【函數(shù)與方程思想在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用探究7300字（論文）】

函數(shù)與方程思想在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用探究目錄TOC\o"1-2"\h\u8587函數(shù)與方程思想在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用探究 131597一、前言 126822（一）研究背景 126924（二）研究意義 28792（三）研究框架 219631二、函數(shù)與方程思想分析 332073（一）函數(shù)與方程思想概述 32313（二）關(guān)于學(xué)生對函數(shù)與方程思想的掌握程度 318381（三）教師對函數(shù)與方程思想的教學(xué)可能存在的問題 330056三、函數(shù)與方程思想的典型應(yīng)用研究 416148（一）運用函數(shù)思想解決含參數(shù)問題 431240（二）運用函數(shù)思想證明不等式 54851（三）運用方程思想解決幾何問題 630158（四）運用函數(shù)與方程思想構(gòu)建方程組 725492（五）運用函數(shù)與方程思想確定實根的個數(shù) 914768（六）運用函數(shù)與方程思想解決應(yīng)用型問題 1029122四、教學(xué)案例研究 114173（一）教學(xué)過程中運用函數(shù)思想解題案例分析 1116023（二）教學(xué)過程中運用方程思想解題案例分析 1215209（三）教學(xué)過程中運用函數(shù)與方程思想解題案例分析 1232146（四）教學(xué)案例總結(jié) 1324106五、結(jié)論 135214參考文獻 14摘要函數(shù)與方程的思想方法可以直接將一些抽象復(fù)雜的問題簡單化，轉(zhuǎn)換數(shù)量關(guān)系，用主觀的函數(shù)圖像替代抽象的數(shù)量關(guān)系，進而搭建解決抽象數(shù)學(xué)問題的橋梁。此外，函數(shù)與方程一直是中高考的熱點、重點，難點問題。本文闡述了函數(shù)與方程思想的概念，并分析函數(shù)與方程思想教學(xué)中可能存在的問題，同時探討了函數(shù)與方程思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中六類典型問題中的應(yīng)用，最后提出了幾點關(guān)于函數(shù)與方程思想的學(xué)習(xí)建議和教學(xué)策略。關(guān)鍵詞函數(shù)與方程思想，中學(xué)數(shù)學(xué)，典型問題應(yīng)用研究，教學(xué)策略一、前言（一）研究背景函數(shù)與方程思想包含了函數(shù)思想和方程思想兩方面。所謂函數(shù)思想，主要指利用函數(shù)的性質(zhì)與概念進行數(shù)學(xué)問題的分析、轉(zhuǎn)換與解決，而對于方程思想而言，則是依據(jù)數(shù)學(xué)問題當(dāng)中存有的數(shù)量關(guān)系，應(yīng)用學(xué)習(xí)與掌握的相關(guān)數(shù)學(xué)語言，將數(shù)學(xué)問題中已知的條件轉(zhuǎn)變?yōu)榭捎行Ы鉀Q問題的數(shù)學(xué)模型。函數(shù)與方程思想在教師教與學(xué)生學(xué)的過程當(dāng)中，通常會遇到很多函數(shù)問題，教師需引導(dǎo)學(xué)生通過函數(shù)與方程的思想解決與理解相關(guān)數(shù)學(xué)問題，這不僅能促使學(xué)生實現(xiàn)靈活的運用相關(guān)解題思想，而且還能實現(xiàn)高效解題，從而使學(xué)生的解題正確率與效率得到有效提高。（二）研究意義在運用函數(shù)思想解決問題時，探究的是定量與變量之間的關(guān)系，而方程思想是分析數(shù)學(xué)問題中變量間的等量關(guān)系，這兩種思想相輔相成。函數(shù)與方程思想是中學(xué)數(shù)學(xué)的基本思想，更是中學(xué)數(shù)學(xué)的主線，加強對函數(shù)與方程思想教與學(xué)的探究很有理論價值。中高考注重對學(xué)生“知識聯(lián)系實際”的考查，實際問題中往往蘊含著函數(shù)與方程，教師如何合理進行中學(xué)數(shù)學(xué)在函數(shù)與方程思想方面的有效教學(xué)，以及學(xué)生如何有效學(xué)習(xí)并靈活應(yīng)用函數(shù)與方程思想解題是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)要探索的一個重要課題。（三）研究框架第一，通過對函數(shù)與方程思想相關(guān)文獻資料的分析，在教學(xué)過程中往往會出現(xiàn)學(xué)生對方程與函數(shù)思想認識不夠，不能靈活運用函數(shù)與方程思想，有些含參問題，幾何問題，不等式證明等都可以運用函數(shù)與方程思想構(gòu)建函數(shù)或者構(gòu)建方程（組）來解決，教材中運用函數(shù)與方程思想解決的題目不夠系統(tǒng)化，針對這些問題本文主要研究函數(shù)與方程思想的相關(guān)典型例題，并提供一些有關(guān)教學(xué)與學(xué)習(xí)的建議。第二，通過查閱近年來數(shù)學(xué)高考題目，列舉了幾類典型的運用函數(shù)與方程思想解決的問題，例題的分析提供了清晰的解題思路與計算過程以便真有有效的解決本文研究的問題。第三，基于典型例題的分析，突出函數(shù)與方程思想的重要性、有效性、準確性，對教材中涉及函數(shù)與方程思想的數(shù)學(xué)內(nèi)容進行歸納分類，并將其按函數(shù)思想、方程思想、函數(shù)與方程思想這三大類進行梳理，并結(jié)合具體的案例指導(dǎo)進行說明，在最后結(jié)合自己的經(jīng)驗并提出相關(guān)的教學(xué)建議。二、函數(shù)與方程思想分析（一）函數(shù)與方程思想概述函數(shù)與方程思想是中學(xué)數(shù)學(xué)基本思想之一，函數(shù)思想是指利用函數(shù)的概念和性質(zhì)分析問題、轉(zhuǎn)化問題、解決問題的思維策略。方程思想是指運用方程解決問題，也是對方程概念本質(zhì)的認識，主要分析數(shù)學(xué)問題間的各種變量。將這兩者結(jié)合運用從另一面降低數(shù)學(xué)問題的難度，用一種更清晰更有效的思路解決數(shù)學(xué)問題。它們的共同點就是把數(shù)學(xué)問題以函數(shù)、方程或者兩者的結(jié)合的方式進行轉(zhuǎn)化，在一定程度上降低原題目的難度，繼而通過其相關(guān)知識解出答案。（二）關(guān)于學(xué)生對函數(shù)與方程思想的掌握程度大部分的學(xué)生都知道函數(shù)與方程思想，但是大部分學(xué)生對函數(shù)與方程概念模棱兩可，只有少部分學(xué)生能用其解決實際問題。主要的問題有：(1)學(xué)生對函數(shù)與方程思想的重視不夠。學(xué)生在解題時注重能否將題目解出，忽略了解題的過程，解題方法，而且函數(shù)與方程思想是教材上沒有的，學(xué)生的潛意識里認為函數(shù)與方程思想很難學(xué)會，覺得不重要，不想學(xué)[4]。(2)學(xué)生的函數(shù)與方程相關(guān)的基礎(chǔ)知識掌握程度不夠。函數(shù)、方程是中學(xué)最重要，占比最多的一部分，貫穿著整個中學(xué)數(shù)學(xué)，這方面的知識點也是逐步積累下來的，但凡有一個學(xué)期或者是一個章節(jié)沒有夯實基礎(chǔ)，對后續(xù)的函數(shù)與方程的學(xué)習(xí)都有很大的影響，進而造成知識性脫節(jié)的后果。(3)很少運用函數(shù)與方程思想解題。在教師解決函數(shù)與方程的題目時，感覺自己聽懂了，但是學(xué)生獨立解題時不知從何下筆，解題思路模糊甚至沒有解題思路，這也是學(xué)生普遍存在的問題。在老師的幫助下才能夠運用函數(shù)與方程思想解題，沒有形成自己的解題思路。(4)學(xué)生對函數(shù)與方程思想歸類反思不夠。中學(xué)數(shù)學(xué)的課堂題目在教師講解后機要能聽懂也要做好筆記，而做筆記更需要學(xué)生能夠?qū)㈩}目進行歸類，反思并總結(jié)，消化解題思路。這樣的學(xué)習(xí)習(xí)慣是大部分學(xué)生所欠缺的，有的學(xué)生上課可能記了筆記，但是沒聽懂，也有既聽懂了又記了筆記的，但是缺少了對題目進行歸納反思總結(jié)這一環(huán)節(jié)。（三）教師對函數(shù)與方程思想的教學(xué)可能存在的問題學(xué)生反映教師上課提到函數(shù)與方程思想頻率一般的占比25%，非常少占比75%[4]。教師在教學(xué)時存在的問題：(1)教師對函數(shù)與方程思想的教學(xué)不夠重視。僅僅有簡單解題思路分析，缺少對函數(shù)與方程思想專題分析。(2)教師的教學(xué)方式未突出函數(shù)與方程思想。在教學(xué)設(shè)計上，可能忙于教學(xué)進度，未設(shè)計專題練習(xí)，歸納函數(shù)與方程思想的習(xí)題，進而導(dǎo)致函數(shù)與方程思想的引導(dǎo)有所欠缺，(3)教學(xué)過程中提起函數(shù)與方程思想的頻率不夠。有些老師自身未形成知識體系，只針對具體題目做出了解析，很少提及甚至未提及這是一種函數(shù)與方程思想。三、函數(shù)與方程思想的典型應(yīng)用研究為了突出函數(shù)與方程思想在中學(xué)中的重要地位，以及該思想方法在解題中的有效性，本文列舉了中學(xué)數(shù)學(xué)中比較常見的幾類問題，以便引起中學(xué)數(shù)學(xué)老師及學(xué)生更多的關(guān)注。（一）運用函數(shù)思想解決含參數(shù)問題例題3.1（2020全國Ⅰ卷第21.2題）已知函數(shù)f(x)=ex+ax2?x，當(dāng)分析：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、不等式恒成立問題等，運用函數(shù)思想構(gòu)建新的函數(shù)模型，再通過函數(shù)的性質(zhì)，導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)解決原問題。解：依題意得：f(x)≥1設(shè)函數(shù)g(x)=(12x3?axg'(x)=?(=?12x[=?(i)若2a+1≤0，即a≤?12，則當(dāng)x∈(0,2)時，∴g(x)在(0,2)單調(diào)遞增，而g(0)=1，∴當(dāng)x∈(0,2)時，g(x)>1，不合題意(ii)若0<2a+1<2，即?1當(dāng)x∈(0,2a)∪(2,+∞)時，當(dāng)x∈(2a+1,2)時，∴g(x)在(2a+1,2)單調(diào)遞增，在(0,2a),(2,+∞)單調(diào)遞減而g(0)=1∴g(x)≤1當(dāng)且僅當(dāng)g(2)=(7?4a)e?2≤1即a≥∴當(dāng)7?e2g(x)≤(12∵0∈[由（ii）可得(∴當(dāng)a≥12綜上，a的取值范圍是[（二）運用函數(shù)思想證明不等式例題3.2（2020全國Ⅱ卷第21題）已知函數(shù)f(x)=sin（1）討論f(x)在區(qū)間(0,π)的單調(diào)性；（2）證明：f(x)≤分析：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、三角恒等變換、不等式的證明，運用三角函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，將問題進行轉(zhuǎn)化，這也是函數(shù)思想的一種。解：（1）f=2sinxcosxsin2x+2=2sinxsin3x當(dāng)x∈(0,π3當(dāng)x∈(π3∴f(x)在區(qū)間(0,π在區(qū)間(π∵f(0)=f(π)=0由（1）知f(x)在[0,π]的最大值為f(最小值為f(而f(x)是周期為π的周期函數(shù)∴f(x)（三）運用方程思想解決幾何問題例題3.3（2020全國Ⅲ卷第15題）已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為多少？分析：本題主要考查圓錐的內(nèi)切球，運用方程思想，根據(jù)垂直關(guān)系構(gòu)建關(guān)于內(nèi)切球半徑的方程。解：依題意可知，圓錐內(nèi)最大的球為內(nèi)切球，圓錐PE及其內(nèi)切球O如圖3.3所示設(shè)內(nèi)切球的半徑為r，PB=3,BE=1則sin∠BPE=∴OP=3r∴OP=3r∴PE=4r=∴r=∴內(nèi)切球的體積：V=即該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為23圖3.3（四）運用函數(shù)與方程思想構(gòu)建方程組例題3.4（2019全國Ⅰ卷第19題）已知拋物線C：y2=3x的焦點為F，斜率為(1)若AF+(2)若AP=3BP，求分析：本題考查拋物線的標準方程及簡單的幾何性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系。平面向量共線等知識，運用函數(shù)與方程思想，聯(lián)立直線與拋物線方程，構(gòu)建方程組解出所需答案。解：設(shè)直線l：y=32x+b，A(依題意得：F(34,0)則AF∴x聯(lián)立直線l與拋物線C的方程：y=∴x解的：b=?∴l(xiāng)的方程為：y=圖3.4.1由AP=3BP如圖可得y1由y=∴y∴?3y2代入C的方程可解得x∴AB圖3.4.2（五）運用函數(shù)與方程思想確定實根的個數(shù)例題3.5試確定關(guān)于x方程x3分析：本題考查方程與函數(shù)的聯(lián)系，函數(shù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)圖像的應(yīng)用。運用函數(shù)與方程思想將方程問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，判斷導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性分析原函數(shù)的極值，再結(jié)合函數(shù)圖像的性質(zhì)進行判斷、討論。解：設(shè)函數(shù)f(x)=則f'易知函數(shù)f(x)在(?∞,?1),(3,+∞)上單調(diào)遞增在(?1,3)上單調(diào)遞減∴f(x)的極大值為f(?1)=5+m極小值為f(3)=m?27顯然f(?1)>f(3)(i)當(dāng)f(3)>0，即m>27時f(x)圖像與x軸交點只有一個∴f(x)=0方程的實根只有一個，且在(?∞,?1)內(nèi)(ii)當(dāng)f(3)=0，即m=27時f(x)圖像與x軸交點有兩個∴f(x)=0方程的實根有兩個，一個根為x=3，一個根在(?∞,?1)內(nèi)(iii)當(dāng)f(3)<0f(?1)>0，即?5<m<27f(x)圖像與x軸交點有三個∴f(x)=0方程的實根有三個，一個根在(?∞,?1)內(nèi)，一個根在(?1,3)內(nèi)，一個根在(3,+∞)內(nèi)(iv)當(dāng)f(?1)=0，即m=?5時f(x)圖像與x軸交點有兩個∴f(x)=0方程的實根有兩個，一個根為x=?1，一個根在(3,+∞)內(nèi)(v)當(dāng)f(?1)<0，即m<?5時f(x)圖像與x軸交點只有一個∴f(x)=0方程的實根只有一個，且在(3,+∞)內(nèi)。（六）運用函數(shù)與方程思想解決應(yīng)用型問題例題3.6已知M、N兩處相距900千米。有兩輛汽車分別從M處出發(fā)前往N處?？燔噭蛩傩旭傋咄耆绦枰?0小時，慢車勻速走完全程為15小時?，F(xiàn)兩車分別從M、N兩處同時出發(fā)，相向而行，求車輛出發(fā)到兩車相遇，兩車之間的距離f(x)與行駛時間x的關(guān)系，并給出x的取值范圍[1]。分析：本題主要考查方程的等量關(guān)系，函數(shù)概念的實際應(yīng)用，函數(shù)的定義域。運用函數(shù)與方程思想，找到等量關(guān)系，構(gòu)建函數(shù)模型。解：依題意得:快車的速度為90千米/小時，慢車的速度為60千米/小時。則f(x)=9當(dāng)f(x)=0時，兩車相遇，即：9解得x=6∴x的取值范圍為[0，6]。四、教學(xué)案例研究通過以上中學(xué)數(shù)學(xué)典型例題的分析可以得到：在函數(shù)與方程思想的教學(xué)中，“函數(shù)”與“方程”是教學(xué)的重點，這兩方面的基礎(chǔ)打扎實，運用函數(shù)與方程思想就會很靈活。那么在教學(xué)時，教育者要保證學(xué)生在教學(xué)函數(shù)的概念、函數(shù)的解析式與定義域、函數(shù)的值域與最值、函數(shù)圖像性質(zhì)、基本初等函數(shù)及其性質(zhì)等中學(xué)函數(shù)基礎(chǔ)知識以及中學(xué)方程基礎(chǔ)知識的教學(xué)質(zhì)量，并幫助學(xué)生構(gòu)建函數(shù)與方程的知識體系。（一）教學(xué)過程中運用函數(shù)思想解題案例分析案例4-1：運用函數(shù)思想構(gòu)建函數(shù)，再將函數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化為參數(shù)關(guān)系，就像例題（3.1）利用題目條件所給的函數(shù)關(guān)系構(gòu)建一個新的函數(shù)，再利用函數(shù)的性質(zhì)，導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用得出參數(shù)的關(guān)系進而解出參數(shù)的取值（范圍）。在解題過程中，教育者首先要引導(dǎo)學(xué)生思考：總的解題方向是什么？怎么轉(zhuǎn)化不等式f(x)≥12x3+1更益于解題？（設(shè)計意圖：通過提出問題，將學(xué)生的思維往函數(shù)上引導(dǎo)，體現(xiàn)函數(shù)思想，為后續(xù)運用函數(shù)思想解題做鋪墊。）不等式轉(zhuǎn)化成(12案例4-2：運用函數(shù)思想證明不等式成立，就像例題（3.2）利用函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值，函數(shù)的周期性等性質(zhì)直接證明了不等式的成立；在教學(xué)過程中，啟示學(xué)生：證明關(guān)于函數(shù)的不等式成立，等價于恒成立問題，而恒成立問題即是函數(shù)的最值問題。題目（2）中證明f(x)可轉(zhuǎn)化為?33至此，我們只需運用函數(shù)性質(zhì)，計算其最值，加以說明即可作用：能夠有效的將題目難度降下來，直觀地體現(xiàn)函數(shù)思想的優(yōu)點①：詳細請參見5.1學(xué)習(xí)建議（二）教學(xué)過程中運用方程思想解題案例分析案例4-3：有運用方程思想求幾何圖形的面積、幾何體的體積等問題，本文的例題（3.3）則是根據(jù)題設(shè)已知條件，構(gòu)建關(guān)于半徑的方程，進而求答案，將變量轉(zhuǎn)為常量，將復(fù)雜問題簡單化，抽象問題直觀化；在教學(xué)過程中，教師帶領(lǐng)學(xué)生分析出最大的球體為圓錐的內(nèi)切球，但是內(nèi)切球的半徑是未知量，那不妨設(shè)半徑為r（設(shè)計意圖：將未知量或者變量轉(zhuǎn)化為常量），通過△POC和△PEB這兩個直角三角形，將題目已知的底面半徑與母線的關(guān)系轉(zhuǎn)化到半徑r與PO的關(guān)系，再通過直角三角形的勾股定理建立含r的方程，進而得出半徑，繼而求出球體表面積與體積。(設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生運用方程思想，將題目已知條件進行轉(zhuǎn)化。含有未知量時可以運用方程思想構(gòu)建方程，更直觀的準確的求出重要數(shù)值，突出方程思想的優(yōu)勢。)（三）教學(xué)過程中運用函數(shù)與方程思想解題案例分析案例4-4：有運用函數(shù)與方程的思想解答曲線方程的相關(guān)數(shù)學(xué)問題，如例題（3.4）所述，通過題設(shè)信息，繪制函數(shù)圖像，經(jīng)過分析，聯(lián)立直線與拋物線方程，構(gòu)建方程組，在運用根與系數(shù)的關(guān)系得到答案；在教學(xué)過程中，提示學(xué)生：圓錐曲線方程猶如函數(shù)，但有本質(zhì)區(qū)別，方程與函數(shù)是相關(guān)聯(lián)的，可以把兩者結(jié)合運用，此題直線l的方程是不確定的，那我們可以根據(jù)一次函數(shù)的圖像是一條直線來假設(shè)直線方程：y=3案例4-5：有如例題（3.5）運用函數(shù)與方程思想，將題目方程問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像與x軸的交點問題，交點的個數(shù)就是原方程的實根個數(shù)，這也是方程與函數(shù)之間的聯(lián)系；在教學(xué)過程中，帶領(lǐng)學(xué)生分析方程，發(fā)現(xiàn)這不是一元二次方程，而是一元三次方程，用方程根的判別方法是解不出這道題的。此時提醒同學(xué)，把等號左邊的項看成一個函數(shù)f(x)=x3?3案例4-6：在應(yīng)用型問題中也可以運用函數(shù)與方程思想，如例題（3.6）根據(jù)題設(shè)已知常量，找出等量關(guān)系構(gòu)建函數(shù)模型，結(jié)合實際問題對函數(shù)進行有效定義域的判斷。在教學(xué)過程中，幫助學(xué)生理清解題思路，為學(xué)生提供簡單直接有效的解題方法，此題旨在構(gòu)建函數(shù)關(guān)系，分析已給信息，沒有直接的函數(shù)關(guān)系可以運用，但是有等量關(guān)系，可以構(gòu)建方程，而構(gòu)建方程需要假設(shè)未知量，此題有兩個未知量：兩車之間的距離f(x)、行駛時間x。處理好未知量，找等量關(guān)系；f(x)=900?(90+60)x，建立好一元二次方程，也解決了兩車之間的距離f(x)與行駛時間x的（四）教學(xué)案例總結(jié)以上函數(shù)與方程典型例題的分析，教學(xué)案例的研究，都是為了讓學(xué)生接納，認可，學(xué)習(xí)并運用函數(shù)與方程思想，函數(shù)與方程思想的優(yōu)點有很多，能解決含參問題、不等式問題，幾何問題等多種中學(xué)數(shù)學(xué)常見題型。教師在教學(xué)過程中要頻繁的提起函數(shù)與方程思想，這種數(shù)學(xué)思想不僅是中學(xué)四大數(shù)學(xué)思想之一，更是提升學(xué)生應(yīng)對考試的技巧、數(shù)學(xué)的修養(yǎng)。五、結(jié)論函數(shù)與方程是數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，亦是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，函數(shù)與方程思想的靈活運用不僅能有效的解決相關(guān)數(shù)學(xué)問題，也能提升解題效率，增加解體的準確性。從中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科看，函數(shù)與方程是中高考的熱點重點，也是難點，正是在教師的函數(shù)與方程思想的引導(dǎo)下，增強了中學(xué)生的應(yīng)考技巧，提升了考生的做題效率與正確率。在數(shù)學(xué)思想中，函數(shù)與方程思想是很突出的、重要的，能夠?qū)?fù)雜的問題簡單化，抽象的問題直觀化，通過將題目的已知條件轉(zhuǎn)化為方程（組）或者函數(shù)關(guān)系，再利用方程、函數(shù)的相關(guān)知識求解出所需答案，系統(tǒng)且清晰地解決問題。教師在研究函數(shù)與方程思想時要概述函數(shù)與方程思想的概念與研究意義，并且具體地分析其實際應(yīng)用，理論聯(lián)系實際，形象且具體地培養(yǎng)學(xué)生的函數(shù)與方程思想，幫助學(xué)生建立函數(shù)與方程的思維導(dǎo)圖，構(gòu)建函數(shù)