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文檔簡介
保密★啟用前
試卷類型:A
準(zhǔn)考證號姓名
(在此卷上答題無效)
名校聯(lián)盟全國優(yōu)質(zhì)校2024屆高三大聯(lián)考
數(shù)學(xué)試題
2024.2
本試卷共4頁,考試時間120分鐘,總分150分。
注意事項(xiàng):
1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。
2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改
動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號。回答非選擇題時,將答案寫在答題卡上。寫在
本試卷上無效。
3.考試結(jié)束后,將答題卡交回。
一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)
是符合題目要求的.
1.已知集合/={xRx?-5x+2<o},8={x,〉1},則/Pl8=()
1-i
2.已知i為虛數(shù)單位,-----=()
l-2i
C.@D.叵
2
3.已知用B是兩個單位向量,若卜-q=百,則之與B的夾角為()
71兀2兀5兀
A.B.一C.——D.
6336
4.設(shè)直線x—3歹+冽=0(加力0)與雙曲線§—方=1(。〉6〉0)分別交于43兩點(diǎn),若線段48的中
4
點(diǎn)橫坐標(biāo)是一加,則該雙曲線的離心率是()
5
yJ~5y/lr-
A.--B.---C.2D.-\j2
22
(x-//)2
5.一般來說,輸出信號功率用高斯函數(shù)來描述,定義為/(x)=/°鼠石h,其中/0為輸出信號功率最大值
(單位:mW),x為頻率(單位:Hz),〃為輸出信號功率的數(shù)學(xué)期望,為輸出信號的方差,3dB帶
寬是光通信中一個常用的指標(biāo),是指當(dāng)輸出信號功率下降至最大值一半時,信號的頻率范圍,即對應(yīng)函數(shù)
(%-2)2
圖像的寬度。現(xiàn)已知輸出信號功率為/(x)=/°e2(如圖所示),則其3dB帶寬為()
A.Vln2B.4Vln2C.3Vln2D.2丁21n2
6.已知外,a3M4,生成等比數(shù)列,且2和8為其中的兩項(xiàng),則處的最小值為()
?,11
A.—32B.-16C.—D.—
3216
7.如圖,在三棱錐尸—48。中,AB=BC=42,BA±BC,PA=PB=PC=2,點(diǎn)M是棱6c上一動
點(diǎn),則9+M4的取值范圍是()
A.&+2近,4B.[2+72,4]
C,「巫巫/D,「巫巫,2+目
2J[2
((2014兀2丫|
8.方程2cos2xcos2x-cos------=cos4x—l所有正根的和為()
A.810兀B.100871C.108071D.1800兀
二、多項(xiàng)選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符
合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.
9.下列命題正確的是()
A.若43兩組成對數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)分別為弓=0.97,7=-0.99,則/組數(shù)據(jù)比8組數(shù)據(jù)的相關(guān)性
較強(qiáng)
B.若樣本數(shù)據(jù)看,》2,…,4的方差為2,貝!I數(shù)據(jù)2占—1,2%—1,…,24—1的方差為8
C.已知互不相同的30個樣本數(shù)據(jù),若去掉其中最大和最小的數(shù)據(jù),剩下28個數(shù)據(jù)的22%分位數(shù)不等于原
樣本數(shù)據(jù)的22%分位數(shù)
D.某人解答5個問題,答對題數(shù)為X,若丫~8(5,0.6),則E(X)=3
10.對于函數(shù)/(x)=—些,下列說法正確的是()
A./(x)在x=e處取得極大值:
B.7(x)有兩個不同的零點(diǎn)
C-/(4)</(^)</(3)
D./<¥
2
11.已知Mn是圓?!埃?+y~-2nx-2ny+n=Q^neN*)上任意一點(diǎn),過點(diǎn)Pn向圓。,引斜率
為勺代>0)的切線小切點(diǎn)為點(diǎn)4(3〃,〃),則下列說法正確的是()
,,r~〃+1
A.〃=1時,kx—v3B.yn-----------1-n
n+\
C仔五<0sinp^]D.+“闈的最小值是£+1
三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.
12.設(shè),是數(shù)列{4}的前〃項(xiàng)和,一一^=1,%=5,則g024=____.
77+1n
13.設(shè)函數(shù)/(x)=sin(s+。卜。>0)在區(qū)間(0,萬)上恰有兩個零點(diǎn),則①的取值范圍是..
14.如圖,在aSBE中,SE=BE=1,在直角梯形8EDC中,BE±DE,CD//BE,CD=2,DE=73
OELSE,記二面角S-OE-B的大小為。,若,則直線SC與平面SQE所成角的正弦值
33
的最大值為
四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.(13分)
若數(shù)列{%}的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn=2an+n-4.
(1)證明:數(shù)列{%-1}是等比數(shù)列;
(2)設(shè)勿=log2(%+「l),求數(shù)列也(%,-1)}的前〃項(xiàng)和
16.(15分)
在三棱柱48。一4片。]中,24=13,在底面△4BC中,^ABLBC,且48=8,80=6,點(diǎn)。為等
12
腰三角形8/C的底邊/C的中點(diǎn),在△A8Q中,有cosNBB、D=—.
(1)求證:BC1B.D;
(2)求直線481與平面片8。所成角的正弦值.
17.(15分)
甲、乙兩俱樂部進(jìn)行羽毛球團(tuán)體賽,比賽依次按照男子雙打、女子雙打、混合雙打、男子單打、女子單打
共五個項(xiàng)目進(jìn)行,規(guī)定每個項(xiàng)目均采取三局兩勝制,且在上述五項(xiàng)中率先贏下三項(xiàng)的俱樂部獲勝(后續(xù)項(xiàng)
目不再進(jìn)行比賽).已知在男雙項(xiàng)目、女雙項(xiàng)目、男單項(xiàng)目這三項(xiàng)的每局中,甲俱樂部獲勝的概率均為0.7;
在混雙項(xiàng)目、女單項(xiàng)目這兩項(xiàng)的每局中,乙俱樂部獲勝的概率均為0.8,假設(shè)每局比賽之間互不影響.(注:
比賽沒有平局,且所有結(jié)果均保留「位小數(shù).)
(1)求甲俱樂部在男子雙打項(xiàng)目中獲勝的概率;
(2)記比賽結(jié)束時所完成的比賽項(xiàng)目數(shù)量為隨機(jī)變量X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
18.(17分)
V221
已知橢圓E的方程為J+二V=1(?!礲〉0),Z為E的左頂點(diǎn),8為E的上頂點(diǎn),E的離心率為一,AABO
ab2
的面積為
(1)求E的方程;
(2)過點(diǎn)尸的直線交E于M、N兩點(diǎn),點(diǎn)M且垂直于x軸的直線交直線/N于點(diǎn)笈,證明:線
段的中點(diǎn)在定直線上.
19.(17分)
已知函數(shù)/(x)=lnx--.
(1)當(dāng)a=-l時,求/(x)的極值;
(2)若存在實(shí)數(shù)0</<<,滿足=求/(/)的取值范圍.
保密★啟用前試卷類型:A
名校聯(lián)盟全國優(yōu)質(zhì)校2024屆高三大聯(lián)考
數(shù)學(xué)試題答案及評分參考
一、單項(xiàng)選擇題
題號12345678
答案DBCADBAC
二、多項(xiàng)選擇題
題號91011
答案BCDACBCD
三、填空題
12.404713.(|,1]14.V3-1
四、解答題
15.(13分)
(1)證明:由0=24+〃—4,當(dāng)〃=1時,可得q=3:.......1分
當(dāng)〃之2時,(〃-5),所以見=22_]一1(〃之2),.......3分
二〃N2時,%-1=2(41一1),.......4分
數(shù)列{4,—1}是以4-1=2為首項(xiàng),q=2為公比的等比數(shù)列:........5分
aK—1=2",/.=I+2"........6分
1
(2)證明:由(I)知,an^=1+2"",Abn=log,(d?tl-1)=/?+1,.......7分
...“(4一1)=(〃+1>2",.......8分
A7;=2x21+3x22+-+(M+l)x2n,
27;=2x22+3x23+---+(/7+l)x2n+1.......Il分
-7;=2x2,+(22+23-+2n)-(/j+l)2n+1.......12分
所以........13分
16.(15分)
(I)因?yàn)辄c(diǎn)。為等腰三角形B、AC的底邊4。的中點(diǎn),所以BtD±AC.1分
12\32+B,D2-5212
又因以右乙叫。=石.由余弦定理,cosNBBQ=3分
2x13x3]。13
解得8Q=12.4分
因?yàn)锽D?+BQ?=BB;,由勾股定理知,BD1BtD.5分
又因?yàn)?on/c=。,所以J.平面為8c.6分
因?yàn)?Cu平面力BC,所以BC1BQ.7分
(2)過點(diǎn)。作0x_LZC,以。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,8分
9分
10分
設(shè)平面B.BC的一個法向所為m=(x,必:),
2418
----x+—y=0A
m-BC=055
則《一,即《11分
而印=0247
—x+—y-12r=0
令x=9,解得平面用8c的一個法向髭為何=(9,12,5).13分
設(shè)力耳與面8/C的夾角為8,
則sing=|cos(函,m)卜號=心叵
14分
13,81+144+2565
所以AB.與面B.BC的夾角的正弦值坦叵
15分
1165
17.(15分)
(1)記事件48,C為男雙比賽第一,二,三局甲俱樂部獲勝,........I分
則所求概率為P=P(AB+ABC+ABC),因?yàn)锳B,ABC,ABC互斥........2分
&P=P(JB)+P(ABC)+P(ABC),又因?yàn)?民。獨(dú)立........3分
所求為p=P(4B)+P(ABC)+P(A就)=0.7x0.7+0.3x0.7x0.7+0.7x0.3x0.7=0.784*0.8
........6分
(2)由(1)知,甲俱樂部男雙,女雙,男單獲勝的概率均為08
乙俱樂部混雙獲勝的椽率尸=0.8x0.8+0.2x0.8x0.8+0.8x0.2x0.8=0.896x0.9
........8分
故甲俱樂部混雙,女單的概率均為0.1,故
P(X=3)=0.8X0.8X0.1+0.2x0.2x0.9=0.1........10分
P(X=4)=(0.2x0.8x0.1+0.8x0.2x0.1+0.8x0.8x0.9)x0.8+[3分
(0.8x0.2x0.9+0.2x0.8x0.9+0.2x0.2x0.1)x0.2?0.5
=5)=1-(0.1+0.5)=0.4
X的分布列如下表
X345
P(X)0.10.50.4
........14分
所以E(X)=3x0.1+4x0.5+5x0.4=4.3.........15分
18.(17分)
1c1
(1)因?yàn)闄E圓離心率為一,得一=一,........1分
2a2
從而a=2c,b=Wc,........2分
S^BO=6=三處=瓜:,,........3分
得c=l,a=2,b=道,........5分
22
即橢圓的方程土-+匕=1........6分
43
(2)由題意,過點(diǎn)尸(-2,1)的直線斜率存在,設(shè)為去-歹一(攵+2)=0.........7分
設(shè)”(XQWW,%)
kx-y+2k+\=0
聯(lián)立《V2,得(4%2+3)必+8"(2々+1口+8(2公+2左一1)=0,........9分
—+—=1
43
8A(2A+1)
為+*=TT;~
4%-+3
可得《10分
8(2/+2A-l)
xx,=--------;---------
-4A-+3
6(22+1)-24A
“+%=訴晨-乂=E(*)
直線4N:y=S_(x+2)和x=X1聯(lián)立,
4+2
得HQ,必(司;2)),丁(;卬+皿苧])........11分
Xi+22x?+2
令x=&e[-2,2],y=;[K+為(M+2)EN+由必+2(y+%)
1
X2+22(±+2)
此時2y_3%+*2必+2(弘+必)
x+2(三+2乂*+2)
化簡得至=-%+三必+2(乂+%)
.............14分
x+2xxx2+2(Xj+X2)+4
將。代入上式得名=8(2如+”;::藍(lán)窘3(%+3)
化簡得鳥=3,即『所在的定直線為弘-2產(chǎn)6=。??…?…17分
19.(17分)
(1)因?yàn)椤?-1,所以/(x)=Inx+L/0)='-1=芝?........2分
XxXX'
令/'(x)=0,解得x=l..............3分
當(dāng)xe(0,1),/。)<0,/(x)單調(diào)遞減,
當(dāng)》€(wěn)(1,+8),/。:)>0,/(*)單調(diào)遞增,........5分
所以/(x)只有極小值/。)=-1,沒有極大值.........6分
X:
⑵令項(xiàng)="0,X,=,0.
■l-x0
當(dāng)0<X]<:時,0<工2<玉<:
則原命題等價于存在實(shí)數(shù)芭>三>0,滿足/(%)=/(X,).8分
易知,a<0,因?yàn)?(為)=/(、2)得In*
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