2024年高考數(shù)學(xué)理試題分類匯編：導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

2024年高考數(shù)學(xué)理試題分類匯編：導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

cin9Y

1.(2024年新課標(biāo)I文)8.函數(shù)y=----------的部分圖像大致為(C)

1-COSX

2.(2024年新課標(biāo)11卷理)11.若兀=-2是函數(shù)/(為=。2+奴—1)/-1'的極值點(diǎn)，則/(x)的微小值為()

A.—1B.-2e3C.5e3D.1

【答案】A

【解析】由題可得f\x)=(2x+a)ex-l+(x2+ax-l)ex-1=[x2+(a+2)x+a-l]exl

因?yàn)?'(一2)=0,所以a=—1,f(x)=(x2-x-r)ex-l,故尸(x)=(爐+%—2)e?

令尸(x)>0,解得了<—2或x>l,所以/Xx)在(—8,—2),(1,+8)單調(diào)遞增，在(—2,1)單調(diào)遞減

所以“X)微小值=_/'⑴=(l-l-lk1-1=-l,故選A。

3.(2024年新課標(biāo)I文)9.已知函數(shù)/(x)=lnx+ln(2—x),則(C)

A./⑴在(0,2)單調(diào)遞增B./(%)在(0,2)單調(diào)遞減

C.y=/(x)的圖像關(guān)于直線戶1對(duì)稱D.y=/(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱

4.(2024年浙江卷)函數(shù)產(chǎn)/㈤的導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)的圖像如圖所示，則函數(shù)>=/)的圖像可能是

【答案】D

【解析】原函數(shù)先減再增，再減再增，因此選D.

5.(2024年新課標(biāo)HI卷理)11.已知函數(shù)/(x)=x2—2x+a(e"T+er+i)有唯一零點(diǎn)，則.=

【答案】C

【解析】x2-2x=—a(/T+e-x+i),設(shè)g(x)=+尸+】，/(@=-r+i=/-i_%=。,J,

ee

當(dāng)g'(x)=0時(shí)，x=l,當(dāng)x<l時(shí)，g'(x)<0函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)x>l時(shí)，g'(x)>0,函數(shù)單調(diào)遞增，

當(dāng)x=l時(shí)，函數(shù)取得最小值g(1)=2,設(shè)7I(X)=￡-2X,當(dāng)x=l時(shí)，函數(shù)取得最小值-1,若一。>0,

函數(shù)〃(x)，和ag(x)沒有交點(diǎn)，當(dāng)-"0時(shí)，-ag(l)=〃⑴時(shí)，此時(shí)函數(shù)和彌⑺有一個(gè)交點(diǎn)，

即—ax2=—l=a=；,故選C.

6.(2024年新課標(biāo)II卷理)21.

已知函數(shù)/(X)=加-at-xlnx,且

(1)求a；(2)證明：/(九)存在唯一的極大值點(diǎn)無。，且e」</(/)<2之

【解析】

(1)/(X)的定義域?yàn)?0,+8)

設(shè)g(x)=ax-a-加，則f(x)=xg(x),f(x)>0等價(jià)于g(x)>0

因?yàn)間(1)=。'S(x)-Q故?'(1)=0,而g'(x)=a---,g，(1)~a—1,得a=1

若a=l,貝=1.當(dāng)0<x<l時(shí)，g，(x)<0,g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>l時(shí)，g[x)>0,g(x)單調(diào)遞增.所以x=l

是g(X)的微小值點(diǎn)，故g(x)Ng(1)=0

綜上，a=l

(2)由(1)知fix)=-*Inx,f'(月)=2x-2-In

1Xf1A

當(dāng)

時(shí)

<在_■T

方

o方>on

XeXe-8Iu-8Bi-n

一

2-KJk2+-y

遞

增

2

XA(e-)>0,A1<0,A(l)=0,所以為(x)在0,；有唯一零點(diǎn)x0,在；，+oo有唯一零點(diǎn)1,且當(dāng)xe(。,4)時(shí),

力(x)>0；當(dāng)x￡(X。,1)時(shí)，h(x)<0,當(dāng)x￡(1,+oo)時(shí),h(x)>0.

因?yàn)槭?力(X)，所以x=xo是f(x)的唯一極大值點(diǎn)

由/*'(x0)=0得In/=2(x0-1),故F(/)二七(1-X。)

由X。G(0,1)得尸(4)<；

因?yàn)閤=xo是f(x)在(0,1)的最大值點(diǎn)，由e-ie(0,1),尸(/)片0得

小)>/2=]

所以1(，(々)<2一2

21.(2024年新課標(biāo)m卷理)

已知函數(shù)/(X)=x-1-alnx.⑴若/(x)?°,求4的值；

(2)設(shè)機(jī)為整數(shù)，且對(duì)于隨意正整數(shù)m(1+g)(1+*)(1+^)<m,求相的最小值.

解：(1)f'(x)=l--(x>0)

x

當(dāng)aWO時(shí)，f'M>0,x-0時(shí)/(%)——8不滿意

當(dāng)a>0時(shí)，/(%)在(0,a)J,(a,+oo)T/(x)1nhi=/(。)=?！猯—alna令y=a-l-a\na

則，=—lna；.y在(0,1)T,(1,+oo)J，ymax=y(l)=0,即y<0

因此。=1時(shí)/(X)min=0，滿意.(2)由⑴有x-l>lnx

Aln(l+—)<—

2"2"

11111

〉ln(ZldH---)<--H+H----d1-----

占T21222〃2n

?*-mmin=1

(21)(2024年新課標(biāo)n文)

設(shè)函數(shù)位尸(1-/)-(l)探討力的的單調(diào)性；(2)當(dāng)x20時(shí)，f(x)<ax+l,求a的取值范圍.

21.解

(1)尸(x)=(1-2%-f)炭

令/'(%)=0得尸,x=-l+6

當(dāng)xe(-oo,-I-A/2)時(shí)，r(x)<0；當(dāng)xe(-1-72,-1+72)時(shí)，/(x)>0；當(dāng)xe(-1-72,+℃)時(shí)，f\x)<Q

所以兀r)在(-8,J一夜)，(.1+72,+8)單調(diào)遞減，在(-1-V2,-1+72)單調(diào)遞增

(2)f(x)=(l+x)(1-x)F

當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)/?(%)=(1-x)落h\x)=-x^<0(40),因止匕依。在[0,+8)單調(diào)遞減，而以0)=1,

故3)WL所以

f(x)=(x+1)h(x)Wx+1Wax+1

當(dāng)0<a<l時(shí)，設(shè)函數(shù)g(x)=e、x-l,g,(x)="-1>0(x>0),所以g(x)在在［0,+8)單調(diào)遞增，而g(0)=0,

故出》x+1

當(dāng)0<尤<1,/(x)=(l-x)(l+x)2,(l-x)(l+x)2-ax-1=x(l-a-x-%2),取方=—^—--

2

則x0e(O,l),(l-xo)(l+xo)-ax0=O,^V(xo)>axo+1

_i

當(dāng)a<0時(shí)，取x()=—--,/(x0))(l-x0)(l+x0)2=l)ax0+1

綜上，。的取值范圍［1,+8)

(2024年新課標(biāo)I文)21.已知函數(shù)f(x)=ev(ex-a)-a2x.

(1)探討/(x)的單調(diào)性；(2)若/(x)20,求。的取值范圍.

2vx

21.(12分)(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?7,+8),/'(x)=2e-ae*—/=Q"+a)(e-a),

①若a=0,則/(x)=e21在(-8,+oo)單調(diào)遞增.

②若〃〉0,則由/'(%)=0得x=lna.

當(dāng)(-oojna)時(shí)，/,(x)<0；當(dāng)xw(Ina,+8)時(shí)，fr(x)>0,所以/(%)在(一8,Ina)單調(diào)遞減，在(Ina,+8)單

調(diào)遞增.

③若。<0,則由尸(x)=0得x=ln(—g.

當(dāng)xe(—00,In(-9)時(shí)，f'(x)<0；當(dāng)xe(In(-■|'),+00)時(shí)，f'(x)>0,故/(x)在(一oo,In(-9)單調(diào)遞減，在

(1以—9,+8)單調(diào)遞增.

(2)①若a=0,mijf(x)=e2x,所以/(x)20.

②若。>0,則由(1)得，當(dāng)x=lna時(shí)，/(%)取得最小值，最小值為/(lna)=-〃21na.從而當(dāng)且僅當(dāng)一〃2inaZ0,

即時(shí)，f(x)>0.

③若a<0,則由⑴得，當(dāng)x=ln(—微)時(shí)，/(x)取得最小值，最小值為/(Inm從而當(dāng)且僅

當(dāng)/弓—ln(—I)］>0,即a?—23時(shí)/(x)20.

3

綜上，〃的取值范圍為［-2好」.

一1

14.(2024年新課標(biāo)I文)曲線y=x9H—在點(diǎn)(1,2)處的切線方程為_y=x+l

x

(2024年新課標(biāo)1)21.

已知函數(shù)/(x)=aelx+(a-2)ex-x.

(1)探討/(x)的單調(diào)性；

(2)若/(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

2xxxx

(1),3的定義域?yàn)?fgf'(x)=2ae+(a-2')e-l=(ae-l\2e+1),

(i)若a?0,則/'(力<0,所以/(x)在(Yo.y)單調(diào)遞減.

(ii)若a>0,則由力=0得x=—lna.

當(dāng)xe(-oolna)時(shí)，/")<0；當(dāng)xe(-Ina+oo)時(shí)，/'(x)>0,所以/(x)在(Yo「lna)單調(diào)遞減,

在(Tnq+oo)單調(diào)遞增.

(2)(i)若aMO,由(1)知，『⑶至多有一個(gè)零點(diǎn).

(ii)若a>0,由(1)知，當(dāng)x=—lna時(shí)，力")取得最小值，最小值為=1+lna

a

①當(dāng)。=】時(shí)，由于f(Tna)=0,故f")只有一個(gè)零點(diǎn)；

②當(dāng)ae(L??)時(shí)，由于l-；+lna>0,即/(—lna)>0,故/(x)沒有零點(diǎn)；

③當(dāng)a6(0」)時(shí)，l-1+lna<0,gp/(-lna)<0.

a

X/(-2)=+(a-2)e-2+2>-2e-2+2>0,故/(x)在(7,-Ina)有一個(gè)零點(diǎn).

3

設(shè)正整數(shù)％滿足H0>ln(--1),則/(%)=心(。心+a-2)>e、一%>2力一9>0

a

3

由于叫-1)>-lna,邸I"(x)在(-山a：+工)有一個(gè)零點(diǎn).綜上，々的取值范圍為(0,力

20.(2024年浙江卷)已知函數(shù)/(x)=(x-j2x-l)e-x(x>1-).(I)求?x)的導(dǎo)函數(shù)；

(ID求加0在區(qū)間[g,+oo)上的取值范圍.

21--

【答案】(I)/(%)=(1-x)(1--,)二；(II)[0,-e2].

V2x-12

xx

([)因?yàn)椤?=l-^=\e-y=-e-

所以r(X)=(1-^=)e-x-(x-底=I)e-x

(I)(V^T-2)L

(II)由/''(>)=

5

解得X=1或%=3

因?yàn)?/p>

11555

X(力1)1(1,2)(方+8)

22

-0+0-

/(x)小0T

1.--------r

又f(x)=Q川2%-1_1)2—八0,

所以/(X)在區(qū)間擊+8)上的取值范圍是［0,卜』.

(2024年北京卷理)(19)已知函數(shù)/(無)=excosx-x.(I)求曲線y=/(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程;

(II)求函數(shù)/(x)在區(qū)間［0,g］上的最大值和最小值.

【答案】

(I)f(x)=ex-cosx—x.*./(x)=^(cosx-siiix)—1f(0)=0

?力成0在(0,川))處切線過點(diǎn)(0,1),k=。???切線方程為y=l

(II)f(x)=ex(cosx-sinx)—1,設(shè)/Xx)=g(x)

冗

**?§~2sinx-^<0/.ga)在［0,—］上單調(diào)遞減，

71

/.g(X)<g(0)=0：.f(X)柳工危)在EO,y］上單調(diào)遞減，

nn

危)max=/(0)=1???/(X)min寸萬戶一§

(2024年江蘇卷)11.已知函數(shù)/0)=/-2》+1-4，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).^/(fl-l)+/(2a2)<0,則實(shí)數(shù)。的

e

取值范圍是▲.

21

【解析】因?yàn)?(—x)=—/+2x+——e*=—/(X),所以函數(shù)/(x)是奇函數(shù)，

e

因?yàn)?，(x)=3f—2+ex+e_Y>3x2-2+2拈.0>0,所以數(shù)于(玲在R上單調(diào)遞增，

又/(。一1)+/(2/)<0,即/(2〃)</(1—。)，所以2a2<1—a,BP2?2+?-1<0,

解得—故實(shí)數(shù)。的取值范圍為［―1,萬］.

(2024年江蘇卷)20.

已知函數(shù)/(尤)=丁+依2+笈+1(〃>0涉?R)有極值，且導(dǎo)函數(shù)「(X)的極值點(diǎn)是〃無)的零點(diǎn).(極值點(diǎn)是指函數(shù)取

極值時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量的值)

(1)求6關(guān)于。的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；(2)證明：廿>34；

_7

(3)若了(龍)，((“)這兩個(gè)函數(shù)的全部極值之和不小于2,求。的取值范圍.

20.【解析】(1)因?yàn)?'5)=3/+2℃+6,所以/〃(x)=6x+2a=0,所以x=—三，

r\3O

所以/(—@)=0,所以6=,+士，

39a

因?yàn)锳=4〃2—12人>0,所以。>3.

(2)b2-3a=-a6-—a+9,

813

45,

y=-t29——t+9(t-a>27)

813

135

因?yàn)閒=±<27,

8

所以Jmin>川27)=0,所以力>3。

)+/(x：)=(不+x?)+a(Xj2+x：)+/玉+玉)+2

=8+七)［(演+x?)：—3不與］+。［(玉+x?)：—2玉*：］+》(玉+x,)+2

4jlab、A

—er-——+2=2/(-)=0,

273八，，

7

：.-ci1,2a3-ft3-54<0,3<a<b.

2f9a32

cinx

7.(2024年全國(guó)III卷文)函數(shù)y=l+x+--的部分圖像大致為()

x'

答案：D

12.(2024年全國(guó)111卷文)已知函數(shù)/0)=/-2%+。(/-1+031)有唯一零點(diǎn)，則。=()

111

A--B-C-D1

232

［解析］；(x)=2x-2+a(/T-e-v+1)=0

得x=l

即x=l為函數(shù)的極值點(diǎn)，故/⑴=0

貝！11—2+2a=0,a=—

2

21.(2024年全國(guó)III卷文)設(shè)函數(shù)/(x)=Inx+ax2+(2a+l)x.

(1)探討/(x)的單調(diào)性;

3

(2)當(dāng)〃<0時(shí)，證明了(%)?------2.

4。

解：(1)由/(九)=山九+辦2+(2〃+1)犬，(犬〉0)

有f\x)=—+2ax+2a+l

x

2〃%2+(2〃+l)x+1

%.........................2

①當(dāng)〃=0時(shí)，/'(%)=1>0,/(%)單增

①當(dāng)時(shí)，令/(%)=0,即2。%2+(2〃+1)%+1=0

確軍得玉=—1(^0,%=----g(%)=2？+(2々+1)%+1

一2a

i.當(dāng)。>0時(shí)，g(x)開口向上，—L<0,g(x)>0,即/(x)>0,/(x)單增

2a

ii.當(dāng)〃<0時(shí)，g(x)開口向上，--->0,

2a

此時(shí)，在(0,—」-)上，g(x)<0，即/(x)<0,/(x)單減

2a

在(__L,+oo)上，g(x)>0,即/'(x)>0,/(x)單增.........................6

2a

(2)由(1)可得：/(%)=/(x——)7=ln(——)—--1

J、,max*/2a'c2a，4A。

3

故要證/(%)V------2

4〃

即證ln(—-IV—二--2……即證ln(—2-)+」-+l<0

2a4a4a2a2a

即證Inf—f+lWOa>0)令g?)=ln/T+l則g⑺

??-t

令g⑺20,得，<1.?.g?)max=g(l)=0Ag(0<012

故原命題得證.

(15)(2024年山東卷理)若函數(shù)e"(x)(e=2.71828.是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))在的定義域上單調(diào)遞增，則稱函數(shù)〃x)

具有M性質(zhì).下列函數(shù)中全部具有M性質(zhì)的函數(shù)的序號(hào)為.

①〃x)=2T②〃司=3-工③〃x)=x3④/(x)=/+2

【答案】①④

【解析】①在R上單調(diào)遞增，故/(x)=2T具有M性質(zhì)；

②eV(x)=e13r=，］在R上單調(diào)遞減，故/⑺=3一"不具有M性質(zhì)；

③爐〃力=爐.13,令8(力=".爐，則g[x)=eT+/.3%2=表?+2),.?.當(dāng)x>—2時(shí)，g'(x)>0，當(dāng)

X<—2時(shí)，g'(x)<0,.?.//⑴:/了在(TO,—2)上單調(diào)遞減，在(-2,4W)上單調(diào)遞增,故<(力=、不具有M

性質(zhì)；

④e"(x)=e[尤2+2),令g(x)=^(x2+2),則g<x)="(V+2)+e，.2x=e[(x+l)2+1]〉0,

e'7'⑺=ex(x2+2)在R上單調(diào)遞增，故/(%)=%2+2具有乂性質(zhì).

(10)(2024年天津卷文)已知awR,設(shè)函數(shù)=ax-lnx的圖象在點(diǎn)(1,/(I))處的切線為/,則/在y軸上的截

距為.

【答案】1

【解析】由題可得/(I)=。，則切點(diǎn)為。㈤，因?yàn)閆(x)=a--,所以切線/的斜率為/'(I)=。-1,

X

切線/的方程為)」a=(aTXxT),令x=0可得N=l,故/在V軸上的截距為1.

(20)(2024年山東卷理)

已知函數(shù)/(x)=Y+2cosx,g(x)=ex(cosx-sinx+2x-2),其中e=2.71828一是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

(I)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(肛〃x))處的切線方程;

(II)令/z(x)=g(x)-4(司(。€氏)，探討/?(x)的單調(diào)性并推斷有無極值，有極值時(shí)求出極值.

【答案】(I)>=2砂-病_2.

(II)綜上所述：

當(dāng)a40時(shí)，〃(無)在(-8,0)上單調(diào)遞減，在(0,+oo)上單調(diào)遞增，

函數(shù)力⑴有微小值，微小值是/i(0)=-2a-l；

當(dāng)0<a<l時(shí)，函數(shù)〃(無)在(-8,Ina)和(0,Ina)和(0,+8)上單調(diào)遞增，在(ina,0)上單調(diào)遞減,函數(shù)7i(x)有極大值，也

有微小值，

極大值是/z(lna)=-4In?a-21na+sin(ina)+cos(ina)+2]

微小值是欠0)=-2。-1；

當(dāng)a=l時(shí)，函數(shù)/z(x)在(-co,+co)上單調(diào)遞增，無極值;

當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)h[x)在(-oo,0)和(ina,+8)上單調(diào)遞增,

在(0,In〃)上單調(diào)遞減，函數(shù)/z(x)有極大值，也有微小值，

極大值是人(0)=-2a-1；

微小值是h(]na^=-a|^ln2?-2In?+sin(in?)+cos(in6z)+2^|.

【解析】解：(I)由題意/(乃)=?2—2又/'(x)=2x-2sinx,

所以尸(萬)=2人因此曲線y=/(x)在點(diǎn)(凡〃町)處的切線方程為

y—(%之一2)=2乃(％—》),即y=2TTX-7r2-2.

(II)由題意得/z(x)=e2(cosx-sinx+2x-2)-a(x2+2cos%),

因?yàn)椤?x)=e"(cosx—sin%+2x—2)+e"(—sinx-cosx+2)—a(2x_2sinx)

=2ex(x-sinx)-(x-sinx)=2(e*—a)(x—sinx),

令m(x)=x-sinx則mr(x)=1-cos%N0所以m(x)在R上單調(diào)遞增.

所以當(dāng)%>0時(shí)，機(jī)(“單調(diào)遞減，當(dāng)%>。時(shí)，m(x)<0

當(dāng)aWO時(shí)，ex-a>0

當(dāng)x<0時(shí),hr(x)<Q,Mx)單調(diào)遞減，

當(dāng)天>0時(shí)，hf(x)>Q,M')單調(diào)遞增，

所以當(dāng)x=0時(shí)々(X)取得極小值，極小值是A(0)=-2a-l^

1n

(2)當(dāng)a>0時(shí)，/i'(x)=2(e"-e")(x-sinx)由"(力=0得%=lna,x2=0

①當(dāng)OVQVI時(shí)，InavO,

當(dāng)(-oo』n〃)時(shí)，ex-elna<O,/zr(x)>0,/z(x)單調(diào)遞增;

當(dāng)(ln〃,O)時(shí),ex-eina>O,/z'(x)<0，h(x)單調(diào)遞減;

當(dāng)%￡(0,+oo)時(shí)，ex~^a>O,/zr(x)>0,/z(x)單調(diào)遞增.

所以當(dāng)尤=lna時(shí)/z(x)取得極大值.

極大值為h(]na^=一a[in?〃_2Ina+sin(ina)+cos(ina)+2],

當(dāng)x=0時(shí)Mx)取到微小值，微小值是h(o)=-2a-l；

②當(dāng)a=l時(shí)，lna=0,所以當(dāng)X￡(-w,+oo)時(shí)，/ir(x)>0,函數(shù)力(x)在(-oo,+8)上單調(diào)遞增，無極值;

③當(dāng)a>l時(shí),lna>0所以當(dāng)二(一,時(shí)，"一產(chǎn)<(),小)>0川x)單調(diào)遞增:

當(dāng)xw(0,lnG時(shí),"一清。<0>單調(diào)遞減;

當(dāng)xw(lna,*D)時(shí),"(x)>0，Mx)單調(diào)遞增;

當(dāng)x=lna時(shí)Mx)取得極小值.

微小值是/z(lna)=-a[ln2a-21na+sin(lna)+cos(lna)+2].

綜上所述:

當(dāng)a<0時(shí)，/z(x)在(-00,0)上單調(diào)遞減，在(0,+00)上單調(diào)遞增,

函數(shù)〃(%)有微小值,微小值是用⑼=-2a-1；

當(dāng)Ovavl時(shí)，函數(shù)/z(%)在(-8,Ina)和(0,Ina)和(0,+Q0)上單調(diào)遞增,在(in〃,0)上單調(diào)遞減,函數(shù)〃(力有極大值，也

有微小值,

極大值是/z(lna)=一a[in?口_21na+sin(ina)+cos(ina)+2]

微小值是/i(O)=-2Q-1；

當(dāng)a=l時(shí)，函數(shù)可可在(-oo,+oo)上單調(diào)遞增，無極值;

當(dāng)a>1時(shí),函數(shù)h^x)在(-oo,0)和(ina,+00)上單調(diào)遞增,

在(0,Ina)上單調(diào)遞減，函數(shù)Mx)有極大值，也有微小值，

極大值是//(0)=-2a-1；

微小值是〃(ina)=-a[in2a-2Ina+sin(ina)+cos(ina)+2].

(10)(2024年山東卷文)若函數(shù)e"(x)(e=2.71828是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))在的定義域上單調(diào)遞增，學(xué)@科網(wǎng)則稱

函數(shù)/(%)具有M性質(zhì).下列函數(shù)中具有M性質(zhì)的是

(A)/(x)=2f(B)/(x)=x2(C)/(%)=3-'(D)y(x)=cosx

【答案】A

【解析】對(duì)于A,令g(x)=ex-2：g'(x)=e'QT+2^1n1)=e'2^(l+ln1)>0,則g(x)在R上單調(diào)遞增，故f(x)具

有M性質(zhì)，故選A.

(20)(2024年山東卷文)

已知函數(shù)/(X)=g%3-；依2,46R.

(I)當(dāng)a=2時(shí),求曲線y=/(x)在點(diǎn)(3J(3))處的切線方程；

(II)設(shè)函數(shù)g(x)=/(x)+(x-a)cosx-sinx,探討g(x)的單調(diào)性并推斷有無極值,有極值時(shí)求出極值.

【答案】(I)3x-y-9=0,(II)見解析.

(I)由題意『'㈤=]一皿,

所以，當(dāng)a=2時(shí),/(3)=0,fXx)=^-2x,

所以/'(3)=3,3x-y-9=0

(II)因?yàn)間(力=/(x)+(x—a)cosx-sinx,

所以g'(x)=/'(X)+cosx-(x-a)sinx-cosx,

=x^x—a)—(x-df)sinx

=(x-aXx—sinx)》

令力(x)=x-sinx,

則h\x)=1—cosx>0>

所以為(x)在R上單調(diào)遞增，因?yàn)槊?)=0,

所以，當(dāng)x>0B寸,h(x)>0^當(dāng)x<0時(shí)，h(x)<0.

(1)當(dāng)a<0時(shí),gr(x)=(x-a)(x-sinx),

當(dāng)xe(roM)時(shí)，“一。<0,gf(x)>0,g(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)xe(q0)時(shí)，x-a>0f^(x)<0,晨x)單調(diào)遞減;

jxeO+oo)時(shí)，x-a>0,g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增.

所以當(dāng)x=a時(shí)g(x)取到極大值，極大值是g(a)=-^a3-sina,

當(dāng)x=0時(shí)g(x)取到極小值，極小值是g(0)=-a

(2)當(dāng)a=0H寸.=x(x—sinx).

當(dāng)xe(Yo,y)時(shí)，g'(x)20,g(x)單調(diào)遞堵；

所以g(X)在(-8,+0。)上單調(diào)遞增，g(X)無極大值也無極小值

⑶當(dāng)。>0時(shí)，g，3=(x-aXx-sinx),

當(dāng)xe(-oo,0)時(shí)，x-a<0,g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)XC(OM)時(shí)，x-a<Q,gr(x)<0,g(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)xe(a+00)時(shí)，x-a>Q,g'(x)>0,息(x)單調(diào)遞增.

所以當(dāng)x=0時(shí)g(x)取到極大值，極大值是g(0)=-a；

當(dāng)x=a時(shí)g(x)取到極小值，極小值是g(a)=-2-sina.

6

(20)(2024年天津卷理)

設(shè)a^Z,已知定義在R上的函數(shù)/(%)=2犬4+3%③一3九2一6%〃在區(qū)間(1,2)內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)4,g(x)為/(%)的導(dǎo)

函數(shù).

(I)求g(x)的單調(diào)區(qū)間；

(II)設(shè)機(jī)￡口,玉))l(x0,2],函數(shù)以%)=g(x)(加一七)-/(陰)，求證：/2(m)/i(x0)<0；

(III)求證：存在大于0的常數(shù)A,使得對(duì)于隨意的正整數(shù)p,q,且"e[l,x0)(毛,2],滿意|K—不已工.

qqAq

【答案】(1)增區(qū)間是(—8,—1),(-,+oo),減區(qū)間是(-1」).(2)(3)證明見解析

44

【解析】(I)由/(x)=2/+3x3-3f-6x+a,可得g(x)=仆)=8/+9f—6x-6,

進(jìn)而可得8'00=24/+18》—6.令8'(?=0,解得％=—1,或x=’.

4

當(dāng)x改變時(shí)，g'(x),g(x)的改變狀況如下表：

(T01、

X(-CO,-1)(：,+co)

4

g'(x)+-+

g(x)//

所以，g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-8,-1),(-,+oo),單調(diào)遞減區(qū)間是(-1」).

44

(II)證明：由//(%)=g(%)(加一九0)-/(根)，得h(m)=g(m)(m-X。)-f5),

h(x0)=g(x0)(m-x0)-f(m).

令函數(shù)Ni(x)=g(xXx—%)—f(x),則=由(I)知，當(dāng)xe［L2］時(shí)，gf(x)>0,

故當(dāng)xe［Lf)時(shí)，H；(x)<0,H】(x)單調(diào)遞減；當(dāng)》￡(事,2］時(shí)，H；(力>0,笈式/單調(diào)遞增因

此，當(dāng)xe［LQU(%2］時(shí)，區(qū)(》)>氏5)=-/?)=0,可得名(加)>0,即網(wǎng)m)>0.

令函數(shù)%(xWg?)。：一天)-/&),則與'(力=且(引一且(力.由(I)知，g(x)在［L2］上單調(diào)遞

增，故當(dāng)xe［L天)時(shí)，國(guó)(力>0,日式力單調(diào)遞增;當(dāng)xe(%2］時(shí)，嗎'(x)<0,4(力單調(diào)遞

減.因此，當(dāng)xe［LF)U(f,2］時(shí),瑪(力〈吐(%)=0,可得凡(m)<0,即網(wǎng)而)<0.

所以，爾>?)/2(毛)<0.

(Ill)證明：對(duì)于隨意的正整數(shù)p,q,且Ke［l,Xo)?，2］，

q

令m=B,函數(shù)丸(x)=g(x)(m-Xo)-/(nz).

q1

由(II)知，當(dāng)me［l,x())時(shí)，/z(x)在區(qū)間(加,七)內(nèi)有零點(diǎn)；

當(dāng)me(毛,2］時(shí)，7i(x)在區(qū)間(演),〃?)內(nèi)有零點(diǎn).

所以力(力在(L2)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)為X］,則h(xj=g(X］)(3-/)-/(4=0

qq

由(I)知g(x)在［L2］上單調(diào)遞增，故0<g(l)<gQ)<g(2),

f(E.\I/Y2)|

4223

不力「vI|Q|>q12p+3p'q-3pq-6pq+aq\

于iEi一—天ii