)口期末）如圖，△ABC中，CD平分∠ACB，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥CD于點(diǎn)D，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，連接DE，若AC＝20，BC＝14，求DE的長(zhǎng)．【分析】延長(zhǎng)CB交AD延長(zhǎng)線于F，由角平分線的定義得到∠ACD＝∠FCD，由垂直的定義得到∠ADC＝∠FDC＝90°，因此∠F＝∠CAD，推出CF＝AC＝20，求出BF＝CF﹣BC＝6，由等腰三角形的性質(zhì)得到AD＝FD，即可證明DE是△AFB的中位線，從而求出DE的長(zhǎng)．【解答】解：延長(zhǎng)CB交AD延長(zhǎng)線于F，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠FCD，∵AD⊥CD于點(diǎn)D，∴∠ADC＝∠FDC＝90°，∴∠F＝∠CAD，∴CF＝AC＝20，∵BC＝14，∴BF＝CF﹣BC＝6，∵AC＝CF，CD⊥AD，∴AD＝FD，∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，∴DE是△ABF的中位線，∴DE=12【點(diǎn)評(píng)】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，關(guān)鍵是延長(zhǎng)CB交AD延長(zhǎng)線于F，證明DE是△ABF的中位線．類型三直角三角形斜邊中線定理的直接應(yīng)用15．（2023秋?紫金縣期末）如圖，一技術(shù)人員用刻度尺（單位：cm）測(cè)量某三角形部件的尺寸．已知∠ACB＝90°，點(diǎn)D為邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)A、B對(duì)應(yīng)的刻度為1、7，則CD＝3cm．【分析】根據(jù)圖形和直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可以計(jì)算出CD的長(zhǎng)．【解答】解：由圖可得，∠ACB＝90°，AB＝7﹣1＝6（cm），點(diǎn)D為線段AB的中點(diǎn)，∴CD=12AB＝3故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直角三角形斜邊上的中線，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．16．（2023秋?鄞州區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D為AB的中點(diǎn)，∠B＝30°，點(diǎn)E在BC上，且CE＝AC，則∠CDE的大小為75°．【分析】證明CD＝CE，求出∠DCE＝30°，可得結(jié)論．【解答】解：∵∠ACB＝90°，D是AB的中點(diǎn)，∴CD＝AD＝DB，∴∠DCB＝∠B＝30°，∵AB＝2AC，∴CA＝CD，∵CA＝CE，∴CD＝CE，∴∠CDE＝∠CED=1故答案為：75°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，含30度角的直角三角形，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題17．（2022秋?上城區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AF⊥BC于F，BE⊥AC于E，且點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)．（1）若△DEF的周長(zhǎng)是8，則△ABC的周長(zhǎng)是16；（2）若AE：EC＝3：2，則AF：EF＝2：1．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半性質(zhì)證明△ABC的周長(zhǎng)是△DEF的周長(zhǎng)的2倍解答即可；（2）根據(jù)題意設(shè)AE＝3x，EC＝2x，利用勾股定理和直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)求得AF和EF的值，進(jìn)而解答即可．【解答】解：∵AB＝AC，AF⊥BC，∴BF＝CF，∵BE⊥AC，點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，∴BC＝2EF，∵BE⊥AC，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)．∴AB＝2DE，∵點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，∴DF為△ABC的中位線，∴AC＝2DF，∴△ABC的周長(zhǎng)是△DEF的周長(zhǎng)的2倍，∵△DEF的周長(zhǎng)是8，∴△ABC的周長(zhǎng)是16，故答案為：16；（2）∵AE：EC＝3：2，∴設(shè)AE＝3x，EC＝2x，則AC＝AB＝5x，在Rt△ABE中，根據(jù)勾股定理可得：BE＝4x，在Rt△BCE中，∵CE＝2x，BE＝4x，∴BC＝25x，∵BC＝2EF，∴EF=5x∵BC×AF＝AC×BE，即：25x×AF＝5x×4x，解得：AF＝25x，∴AF：EF＝25x：5x＝2：1，故答案為：2：1，【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的中位線定理等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)定理是解答本題的關(guān)鍵．18．（2023秋?長(zhǎng)泰縣校級(jí)期中）如圖，在Rt△ABC中，點(diǎn)M是斜邊BC的中點(diǎn)，以AM為邊作正方形AMEF．若S正方形AMEF＝4，則BC＝4．【分析】先根據(jù)正方形的面積求出AM＝2，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出BC＝4．【解答】解：∵四邊形AMEF是正方形，S正方形AMEF＝4，∴AM2＝4，∵AM＞0，∴AM＝2，在Rt△ABC中，點(diǎn)M是斜邊BC的中點(diǎn)，∴BC＝2AM＝4，故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正方形的面積計(jì)算公式，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)．熟練掌握正方形的面積計(jì)算公式，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．19．（2024?鼓樓區(qū)校級(jí)開學(xué)）如圖，在△ABC，BD⊥AC于點(diǎn)D，CE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)M，N分別是BC，DE的中點(diǎn)．（1）求證：MN⊥DE；（2）若∠A＝60°，求MNDE【分析】（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到ME＝MD，根據(jù)等腰三角形的三線合一證明結(jié)論；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理求出∠DME＝60°，得到△MED是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)計(jì)算即可．【解答】（1）證明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，∴EM=12BC，DM=∴ME＝MD，又點(diǎn)N是DE的中點(diǎn)，∴MN⊥DE；（2）解：∵M(jìn)D＝ME＝BM＝CM，∴∠BME+∠CMD＝180°﹣2∠ABC+180°﹣2∠ACB＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB），∵∠A＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣60°＝120°，∴∠BME+∠CMD＝360°﹣2×120°＝120°，∴∠DME＝60°，∴△MED是等邊三角形，∴MNDE【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，掌握在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．20．（2023秋?寶山區(qū)校級(jí)月考）如圖，在Rt△ABC和Rt△ADC中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC中點(diǎn)．求證：∠DEB＝2∠DCB．【分析】利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，找出相等的邊，再利用等邊對(duì)等角、三角形外角的性質(zhì)得出∠AEB＝2∠BCE、∠AED＝2∠DCE，從而證明結(jié)論．【解答】證明：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，E是AC中點(diǎn)．∴BE＝EC＝AE，∴∠ACB＝∠CBE，∴∠AEB＝∠CBE+∠BCE＝2∠BCE，同理可得：∠AED＝2∠DCE，∴∠AED+∠AED＝2∠DCE+2∠BCE，∴∠DEB＝2∠DCB．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)．熟練掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．類型三構(gòu)造直角三角形斜邊中線解題21．（2023秋?邗江區(qū)期末）已知，如圖，∠ABC＝∠ADC＝90°，M，N分別是AC，BD的中點(diǎn)．求證：①BM＝DM；②MN⊥BD．【分析】（1）連接BM、DM，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得BM＝DM=12（2）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)證明即可．【解答】（1）證明：如圖，連接BM、DM，∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC的中點(diǎn)，∴BM＝DM=12∴BM＝DM；（2）∵點(diǎn)N是BD的中點(diǎn)，BM＝DM，∴MN⊥BD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并連接輔助線是解題的關(guān)鍵．22．（2023秋?靜安區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC和△ADC中，∠ABC＝∠ADC＝90°，聯(lián)結(jié)AC與BD交于點(diǎn)O，M，N分別是AC、BD的中點(diǎn)．求證：MN垂直平分BD．【分析】連接BM，DM，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可證明BM＝DM=12【解答】證明：如圖，連接BM，DM，∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴BM=12AC，CM＝DM=∴BM＝DM，∵點(diǎn)N是BD的中點(diǎn)，∴MN⊥BD，∴MN垂直平分BD．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了直角三角形斜邊上的中線等知識(shí)，熟練運(yùn)用直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．23．（2023秋?射陽(yáng)縣期末）已知：如圖，在△ABC中，CD⊥AB垂足為D，BE⊥AC垂足為E，連接DE，點(diǎn)G、F分別是BC、DE的中點(diǎn)．求證：GF⊥DE．【分析】作輔助線（連接DG、EG）構(gòu)建Rt△BCD和Rt△BCE斜邊上的中線，然后根據(jù)斜邊上的中線等于斜邊的一半求得DG＝EG=12BC，從而判定△DEG是等腰三角形；最后根據(jù)等腰三角形的“三線合一”的性質(zhì)推知GF⊥【解答】證明：連接DG、EG．∵CD⊥AB，點(diǎn)G是BC的中點(diǎn)，∴在Rt△BCD中，DG=12同理，EG=12∴DG＝EG（等量代換）．（1分）∵F是DE的中點(diǎn)，∴GF⊥DE．（2分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形斜邊上的中線、等腰三角形的判定與性質(zhì)．熟練運(yùn)用等腰直角三角形“三線合一”的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，是解題的關(guān)鍵．24．（2022秋?鹽都區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AD是邊BC上的高，BE是邊AC上的中線，BD＝CE，DF⊥BE于點(diǎn)F．（1）求證：BF＝EF；（2）若∠AEB＝66°，求∠C的度數(shù)．【分析】（1）連接DE，根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得到DE＝CE，進(jìn)而得到BD＝DE，由等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）由等腰三角形的性質(zhì)得到∠DBE＝∠DEB，∠C＝∠CDE，設(shè)∠DBE＝∠DEB＝α，由三角形的外角定理得到∠C＝∠CDE＝2α，由三角形的外角定理得到α+2α＝66°，求出α即可得的答案．【解答】（1）證明：連接DE，∵AD是邊BC上的高，∴∠ADC＝90°，∵BE是邊AC上的中線，∴DE＝AE＝CE=12∵BD＝CE，∴BD＝DE，∵DF⊥BE，∴BF＝EF；（2）解：∵BF＝EF，∴∠DBE＝∠DEB，設(shè)∠DBE＝∠DEB＝α，∴∠CDE＝∠DBE+∠DEB＝2α，∵DE＝CE，∴∠C＝∠CDE＝2α，∵∠AEB＝∠DBE+∠C，∴α+2α＝66°，∴α＝22°，∴∠C＝44°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角定理，根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得到DE＝CE是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．25．（2023秋?閔行區(qū)校級(jí)期末）已知：如圖，在△ABD中，∠D＝90°，點(diǎn)C在BD上，點(diǎn)E在AB上，AE＝BE，DC＝BE，點(diǎn)G是CE的中點(diǎn)．（1）求證：DG⊥EC；（2）求證：∠B＝2∠GDC．【分析】（1）連接DE，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和等腰三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論；（2）由（1）知DE＝CD，DG⊥CE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠CDE＝2∠GDC，于是得到結(jié)論．【解答】證明：（1）連接DE，∵AE＝BE，∠ADB＝90°，∴DE＝BE＝AE=12∵CD＝BE，∴CD＝DE，∵點(diǎn)G是CE的中點(diǎn)，∴DG⊥EC；（2）由（1）知DE＝CD，DG⊥CE，∴∠CDE＝2∠GDC，∵BE＝DE，∴∠B＝∠CDE，∴∠B＝2∠GDC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形斜邊上的中線，等腰三角形的判定和性質(zhì)，正確地找出輔助線是解題的關(guān)鍵．26．（2023秋?浙江期中）如圖，在線段AB的同側(cè)作△PAB和△QAB，PB和QA相交于點(diǎn)O，M、N分別是邊AQ、BP的中點(diǎn)，連結(jié)PQ，PM，MN，∠APQ＝∠ABQ＝90°．（1）判斷△PMN的形狀，并說(shuō)明理由；（2）當(dāng)AQ＝26，BP＝24時(shí)，求MN的長(zhǎng)．【分析】（1）連結(jié)BM，由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可證PM＝BM，再由等腰三角形三線合一的性質(zhì)證明即可；（2）先求出PM和PN的長(zhǎng)，再利用勾股定理求解即可．【解答】解：（1）△PMN為直角三角形，理由如下：如圖，連結(jié)BM，∵∠APQ＝∠ABQ＝90°，點(diǎn)M是AQ的中點(diǎn)，∴PM=12AQ∴PM＝BM，又∵N為PB的中點(diǎn)，∴MN⊥PB，∴△PMN為直角三角形；（2）由（1）知PM=1∵AQ＝26，∴PM＝13，又∵N為BP的中點(diǎn)，且BP＝24，∴PN=1∵M(jìn)N⊥PB，∴MN2＝PM2﹣PN2＝25，∴MN＝±5，又∵M(jìn)N＞0，∴MN＝5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形斜邊上的中線，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，正確記憶相關(guān)內(nèi)容是解題關(guān)鍵．27．（2023秋?豐縣期中）已知：如圖，∠ABC＝∠ADC＝90°，E、F分別是AC、BD的中點(diǎn)．（1）求證：EF⊥BD；（2）若∠BAD＝30°，AC＝10，求BD的長(zhǎng)．【分析】（1）由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)推出BE＝DE，由等腰三角形的性質(zhì)即可證明EF⊥BD；（2）由等腰三角形的性質(zhì)推出∠BAE＝∠ABE，∠EAD＝∠EDA，由三角形外角的性質(zhì)求出∠BED＝60°，得到△EBD是等邊三角形，即可求出BD的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：連接BE，DE，∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E、F分別是AC、BD的中點(diǎn)，∴BE=12AC，DE=∴BE＝DE，∵F是BD中點(diǎn)，∴EF⊥BD；（2）解：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E、F分別是AC、BD的中點(diǎn)，∴BE=12AC，DE=∴AE＝BE＝DE，∴∠BAE＝∠ABE，∠EAD＝∠EDA，∵∠BEC＝∠BAE+∠ABE，∠CED＝∠EAD+∠EDA，∴∠BEC+∠CED＝∠BAE+∠ABE+∠EAD+∠EDA，∴∠BED＝2（∠BAE+∠EAD）＝2∠BAD＝2×30°＝60°，∵BE＝ED，∴△EBD是等邊三角形，∴BD＝BE=12AC【點(diǎn)評(píng)】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊的中線，等邊三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是由直角三角形斜邊的中線的性質(zhì)推出BE＝DE，由三角形外角的性質(zhì)推出∠BED＝60°．28．（2023秋?蘇州期中）已知：如圖，在四邊形ABCD中，∠BCD＝∠BAD＝90°，E，F(xiàn)分別是對(duì)角線BD，AC的中點(diǎn)．（1）請(qǐng)判斷線段EF與AC的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）若∠ADC＝30°，BD＝8cm，試求線段EF的長(zhǎng)度．【分析】（1）連接AE，EC，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)可得CE=12BD，AE=12BD，從而可得（2）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)可得CE＝DE，AE＝DE，從而可得∠ECD＝∠CDE，∠EAD＝∠ADE，然后利用三角形的外角性質(zhì)可得∠AEC＝2∠ADC＝60°，求出AF，再利用勾股定理求出EF．【解答】解：（1）結(jié)論：EF⊥AC，理由：連接AE，EC，∵∠BCD＝90°，點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，∴CE=12∵∠BAD＝90°，點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，∴AE=12∴AE＝CE，∵點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)，∴EF⊥AC；（2）如圖，連接AE，EC．∵EA＝EB＝ED＝EC＝4cm，∴點(diǎn)E是△ACD的外心，∴∠AEC＝2∠ADC＝60°∵點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)，∴EF⊥AC，∠AEF＝∠CEF＝30°，∴AF=12AE＝2（∴EF=AE2?AF【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形斜邊上的中線，等腰三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．29．如圖，∠MON＝90°，△ABC的頂點(diǎn)A、B分別在OM，ON上，其中∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，當(dāng)B在邊ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，A隨之在邊OM上運(yùn)動(dòng)．Rt△ABC的形狀保持不變，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)C到點(diǎn)O的最大距離為（）A．22 B．5 C．5+1 D．【分析】取AB的中點(diǎn)H，連接OH，CH，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出OH，根據(jù)勾股定理求出CH，根據(jù)題意計(jì)算．【解答】解：取AB的中點(diǎn)H，連接OH，CH，在Rt△AOB中，H是AB的中點(diǎn)，∴OH=12在Rt△AHC中，CH=A當(dāng)O、H、C共線時(shí)，OC有最大值，最大值是OH+CH=5故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，掌握勾股定理，找出OC最大時(shí)的長(zhǎng)為CD+OD是解本題的關(guān)鍵．類型五中點(diǎn)輔助線綜合30．（2023春?肥城市期末）如圖，在正方形ABCD中，AB＝22．E，F(xiàn)分別為邊AB，BC的中點(diǎn)，連接AF，DE，點(diǎn)N，M分別為AF，DE的中點(diǎn)，連接MN，則MN的長(zhǎng)為（）A．22 B．1 C．2 【分析】連接AM，延長(zhǎng)AM交CD于G，連接FG，由正方形ABCD推出AB＝CD＝BC＝22，AB∥CD，∠C＝90°，證得△AEM≌GDM，得到AM＝MG，AE＝DG=12AB，根據(jù)三角形中位線定理得到MN=12FG，由勾股定理求出【解答】解：連接AM，延長(zhǎng)AM交CD于G，連接FG，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝CD＝BC＝22，AB∥CD，∠C＝90°，∴∠AEM＝∠GDM，∠EAM＝∠DGM，∵M(jìn)為DE的中點(diǎn)，∴ME＝MD，在△AEM和GDM中，∠EAM=∠DGM∠AEM=∠GDM∴△AEM≌△GDM（AAS），∴AM＝MG，AE＝DG=12AB=∴CG=12CD∵點(diǎn)N為AF的中點(diǎn)，∴MN=12∵F為BC的中點(diǎn)，∴CF=12BC∴FG=C∴MN＝1，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，三角形的中位線定理，正確作出輔助線且證出AM＝MG是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．31．（2023秋?常州期中）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，點(diǎn)D在AC上，且AD＝2，點(diǎn)E是AB上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)DE，點(diǎn)F，G分別是BC，DE的中點(diǎn)，連接AG，F(xiàn)G，當(dāng)AG＝FG時(shí)，線段DE的長(zhǎng)為（）A．13 B．25 C．412 【分析】連接DF，AF，EF，證明△AFD≌△BFE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AD＝BE＝2，進(jìn)而求出AE，根據(jù)勾股定理計(jì)算，得到答案．【解答】解：連接DF，AF，EF，在△ABC中，AB＝AC，∠CAB＝90°，∴∠B＝∠C＝45°，∵點(diǎn)G是DE的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，∴AG＝DG＝EG，AF＝BF，AF⊥BC，∠DAF＝45°，∴∠DAF＝∠B＝45°，∵FG＝AG，∴FG＝DG＝EG，∴△DFE是直角三角形，且∠DFE＝90°，∵∠DFA+∠AFE＝∠BFE+∠AFE＝90°，∴∠DFA＝∠EFB，在△AFD和△BFE中，∠DAF=∠BAF=BF∴△AFD≌△BFE（ASA），∴AD＝BE＝2，∴AE＝4，在Rt△ADE中，DE=A故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)，正確作出輔助線、掌握直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．32．（2021?威海）如圖，在正方形ABCD中，AB＝2，E為邊AB上一點(diǎn)，F(xiàn)為邊BC上一點(diǎn)．連接DE和AF交于點(diǎn)G，連接BG．若AE＝BF，則BG的最小值為5?1【分析】如圖，取AD的中點(diǎn)T，連接BT，GT，首先利用全等三角形的性質(zhì)證明∠AGD＝90°，求出GT＝1，BT=5，根據(jù)BG≥BT﹣GT【解答】解：如圖，取AD的中點(diǎn)T，連接BT，GT，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝AB＝2，∠DAE＝∠ABF＝90°，在△DAE和△ABF中，DA=AB∠DAE=∠ABF∴△DAE≌△ABF（SAS），∴∠ADE＝∠BAF，∵∠BAF+∠DAF＝90°，∴∠EDA+∠DAF＝90°，∴∠AGD＝90°，∵DT＝AT，∴GT=12AD＝1，BT∴BG≥BT﹣GT，∴BG≥5∴BG的最小值為5?故答案為：5?【點(diǎn)評(píng)】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，求出GT，BT是解題的關(guān)鍵．33．（2023秋?北侖區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，在線段AC上取一點(diǎn)D，使CD＝CB，作AE⊥BD交BD延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．點(diǎn)F是線段AB中點(diǎn)，連結(jié)CF，EF，EF交AC于點(diǎn)G．若AD＝BD，則CGAE=2【分析】延長(zhǎng)EF到T，使得FT＝EF，連接AT，BT，CT，CE．利用全等三角形的性質(zhì)證明CT＝CE，設(shè)BC＝CD＝m．想辦法證明AH＝AE＝m即可解決問(wèn)題．【解答】解：如圖，延長(zhǎng)EF到T，使得FT＝EF，連接AT，BT，CT，CE．∵∠AEB＝90°，AF＝FB，∴EF＝AF＝FB＝FT，∴四邊形AEBT是矩形，∴∠EBT＝90°，AE＝DE＝BT，∵∠CBD＝∠CDB＝45°，∴∠CBT＝∠CDE＝135°，∵CB＝CD，∴CBT≌△CDE（SAS），∴CT＝CE，∵EF＝FT，∴CF⊥EF，設(shè)BC＝CD＝m．∵CB＝CD＝m，∠BCD＝90°，∴∠CBD＝∠CDB＝45°，BD＝AD=2m∴∠DBA＝∠DAB，∵∠BDC＝∠DBA+∠DAB，∴∠BAD＝∠DBA＝22.5°，∵∠ADE＝∠CDB＝45°，∠AED＝90°，∴∠DAE＝∠ADE＝45°，∴∠FAE＝22.5°+45°＝67.5°，∵FA＝FE，∴∠AEF＝∠FAE＝67.5°，∴∠AGE＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，∴∠AGE＝∠AEG＝67.5°，∴AE＝AG，∵AD=2m，AE＝DE∴AE＝DE＝m，∴AG＝m，∴CG＝AC﹣AG＝m+2m﹣m=2∴CGAE故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．34．已知∠MON＝90°，線段AB長(zhǎng)為6cm，AB兩端分別在OM、ON上滑動(dòng)，以AB為邊作正方形ABCD，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)P，連接OC．（1）求證：無(wú)論點(diǎn)A、點(diǎn)B怎樣運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P都在∠AOB的平分線上；（2）若OP＝42，求OA的長(zhǎng)．（3）求OC的最大值（提示：取AB的中點(diǎn)Q，連接CQ、OQ，運(yùn)用兩點(diǎn)之間，線段最短）【分析】（1）作PE⊥OM、PF⊥ON垂足分別為E、F，根據(jù)AAS判定△PAE≌△PBF，即可得出PE＝PF，進(jìn)而得到點(diǎn)P在∠AOB的平分線上；（2）根據(jù)四邊形OEPF是正方形，OP＝42，可得OE＝PE＝4，再根據(jù)Rt△APB中，AB＝6，可得PA＝32，進(jìn)而得到Rt△AEP中，AE=2，據(jù)此可得OA（3）取AB的中點(diǎn)Q，連接OQ，CQ，OC，根據(jù)AB長(zhǎng)度不變，BC長(zhǎng)度不變，可得Rt△AOB中，OQ=12AB＝3，Rt△BCQ中，CQ＝35，再根據(jù)OQ+CQ≥OC，可得當(dāng)O，C，Q三點(diǎn)共線時(shí)，OC有最大值，進(jìn)而得到OC最大值＝OQ+QC＝3+3【解答】解：（1）如圖，作PE⊥OM、PF⊥ON垂足分別為E、F，則∠PEA＝∠PFB＝90°＝∠EOF，∴∠EPF＝90°，∵ABCD是正方形，∴PA＝PB，且∠APB＝90°，∴∠APE+∠BPE＝∠BPF+∠BPE，即∠APE＝∠BPF，在△AEP和△BFP中，∠PEA=∠PFB∠APE=∠BPF∴△PAE≌△PBF（AAS），∴PE＝PF，即點(diǎn)P在∠AOB的平分線上；（2）∵四邊形OEPF是正方