專題復合函數(shù)的定義域值域單調(diào)性與奇偶性講義-高一上學期數(shù)學

專題：復合函數(shù)綜合復習知識梳理1.復合函數(shù)一般地，對于兩個函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)，如果通過變量u，y可以表示成x的函數(shù)，那么稱這個函數(shù)為函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)的復合函數(shù)，記作y＝f(g(x))，其中y＝f(u)叫做復合函數(shù)y＝f(g(x))的外層函數(shù)，u＝g(x)叫做y＝f(g(x))的內(nèi)層函數(shù).復合函數(shù)的單調(diào)性若函數(shù)在內(nèi)單調(diào)，在內(nèi)單調(diào)，且集合{︳，}（1）若是增函數(shù)，是增（減）函數(shù)，則是增（減）函數(shù).（2）若是減函數(shù)，是增（減）函數(shù)，則是減（增）函數(shù).小結：同增異減（內(nèi)外函數(shù)單調(diào)性相同則增，內(nèi)外函數(shù)單調(diào)性相反則減）例題講解及方法總結題型一：復合函數(shù)的定義域函數(shù)的定義域是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】函數(shù)的定義域滿足，解得答案.【詳解】的定義域滿足：，解得.故選：B函數(shù)的定義域是__________.【答案】【分析】由函數(shù)的解析式，列出使解析式有意義的不等式，求出解集即可.【詳解】要使函數(shù)有意義，則，即，解得，.所以，函數(shù)的定義域為.故答案為：.方法小結：注：這里的復合函數(shù)指的是由具體的函數(shù)復合而成的，而非抽象函數(shù)（抽象函數(shù)的定義域在前面的文章中講過）題型二：復合函數(shù)的值域與最值函數(shù)的最小值是（

）．A．10 B．1 C．11 D．【答案】B【分析】利用換元法，令，則，先求出的范圍，從而可求出函數(shù)的最小值【詳解】設，則，因為，所以，所以的最小值為1，故選：B已知滿足，求的最大值與最小值及相應的x的值．【答案】當時，取最小值為；當時，取最大值為．【分析】由條件求得，化簡函數(shù)y的解析式為，由此可得y的最大值與最小值及相應的x的值.【詳解】由題意，解得，，又，當時，，當時，，即當時，；當時，．方法小結：求復合函數(shù)的值域有以下幾步①先求函數(shù)的定義域；②用換元法把復合函數(shù)表示成內(nèi)函數(shù)和外函數(shù)；③根據(jù)定義域先求內(nèi)函數(shù)的值域；④把內(nèi)函數(shù)的值域當成外函數(shù)的定義域，再根據(jù)此定義域進一步求外函數(shù)的值域.注：第3題相當于進行了三次復合（對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)）題型三：復合函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求得的定義域，然后根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性同增異減求得正確答案.【詳解】，解得，所以的定義域為，的開口向下，對稱軸為，根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性同增異減可知，的單調(diào)遞增區(qū)間是.故選：A若（且）在R上為增函數(shù)，則的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定的單調(diào)性求出a的取值范圍，再求出函數(shù)的定義域，利用復合函數(shù)單調(diào)性求解作答.【詳解】且，函數(shù)與在R上有相同的單調(diào)性，即函數(shù)與函數(shù)在R上有相同的單調(diào)性，因此函數(shù)在R上單調(diào)遞增，，在中，，解得或，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：B已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)及二次函數(shù)的單調(diào)性可得，進而即得.【詳解】因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，且，所以，解得.故選：B.方法小結：求復合函數(shù)單調(diào)區(qū)間主要有以下步驟：①先求函數(shù)的定義域；②用換元法把復合函數(shù)表示成內(nèi)函數(shù)和外函數(shù)；③分別求內(nèi)外函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；④根據(jù)同增異減（內(nèi)函數(shù)與外函數(shù)單調(diào)性相同則復合函數(shù)為增，內(nèi)函數(shù)與外函數(shù)單調(diào)性相反則復合函數(shù)為減）確定復合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.注：求復合函數(shù)單調(diào)區(qū)間部分有兩種題型，一種是直接求單調(diào)區(qū)間，如第5題和第6題，還有一種是已知單調(diào)區(qū)間求參數(shù)的取值范圍，如第7題.題型四：復合函數(shù)的奇偶性判斷函數(shù)的奇偶性，并證明【答案】為奇函數(shù)，證明見解析【解析】借助對數(shù)的運算性質，直接根據(jù)奇偶性的定義進行判斷．【詳解】解：函數(shù)為奇函數(shù).證明如下：令.，是奇函數(shù).判斷函數(shù)的奇偶性．【答案】偶函數(shù)【詳解】在上恒成立，故的定義域為，令，即為奇函數(shù)，∴為偶函數(shù).方法小結：對于復合函數(shù)的奇偶性，方法與普通函數(shù)一樣，先看定義域是否關于原點對稱，再判斷與的關系，如果相等則為偶函數(shù)，相反則為奇函數(shù)，否則為非奇非偶函數(shù)；但是有些較為復雜的復合函數(shù)，難以直接看出與是否互為相反數(shù)，但是相加卻可以化簡為0.