1.3集合的基本運(yùn)算（第1課時(shí)并集和交集）課件高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版

1.3集合的基本運(yùn)算第1課時(shí)并集和交集第一章集合與常用邏輯用語人教A版

數(shù)學(xué)

必修第一冊(cè)基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升目錄索引

學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解兩個(gè)集合的并集與交集的含義,能正確運(yùn)用符號(hào)表示.(數(shù)學(xué)抽象)2.能求兩個(gè)集合的并集與交集.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)3.能使用Venn圖、數(shù)軸等方式表達(dá)集合的基本關(guān)系與基本運(yùn)算,體會(huì)圖形的直觀作用.(直觀想象)4.理解集合的關(guān)系與集合運(yùn)算之間的聯(lián)系,能相互轉(zhuǎn)化.(邏輯推理)基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過知識(shí)點(diǎn)一:并集

文字語言符號(hào)語言圖形語言由

屬于集合A

屬于集合B的元素組成的集合,稱為集合A與B的并集

A∪B=

A∪B所有

或

{x|x∈A,或x∈B}名師點(diǎn)睛對(duì)并集概念的理解(1)兩個(gè)集合的并集是一個(gè)集合.(2)并集符號(hào)語言中的“或”與生活中的“或”含義有所不同.生活中的“或”是只取其一,并不兼存,而并集中的“或”連接的并列成分之間不一定是互斥的,如“x∈A或x∈B”包括下列三種情況:①x∈A,且x?B;②x?A,且x∈B;③x∈A,且x∈B.可用下圖形象地表示.(3)并集的運(yùn)算性質(zhì):性質(zhì)說明A∪B=B∪A滿足交換律A∪?=A任何集合與空集的并集仍為集合本身A∪A=A集合與集合本身的并集仍為集合本身(A∪B)∪C=A∪(B∪C)多個(gè)集合的并集滿足結(jié)合律若A∪B=B,則A?B并集關(guān)系與子集關(guān)系的轉(zhuǎn)化A?(A∪B),B?(A∪B)任何集合都是該集合與另一集合并集的子集微思考集合A={1,2,3,4},B={3,4,5,6},C={1,2,3,4,5,6},根據(jù)并集的定義可知,C=A∪B.集合A中有4個(gè)元素,集合B中也有4個(gè)元素,集合C中卻只有6個(gè)元素,而不是8個(gè)元素,為什么?提示

集合中元素的互異性,相同的元素只出現(xiàn)一次.知識(shí)點(diǎn)二:交集

文字語言符號(hào)語言圖形語言由

屬于集合A

屬于集合B的元素組成的集合,稱為集合A與B的交集

A∩B=

所有

且

{x|x∈A,且x∈B}名師點(diǎn)睛對(duì)交集概念的理解(1)對(duì)于“A∩B={x|x∈A,且x∈B}”,關(guān)鍵在于對(duì)文字定義中“所有”二字的理解.舉例說明:若A={1,2,3},B={2,3,4},則A∩B={2,3},即所有公共的元素組成的集合,而不是{2}或{3}.(2)并不是任意兩個(gè)集合總有公共元素,當(dāng)集合A與集合B沒有公共元素時(shí),不能說集合A與集合B沒有交集,而是A∩B=?.(3)交集的運(yùn)算性質(zhì):性質(zhì)說明A∩B=B∩A滿足交換律A∩?=?空集與任何集合的交集都為空集A∩A=A集合與集合本身的交集仍為集合本身(A∩B)∩C=A∩(B∩C)多個(gè)集合的交集滿足結(jié)合律(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)多個(gè)集合的綜合運(yùn)算(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)滿足分配律若A∩B=A,則A?B交集關(guān)系與子集關(guān)系的轉(zhuǎn)化(A∩B)?A,(A∩B)?B兩個(gè)集合的交集是其中任一集合的子集微思考(1)若集合A={1,2,3,4},B={5,6,7},A∩B存在嗎?

(2)若兩個(gè)集合A,B的交集是空集,則兩個(gè)集合有什么特征?提示

A與B沒有公共元素,但A∩B存在,為?.提示

若兩個(gè)集合A,B的交集是空集,則兩個(gè)集合至少有一個(gè)集合是空集或者兩個(gè)集合不是空集,但是兩個(gè)集合沒有公共元素.知識(shí)點(diǎn)三:并集、交集與子集的聯(lián)系

性質(zhì)說明若A∪B=B,則A?B并集關(guān)系與子集關(guān)系的轉(zhuǎn)化若A∩B=A,則A?B交集關(guān)系與子集關(guān)系的轉(zhuǎn)化微思考以什么方式理解“若A∪B=B,則A?B”較直觀?提示

用Venn圖來表示較直觀,如圖.重難探究·能力素養(yǎng)速提升問題1類比實(shí)數(shù)之間的大小關(guān)系、相等關(guān)系,得到了集合之間的子集、相等關(guān)系等.根據(jù)數(shù)學(xué)研究對(duì)象的一般思路,接下來就應(yīng)該研究運(yùn)算問題.類比實(shí)數(shù)的運(yùn)算,集合之間的運(yùn)算又可以研究什么?如何研究?問題2對(duì)于集合A={1,3,5},B={2,3,4},C={1,2,3,4,5},D={3},分析集合C與集合A,B的關(guān)系,類比實(shí)數(shù)的加法運(yùn)算,能否推測(cè)集合可能的運(yùn)算?分析集合D與集合A,B的關(guān)系,又能推測(cè)集合的什么運(yùn)算?探究點(diǎn)一集合的并集與交集運(yùn)算問題3集合運(yùn)算的關(guān)鍵是正確識(shí)別運(yùn)算符號(hào),選擇合適的方法來表示運(yùn)算.是不是這樣呢?【例1】

(1)已知集合A={x|x2-4x+3=0},集合B={x|(x-3)(x+1)=0},求A∩B,A∪B.解∵集合A={x|x2-4x+3=0},∴A={1,3}.∵集合B={x|(x-3)(x+1)=0},∴B={-1,3}.∴A∩B={3},A∪B={-1,1,3}.規(guī)律方法

求兩個(gè)集合交集、并集的方法用列舉法表示的數(shù)集,可以根據(jù)交集、并集的定義直接觀察或用Venn圖表示出集合運(yùn)算的結(jié)果.要注意,若集合不是最簡(jiǎn)形式,需要先化簡(jiǎn)集合,求并集時(shí),不是單純的合并元素,相同的元素只能寫一次(集合元素的互異性).若是用描述法表示的數(shù)集,則可借助數(shù)軸分析寫出結(jié)果.利用數(shù)軸時(shí),要注意端點(diǎn)的取舍及實(shí)(空)心點(diǎn)的表示.【例2】

在學(xué)校大力倡導(dǎo)“一生一體藝”活動(dòng)的指引下,某班45名學(xué)生,每名學(xué)生都有一項(xiàng)或兩項(xiàng)愛好,歸結(jié)為藝術(shù)與體育兩大愛好.假設(shè)有藝術(shù)愛好者22人,體育愛好者28人,則同時(shí)愛好這兩項(xiàng)的有(

)A.4人

B.5人

C.6人

D.7人B解析

由題意可得Venn圖,如圖所示,由圖可知,同時(shí)愛好這兩項(xiàng)的有22+28-45=5(人),故選B.探究點(diǎn)二已知集合的交集、并集求參數(shù)的值或取值范圍問題4已知集合求相應(yīng)集合運(yùn)算是一種正向思維的體現(xiàn),但數(shù)學(xué)研究經(jīng)常會(huì)反其道而行之,逆向而行.據(jù)此,你能提出什么問題?【例3】

已知a∈R,集合A={-4,2a-1,a2},B={a-5,1-a,9}.若9∈(A∩B),則實(shí)數(shù)a的值為

.

分析

9∈A∩B說明9∈A,通過分類討論建立關(guān)于a的方程求解,注意求出a的值后要代入集合A,B中,看是否滿足集合中元素的互異性.5或-3解析

∵9∈(A∩B),∴9∈A且9∈B,∴2a-1=9或a2=9,解得a=5或a=±3.當(dāng)a=5時(shí),A={-4,9,25},B={0,-4,9},符合題意;當(dāng)a=3時(shí),A={-4,5,9},B不滿足集合中元素的互異性,故a≠3;當(dāng)a=-3時(shí),A={-4,-7,9},B={-8,4,9},符合題意.綜上可得a的值為5或-3.延伸探究例3中,將“9∈(A∩B)”改為“A∩B={9}”,其余條件不變,求實(shí)數(shù)a的值及A∪B.解

∵A∩B={9},∴9∈A.∴2a-1=9或a2=9,解得a=5或a=±3.當(dāng)a=5時(shí),A={-4,9,25},B={0,-4,9},由于A∩B={-4,9},不符合題意,故a≠5;當(dāng)a=3時(shí),A={-4,5,9},B不滿足集合中元素的互異性,故a≠3;當(dāng)a=-3時(shí),A={-4,-7,9},B={-8,4,9},且A∩B={9},符合題意.綜上可得a=-3.此時(shí)A∪B={-8,-4,-7,4,9}.規(guī)律方法

已知兩個(gè)有限集運(yùn)算結(jié)果求參數(shù)值已知兩個(gè)有限集的運(yùn)算結(jié)果求參數(shù)值的問題,一般先用觀察法得到不同集合中元素之間的關(guān)系,再列方程求解.另外,在處理有關(guān)含參數(shù)的集合問題時(shí),要特別注意對(duì)求解結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn),以免違背集合中元素的有關(guān)特性,尤其是互異性.【例4】

集合A={x|-1<x<1},B={x|x<a}.(1)若A∩B=?,求a的取值范圍;(2)若A∪B={x|x<1},求a的取值范圍.解(1)∵A={x|-1<x<1},B={x|x<a},且A∩B=?,∴a≤-1,即a的取值范圍為{a|a≤-1}.(2)∵A={x|-1<x<1},B={x|x<a},且A∪B={x|x<1},∴-1<a≤1,即a的取值范圍為{a|-1<a≤1}.規(guī)律方法

已知集合運(yùn)算求參數(shù)的取值范圍的思路此類問題常借助數(shù)軸解決,首先在數(shù)軸上表示出集合,然后根據(jù)已知條件及數(shù)軸列出關(guān)于參數(shù)的不等式(組)求解.要注意端點(diǎn)值的取舍,這里特別容易出錯(cuò).端點(diǎn)在不確定的時(shí)候,代入檢驗(yàn)一下會(huì)比較好.當(dāng)集合的元素離散時(shí),常借助集合的關(guān)系列方程(組)求解,但求解后要代入檢驗(yàn)參數(shù)是否符合題意.探究點(diǎn)三集合的交集、并集與子集的聯(lián)系問題5若兩個(gè)集合的交集或并集的運(yùn)算是一種特殊情形,比如就是其中一個(gè)集合,如A∪B=A,則集合A,B會(huì)有什么關(guān)系?如何理解?【例5】

設(shè)集合M={x|-2<x<5},N={x|2-t<x<2t+1,t∈R},若M∪N=M,則實(shí)數(shù)t的取值范圍為

.

{t|t≤2}延伸探究將例5條件中“M∪N=M”改為“M∩N=M”,其余不變,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.解

由M∩N=M,得M?N,故N≠?.用數(shù)軸(略)表示兩個(gè)集合,要滿足條件,需

解得t≥4.所以t的取值范圍為{t|t≥4}.規(guī)律方法

求解與集合的交集或并集有關(guān)的性質(zhì)問題,首先應(yīng)根據(jù)性質(zhì)特征將條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系.常見的性質(zhì)有:A∩B=A?A?B;A∪B=A?B?A.對(duì)于子集關(guān)系,謹(jǐn)記子集的分類,注意子集為空集的情況.【例6】

設(shè)A={x|x2-2x=0},B={x|x2-2ax+a2-a=0}.(1)若A∩B=B,求a的取值范圍;(2)若A∪B=B,求a的值.解由x2-2x=0,得x=0或x=2.∴A={0,2}.(1)∵A∩B=B,∴B?A,B=?,{0},{2},{0,2}.當(dāng)B=?時(shí),Δ=4a2-4(a2-a)=4a<0,∴a<0;綜上所述,a的取值范圍是{a|a=1,或a≤0}.(2)∵A∪B=B,∴A?B.∵A={0,2},而B中方程至多有兩個(gè)根,∴A=B,由(1)知a=1.規(guī)律方法

利用交集、并集運(yùn)算求參數(shù)的思路(1)涉及A∩B=B或A∪B=A的問題,可利用集合的運(yùn)算性質(zhì),轉(zhuǎn)化為相關(guān)集合之間的關(guān)系求解,要注意空集的特殊性.(2)將集合中的運(yùn)算關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個(gè)集合之間的關(guān)系.若集合中的元素能一一列舉,則可用觀察法得到不同集合中元素之間的關(guān)系,要注意集合中元素的互異性;與不等式有關(guān)的集合,則可利用數(shù)軸得到不同集合之間的關(guān)系.學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)123456789101112A級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練1.已知集合A={-1,0,1},集合B={x∈N|x2=1},那么A∪B=(

)A.{1} B.{0,1}C.{-1,1} D.{-1,0,1}D解析

由題意,集合A={-1,0,1},B={x∈N|x2=1}={1},所以A∪B={-1,0,1}.故選D.1234567891011122.[2024新高考Ⅰ,1]已知集合A={x|-5<x3<5},B={-3,-1,0,2,3},則A∩B=(

)A.{-1,0} B.{2,3}C.{-3,-1,0} D.{-1,0,2}A1234567891011123.國(guó)慶假期期間,高一某班35名學(xué)生去電影院觀看了甲、乙兩部電影中的一部或兩部.其中有23人觀看了甲電影,有20人觀看了乙電影,則同時(shí)觀看了這兩部電影的人數(shù)為(

)A.8 B.10 C.12 D.15A解析

由已知得同時(shí)觀看了這兩部電影的人數(shù)為23+20-35=8.故選A.1234567891011124.

已知集合A={0,1,2},B=,若A∩B=B,則實(shí)數(shù)x的值為(

)A.

B.0 C.1

D.2A1234567891011125.[2024全國(guó)甲,文1]集合A={1,2,3,4,5,9},B={x|x+1∈A},則A∩B=(

)A.{1,2,3,4} B.{1,2,3} C.{2,3,4} D.{1,2,3,4,5}A解析B={0,1,2,3,4,8},則A∩B={1,2,3,4}.故選A.1234567891011126.(多選題)已知集合A={x|x2-x=0},集合B中有兩個(gè)元素,且滿足A∪B={0,1,2},則集合B可以是(

)A.{0,1} B.{0,2}C.{0,3} D.{1,2}BD解析

∵A={x|x2-x=0}={0,1},且A∪B={0,1,2},則2∈B,由于集合B中有兩個(gè)元素,則B={0,2}或B={1,2}.1234567891011127.

設(shè)A={-1,2,3},B={a+2,a2+2},若A∩B={3},則實(shí)數(shù)a=

.

-1解析

因?yàn)锳∩B={3},所以3∈B.當(dāng)a+2=3時(shí),解得a=1,則a2+2=3,不滿足集合中元素的互異性,不符合題意;當(dāng)a2+2=3時(shí),解得a=1或a=-1,當(dāng)a=1時(shí)不符合題意,當(dāng)a=-1時(shí),a+2=1,此時(shí)B={1,3},滿足A∩B={3}.綜上所述,a=-1.1234567891011128.已知集合A={x|-2<x<3},B={x|m<x<m+9}.(1)若A∪B=B,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為

;

(2)若A∩B≠?,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為

.

{m|-6≤m≤-2}

{m|-11<m<3}∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是{m|-6≤m≤-2}.(2)當(dāng)A∩B=?時(shí),3≤m或者m+9≤-2,解得m≥3或m≤-11,∴A∩B≠?時(shí),-11<m<3,∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是{m|-11<m<3}.123456789101112B級(jí)關(guān)鍵能力提升練9.已知集合A={x|x≤-3或x>2},B={x|x≤a-1},若A∪B=R,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A.(-4,+∞) B.[-4,+∞)C.(3,+∞) D.[3,+∞)D解析

因?yàn)锳∪B=R,所以a-1≥2,解得a≥3.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是[3,+∞).故選D.12345678910111210.集合A={x|x2+px-2=0},B={x|x2-x+q=0},若A∪B={-2,0,1},則