2023年九年級數學中考復習總結《相似三角形綜合解答題》突破訓練(附答案)

2023年春九年級數學中考復習《相似三角形綜合解答題》專題突破訓練(附答案)

1.在矩形/BCD中，N及于點￡,點尸是邊上一點.

(1)若BP平分/ABD,交/￡于點G,PFLBD于點、F,連接GR如圖①，證明四邊

形/GEP是菱形；

(2)若PE上EC,如圖②，求證：AE-AB=DE-AP；

圖①圖②

2.如圖，將△/3C繞點/逆時針旋轉a后，與△/￡>￡構成位似圖形，我們稱與互為“旋

轉位似圖形”.

(1)知識理解：兩個重合了一個頂點且邊長不相等的等邊三角形(填“是”或

“不是”)“旋轉位似圖形”；

如圖1,△48C和△/￡)￡1互為“旋轉位似圖形”，

①若a=26。,ZJB=100°,/E=29°,則；

②若/。=6,DE=8,AB=4,則BC=；

(2)知識運用：

如圖2,在四邊形48co中，ZADC=90°,AE_LBD于E,ZDAC=ZDBC,求證：△

ACD和△/BE互為“旋轉位似圖形”；

(3)拓展提高：

如圖3,△A8C為等腰直角三角形，點G為/C中點，點尸是上一點，。是G尸延長

線上一點，點E在線段G尸上，且△42。與△ZGE互為“旋轉位似圖形"，若NC=6,

40=2近，求出。E和區(qū)D的值.

圖1圖2圖3

3.如圖①，在正方形A8CO中，點尸為線段8c上的一個動點，連接/尸，將△4B尸沿直

線4P翻折得到△/￡/，點。是CD的中點，連接3。交4E于點凡若BQ〃PE.

(1)求證：^ABF^/\BQC；

(2)求證：BF=—FQ；

3

(3)如圖②，連接。E交80于點G,連接EC,GC,若FQ=6,求△G8C的面積.

圖①圖②

4.如圖，CD是等腰直角△4BC斜邊AB的中線，以點。為頂點的/皮＞尸繞點。旋轉，角

的兩邊分別與/C、8C的延長線相交，交點分別為點￡、F,DF與4E交于點、M,DE與

BC交于點N,且/EDb=45

(1)如圖1,若CE=CF,求證：DE=DF；

(2)如圖2,若CE中CF,求證：CD2=CE-CF；

(3)如圖2,過。作。GJ_BC于點G,若CD=2,CF=/2,求DN的長.

5.以下各圖均是由邊長為1的小正方形組成的網格，圖中的點/、B,C、。均在格點上.

(1)在圖①中，粵=;(填兩數字之比)

PA

(2)利用網格和無刻度的直尺作圖，保留痕跡，不寫作法.

①如圖②，在線段上找一點P,使祟=蔓；

BP2

②如圖③，在線段8c上找一點尸，使△/PgsaDPC.

cDA

圖①圖②圖③

6.如圖1,在矩形48co中，4B=3,BC=5,點E在48邊上，且/E=l.點尸是BC邊

上的動點.將△BE尸沿EF折疊得到△GER直線GF與直線AB的交點為H.

(1)如圖2,點尸與點C重合時，求△HEG與△/ffiC的面積比;

(2)如圖3,當〃在點力的上方，且滿足三角形及斯是等腰三角形時，求線段的

長.

(3)在點尸的運動過程中，以￡、G、〃為頂點的三角形能否與以8、C、。為頂點的三

圖3

7.如圖，在平面直角坐標系中，已知RtZ\04B的兩條直角邊04,分別在v軸和無軸上,

并且OA和OB的長分別是方程x2-7x+12=0的兩個根(OAVOB),動點P從點A開始

在線段40上以每秒1個單位長度的速度向點。運動，同時，動點。從點O開始在線段

08上以每秒2個單位長度的速度向點8運動，當點。運動到點8時，兩點停止運動,

設運動的時間為f秒.

(1)求4,3兩點的坐標;

(2)當f為何值時，△尸。0與△492相似？直接寫出此時點尸，。的坐標.

(3)我們把一條對角線垂直平分另一條對角線的四邊形稱為箏形，設點M是線段N8上

一點，當四邊形/尸加是箏形時，直接寫出點M的坐標.

備用圖

8.如圖，中，ZA=90°,AB=3cm,AC=4cm,動點E從點/出發(fā)沿/C方向運

動，動點尸從點C出發(fā)沿C3方向運動，點E,尸同時出發(fā)，且速度均為lcm/s,設運動

時間為f(s)(0<Z<4).過￡作線段所〃2C,且EP=8C,連接E尸，PF,解答下列問

題:

(1)當點尸運動到2c中點時，求EC的長；

(2)連接尸C,當△尸尸C的面積為lc〃?2時，求才的值；

(3)是否存在某一時刻K使△EFP為直角三角形，若存在，請直接寫出，的值；若不

9.在等邊△4BC中，點。是BC的中點，點E為NC上一點，將線段OE繞點。逆時針方

向旋轉60°得線段DR

(1)如圖1,當。尸與A5交于點G時，求證：BD2=BG-EC；

(2)如圖2,在(1)的條件下，連接FE交AB于點H,當迪=2時，求/〃：HG-.GB；

EC5

(3)若/8=4,當點E在線段NC上運動時，△8ZZF能否成為直角三角形，若能，請求

出此時。尸的值，若不能，請說明理由.

10.如圖1,在矩形48。中，AB=8,BC=6,點、E,E分別是48,ND邊上的動點，EF

//BD.將沿直線E/對折，點/對應點為點G,連結。G.

(1)如圖2,當點G落在對角線2。上時，求。G的長；

(2)如圖3,當/時，求4F的長；

(3)若直線尸G交8。于點H,在點E的運動過程中，是否存在某一位置，使得以E,

H,G為頂點的三角形與△，砂相似？若存在，請求出/￡的長；若不存在，請說明理由.

SiS2S3

11.【模型建立】(1)如圖1,在等邊△48C中，點。、E分別在8C、NC邊上，ZADE=

60°,求證：AB?CE=BD,DC；

【模型應用】(2)如圖2,在Rt/32C中，ZBAC=90°,N3=60°,4D_L8C于點。，

點E在NC邊上，點尸在。C邊上，ZEFD=60°,則胃nF：的值為______；

CF

【模型拓展】(3)如圖3,在鈍角△ABC中，ZABC=60°,點。、K分別在3C、NC邊

上，ZDAE=ZADE=60°,若/8=5,CE=6,求。C的長.

12.［基礎鞏固］

(1)如圖1,在△4BC中，D,E,尸分別為48,AC,8c上的點，DE//BC,4F交DE

［嘗試應用］

(2)如圖2,已知。、K為△4BC的邊2C上的兩點，且滿足AD=2OE=4CE,一條平

行于N3的直線分別交/E和NC于點3M和N,求功的值.

MN

［拓展提高］

(3)如圖3,點E是正方形/BCD的邊CD上的一個動點，AB=3,延長CD至點凡

使DF=2DE,連接/E,BF,/E與3尸相交于點G,連接CG,求CG的最小值.

圖1圖2圖3

13.(1)例題再現:

如圖1,RtZ\/BC中，ZC=90°,A8=10,AC=8,E是NC上一點，AE=5,EDLAB,

垂足為D,則AD的長為.

(2)類比探究：

如圖2,△4BC中，AC=14,BC=6,點、D,E分別在線段48,AC±,ZEDB=ZACB

=60°,DE=2.求4D的長.

(3)拓展延伸:

如圖3,△NBC中，點。，點E分別在線段AC±,NEDB=/ACB=6Q；延長

DE,8c交于點/，AD=4,DE=5,EF=6,求瓦)的長.

囹1圖2圖3

14.已知矩形/2CO中，AB=6,BC=8,尸是邊ND上一點，將△/3P沿直線尸臺翻折，

使點”落在點E處，聯結DE,直線DE與射線C3相交于點尸.

(1)如圖1,當尸在邊8c上，若時，求/P的長；

(2)若射線/E交2c的延長線于0,設/尸=尤，QC=y,求》與尤的函數解析式，并寫

出x的取值范圍；

(3)①如圖2,直線。E與邊48相交于點G,若△P￡>￡■與ABEG相似，求/NEG的度

數；

②如圖3,當直線DE與AP的延長線相交于點〃時，若S-PDH=S..BEP-求的長.

圖1圖2圖3

A

15.在菱形48CA中，BC=5,cos乙4BD聾,動點”從8點出發(fā)沿線段8。以每秒鐘1

5

個單位的速度向。點運動(到達D點后停止)，設點M運動時間為將點/繞著點M

順時針旋轉90°,得到對應點H,連接HM,MC.

(1)如圖1,求證：A'M=MC-,

(2)如圖2,連接NC,若△4CW與△⑷DM相似，求f的值；

(3)若點C關于直線HM的對稱點C'在菱形的邊上，請直接寫出/的值.

16.如圖1將矩形48co(AB>AD)分別沿過點/、8的直線折疊，使點。、C分別落在

上的點￡處和昉上的點〃處，折痕為//、BG；

(1)求證：△GFHsXHEB；

(2)若48=8,40=5,

①求尸G.

②如圖2,延長G"交/尸于M點，求胸的長;

17.定義：兩個相似等腰三角形，如果它們的底角有一個公共的頂點，那么把這兩個三角形

稱為“關聯等腰三角形”.如圖1,在△4BC與△4EZ>中，BA=BC,EA=ED,且△4BC~

AED,所以稱△/BC與為“關聯等腰三角形”，設它們的頂角為a,連接班，DC,

則稱里為“關聯比”.

EB

下面是小穎探究“關聯比”與a之間的關系的思維過程，請閱讀后，解答下列問題：

(1)當△N8C與為“關聯等腰三角形"，且a=90°時，

①如圖2,若點“落在上，則“關聯比”里=；

EB----------

②如圖3,探究△45E與△NCD的關系，并求出“關聯比”署的值.

(2)如圖4,當△NBC與△/￡￡＞為“關聯等腰三角形"，且a=120°時，“關聯比”里

EB

［遷移運用］

(3)如圖5,△N8C與△/￡￡)為“關聯等腰三角形”.若NABC=NAED=9Q°,AC=4,

點P為/C邊上一點，且B4=l,點E為尸2上一動點，求點E自點8運動至點尸時,

點。所經過的路徑長.

18.閱讀理解：如圖1,在四邊形NBCD的邊48上任取一點E(點E不與點/,8重合)，

分別連接ED,EC,可以把四邊形/BCD分成三個三角形，如果其中有兩個三角形相似，

那么我們就把點E叫四邊形/BCD的邊上的“相似點”；如果這三個三角形者B相似,

那么我們就把點E叫四邊形/8C。的邊上的“強相似點”.

解決問題：

(1)如圖1,ZA=ZB=ZDEC=50°,試判斷點E是否是四邊形/BCD的邊上的

相似點，并說明理由.

(2)如圖2,在矩形/3CD中，A,B,C,。四點均在正方形網格(網格中每個小正方

形的邊長均為I)的格點(即每個小正方形的頂點)上，試在圖中畫出矩形N8CD的邊

N8上的強相似點.

(3)如圖3,將矩形沿著CM折疊，使點。落在邊上的點E處，若點E恰好

是四邊形N2CM的邊N5上的一個強相似點，試探究與BC的數量關系.

圖1圖2圖3

19.若△，改?繞點/逆時針旋轉a后，與△，￡>石構成位似圖形，則我們稱△48C與

互為“旋轉位似圖形”.

(1)知識理解：

如圖①，與△/￡>￡互為“旋轉位似圖形”.

①若a=25°,ZD=100°,ZC=25°,則；

②若NO=6,DE=9,AB=4,則8C=；

(2)知識運用：

如圖②，在四邊形中，ZADC=90°,AELBD于點、E,ZDAC=ZDBC,求證：

@OA-OC=OB'OD；

②△/CD與△4BE互為“旋轉位似圖形”.

20.某數學興趣小組在數學課外活動中，對多邊形內兩條互相垂直的線段做了如下探究：

［觀察與猜想］

(1)如圖1,在正方形N2CD中，點E,尸分別是48,AD上的兩點，連接DE,CF,

DELCF,匹的值為；

CF-----------

(2)如圖2,在矩形/BCD中，/D8C=30°,點E是月。上的一點，連接CE,BD,

且CELBD,則雪的值為；

BD-----------

［類比探究］

(3)如圖3,在四邊形/BCD中，ZA=ZB=90°，點E為48上一點，連接。E,過

點C作。E的垂線交研＞的延長線于點G,交40的延長線于點尸，求證：DE-AB=CF'

AD；

［拓展延伸］

AR1

(4)如圖4,在Rt^4BD中，ZBAD=90°,40=8,—,將△4BD沿翻折，

AD4

點/落在點。處得△CAD,點E,尸分別在邊48,40上，連接DE,CF,DE±CF.求

要的值.

圖4

參考答案

1.(1)證明：如圖①中，

???四邊形/BCD是矩形，

AZBAD=90°,

?：AEtBD,

：.ZAED=90°,

AZBAE+ZEAD=90°,ZEAD+ZADE=90°,

NBAE=/ADE,

VZAGP^ZBAG+ZABG,/APB=/ADE+/PBD,/ABG=/PBD,

：./AGP=/APG,

：.AP=AG,

9CPALAB,PFLBD,BP平分/ABD,

:?PA=PF,

：.PF=AG,

?：AEtBD,PFtBD,

J.PF//AG,

???四邊形AGFP是平行四邊形，

???R4=PF,

???四邊形/G"是菱形.

(2)證明：如圖②中，

■:AEtBD,PE工EC,

：.ZAED=ZPEC=90°,

???ZAEP=/DEC,

?：NEAD+NADE=90°,/ADE+NCDE=90°,

???ZEAP=ZEDC,

：./\AEP^/\DEC,

,AE=AP

**DE-DC，

?：AB=CD,

：?AE?AB=DE?AP:

(3)解：過點E作瓦」4。于點J,ET工CD于點T.

???四邊形/BCD是矩形，

：.BC=AD=2,ZBAD=90°,

5Z)=VAB2+AD2=巡，

'JAELBD,

'-SMBD^-BD-AE=^AB-AD,

：.AE=^^~,

5

D￡=AD2AE2

,',V-J

"：—'AD-EJ=-'AE-ED,

22

2^54V5

EJ=—^---------—=—,

25___________

D7=22

?',VDE-EJ=J(岑2="|"'

:四邊形E7DJ是矩形,

8

：.DT=EJ=—4,ET=DJ=—,

55

CT=CD-DT=~,

5

22

?*-^=VET+CT=^(-|-)2+(-1)2=隼

?：AE?AB=DE?AP；

吟1

；./尸=-5f-=±1，

4\l52

5

,?△NEPSADEC,

.PE=AE

"EC麗’

2V5

.PE_5

..屈一礪'

55

圖①

2.解：(1)兩個重合了一個頂點且邊長不相等的等邊三角形，把其中一個三角形繞公共頂

點旋轉后構成位似圖形，故它們互為“旋轉位似圖形”;

①和△/￡)￡互為“旋轉位似圖形”,

.?.△ABCs

AZZ)=ZJB=100°,

又Ya=26°，ZE=29°,

：.ZBAE=1SO°-100°-29°-26°=25°；

②：AABCS^ADE,

.BC=AB

"DE-AD)

\"AD=6,DE=S,AB=4,

.BC4

86

16

：.BC=

3

故答案為：是；25。；苧

(2)證明:

D

圖2

VZ1=Z2,Z3=Z4,

MAODs/\BOC,

?..AO_DO1,我nnAO二BO,

BOCODOCO

又：/5=/6,

.?.△/OBSADOC,

.\Z7=Z8,

又,：/ADC=90°,AELBD,

：.NADC=NAEB,

:.△ABEsAACD,

.?.△/CD和△4B￡互為“旋轉位似圖形”;

(3)VAABD^^AGE,

.ADAB

AEAG

"：AC=6,AD=2,

:.AB=3M,AG=3,代入業(yè)=膽求得：AE=2.

AEAG

???N1+N3=45°,

'：AE^2,

：.AH=j2,

：.AH^—AD,

2

：.DE=AE=2,

：.ZDEA=ZGEA=90°,

ZADB=ZGEA=90°,

根據勾股定理，得伍匯值=JI3;

綜上，DE=2,BD=\[W.

圖①

?..四邊形/BCD是正方形，

ZABC=ZC=90°,AB//CD,

：.ZABF=ZCQB,

由翻折的性質可知，ZE=ZABC=90°

?:PEaBQ,

：.ZAFB=ZE=90°,

△AFBs^BCQ；

(2)證明：如圖①中，設AB=BC=CD=AD=2a,

是CD的中點，

?e?CQ—QD—a,

VZC=90

???%='CQ2+B(2=我2+⑵)2=V5a,

,/△AFBs^BCQ,

.BF=AB

,,CQBQ

.BF_2a

a\[5a

.BF-造a

5

CF-許

a,

.BF5a2

..市—3棟一T

-5-a

2

：.BF^—QF；

3

(3)解：如圖②，建立如圖平面直角坐標系，過點￡作￡8,45于點T.

圖②

2

,:BF='FQ,FQ=6,

：.BF=4,

：.BQ=BF+FQ=4+6=10,

???。。=2遍，AB=BC=CD=AD=4點,

.，?。(4A/5,2A/5)，

...直線2。的解析式為了=看尤，

VZEAT=ZCBQ,/ATE=NBCQ=90°,

???XATEsXBCQ,

應=11=膽

*'BCCQBQT

.AT_TE_4V5

??4遙一3一-

，"=8,￡7=4,

：.BT-AB-AT=4-/5-8,

：.E(4,4A/5-8),

?：D(4-75,4、舟,

直線。E的解析式為：>=雪生工+2近-10,

_1

X=4A后-4

由rz，解得，i-,

y=^x+2V5-10y=2v5-2

：.G(牛芯-4,2V5-2),

SX

-ABCG^475x(2V5-2)=20-4V5.

4.(1)證明：：//C3=90°,AC=BC,CD是中線,

:.NBCD=NACD=45°,ZBCE=ZACF=9Q°,

ZDCE=ZDCF=135°,

在△OCE與△OC尸中，

"CE=CF

,ZDCE=ZDCF,

CD=CD

:.ADCE經△DCF(SAS),

：.DE=DF；

(2)證明：VZDCE=ZDCF=135°

：.ZCDF+ZF=ISO°-135°=45°,

'：ZCDF+ZCDE=45°,

ZF=ZCDE,

：.ACDF^/\CED,

.CD=CF

,?京一而‘

即CD2=CE?CF；

(3)解：如圖,

?：DGLBF,

：.ZDGN=ZECN=9Q°,CG=DG,

當CD=2,CF=施時，

由C￡>2=CE?CF可得，CE=41,

在RtZ\DCG中，

CG=r?G=CD?sinNDCG=2Xsin45°=迎,

"?ZECN=ZDGN,ZENC=ZDNG,

：./\CEN^/\GDN,

.CN-CE-2V2

??J——L，

GNDGV2

.PD=CD=1

**PA-AB-S-5

故答案為：1：3.

(2)①如圖②中，點尸即為所求作.

②如圖③中，點尸即為所求作.

6.(1)解：如圖:

VZGHE=ZBHC,/EGH=/CBH,

：.△HEGsMHCB,

2

!

**S/KHEG2AHCB二

9：EG=BE=AB-AE=2,

根據折疊性質，等腰三角形三線合一性質，得：FB=FG=GH,

:?/BHF=30°,

?；EG=BE=AB-AE=2,

:?EH=4；

(3)解：?.?BC=5,DC=3,四邊形Z5C。是矩形,

:.BD=^22+52=734,

根據題意，得到CH_LB。時，叢HEGs叢BCD,

.HEHGEG

*'BD-BC-DC'

?..HG2,

53

...△HFBs^BDC,

?.?BF=DC,

FHBD

.&F_3

4而‘

解得：BF=2泥^+6,

5

?:BC=5,DC=3,四邊形/BCD是矩形,

22

.,.5D=^3+5=734-

根據題意，得到時，/\HEGsABCD,

.HEHGEG

"BD"BC"DC'

.HE2

?衣芳

解得：HE普展,

：.BH=HE-BE=^^--2=^^~6,

33

△HEGsAHFB,

：.△HFBs^BDC,

?.?BF~~DC~9

BHBC

.BFJ

"2^/34-6-5，

3

解得：BF=3M-6；

5

綜上所述，BF的值為+6或2子二i.

55

7.解：(1)解方程x2-7xH2=0,得尤i=3,X2=4,

\'OA<OB,

：.OA=3,03=4.

：.A(0,3),B(4,0)；

（2）VZPOQ=ZAOB=90°,

.?.△尸。。與八4。2相似，可能有兩種情況：

①若△尸OQs/x/oS時，嘴即3-t=個,

12-4t=6t,

解得：/二抵，

5

912

：.OP=3-,00=2/=—,

55

此時點p的坐標為（o,且），。的坐標為（［2,o）；

55

②若△POQSABOA時，黑嘿■，即告*考-,

.*.9-3t=8t,

解得：仁白,

041p

：.OP=3-t=—,OQ=2t=—,

1111

「?此時點P的坐標為（0,-yy-）,。的坐標為（［苧，0）;

綜上可知，當仁■!■或片咯■時，△尸。。與△4。5相似，此時點尸、Q的坐標分別為（0,

511

—）＞（―,0）或（0,魯、普6

55

（3）設直線48的表達式為：y=kx+b,

k=9

則，解得

4k+b=0>=3

故直線的表達式為：y=~—x+3,

4

設點M（加，-—m+3）

4?

由題意得：點。（230）,點尸（0,3-t）,點/（0,3）,

①當尸河被4。垂直平分時，則且尸。=QM,

了mt=2

即,解得：，8（不合題意的值已舍去）,

（2t）2+（3-t）2=（ia-2t）2+?（3-^rn）2

、匕—8n-4-一3々—9

當x-=時，y—~—x+3——"

545

即點M的坐標為里,!■）；

55

②當/。被尸M垂直平分時，則為=P0且

當當=尸。時，即?=⑵）2+（3-/）2,

整理得：4q-6t+9,

則A=36-4X4X9<0,方程無解,

故此種情況不存在,

故點"的坐標為（卷,

55

8.解：(1)'：AB=3cm,AC=4cm,

A5C=22

VAB+-AC=732+42=5(cm),

?.?尸為8c的中點，

1E

：.CF=—BC=—cm,

22

^?AE=-cmj

2

*：AC=4cm,

RQ

???CE=/C-4E=4-(cm)；

22

VZEMC=ZA=90°,ZECM=ZACB,

：.AEMC^ABAC,

.EMCE

?.二,

ABBC

?.?EM--4-t,

35

5

過點尸作PGLCR交BC的延長線于G,

"EP//BC,EMLBC,

四邊形EMGP是矩形，

：.EM=PG=^~^t(cm),

5

尹?PG=1,

.1L2-3t

-s1-~一1'

6±

解得z=y^,

3

...當,=6士泥時,MFC的面積為1c加2；

3

(3)存在.

分兩種情況：①若/EEP=90°時,

圖2

'：EP//BC,

：.EF1BC,

'：ZEFC^ZA,NECF=/ACB,

：.△EFCsABAC,

?.?FC—CE,

ACBC

.t4-t

45

解得/=晉；

②當NEFP=90°時，

過點后作￡加，BC,過點尸作PG_LBC,交BC的延長線于G,

/八_、

由H-,(2)K-^Tvn0EEM,=-1--2---3--t-{/cm),-C--M-=--E-M--,

5ACAB

cm),

5

：.MF=CM-c尸=L6-4t-(cm),

55

'：EP=MG=5cm,

:.FG=5-MF=5-16-91=里生Gm),

55

VZEFM+ZPFG=90°,NPFG+/FPG=90°,

：./EFM=ZFPG,

又：ZEMF=ZPGF,

，叢EMF=s^FGP,

?.?EM—MF,

FGPG

：.EAfi=FG-MF,

.,12-3t、29+9t―16-9t

：.2fi-3f=0,

解得/目或/o(舍去)，

2

綜上所述，f=單或f=烏時，為直角三角形.

92

9.(1)證明：：點。是3c的中點，故BD=CD,

,/AABC為等邊三角形，

ZA=ZB^ZC=6Q°,

ZCED+ZCDE=l?,0o-ZC=120°,NCDE+/FDB=180°-ZEDF=120°,

：.ZCED=ZFDB,

VZB=ZC=60Q,

:.叢CEDS^BDG,

?.?CE—CD,

DBBG

,:BD=CD,

：.BD2=BG'EC；

(2)解：當幽/■時，設/E=3x,則EC=5x,

EC5

'：DE=DF,ZEDF=60°,

為等邊三角形，則/FEO=60°,

VZAEH+ZCED=120°,而180°-ZBAC=nO°,

；.NCED=/AHE且/HAC=/C=60°,

：.AAHE^/\CED,

.AHAE

??一一二

CECD

■:BD2=BG-EC,

即(4x)2=BGX5X,

：.BG=^-x,

5

IfivIRv21V

???GH=AB-AH-BG=Sx-

5420

：.AHxHG：GB=15：21：64；

(3)解：能，理由：

①如圖3,當/方為直角時，

由(1)知，△CEDs^BDF,

:?/DEC=NBDF=90°,

在RtZ\CZ)E中，DE=CDsmC=2X^^=r3=DF,

2

:.DF=M；

②當為直角時，如圖4,

過點D作DMLAC,

由(1)知，ZDEC=ZFDB,

VZEMD=ZFBD=90°,DE=DF,

：AEMDQ叢DBFCAAS),

：.DM=BF,

由①得：DM=J3=BF,

在RtABDF中，。尸=五居GP=血2+［遍)2=V7;

③當N8ED為直角時，如圖5,

過點D作DMLAC,

由(1)知，NDEC=NFDB,

VZEMD=ZBFD=90°,DF=DE,

:AEMD沿ADFBCASA),

：.BD=ED=DF,

即尸，這與N8ED為直角矛盾,

故該情況不存在，

綜上，。尸=窩或J7.

圖5

圖4

10.解：（1）連結NG,如圖2,

;四邊形N3CO是矩形，

：?AD=BC=6,ZBAD^90°,

）

?■-5Z=VAB2+AD2=VS2+62=13

由折疊的性質得：AGLEF,

'：EF//BD,

：.AG±BD,

：.ZAGD=90°,

,/ZADG=ABDA,

.?.△AGDsABAD,

.DG=AD

*'ADBD'

即理■=&,

610

解得：OG=羋，

即DG的長為羋；

5

(2)當NDG尸=90。時，

此時點。，G,E三點共線，

由折疊的性質得：FG=FA,

"EF//BD,

：.AAEF^/\ZABD,

.AE=AB=_8=J4

*'AF-AD-?-'3，

設/尸=3K則尸G=3f,AE=4t,DF=6-3t,

在RtdDFG中，由勾股定理得：DG2=DF^-FG2=(6-3。2-(3力2=36-36t,

ZGDF=ZADE,ZDGF=ZDAE,

：.ADGFsADAE,

.FG=AE

,,DGAD，

即3t里,

V36-36t6

解得：

16

經檢驗，1=工是原方程的解，且符合題意，

16

21

：.AF^3t=—.

16

(3)①當點E與點3重合時，點H與點D重合，如圖4,

此時，AEHG與4AEF全等.

：.AE=8,

"EF//BD,

此種情況不符合題意舍去.

②當△G/ffis△/￡尸時，如圖5,

則更典工

GEAF3

4

???GH嶗GE，

設4F=3K則4E=4f,

：.FG=3t,DF=6-3/,GE=4t,GH^^t，

，FH=FGKH=3t丹t學t，

O?J

由折疊的性質得：ZAFE=ZGFE,

■:EF〃BD,

；?NAFE=NADB,ZGFE=ZDHF,

：./AFE=/ADB=/DHF,

:.DF=FH,

BP6-3t=-^-

解得：

■■AE=4t喑；

③當AGHEsA/FE時,如圖6,

.GH=AF=3.

"GE-AE--4，

???GH^GE，

4

由折疊的性質得：FG=AF,GE=AE,

設/方=3/,則4E="

:?FG=3t,DF=6-3t,GE=4t,GH=3t,

：.FH=FG+GH=3t+3t=6t,

同②得：DF=FH,

.*.6-3t=6t,

解得：

.8

??A4r￡=4t=—；

o

綜上所述，在點E的運動過程中，存在某一位置，使得以E,H,G為頂點的三角形與△

NE尸相似，NE的長為"II■或寺.

?5

圖4

圖2

11.(1)證明：是等邊三角形；，

ZB=ZC=60Q,

：.ZADB+ZBAD=180°-Z5=120°.

,/ZADE=60°,

：./4DB+NEDC=180°-ZADE=nO°,

：.ZBAD=ZEDC,

.MBADsACDE,

?.?AB—BDf

CDEC

:?AB?CE=BD?DC：

(2)解：VZBAC=90°,N5=60°,

：.ZC=30°.

?；/BAC=90°,ADLBC,

：.ZBAD=30°,

AZDAE=60°.

?：AE=AD,

；?A4DE為等邊三角形,

；?DE=AD=AE,NADE=/AED=60°.

?；/4ED=/C+NEDC=60°,

：?NEDC=NC=30°,

:?DE=EC.

VZEFD=60°,

：.ZD^F=180°-ZEFD-ZEDC=90°,

：.DF=2EF.

VZDFE=ZC+ZFEC=60°,

：.ZFEC=ZC=30°,

:?EF=FC,

：.DF=2FC,

故答案為：2；

(3)解：在。。上截取。方=A4,連接ER如圖,

?:NDAE=/ADE=60°,

ZDAE=ZADE=ZAED=60

為等邊三角形，

：.AD=DE.

VZABC=60°,ZADE=60°,

AZADB+ZBAD=nO°,ZADB+ZEDF=12O°,

ZBAD=ZEDF,

在ABAD和△尸D￡中，

'BA，DF

,ZBAD=ZFDE,

、AD二DE

AABAD^AFDE("S),

:?/B=/EFD=60°,

AZEFC^120°?

VZAED=60°,

：.ZDEC=120°,

NEFC=/DEC,

VZC=ZC,

JXEFCsXDEC,

?,?EC—CF,

DCEC

?.?6=CF,

5+CF6

：.CF2+5CF-36=0,

VCF>0,

：.CF=4.

：.DC=DF+CF=5+4=9.

12.(1)證明：'：DE//BC,

：.LADGsAABF,dAGEsAAFC,

.AG_DG_AG_GE

?怎鏟AF-FC'

.DGEG

??一，

BFCF

.DGBF

"EG'cF;

(2)解：如圖2,過點〃■作MG〃3C,交4B于點G,交4D于點區(qū)交/C于點尸,

A

.MAHGs^ADB,/\AMH^/\AED,

.GH_AHAH=ffl_

?,麗f仙一血’

.GH=M_

"BDof

??乙9

HMDE

：.GH=2HM,

同理可得：HM=2MF,

:.GH=4MF,GF=1MF,

'：NL//AB,

，LFMNsLEiG,

.MN_MP1

"AG"GF-7)

MN=~~AG,

7

'JNL//AB,

：.△MHLsAGHA,

.MLMH1

"AG-GH2,

：.ML=—AG,

2

.LN=Z

(3)解：如圖3,連接。G,并延長。G交N8于0,

F

圖3

,JAB//CD,

.?.△ABGs△斯G,AAQGsAEDG,

.AG_AQAG_AB

"GE=DE,GE=EF'

.AQAB

*'DE-即'

,:DF=2DE,

：.EF=3DE,

.AQ,3

*'DE3DE'

2￡>=^/A￡)2+AD2=^/10,

?.?點G在。。上運動，

/.當CG，。。時，CG有最小值，

此時，ZCGD=ZDAQ=90°,

■:ABHCD,

/AQD=ZCDG,

.?.△AQDsAGDC,

.CG=CD

??五一而’_

.^3X39VTO

13.解：(1)VZADE=ZC=90°,ZA=ZA,

：.AADE^/\ACB,

.AD=AE

,,ACAB)

\'AB=\O,AC=S,AE=5,

?.?AD_5,

810

解得：40=4,

故答案為：4；

(2)如圖2,在4c上截取C"=C5,連接84,

VZACB^60°,

:?ABCH為等邊三角形,

:?CH=BH=BC=6,/CHB=60°,

：.AH=AC-CH=S,ZAHB=120°,

VZEDB=60°,

AZADE=\20°,

ZADE=ZAHB,

?IZA=ZA,

：.LADEsLAHB,

?DE-AD即2—AD

-68"，

解得：4Z)=色；

(3)過點8作于點M,過點E作辦UZB于點N,

AZBMD=ZBME=ZANE=90°,

VZEDN=60°,

:./DEN=30°,

1R

：.DN=—DE=—,

22

22

則^=VDE-DN■心

Riq

JAN=AD+DN=4U=—,

22

設DVf=a,

VZBDM=60°,ZDMB=30°,

:?/MBD=32°,

:.BD=2a,

22

?,-^=A/BD-DM=Ma,

?：DE=5,EF=6,

：.MF=DE+EF-DM=11-a,

VABCA=ZF+ZFEC,NBDE=/A+/AED,/AED=/FEC,ZBCA=ZBDE9

：.ZA=ZF,

：.AAEN^AFMB,

圖2

14.解：（1）,??四邊形力5C。是矩形,

J.PD//BF,

,:PD=BF,

???四邊形PBFD是平行四邊形，

：.BP//FD,

：.ZAPB=ZADF,NBPE=NPED,

由折疊可知，NAPB=/BPE,AP=PE,

：.ZADF=/PED,

:?PD=PE,

：.AP=PD,

,.?5C=8,

.\AD=8,

：.AP=4；

(2)由折疊可知4E_L尸5,

AZPBQ+ZAQB=90°,

VZABP+ZPBQ^90°,

：./AQB=/ABP,

：.△B4BSA4BQ,

,APAC,即三—6,

ACBQ6y+8

?_36只々9x

??y--------8rn<r—)；

x2

(3)①設N4DG=a,

"?當APDEs^BEG時，NGEB=ZPDE=a,

：.ZBGE=9Q°+a,

：.ZGBE=90°-2a,

由折疊可知，ZABP=ZPBE=45°-a,

?：PB±AE,

：.ZAEB=90°-ZPBE=45°+a,

：./AEG=ZAEB-ZGEB=45°；

當△尸時，ZPDE=ZGBE=a,

：.ZABP=ZPBE=—a,

2

ZAPB=ZBPE=90°-—a,

2

/.ZDPE=a,

:?/GEB=/DPE=Ci,

■:/BGE=9G°+ZADE=90°+a,

在△/)￡中，90°+3a=180°,

???a=30°,

???NAEG=/A