江蘇省蘇州市2024屆高三下學期第三次模擬檢測《數(shù)學》試卷（解析版）

第第頁【新結(jié)構(gòu)】江蘇省蘇州市2024屆高三第三次模擬檢測高三數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設為虛數(shù)單位，若復數(shù)滿足，則在復平面內(nèi)對應的點在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)的除法運算及共軛復數(shù)的概念化簡復數(shù)，然后利用復數(shù)的幾何意義求解點所在的象限.【詳解】因為，所以，所以，對應的點為，所以在復平面內(nèi)對應的點在第三象限.故選：C2.已知向量，，則“”是“和的夾角是銳角”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)兩向量夾角為銳角得到不等式，求出且，結(jié)合包含關(guān)系得到答案.【詳解】和的夾角是銳角，則且和不同向共線，故且，解得且，由推不出且，故充分性不成立，由且推得出，故必要性成立，所以是和的夾角是銳角的必要不充分條件.故選：B3.點聲源在空中傳播時，衰減量（單位：dB）與傳播距離d（單位：米）之間的關(guān)系式為．若傳播距離從20米變化到40米，則衰減量的增加值約為（參考數(shù)據(jù)：）（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意分別將，代入，兩式作差結(jié)合題中數(shù)據(jù)，對數(shù)運算性質(zhì)即可得解.【詳解】當時，，當時，，則．故選：B．4.已知等差數(shù)列的前項和為，，，則（）A.18 B.21 C.24 D.27【答案】A【解析】【分析】先由等差數(shù)列前n項和公式求出，進而求出公差d，再由等差數(shù)列前n項和公式即可求解.【詳解】由題結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)有，，，設等差數(shù)列的公差為，則，，故.故選：A.5.如圖是一塊高爾頓板的示意圖，在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯開的圓柱形小木釘，小木釘之間留有適當?shù)目障蹲鳛橥ǖ?，前面擋有一塊玻璃．將小球從頂端放入，小球下落的過程中，每次碰到小木釘后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．記格子從左到右的編號分別為，用表示小球最后落入格子的號碼，若，則（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】B【解析】【分析】由題意，服從二項分布，，代入公式可得結(jié)果．【詳解】每下落一層向左或向右落下等可能，概率均為，每一層均要乘以，共做10次選擇，故服從二項分布，，又，令最大，則，即,解得，又因，所以,所以，，且．故選：B．6.已知的角對應的邊分別為的平分線交邊于點，若，則的最小值為（）A. B.4 C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)三角形面積公式找到的關(guān)系，結(jié)合基本不等式即可求得最小值．【詳解】，因為的平分線交邊于點，且，所以，，，而，所以，化簡得，即，則，當且僅當時取等號，即最小值為．故選：C．7.在平面直角坐標系中，過點的直線與雙曲線的兩條漸近線相交于兩點，若線段的中點是，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設出直線的方程，由雙曲線方程得到兩漸近線方程，分別聯(lián)立直線與兩漸近線方程，得到點坐標，結(jié)合的中點為，可得結(jié)論．【詳解】直線的斜率不存在時，應該在軸上，不符合題意，直線的斜率為0時，兩點重合，不符合題意，所以直線的斜率存在且不為0，設直線，雙曲線的兩條漸近線方程分別為，聯(lián)立解得，不妨令，聯(lián)立，解得，則，因為線段的中點為，所以，即，②式兩邊分別平方得③，將①代入③并化簡可得，所以離心率.故選：D．8.已知函數(shù)及其導數(shù)的定義域為，記，且都為奇函數(shù)．若，則（）A.0 B. C.2 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)的性質(zhì)結(jié)合導數(shù)運算分析可知的圖象關(guān)于對稱，結(jié)合奇函數(shù)分析可知的周期為4，根據(jù)周期性運算求解.【詳解】因為為奇函數(shù)，則，即，可知的圖象關(guān)于點對稱，可得，即，可知的圖象關(guān)于對稱，則，又因為為奇函數(shù)，則，可得，可知的周期為4，所以.故選：C．二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.在某次數(shù)學練習中，高三班的男生數(shù)學平均分為120，方差為2，女生數(shù)學平均分為112，方差為1，已知該班級男女生人數(shù)分別為25、15，則下列說法正確的有（）A.該班級此次練習數(shù)學成績的均分為118B.該班級此次練習數(shù)學成績的方差為16.625C.利用分層抽樣的方法從該班級抽取8人，則應抽取5名男生D.從該班級隨機選擇2人參加某項活動，則至少有1名女生的概率為【答案】BCD【解析】【分析】利用均值、方差、分層隨機抽樣、古典概型等知識逐項判斷即可．【詳解】對于A，該班級此次練習數(shù)學成績的均分，故A錯誤；對于B，該班級此次練習數(shù)學成績的方差，故B正確；對于C，利用分層抽樣的方法從該班級抽取8人，則應抽取的男生人數(shù)為，C正確；對于D，從該班級隨機選擇2人參加某項活動，則至少有1名女生的概率，故D正確．故選BCD．10.定義表示中的最小者，設函數(shù)，則（）A.有且僅有一個極小值點為 B.有且僅有一個極大值點為3C D.恒成立【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的新定義得到分段函數(shù)的解析式，畫出函數(shù)的圖象，結(jié)合函數(shù)的圖象和選項，逐項判定，即可求解．【詳解】由題意，函數(shù)作出函數(shù)的圖象，如圖所示，由圖象知，有且僅有一個極小值點為，所以A正確；函數(shù)有兩個極大值點1和3，所以B錯誤；令，可得或或，解得或，即當時，，所以C正確；由圖象知，當時，函數(shù)的最大值，所以存在實數(shù)，使得恒成立，所以D正確.故選：ACD．11.在平面直角坐標系中，已知拋物線，過點作斜率為的直線與軸相交于點，與交于兩點，且，則（）A. B.C.以為直徑的圓與拋物線的準線有公共點 D.以為直徑的圓與拋物線的準線沒有公共點【答案】AD【解析】【分析】設直線方程為，則，由可得，聯(lián)立直線與拋物線方程，利用韋達定理求出，進而求出以為直徑的圓的圓心與半徑，利用圓心到準線的距離與半徑大小判斷是否有公共點即可．【詳解】解：設直線方程為，即，則，由，消去整理得，則，,由可得，，則，整理得，所以，解得，.又因為直線過，所以，即，驗證，與拋物線有兩個交點.故A正確，B錯誤；可知：準線方程為，直線的方程：，由弦長公式得，則以為直徑的圓的圓心坐標為，半徑為，則圓心到準線的距離為，所以以為直徑的圓與拋物線的準線沒有公共點，C錯誤，D正確．故選：AD．【點睛】方法點睛：與弦端點相關(guān)問題的解法解決與弦端點有關(guān)的向量關(guān)系、位置關(guān)系等問題的一般方法，就是將其轉(zhuǎn)化為端點的坐標關(guān)系，再根據(jù)聯(lián)立消元后的一元二次方程根與系數(shù)的大小關(guān)系，構(gòu)建方程(組)求解．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.的展開式中的系數(shù)為______．【答案】14【解析】【分析】根據(jù)二項式定理的通項公式，即可求解．【詳解】因為的展開式通項公式為，其中，故二項式的展開式中的系數(shù)為：．故答案為：.13.設是一個隨機試驗中的兩個事件，且，則______．【答案】【解析】【分析】利用和事件概率公式和條件概率公式求解即可．【詳解】由題知，所以，即，則．因，所以，則．故答案為：.14.在平面直角坐標系中，設，若沿直線把平面直角坐標系折成大小為的二面角后，，則的余弦值為______．【答案】【解析】【分析】在平面直角坐標系中，過點作于點，則折成二面角后，，由結(jié)合向量的數(shù)量積運算求解即可．【詳解】在平面直角坐標系中，過點作于點，可知，沿直線把平面直角坐標系折成大小為的二面角后，仍有，則，由，可得，即，即，可得．故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，設為曲線的對稱中心．（1）求；（2）記的角對應的邊分別為，若，求邊上的高長的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦型函數(shù)的單調(diào)性求出解析式，即可求；（2）利用余弦定理得到，結(jié)合三角形面積公式求解即可．【小問1詳解】因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以且，所以，可知，又由，可知，所以，故，由，可得，即．【小問2詳解】，化簡得，因為，所以，所以，又，所以，當且僅當時取等號，所以，所以，故長的最大值為．16.已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）當時，證明：．【答案】（1）答案見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）要證明，只要證即可，設，利用導數(shù)求得最值即可證明．【小問1詳解】函數(shù)的定義域為，且．當時，恒成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增；當時，令，解得，當時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，當時，在區(qū)間上單調(diào)遞減．綜上所述，當時，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．【小問2詳解】當時，因為，所以要證，只要證明即可，即要證，等價于（*）．令，則，在區(qū)間上，單調(diào)遞減；在區(qū)間上，單調(diào)遞增，所以，所以（當且僅當時等號成立），所以（*）成立，當且僅當時，等號成立．又在上單調(diào)遞增，，所以存在，使得成立．綜上所述，原不等式成立．17.如圖，已知斜三棱柱的側(cè)面是菱形，，．（1）求證：；（2）求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用線面垂直的性質(zhì)定理進行證明；（2）利用垂直關(guān)系建立空間直角坐標系，用向量法進行求解．【小問1詳解】取中點，連接．因為側(cè)面是菱形，，所以是正三角形，因為是中點，所以．因為是中點，，所以，又因為平面平面，所以平面．因為平面，所以．因為斜三棱柱，所以，所以．【小問2詳解】因為平面平面，所以平面，因為平面，所以．又因為平面平面，所以平面．以為原點，的方向為軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，則．所以，，設平面的一個法向量為，則即．取，則，所以．設平面的一個法向量為，則即取，則，所以．又，所以平面與平面夾角的余弦值為．18.現(xiàn)有甲、乙兩個盒子中都有大小、形狀、質(zhì)地相同的2個紅球和1個黑球．從兩個盒子中各任取一個球交換，記為一次操作．重復進行次操作后，記甲盒子中黑球個數(shù)為，甲盒中恰有1個黑球的概率為，恰有2個黑球的概率為．（1）求隨機變量的分布列；（2）求數(shù)列的通項公式；（3）求證：．【答案】（1）分布列見解析（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）由題意分析的可能取值為0，1，2，結(jié)合相互獨立事件的概率公式，分別求出概率，寫出分布列；（2）由全概率公式得到，判斷出數(shù)列為以為首項，以為公比的等比數(shù)列即可求解；（3）利用（2）得到的通項公式裂項相消求和求解即可.【小問1詳解】由題可知的可能取值為0，1，2，根據(jù)相互獨立事件的概率公式得到：即為甲盒中拿黑球乙盒中拿紅球交換，即為甲盒中拿黑球乙盒中拿黑球交換或甲盒中拿紅球乙盒中拿紅球交換，即為甲盒中拿紅球乙盒中拿黑球交換，則，的分布列為：012【小問2詳解】由全概率公式可知：，即，即，，又，所以數(shù)列是以為首項，以為公比等比數(shù)列，，即的通項公式；【小問3詳解】，所以得證.19.已知平面直角坐標系中，橢圓與雙曲線．（1）若的長軸長為8，短軸長為4，直線與有唯一的公共點，過且與垂直的直線分別交軸，軸于點兩點，當運動時，求點的軌跡方程；（2）若的長軸長為4，短軸長為2，過的左焦點作直線與相交于兩點（在軸上方），分別過作的切線，兩切線交于點，求面積的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得，得到雙曲線的標準方程，然后利用直線與有唯一的公共點，過且與垂直的直線分別交軸，軸于點兩點，即可求解；（2）依題意，，設，聯(lián)立結(jié)合韋達定理，得到切線方程，然后根據(jù)兩條切線方程聯(lián)立，結(jié)合構(gòu)造函數(shù)求解三角形面積最值即可．【小問1詳解】因為的長軸長為8，短軸長為4，所以，，聯(lián)立方程，得，又與有唯一的公共點，所以，即，的橫坐標為，把代入中，，所以，過且與垂直的直線為，則，所以，，又，所以，即，所以的軌跡方程為．【小問2詳解】因為的長軸長為4，短軸長為2