浙江省衢州市2024年6月高二年級教學質(zhì)量檢測數(shù)學試卷及答案

衢州市2024年6月高二年級教學質(zhì)量檢測試卷

數(shù)學

考生須知：

1.全卷分試卷和答題卷.考試結(jié)束后，將答題卷上交.

2.試卷共4頁，有4大題，19小題.滿分150分，考試時間120分鐘.

3.請將答案做在答題卷的相應位置上，寫在試卷上無效.

一、選擇題：本題共8個小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個

符合題目的要求.

1.復數(shù)（1+產(chǎn)=（）

A.2-2iB.2+2iC.-2iD.2i

2.設隨機變量X?則X的數(shù)學期望為（）

A.3B.6C.9D.12

3.已知直線加和平面貝i]“加＜Za”是“直線加與平面a無公共點”的（）

A,充分不必要條件B,必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.某圓錐的軸截面是腰長為1的等腰直角三角形，則該圓錐的側(cè)面積為（）

A—nB.-C.D.A/2TI

?22

5.已知向量1=（-1,百），且+則B在％上的投影向量為（）

/I-、

A.1）B.--,-1C.（1,—D.fl_￡\

2，-V

6.在448c中，5=|,。是48的中點，CD=也，則4B+28C的取值范圍為（）

A.

7.若曲線y=（ax+l）lnx有兩條過坐標原點的切線，則。的取值范圍是（）

B.（0,e2）

31

8.已知曲線G：J=x2,曲線G：x2+y2+-x——y=0,兩曲線在第二象限交于點尸，G，&在P處

的切線傾斜角分別為尸，則（）

A.a+/3=B.a+J3=^-C.a+J3=^-D.|tz-^|=-1-

二、選擇題：本題共3個小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符

合題目的要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.下列論述正確的是（）

A,樣本相關(guān)系數(shù)尸=0時，表明成對樣本數(shù)據(jù)間沒有線性相關(guān)關(guān)系

B.由樣本數(shù)據(jù)得到的經(jīng)驗回歸直線多=<￡必過中心點（只歹）

C.用決定系數(shù)A?比較兩個回歸模型的擬合效果時，R2越大，表示殘差平方和越大，模型擬合效果越差

D.研究某兩個屬性變量時，作出零假設名并得到2x2列聯(lián)表，計算得力2之％05,則有95%的把握能推

斷“0不成立

22

10.已知/是雙曲線二—匕=1的右焦點，尸為其左支上一點，點4（0,-6）,貝?。荩ǎ?/p>

45

A.雙曲線的焦距為6

B.點尸到漸近線的距離為2

C.|1訓+|尸盟的最小值為3石+4

D.若歸丹=8,則叢OPF的面積為3小

11.已知函數(shù)/（x）的定義域為R,若/（2x—1）+/（3—2x）=2,且/（X—2）為偶函數(shù)，/⑵=2,則

（）

A./（x+4）=/（x）B,42024）=0

25

c./（3）+/（9）=2D.￡/（0=25

1=1

三、填空題：本題共3個小題，每小題5分，共15分.

12.（2x-y）5的展開式中的系數(shù)是.（用數(shù)字作答）

13.甲、乙、丙、丁四人相互做傳球訓練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給

另外三個人中的任何一個人.則4次傳球的不同方法總數(shù)為（用數(shù)字作答）；4次傳球后球在甲手

中的概率為.

14.如圖，等腰直角三角形中，AC1BC,AB=4,。是邊ZC上一動點（不包括端點）.將△45。

沿AD折起，使得二面角4-AD-C為直二面角，則三棱錐4-BCD的外接球體積的取值范圍是

四、解答題：本題共5個小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或驗算步驟.

15.已知數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列，%,14,%成等差數(shù)列，且%=%%.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

(2)求數(shù)列｛"4｝的前〃項和5“.

16.如圖，在棱長為1的正四面體/—BCD中，E是28的中點，F(xiàn),G分別在棱ZD和上(不含端

點)，且EG//平面48c.

(2)若尸為2。中點，求平面EFG截該正四面體所得截面的面積；

7T

(3)當直線EG與平面BCD所成角為一時，求。G.

6

17.已知函數(shù)=

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)若/(x"0,求a方的最大值.

18.某學校的數(shù)學節(jié)活動中，其中有一項“抽幸運數(shù)字”擂臺游戲，分甲乙雙方，游戲開始時，甲方有2張互

不相同的牌，乙方有3張互不相同的牌，其中的2張牌與甲方的牌相同，剩下一張為“幸運數(shù)字牌”.游戲規(guī)

則為：

①雙方交替從對方抽取一張牌，甲方先從乙方中抽?。?/p>

②若抽到對方的牌與自己的某張牌一致，則將這兩張牌丟棄；

③最后剩一張牌（幸運數(shù)字牌）時，持有幸運數(shù)字牌的那方獲勝.

假設每一次從對方抽到任一張牌的概率都相同.獎勵規(guī)則為：若甲方勝可獲得200積分，乙方勝可獲得100

積分.

（1）已知某一輪游戲中，乙最終獲勝，記X為甲乙兩方抽牌次數(shù)之和.

（i）求P（X=2）；

（ii）求P（X=2左）,左eN*；

（2）為使獲得積分的期望最大，你會選擇哪一方進行游戲？并說明理由.

19.已知橢圓C：鼻+二=l（a〉b〉0）的離心率為在，斜率為;的直線/與了軸交于點尸，/與。交于

ab2

Q

A,3兩點，T是A關(guān)于x軸的對稱點.當尸與原點。重合時，△48T面積為一.

9

（1）求。的方程；

（2）當尸異于。點時，記直線與x軸交于點。，求△OP。周長的最小值.

衢州市2024年6月高二年級教學質(zhì)量檢測試卷

數(shù)學

考生須知：

L全卷分試卷和答題卷.考試結(jié)束后，將答題卷上交.

2.試卷共4頁，有4大題，19小題.滿分150分，考試時間120分鐘.

3.請將答案做在答題卷的相應位置上，寫在試卷上無效.

一、選擇題：本題共8個小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個

符合題目的要求.

1.復數(shù)（1+產(chǎn)=（）

A.2-2iB.2+2iC.-2iD.2i

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)復數(shù)乘法計算.

【詳解】（1+i）2=l+2i+i2=l+2i-l=2i.

故選：D

2.設隨機變量X?則X的數(shù)學期望為（）

A.3B.6C.9D.12

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)二項分布的變量的期望公式，代入運算得解.

【詳解】QX:《16,：],

3

:.E（X）=np=16x-=12.

故選：D.

3.已知直線加和平面貝!]“加＜Za”是“直線加與平面a無公共點”的（）

A,充分不必要條件B,必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)直線與平面的位置關(guān)系，結(jié)合充分，必要條件關(guān)系判斷.

【詳解】因為加aa包含m//a和直線m與平面a相交兩種情況，因此若m<^a,則直線m可以與平面a

無公共點也可以與平面a有一個公共點，

因此“加atz”是“直線加與平面a無公共點”的必要不充分條件.

故選：B.

4.某圓錐的軸截面是腰長為1的等腰直角三角形，則該圓錐的側(cè)面積為（）

A.—7tB.-C.nD.舟

22

【答案】A

【解析】

【分析】先求出該圓錐的底面半徑和母線長，再求圓錐的側(cè)面積得解.

【詳解】由題得底面圓的直徑為，a+儼=收,

所以該圓錐的底面半徑為也，母線長為1,

2

所以該圓錐的表面積為，x2x兀xY2xl=型兀.

222

故選：A.

5.已知向量Z=（—1,G）,且力口+B）,則B在￡上的投影向量為（）

【答案】c

【解析】

【分析】先根據(jù)條件求出7B，再根據(jù)投影向量的概念計算B在Z上的投影向量?

【詳解】由7=（-1,、陰，得：同=2.

又Q_L（Q+b）=>a?（Q+b）=O=>2.B=_五2__4.

所以加在z上的投影向量為：

同同

故選：C

6.在中，B=],。是Z8的中點，CD=6，則N3+28c的取值范圍為（）

【分析】根據(jù)題意，由正弦定理可得BD=2sinZBCD,BC=2sinZBDC,即可得到

AB+2BC=473sinABCD+-,再由正弦型函數(shù)的值域，代入計算，即可求解.

因為8=（，CD=y/3>在△BCD中，

BD_BC_CD_2

由正弦定理可得sinZBCD-sinZ5DC-sinZB一百

則BD=2sinNBCD,BC=2sinZBDC,

且。是Z5的中點，則幺8+28。=23￡>+28。=4411/50)+45由28。。，

又8=女，則N3C￡>=2兀一/3QC,

33

則AB+2BC=4sin]|■兀一NBDCj+4sin/BDC

cosNBCD+—sinABCD+sinNBCD

2

7

4區(qū)inNBCD+—cosNBCD

227

sinNBCD+e,

7T715

則N8CO+—e一,一兀

666

NBCD+j則4道sin1N8CD+[

所以sine(26,46]

即AB+2BC的取值范圍為(2g,46].

故選：C

7.若曲線y=(ax+l)lnx有兩條過坐標原點的切線，則。的取值范圍是()

A.(0,"B.(0,e2)C.D.[Jd]

【答案】A

【解析】

【分析】先設切點(Xo，(Go+l)hMo),再根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出切線斜率，利用點斜式得到切線方程;

再根據(jù)切線過點(0,0),得到毛,。的關(guān)系，利用與有兩解求。的取值范圍.

【詳解】設切點+1)1叫))，

又y'=aInx+(ax+1)—=alnxH--FQ,所以切線斜率為：左二Fa.

XXX。

(1)

由點斜式，切線方程為：y-(ax0+l)lnx0=a\nx0+—+a(x-x0).

Ix0

(1、

因為切線過點(0,0),所以—(ax。+l)lnXo=aln/H----a(0—x0).

Vx。J

所以：tzxo-lnxo+l=O.

因為過原點的切線有兩條，所以關(guān)于％方程ax-Inx+1=0有兩解.

由ax-lnx+l=0(x>0)na二一-

x

設g)=個，則"叱-(71)

2-lnx,

由/(x)>0得2—lnx〉0nx<e2

所以/z(x)在(o,e2)單調(diào)遞增,在W,+8)單調(diào)遞減,

所以力仁2)=《，且當%>e時，/z(x)>o.

lY—11

所以。二-n-----有兩解，則0<。<

xe

故選：A

31

8.已知曲線G：J=X2,曲線。2：x2+y2+-x--y=Q,兩曲線在第二象限交于點尸，G，C2在尸處

的切線傾斜角分別為萬，則()

c2兀371c571Ici71

A.ex.(3——^―B.oc(3—C.cc/3—D.|^z—=—

【答案】B

【解析】

【分析】易知P(-1,1),利用導數(shù)的幾何意義可求得tana=-2,再根據(jù)圓的切線求法可得tan夕=；,

再根據(jù)三角恒等變換可判斷B正確.

y=^2

【詳解】聯(lián)立19931，得2/+/+3%=0,即x(2/+x+3)=0,

x+y+-x--y=O、)

、22

—

可得+1乂2x?—2x+3)=0,解得再=0,x2=1,可得尸(—1,1)

由G：y=%?可知y=2x；

713兀

所以曲線G在尸處的切線斜率為左=tana,a

VL=T=-2=G2?T

1--

曲線。2可化為+14

其圓心為

8

所以圓。2在P處的切線斜率為左2=；=tan萬，6e1°，；

八(兀)/八\tana+tan/?3兀

a+/?￡—,兀，tan(6/+^)=-------------=-14,即。+尸二一，故B正確，A、C錯誤,

')1-tancr-tan/?4

-2--

tan(|a-/?|)=tan(a-￡)二——匕二一7,故D錯誤,

1+(-2)X3

故選：B.

二、選擇題：本題共3個小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符

合題目的要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.下列論述正確的是（）

A,樣本相關(guān)系數(shù)r=0時，表明成對樣本數(shù)據(jù)間沒有線性相關(guān)關(guān)系

B.由樣本數(shù)據(jù)得到的經(jīng)驗回歸直線§=<+方必過中心點（亂歹）

C.用決定系數(shù)氏2比較兩個回歸模型的擬合效果時，越大，表示殘差平方和越大，模型擬合效果越差

D.研究某兩個屬性變量時，作出零假設名并得到2x2列聯(lián)表，計算得力2之％。5,則有95%的把握能推

斷不成立

【答案】ABD

【解析】

【分析】對于A：根據(jù)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)分析判斷；對于B：根據(jù)經(jīng)驗回歸方程過樣本中心點分析判斷；對于

C：根據(jù)決定系數(shù)的性質(zhì)分析判斷；對于D：根據(jù)獨立性檢驗思想分析判斷.

【詳解】對于選項A：樣本相關(guān)系數(shù)廠的絕對值越大，線性相關(guān)性越強，

所以樣本相關(guān)系數(shù)廠=0時，表明成對樣本數(shù)據(jù)間沒有線性相關(guān)關(guān)系，故A正確；

對于選項B：經(jīng)驗回歸直線與=跋+￡必過中心點（亍,歹），故B正確；

對于選項C：在回歸分析中，R2越大，殘差平方和越小，模型的擬合效果越好，故C錯誤；

對于選項D：因為力2之％05,根據(jù)獨立性檢驗的思想可知有95%的把握能推斷?不成立，故D正確；

故選：ABD.

22

10.已知E是雙曲線二—匕=1的右焦點，尸為其左支上一點，點/（0,-6）,貝?。荩ǎ?/p>

45

A.雙曲線的焦距為6

B.點尸到漸近線的距離為2

C.|/訓+怛月的最小值為3出+4

D.^\PF\=8,則NJPF的面積為3小

【答案】AC

【解析】

【分析】根據(jù)雙曲線的性質(zhì)判斷A,利用點到直線的距離公式判斷B,利用雙曲線的定義判斷C,求焦點三

角形的面積，可判斷D.

45=1，可知。=2,b=5所以0=信+廿=3,所以雙曲線的焦距為:

2c=6,故A正確;

雙曲線的漸近線為了=±手x，即底±2了=0,點尸（3,0）到漸近線的距離為:

d=關(guān)'=石，故B錯誤;

V5+4

設雙曲線的左焦點為尸，，根據(jù)雙曲線的定義：忸刊-忸廠1=4,

所以I尸H+|?F|=+\PF'\+4>\AF'\+4=,9+36+4=3下+4，故C正確;

在△耳下'中，由忸司=8,|PF'|=8—4=4,|EF'|=6,

|PF|2+|PF,|2-|FF,|2_64+16—3664+16—3611

由余弦定理得：cosZFPF'=J

2\PF\-\PF'\2x8x42x8x416

所以sin/F7/'=%^

16

所以54尸=,x8x4x%^=5百，所以5。尸尸=L5尸.，=述，故D錯誤?

故選：AC

11.已知函數(shù)/（x）的定義域為R,若/（2x—1）+/（3—2x）=2,且/（x—2）為偶函數(shù)，/（2）=2,則

（）

A./（x+4）=/（x）B.42024）=0

25

c./（3）+/（9）=2D.￡/。）=25

1=1

【答案】BCD

【解析】

【分析】首先根據(jù)函數(shù)既是中心對稱又是軸對稱，求得函數(shù)的周期，判斷A,再根據(jù)函數(shù)周期和對稱性求

值，并求函數(shù)值，判斷BCD.

【詳解】—1）+/（3—2x）=2,.?./（X）關(guān)于（1,1）對稱

?.?/（X—2）為偶函數(shù)，.?./（X）關(guān)于x=—2對稱

.??/（司的周期7=4口—（—2）］=12,故A錯；

/（2024）=/（-4）（???/（X）的周期為12）

/（—4）=/（O）（?.?/（X）關(guān)于x=—2對稱）

/（0）=2-/（2）=0（???/（X）關(guān)于（1,1）對稱），故B正確；

/（9）=/（—3）（?.?/（X）的周期為⑵

/（—3）=/（—1）（???/（X）關(guān)于x=—2對稱）

/（-1）=2-/（3）（???/（X）關(guān)于（1,1）對稱）

/（-1）+/（3）=2,即/（9）+/（3）=2,故c正確；

：/（x）的周期為12

.?./⑵+/（3）+…+/（13）=/（⑷+/（15）+…+/（25）,

/（3）+/（-1）=2,又=所以/（3）+/。1）=2,

同理/（4）+/（10）=2,/（5）+/（9）=2,/（6）+/（8）=2,

/⑺+/（—5）=2,又/（—5）=/⑺,所以2/⑺=2,即/⑺=1,

由/（2x_l）+/（3—2x）=2,令x=l,得2/⑴=2,/（1）=1,

/（12）=/（0）=0,

所以/⑴+/（2）+/（3）+…+/（12）=12,所以/。3）+/。4）+...+/（24）=12,

/（25）=/⑴=1，

25

^/（/）=24+1=25,故D正確.

Z=1

故選：BCD

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是通過對稱性判斷函數(shù)的周期.

三、填空題：本題共3個小題，每小題5分，共15分.

12.(2x-y)5的展開式中-V的系數(shù)是.(用數(shù)字作答)

【答案】-40

【解析】

【分析】寫出二項展開式的通項，再根據(jù)通項賦值即可得展開式中Yj?的系數(shù).

【詳解】(2x_y)5的展開式的通項=C；(2x廣(-n=q-25-r?(-1)，x5-ryr,r=0,1,2,…5

所以展開式中-y的系數(shù)是C^-22.(-1)3=-40.

故答案為：-40.

13.甲、乙、丙、丁四人相互做傳球訓練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給

另外三個人中的任何一個人.則4次傳球的不同方法總數(shù)為(用數(shù)字作答)；4次傳球后球在甲手

中的概率為.

7

【答案】①.81②.—

T1

【解析】

【分析】先求出4次傳球的方法總數(shù)，再求出4次傳球后球在甲手中的方法總數(shù)，設4表示經(jīng)過第〃次傳

球后球在甲手中，設〃次傳球后球在甲手中的概率為匕，依題意利用全概率公式得到勺+]=；-；勺，即可

得到是以為首項，為公比的等比數(shù)列，從而求出勺，再將〃=4代入計算可得.

【詳解】由題意可知，4次傳球總的傳球路線種數(shù)為34=81種，

設4表示經(jīng)過第〃次傳球后球在甲手中，設〃次傳球后球在甲手中的概率為月，"=1,2,3,…,

則有4=o,4+i=44+i+44+1，

所以4+1=P(AA+1+44+J=P(4A+J+尸(44+1)

=尸(4＞尸(4+"可+尸(4)尸(4"4)=(1—勺卜；+勺義0=；(1—々),

即々+1=；-＞，所以勺+「：=一；[勺一：；

又耳—4=_2_00,所以，耳是以—工為首項，一：為公比的等比數(shù)歹!J,

44I4143

當〃=4時巴=!

4

_,7

故答案為：81,—.

27

14.如圖，等腰直角三角形45C中，AC1BC,AB=A,。是邊/C上一動點（不包括端點）.將△45。

沿5。折起，使得二面角4-8。-C為直二面角，則三棱錐4-BCD的外接球體積的取值范圍是

【解析】

【分析】根據(jù)兩平面互相垂直判斷外接球球心的位置，再由已知條件計算出球半徑表達式，即可求出體積

取值范圍.

【詳解】因為△BCD是直角三角形，所以其外接圓的圓心在的斜邊8。上，即是該圓的直

徑,

又因為平面4平面BCD,所以平面48。必過球心，外接球半徑即為△48。外接圓的半徑,

設球的半徑為「，球的體積為

2r=—————=BD=叵BD

在A4AD中，根據(jù)正弦定理得，sinZBAD.兀，

1sm—

4

又因為ADe（2亞,4）,所以2r=一lf^=2=行8。e（4,4挺）,

\/sinABA{DsmA'）

327r64后兀

故答案為：

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵是通過兩平面垂直關(guān)系以及三棱錐的底面為直角三角形判斷出球心的位置,

判斷球心在平面48。上，得出球心為外接圓的圓心，再求出BD的取值范圍即可解決問題.

四、解答題：本題共5個小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或驗算步驟.

15.已知數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列，%,14,%成等差數(shù)列，且%=的％.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式；

(2)求數(shù)列｛"4｝的前〃項和

【答案】(1)4=3"T

、(2n-lV3n+l

(2)S---------

"4

【解析】

【分析】(1)根據(jù)%,14,%成等差數(shù)列，得％+%=28,再結(jié)合%=/%及等比數(shù)列的通項公式，可

求q,q,從而得到等比數(shù)列的通項公式.

(2)利用“錯位相減求和法”求數(shù)列的前〃項和.

【小問1詳解】

由題意可知％+%=28,即%+%/=28,

又.ci^q—qg,a、q,即%—%,??q=1或％=0(舍)，

:?q=3,

nx

61n=axq=3，T.

【小問2詳解】

,!-1

令bn=nan=n-3,

S=b

ni+b2+---+bn,

即=l+2?31+…+(〃—l)?3"-2+〃.3"T①

3S"=3+2?32+…+5—l)?3"T+〃.3"②

①-②得:

1—4"—1

/.-25=1+3+32+…+3"T-〃3'=3=

n1-32

??.S-].3"+L(2〃-"+L

nU4J44

16.如圖，在棱長為1的正四面體/—BCD中，E是28的中點，F(xiàn),G分別在棱/。和C￡＞上(不含端

點)，且EG//平面48c.

(1)證明：/C//平面E尸G；

(2)若/為4D中點，求平面EFG截該正四面體所得截面的面積;

7T

(3)當直線EG與平面BCD所成角為一時，求。G.

6

【答案】(1)證明見解析

26

【解析】

【分析】(1)線面平行的判定定理和性質(zhì)定理證明即可；

(2)取5c中點〃，則平面EEG笈即為平面EFG截正四面體4-BCD的截面，求解即可.

(3)方法一：取。。中點連接的，過點￡作皿/的垂線，垂足為N,連接NG,由線面角的定義

可知NEGN即為直線EG與平面BCD所成角，求解即可；方法二：如圖，取CD中點”，連接以

M為坐標原點，MD,M2所在直線分別為x,歹軸，由向量法求解即可.

【小問1詳解】

證明：因為EG//平面歹Gu平面/CD,

平面ACDA平面ABC=AC,

所以FG〃/C,又bGu面E戶G,/CU面E尸G,

所以/C//平面E尸G；

【小問2詳解】

因為E,F,G為AB,AD,CD中點，取5C中點X,

則平面EFGH即為平面EFG截正四面體A-BCD的截面,

且EFGH為邊長是。的正方形,

所以S截面=；；

【小問3詳解】

方法一：取CD中點連接過點E作即/的垂線，垂足為N,連接NG

易知，應V，平面BCD,

所以NEGN即為直線EG與平面BCD所成角,

又EN=旦,tan/￡GN=空,

6NG

所以NG=2，MN=—,

23

所以西=逅，即。G=」土尬

626

方法二：如圖，取3中點“，連接以M為坐標原點，MD,“3所在直線分別為x,了軸，過點"

且與平面BCD垂直的直線為z軸建立空間直角坐標系，

^fo,—設麗=2反=(—4,0,0),

I36J

所以前=疵+*=]—2+:,0,0),即G1—X+g,0,0),

所以西=,

1236J

又平面BCD的法向量為n=(0,0,1),

所以sin6=kosEG,"=〔I__.,,=,——-——1

11K-H廣7「5'

解得彳=」±逅，即DG=，土逅.

2626

Az八

17.已知函數(shù)/(x)=eX-ax-b.

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)若/(x"0,求力)的最大值.

【答案】(1)答案見解析

⑵-

2

【解析】

【分析】(1)求導，分aKO和a>0兩種情況，利用導數(shù)判斷J=/(%)的單調(diào)性；

22

(2)根據(jù)題意結(jié)合(1)中的單調(diào)性可得仍Va-alna,a>0,令g(x)=/一f1nx(尤>。),利用導

數(shù)判斷其單調(diào)性和最值.

【小問1詳解】

由題意可知：/'(x)=e，—a,

①當a<0時，^(x)>0^可知>=/(x)在R上單調(diào)遞增；

②當a>0時，令/'(x)>0,解得x>lna；令/'(x)<0,解得x<lna；

可知〉=/(力在(-001114)上單調(diào)遞減，在(Ina,+8)上單調(diào)遞增；

綜上所述：當a<0時，>=/(x)在R上單調(diào)遞增；

當a>0時，>=/(月在(—8,1114)上單調(diào)遞減，在(Ina,+。)上單調(diào)遞增.

【小問2詳解】

因為/(x)>0,由(1)可得：

①當a〈0時，可知歹=/(x)在R上單調(diào)遞增，

且x趨近于時，/(x)趨近于-8,與題意不符；

②當a>0時，可知y=/(x)在(—e,lna)上單調(diào)遞減，在(ina,+8)上單調(diào)遞增，

則/(x)之/(lna)=a-alna-6?0,可得6〈a-alna,

且a>0,則ab</in。，

令g(x)=x?-x2lnx(x>0),則g'(x)=x(l-21nx),

令，(x)>0,解得0<x〈血；令g'(x)<0，解得x>血；

可知〉=g(x)在(0,韭)上單調(diào)遞增，在(八,+句上單調(diào)遞減，

WJg(x)<g(Vej=|,

所以當口=八，b='時，ab的最大值為

18.某學校的數(shù)學節(jié)活動中，其中有一項“抽幸運數(shù)字”擂臺游戲，分甲乙雙方，游戲開始時，甲方有2張互

不相同的牌，乙方有3張互不相同的牌，其中的2張牌與甲方的牌相同，剩下一張為“幸運數(shù)字牌”.游戲規(guī)

則為：

①雙方交替從對方抽取一張牌，甲方先從乙方中抽取；

②若抽到對方的牌與自己的某張牌一致，則將這兩張牌丟棄；

③最后剩一張牌(幸運數(shù)字牌)時，持有幸運數(shù)字牌的那方獲勝.

假設每一次從對方抽到任一張牌的概率都相同.獎勵規(guī)則為：若甲方勝可獲得200積分，乙方勝可獲得100

積分.

(1)已知某一輪游戲中，乙最終獲勝，記X為甲乙兩方抽牌次數(shù)之和.

(i)求P(X=2)；

(ii)求P(X=2左),左eN*；

(2)為使獲得積分的期望最大，你會選擇哪一方進行游戲？并說明理由.

【答案】(1)(i)；；(ii)2x［，］，左eN*

(2)乙方，理由見解析

【解析】

【分析】(1)(i)分析得到甲方抽到的乙方的牌為與自己相同的牌，從而乙方會剩下“幸運數(shù)字牌”，求出概

率；

(ii)前2k-2次抽牌都只抽到對方手中的幸運數(shù)字牌，概率均為工，得到概率；

3

3

(2)方法一：記乙方獲勝為事件/,利用等比數(shù)列求和公式和極限得到P(/)=z，求出乙方獲得積分的

期望g=75,求出甲方獲勝的概率和積分的期望4=50,根據(jù)耳〉當選擇乙方進行游戲.

方法二：設乙方獲勝為事件/,由題意得到尸(2)=§+3(1—尸(2)),求出尸(2)=4,求出乙方獲得積

分的期望g=75,求出甲方獲勝的概率和積分的期望62=50,根據(jù)用＞當選擇乙方進行游戲.

【小問1詳解】

(i)甲乙兩方抽牌次數(shù)之和為2,則甲方抽到的乙方的牌為與自己相同的牌，

從而乙方會剩下“幸運數(shù)字牌”，即乙獲勝，

P(X=2)=g；

(ii)前2k-2次抽牌都只抽到對方手中的幸運數(shù)字牌，概率均為,，

3

甲方在第(2左-1)次抽到的不是對方手中的幸運數(shù)字牌，從而乙方最后獲勝，

(1Y"222

所以P(X=2左)七x-=-x

【小問2詳解】

方法一：記乙方獲勝為事件/,

…+831(

則尸(Z)=Z(X=2左”1—乙=lim-x1--=-

k=\1_±k->+（x）41914

乙方獲得積分的期望為旦=100P(/)=75,

甲方獲得積分的期望為E2=200P（彳）=50,

因為EI〉E2,所以我會選擇乙方進行游戲.

方法二：記乙方獲勝為事件/,則乙方獲勝的概率為P（Z）,

事件/可分為甲第一次抽中的牌不是幸運數(shù)字牌和是幸運數(shù)字牌兩種情況，

其中若甲第一次抽中的牌不是幸運數(shù)字牌，則乙會獲勝，概率為：，

若甲第一次抽中的牌是幸運數(shù)字牌，此時甲乙手中的牌相當于進行了互換，

則此時甲獲勝的概率與乙獲勝的概率相同，則甲不獲勝的概率即為1-?（4）,

則尸（2）=]+]（1_尸（么）），解得尸（Z）=w，

乙方獲得積分的期望為￡]=100P（/）=75,

則甲方獲勝的概率為尸（1）=1—P（N）=；,

甲方獲得積分的期望為E2=200P（2）=50,

因為