2024年高考數(shù)學理試題分類匯編：導數(shù)及其應用

2024年高考數(shù)學理試題分類匯編：導數(shù)及其應用

cin9Y

1.(2024年新課標I文)8.函數(shù)y=----------的部分圖像大致為(C)

1-COSX

2.(2024年新課標11卷理)11.若兀=-2是函數(shù)/(為=。2+奴—1)/-1'的極值點，則/(x)的微小值為()

A.—1B.-2e3C.5e3D.1

【答案】A

【解析】由題可得f\x)=(2x+a)ex-l+(x2+ax-l)ex-1=[x2+(a+2)x+a-l]exl

因為/'(一2)=0,所以a=—1,f(x)=(x2-x-r)ex-l,故尸(x)=(爐+%—2)e?

令尸(x)>0,解得了<—2或x>l,所以/Xx)在(—8,—2),(1,+8)單調(diào)遞增，在(—2,1)單調(diào)遞減

所以“X)微小值=_/'⑴=(l-l-lk1-1=-l,故選A。

3.(2024年新課標I文)9.已知函數(shù)/(x)=lnx+ln(2—x),則(C)

A./⑴在(0,2)單調(diào)遞增B./(%)在(0,2)單調(diào)遞減

C.y=/(x)的圖像關于直線戶1對稱D.y=/(x)的圖像關于點(1,0)對稱

4.(2024年浙江卷)函數(shù)產(chǎn)/㈤的導函數(shù)y=f'(x)的圖像如圖所示，則函數(shù)>=/)的圖像可能是

【答案】D

【解析】原函數(shù)先減再增，再減再增，因此選D.

5.(2024年新課標HI卷理)11.已知函數(shù)/(x)=x2—2x+a(e"T+er+i)有唯一零點，則.=

【答案】C

【解析】x2-2x=—a(/T+e-x+i),設g(x)=+尸+】，/(@=-r+i=/-i_%=。,J,

ee

當g'(x)=0時，x=l,當x<l時，g'(x)<0函數(shù)單調(diào)遞減，當x>l時，g'(x)>0,函數(shù)單調(diào)遞增，

當x=l時，函數(shù)取得最小值g(1)=2,設7I(X)=￡-2X,當x=l時，函數(shù)取得最小值-1,若一。>0,

函數(shù)〃(x)，和ag(x)沒有交點，當-"0時，-ag(l)=〃⑴時，此時函數(shù)和彌⑺有一個交點，

即—ax2=—l=a=；,故選C.

6.(2024年新課標II卷理)21.

已知函數(shù)/(X)=加-at-xlnx,且

(1)求a；(2)證明：/(九)存在唯一的極大值點無。，且e」</(/)<2之

【解析】

(1)/(X)的定義域為(0,+8)

設g(x)=ax-a-加，則f(x)=xg(x),f(x)>0等價于g(x)>0

因為g(1)=。'S(x)-Q故?'(1)=0,而g'(x)=a---,g，(1)~a—1,得a=1

若a=l,貝=1.當0<x<l時，g，(x)<0,g(x)單調(diào)遞減；當x>l時，g[x)>0,g(x)單調(diào)遞增.所以x=l

是g(X)的微小值點，故g(x)Ng(1)=0

綜上，a=l

(2)由(1)知fix)=-*Inx,f'(月)=2x-2-In

1Xf1A

當

時

<在_■T

方

o方>on

XeXe-8Iu-8Bi-n

一

2-KJk2+-y

遞

增

2

XA(e-)>0,A1<0,A(l)=0,所以為(x)在0,；有唯一零點x0,在；，+oo有唯一零點1,且當xe(。,4)時,

力(x)>0；當x￡(X。,1)時，h(x)<0,當x￡(1,+oo)時,h(x)>0.

因為尸⑴=力(X)，所以x=xo是f(x)的唯一極大值點

由/*'(x0)=0得In/=2(x0-1),故F(/)二七(1-X。)

由X。G(0,1)得尸(4)<；

因為x=xo是f(x)在(0,1)的最大值點，由e-ie(0,1),尸(/)片0得

小)>/2=]

所以1(，(々)<2一2

21.(2024年新課標m卷理)

已知函數(shù)/(X)=x-1-alnx.⑴若/(x)?°,求4的值；

(2)設機為整數(shù)，且對于隨意正整數(shù)m(1+g)(1+*)(1+^)<m,求相的最小值.

解：(1)f'(x)=l--(x>0)

x

當aWO時，f'M>0,x-0時/(%)——8不滿意

當a>0時，/(%)在(0,a)J,(a,+oo)T/(x)1nhi=/(。)=?！猯—alna令y=a-l-a\na

則，=—lna；.y在(0,1)T,(1,+oo)J，ymax=y(l)=0,即y<0

因此。=1時/(X)min=0，滿意.(2)由⑴有x-l>lnx

Aln(l+—)<—

2"2"

11111

〉ln(ZldH---)<--H+H----d1-----

占T21222〃2n

?*-mmin=1

(21)(2024年新課標n文)

設函數(shù)位尸(1-/)-(l)探討力的的單調(diào)性；(2)當x20時，f(x)<ax+l,求a的取值范圍.

21.解

(1)尸(x)=(1-2%-f)炭

令/'(%)=0得尸,x=-l+6

當xe(-oo,-I-A/2)時，r(x)<0；當xe(-1-72,-1+72)時，/(x)>0；當xe(-1-72,+℃)時，f\x)<Q

所以兀r)在(-8,J一夜)，(.1+72,+8)單調(diào)遞減，在(-1-V2,-1+72)單調(diào)遞增

(2)f(x)=(l+x)(1-x)F

當時，設函數(shù)/?(%)=(1-x)落h\x)=-x^<0(40),因止匕依。在[0,+8)單調(diào)遞減，而以0)=1,

故3)WL所以

f(x)=(x+1)h(x)Wx+1Wax+1

當0<a<l時，設函數(shù)g(x)=e、x-l,g,(x)="-1>0(x>0),所以g(x)在在［0,+8)單調(diào)遞增，而g(0)=0,

故出》x+1

當0<尤<1,/(x)=(l-x)(l+x)2,(l-x)(l+x)2-ax-1=x(l-a-x-%2),取方=—^—--

2

則x0e(O,l),(l-xo)(l+xo)-ax0=O,^V(xo)>axo+1

_i

當a<0時，取x()=—--,/(x0))(l-x0)(l+x0)2=l)ax0+1

綜上，。的取值范圍［1,+8)

(2024年新課標I文)21.已知函數(shù)f(x)=ev(ex-a)-a2x.

(1)探討/(x)的單調(diào)性；(2)若/(x)20,求。的取值范圍.

2vx

21.(12分)(1)函數(shù)f(x)的定義域為(7,+8),/'(x)=2e-ae*—/=Q"+a)(e-a),

①若a=0,則/(x)=e21在(-8,+oo)單調(diào)遞增.

②若〃〉0,則由/'(%)=0得x=lna.

當(-oojna)時，/,(x)<0；當xw(Ina,+8)時，fr(x)>0,所以/(%)在(一8,Ina)單調(diào)遞減，在(Ina,+8)單

調(diào)遞增.

③若。<0,則由尸(x)=0得x=ln(—g.

當xe(—00,In(-9)時，f'(x)<0；當xe(In(-■|'),+00)時，f'(x)>0,故/(x)在(一oo,In(-9)單調(diào)遞減，在

(1以—9,+8)單調(diào)遞增.

(2)①若a=0,mijf(x)=e2x,所以/(x)20.

②若。>0,則由(1)得，當x=lna時，/(%)取得最小值，最小值為/(lna)=-〃21na.從而當且僅當一〃2inaZ0,

即時，f(x)>0.

③若a<0,則由⑴得，當x=ln(—微)時，/(x)取得最小值，最小值為/(Inm從而當且僅

當/弓—ln(—I)］>0,即a?—23時/(x)20.

3

綜上，〃的取值范圍為［-2好」.

一1

14.(2024年新課標I文)曲線y=x9H—在點(1,2)處的切線方程為_y=x+l

x

(2024年新課標1)21.

已知函數(shù)/(x)=aelx+(a-2)ex-x.

(1)探討/(x)的單調(diào)性；

(2)若/(x)有兩個零點，求a的取值范圍.

2xxxx

(1),3的定義域為(fgf'(x)=2ae+(a-2')e-l=(ae-l\2e+1),

(i)若a?0,則/'(力<0,所以/(x)在(Yo.y)單調(diào)遞減.

(ii)若a>0,則由力=0得x=—lna.

當xe(-oolna)時，/")<0；當xe(-Ina+oo)時，/'(x)>0,所以/(x)在(Yo「lna)單調(diào)遞減,

在(Tnq+oo)單調(diào)遞增.

(2)(i)若aMO,由(1)知，『⑶至多有一個零點.

(ii)若a>0,由(1)知，當x=—lna時，力")取得最小值，最小值為=1+lna

a

①當。=】時，由于f(Tna)=0,故f")只有一個零點；

②當ae(L??)時，由于l-；+lna>0,即/(—lna)>0,故/(x)沒有零點；

③當a6(0」)時，l-1+lna<0,gp/(-lna)<0.

a

X/(-2)=+(a-2)e-2+2>-2e-2+2>0,故/(x)在(7,-Ina)有一個零點.

3

設正整數(shù)％滿足H0>ln(--1),則/(%)=心(。心+a-2)>e、一%>2力一9>0

a

3

由于叫-1)>-lna,邸I"(x)在(-山a：+工)有一個零點.綜上，々的取值范圍為(0,力

20.(2024年浙江卷)已知函數(shù)/(x)=(x-j2x-l)e-x(x>1-).(I)求?x)的導函數(shù)；

(ID求加0在區(qū)間[g,+oo)上的取值范圍.

21--

【答案】(I)/(%)=(1-x)(1--,)二；(II)[0,-e2].

V2x-12

xx

([)因為—,=l-^=\e-y=-e-

所以r(X)=(1-^=)e-x-(x-底=I)e-x

(I)(V^T-2)L

(II)由/''(>)=

5

解得X=1或%=3

因為

11555

X(力1)1(1,2)(方+8)

22

-0+0-

/(x)小0T

1.--------r

又f(x)=Q川2%-1_1)2—八0,

所以/(X)在區(qū)間擊+8)上的取值范圍是［0,卜』.

(2024年北京卷理)(19)已知函數(shù)/(無)=excosx-x.(I)求曲線y=/(x)在點(0,f(0))處的切線方程;

(II)求函數(shù)/(x)在區(qū)間［0,g］上的最大值和最小值.

【答案】

(I)f(x)=ex-cosx—x.*./(x)=^(cosx-siiix)—1f(0)=0

?力成0在(0,川))處切線過點(0,1),k=。???切線方程為y=l

(II)f(x)=ex(cosx-sinx)—1,設/Xx)=g(x)

冗

**?§~2sinx-^<0/.ga)在［0,—］上單調(diào)遞減，

71

/.g(X)<g(0)=0：.f(X)柳工危)在EO,y］上單調(diào)遞減，

nn

危)max=/(0)=1???/(X)min寸萬戶一§

(2024年江蘇卷)11.已知函數(shù)/0)=/-2》+1-4，其中e是自然對數(shù)的底數(shù).^/(fl-l)+/(2a2)<0,則實數(shù)。的

e

取值范圍是▲.

21

【解析】因為/(—x)=—/+2x+——e*=—/(X),所以函數(shù)/(x)是奇函數(shù)，

e

因為/，(x)=3f—2+ex+e_Y>3x2-2+2拈.0>0,所以數(shù)于(玲在R上單調(diào)遞增，

又/(。一1)+/(2/)<0,即/(2〃)</(1—。)，所以2a2<1—a,BP2?2+?-1<0,

解得—故實數(shù)。的取值范圍為［―1,萬］.

(2024年江蘇卷)20.

已知函數(shù)/(尤)=丁+依2+笈+1(〃>0涉?R)有極值，且導函數(shù)「(X)的極值點是〃無)的零點.(極值點是指函數(shù)取

極值時對應的自變量的值)

(1)求6關于。的函數(shù)關系式，并寫出定義域；(2)證明：廿>34；

_7

(3)若了(龍)，((“)這兩個函數(shù)的全部極值之和不小于2,求。的取值范圍.

20.【解析】(1)因為/'5)=3/+2℃+6,所以/〃(x)=6x+2a=0,所以x=—三，

r\3O

所以/(—@)=0,所以6=,+士，

39a

因為A=4〃2—12人>0,所以。>3.

(2)b2-3a=-a6-—a+9,

813

45,

y=-t29——t+9(t-a>27)

813

135

因為f=±<27,

8

所以Jmin>川27)=0,所以力>3。

)+/(x：)=(不+x?)+a(Xj2+x：)+/玉+玉)+2

=8+七)［(演+x?)：—3不與］+。［(玉+x?)：—2玉*：］+》(玉+x,)+2

4jlab、A

—er-——+2=2/(-)=0,

273八，，

7

：.-ci1,2a3-ft3-54<0,3<a<b.

2f9a32

cinx

7.(2024年全國III卷文)函數(shù)y=l+x+--的部分圖像大致為()

x'

答案：D

12.(2024年全國111卷文)已知函數(shù)/0)=/-2%+。(/-1+031)有唯一零點，則。=()

111

A--B-C-D1

232

［解析］；(x)=2x-2+a(/T-e-v+1)=0

得x=l

即x=l為函數(shù)的極值點，故/⑴=0

貝！11—2+2a=0,a=—

2

21.(2024年全國III卷文)設函數(shù)/(x)=Inx+ax2+(2a+l)x.

(1)探討/(x)的單調(diào)性;

3

(2)當〃<0時，證明了(%)?------2.

4。

解：(1)由/(九)=山九+辦2+(2〃+1)犬，(犬〉0)

有f\x)=—+2ax+2a+l

x

2〃%2+(2〃+l)x+1

%.........................2

①當〃=0時，/'(%)=1>0,/(%)單增

①當時，令/(%)=0,即2。%2+(2〃+1)%+1=0

確軍得玉=—1(^0,%=----g(%)=2？+(2々+1)%+1

一2a

i.當。>0時，g(x)開口向上，—L<0,g(x)>0,即/(x)>0,/(x)單增

2a

ii.當〃<0時，g(x)開口向上，--->0,

2a

此時，在(0,—」-)上，g(x)<0，即/(x)<0,/(x)單減

2a

在(__L,+oo)上，g(x)>0,即/'(x)>0,/(x)單增.........................6

2a

(2)由(1)可得：/(%)=/(x——)7=ln(——)—--1

J、,max*/2a'c2a，4A。

3

故要證/(%)V------2

4〃

即證ln(—-IV—二--2……即證ln(—2-)+」-+l<0

2a4a4a2a2a

即證Inf—f+lWOa>0)令g?)=ln/T+l則g⑺

??-t

令g⑺20,得，<1.?.g?)max=g(l)=0Ag(0<012

故原命題得證.

(15)(2024年山東卷理)若函數(shù)e"(x)(e=2.71828.是自然對數(shù)的底數(shù))在的定義域上單調(diào)遞增，則稱函數(shù)〃x)

具有M性質(zhì).下列函數(shù)中全部具有M性質(zhì)的函數(shù)的序號為.

①〃x)=2T②〃司=3-工③〃x)=x3④/(x)=/+2

【答案】①④

【解析】①在R上單調(diào)遞增，故/(x)=2T具有M性質(zhì)；

②eV(x)=e13r=，］在R上單調(diào)遞減，故/⑺=3一"不具有M性質(zhì)；

③爐〃力=爐.13,令8(力=".爐，則g[x)=eT+/.3%2=表?+2),.?.當x>—2時，g'(x)>0，當

X<—2時，g'(x)<0,.?.//⑴:/了在(TO,—2)上單調(diào)遞減，在(-2,4W)上單調(diào)遞增,故<(力=、不具有M

性質(zhì)；

④e"(x)=e[尤2+2),令g(x)=^(x2+2),則g<x)="(V+2)+e，.2x=e[(x+l)2+1]〉0,

e'7'⑺=ex(x2+2)在R上單調(diào)遞增，故/(%)=%2+2具有乂性質(zhì).

(10)(2024年天津卷文)已知awR,設函數(shù)=ax-lnx的圖象在點(1,/(I))處的切線為/,則/在y軸上的截

距為.

【答案】1

【解析】由題可得/(I)=。，則切點為。㈤，因為Z(x)=a--,所以切線/的斜率為/'(I)=。-1,

X

切線/的方程為)」a=(aTXxT),令x=0可得N=l,故/在V軸上的截距為1.

(20)(2024年山東卷理)

已知函數(shù)/(x)=Y+2cosx,g(x)=ex(cosx-sinx+2x-2),其中e=2.71828一是自然對數(shù)的底數(shù).

(I)求曲線y=f(x)在點(肛〃x))處的切線方程;

(II)令/z(x)=g(x)-4(司(。€氏)，探討/?(x)的單調(diào)性并推斷有無極值，有極值時求出極值.

【答案】(I)>=2砂-病_2.

(II)綜上所述：

當a40時，〃(無)在(-8,0)上單調(diào)遞減，在(0,+oo)上單調(diào)遞增，

函數(shù)力⑴有微小值，微小值是/i(0)=-2a-l；

當0<a<l時，函數(shù)〃(無)在(-8,Ina)和(0,Ina)和(0,+8)上單調(diào)遞增，在(ina,0)上單調(diào)遞減,函數(shù)7i(x)有極大值，也

有微小值，

極大值是/z(lna)=-4In?a-21na+sin(ina)+cos(ina)+2]

微小值是欠0)=-2。-1；

當a=l時，函數(shù)/z(x)在(-co,+co)上單調(diào)遞增，無極值;

當a>1時，函數(shù)h[x)在(-oo,0)和(ina,+8)上單調(diào)遞增,

在(0,In〃)上單調(diào)遞減，函數(shù)/z(x)有極大值，也有微小值，

極大值是人(0)=-2a-1；

微小值是h(]na^=-a|^ln2?-2In?+sin(in?)+cos(in6z)+2^|.

【解析】解：(I)由題意/(乃)=?2—2又/'(x)=2x-2sinx,

所以尸(萬)=2人因此曲線y=/(x)在點(凡〃町)處的切線方程為

y—(%之一2)=2乃(％—》),即y=2TTX-7r2-2.

(II)由題意得/z(x)=e2(cosx-sinx+2x-2)-a(x2+2cos%),

因為〃(x)=e"(cosx—sin%+2x—2)+e"(—sinx-cosx+2)—a(2x_2sinx)

=2ex(x-sinx)-(x-sinx)=2(e*—a)(x—sinx),

令m(x)=x-sinx則mr(x)=1-cos%N0所以m(x)在R上單調(diào)遞增.

所以當%>0時，機(“單調(diào)遞減，當%>。時，m(x)<0

當aWO時，ex-a>0

當x<0時,hr(x)<Q,Mx)單調(diào)遞減，

當天>0時，hf(x)>Q,M')單調(diào)遞增，

所以當x=0時々(X)取得極小值，極小值是A(0)=-2a-l^

1n

(2)當a>0時，/i'(x)=2(e"-e")(x-sinx)由"(力=0得%=lna,x2=0

①當OVQVI時，InavO,

當(-oo』n〃)時，ex-elna<O,/zr(x)>0,/z(x)單調(diào)遞增;

當(ln〃,O)時,ex-eina>O,/z'(x)<0，h(x)單調(diào)遞減;

當%￡(0,+oo)時，ex~^a>O,/zr(x)>0,/z(x)單調(diào)遞增.

所以當尤=lna時/z(x)取得極大值.

極大值為h(]na^=一a[in?〃_2Ina+sin(ina)+cos(ina)+2],

當x=0時Mx)取到微小值，微小值是h(o)=-2a-l；

②當a=l時，lna=0,所以當X￡(-w,+oo)時，/ir(x)>0,函數(shù)力(x)在(-oo,+8)上單調(diào)遞增，無極值;

③當a>l時,lna>0所以當二(一,時，"一產(chǎn)<(),小)>0川x)單調(diào)遞增:

當xw(0,lnG時,"一清。<0>單調(diào)遞減;

當xw(lna,*D)時,"(x)>0，Mx)單調(diào)遞增;

當x=lna時Mx)取得極小值.

微小值是/z(lna)=-a[ln2a-21na+sin(lna)+cos(lna)+2].

綜上所述:

當a<0時，/z(x)在(-00,0)上單調(diào)遞減，在(0,+00)上單調(diào)遞增,

函數(shù)〃(%)有微小值,微小值是用⑼=-2a-1；

當Ovavl時，函數(shù)/z(%)在(-8,Ina)和(0,Ina)和(0,+Q0)上單調(diào)遞增,在(in〃,0)上單調(diào)遞減,函數(shù)〃(力有極大值，也

有微小值,

極大值是/z(lna)=一a[in?口_21na+sin(ina)+cos(ina)+2]

微小值是/i(O)=-2Q-1；

當a=l時，函數(shù)可可在(-oo,+oo)上單調(diào)遞增，無極值;

當a>1時,函數(shù)h^x)在(-oo,0)和(ina,+00)上單調(diào)遞增,

在(0,Ina)上單調(diào)遞減，函數(shù)Mx)有極大值，也有微小值，

極大值是//(0)=-2a-1；

微小值是〃(ina)=-a[in2a-2Ina+sin(ina)+cos(ina)+2].

(10)(2024年山東卷文)若函數(shù)e"(x)(e=2.71828是自然對數(shù)的底數(shù))在的定義域上單調(diào)遞增，學@科網(wǎng)則稱

函數(shù)/(%)具有M性質(zhì).下列函數(shù)中具有M性質(zhì)的是

(A)/(x)=2f(B)/(x)=x2(C)/(%)=3-'(D)y(x)=cosx

【答案】A

【解析】對于A,令g(x)=ex-2：g'(x)=e'QT+2^1n1)=e'2^(l+ln1)>0,則g(x)在R上單調(diào)遞增，故f(x)具

有M性質(zhì)，故選A.

(20)(2024年山東卷文)

已知函數(shù)/(X)=g%3-；依2,46R.

(I)當a=2時,求曲線y=/(x)在點(3J(3))處的切線方程；

(II)設函數(shù)g(x)=/(x)+(x-a)cosx-sinx,探討g(x)的單調(diào)性并推斷有無極值,有極值時求出極值.

【答案】(I)3x-y-9=0,(II)見解析.

(I)由題意『'㈤=]一皿,

所以，當a=2時,/(3)=0,fXx)=^-2x,

所以/'(3)=3,3x-y-9=0

(II)因為g(力=/(x)+(x—a)cosx-sinx,

所以g'(x)=/'(X)+cosx-(x-a)sinx-cosx,

=x^x—a)—(x-df)sinx

=(x-aXx—sinx)》

令力(x)=x-sinx,

則h\x)=1—cosx>0>

所以為(x)在R上單調(diào)遞增，因為皿0)=0,

所以，當x>0B寸,h(x)>0^當x<0時，h(x)<0.

(1)當a<0時,gr(x)=(x-a)(x-sinx),

當xe(roM)時，“一。<0,gf(x)>0,g(x)單調(diào)遞增；

當xe(q0)時，x-a>0f^(x)<0,晨x)單調(diào)遞減;

jxeO+oo)時，x-a>0,g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增.

所以當x=a時g(x)取到極大值，極大值是g(a)=-^a3-sina,

當x=0時g(x)取到極小值，極小值是g(0)=-a

(2)當a=0H寸.=x(x—sinx).

當xe(Yo,y)時，g'(x)20,g(x)單調(diào)遞堵；

所以g(X)在(-8,+0。)上單調(diào)遞增，g(X)無極大值也無極小值

⑶當。>0時，g，3=(x-aXx-sinx),

當xe(-oo,0)時，x-a<0,g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增；

當XC(OM)時，x-a<Q,gr(x)<0,g(x)單調(diào)遞減；

當xe(a+00)時，x-a>Q,g'(x)>0,息(x)單調(diào)遞增.

所以當x=0時g(x)取到極大值，極大值是g(0)=-a；

當x=a時g(x)取到極小值，極小值是g(a)=-2-sina.

6

(20)(2024年天津卷理)

設a^Z,已知定義在R上的函數(shù)/(%)=2犬4+3%③一3九2一6%〃在區(qū)間(1,2)內(nèi)有一個零點4,g(x)為/(%)的導

函數(shù).

(I)求g(x)的單調(diào)區(qū)間；

(II)設機￡口,玉))l(x0,2],函數(shù)以%)=g(x)(加一七)-/(陰)，求證：/2(m)/i(x0)<0；

(III)求證：存在大于0的常數(shù)A,使得對于隨意的正整數(shù)p,q,且"e[l,x0)(毛,2],滿意|K—不已工.

qqAq

【答案】(1)增區(qū)間是(—8,—1),(-,+oo),減區(qū)間是(-1」).(2)(3)證明見解析

44

【解析】(I)由/(x)=2/+3x3-3f-6x+a,可得g(x)=仆)=8/+9f—6x-6,

進而可得8'00=24/+18》—6.令8'(?=0,解得％=—1,或x=’.

4

當x改變時，g'(x),g(x)的改變狀況如下表：

(T01、

X(-CO,-1)(：,+co)

4

g'(x)+-+

g(x)//

所以，g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-8,-1),(-,+oo),單調(diào)遞減區(qū)間是(-1」).

44

(II)證明：由//(%)=g(%)(加一九0)-/(根)，得h(m)=g(m)(m-X。)-f5),

h(x0)=g(x0)(m-x0)-f(m).

令函數(shù)Ni(x)=g(xXx—%)—f(x),則=由(I)知，當xe［L2］時，gf(x)>0,

故當xe［Lf)時，H；(x)<0,H】(x)單調(diào)遞減；當》￡(事,2］時，H；(力>0,笈式/單調(diào)遞增因

此，當xe［LQU(%2］時，區(qū)(》)>氏5)=-/?)=0,可得名(加)>0,即網(wǎng)m)>0.

令函數(shù)%(xWg?)。：一天)-/&),則與'(力=且(引一且(力.由(I)知，g(x)在［L2］上單調(diào)遞

增，故當xe［L天)時，國(力>0,日式力單調(diào)遞增;當xe(%2］時，嗎'(x)<0,4(力單調(diào)遞

減.因此，當xe［LF)U(f,2］時,瑪(力〈吐(%)=0,可得凡(m)<0,即網(wǎng)而)<0.

所以，爾>?)/2(毛)<0.

(Ill)證明：對于隨意的正整數(shù)p,q,且Ke［l,Xo)?，2］，

q

令m=B,函數(shù)丸(x)=g(x)(m-Xo)-/(nz).

q1

由(II)知，當me［l,x())時，/z(x)在區(qū)間(加,七)內(nèi)有零點；

當me(毛,2］時，7i(x)在區(qū)間(演),〃?)內(nèi)有零點.

所以力(力在(L2)內(nèi)至少有一個零點，不妨設為X］,則h(xj=g(X］)(3-/)-/(4=0

qq

由(I)知g(x)在［L2］上單調(diào)遞增，故0<g(l)<gQ)<g(2),

f(E.\I/Y2)|

4223

不力「vI|Q|>q12p+3p'q-3pq-6pq+aq\

于iEi一—天ii