山東省德州市2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

高二數(shù)學(xué)試題2023.4．本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，第I卷13頁，第II卷36頁，共150分，測試時(shí)間120分鐘．注意事項(xiàng)：選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，不能答在測試卷上．第I卷選擇題（共60分）一、選擇題（本題共8個小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的．）1.已知函數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可得.【詳解】因，所以，，故選：A2.在等差數(shù)列中，，，則（）A.14 B.12 C.10 D.8【答案】D【解析】【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解，代入即可得出結(jié)論.【詳解】由，，又為等差數(shù)列，得，，解得，則；故選：D.3.某單位為了落實(shí)“綠水青山就是金山銀山”理念，制定節(jié)能減排的目標(biāo)，先調(diào)查了用電量y（單位：度）與氣溫x（單位：℃）之間的關(guān)系，隨機(jī)選取了4天的用電量與當(dāng)天氣溫，并制作了對照表：x（單位：℃）171410y（單位：度）21a3440由表中數(shù)據(jù)得線性回歸方程：．則a的值為（）．A.20 B.22 C.25 D.28【答案】C【解析】【分析】根據(jù)樣本點(diǎn)中心必在回歸直線上，列式求解.【詳解】由表格數(shù)據(jù)可知，，樣本點(diǎn)中心必在回歸直線上，所以，所以，解得：.故選：C4.已知為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，，，則的值為（）A.85 B.64 C.84 D.21【答案】A【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，即可計(jì)算求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題意可知，，得，，所以.故選：A5.設(shè)三次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，函數(shù)的圖象的一部分如圖所示，則正確的是（）A.的極大值為，極小值為B.的極大值為，極小值為C.的極大值為，極小值為D.的極大值為，極小值為【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意先判斷導(dǎo)數(shù)的符號，進(jìn)而確定原函數(shù)的單調(diào)性和極值.【詳解】當(dāng)時(shí)，則，可得；當(dāng)時(shí)，則，可得；當(dāng)時(shí)，則，可得；當(dāng)時(shí)，則，可得；故三次函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，可得的極大值為，極小值為.故選：D.6.已知函數(shù)，若對任意兩個不等的正實(shí)數(shù)，，都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，則轉(zhuǎn)化得到在上單調(diào)遞增，將題目轉(zhuǎn)化為在上恒成立，再利用分離參數(shù)法即可得到答案.【詳解】由題意,不妨設(shè),因?yàn)閷θ我鈨蓚€不等的正實(shí)數(shù),都有,所以,即,構(gòu)造函數(shù),則,所以在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立,即在上恒成立,設(shè),則，所以當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增，時(shí),單調(diào)遞減，所以，所以.故選：D.7.中國古代許多著名的數(shù)學(xué)家對推導(dǎo)高階等差數(shù)列的求和公式很感興趣，創(chuàng)造并發(fā)展了名為“垛積術(shù)”的算法，展現(xiàn)了聰明才智，如南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法?商功》一書中記載的三角垛、方垛等的求和都與高階等差數(shù)列有關(guān)．如圖是一個三角垛，最頂層有個小球，第二層有個，第三層有個，第四層有個，則第層小球的個數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】記第層有個球，則根據(jù)題意可得，再根據(jù)累加法求解即可.【詳解】記第層有個球，則，，，，結(jié)合高階等差數(shù)列的概念知，，，，，則第層的小球個數(shù)：．故選：.8.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈，且其圖象上所有點(diǎn)均在直線的上方，則稱函數(shù)為“函數(shù)”，若函數(shù)的定義域?yàn)?，且為“函?shù)”，則實(shí)數(shù)t的最大整數(shù)值為（）A. B. C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】由新定義可得恒成立，即恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值，可得t的最大整數(shù)值.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，且為“函?shù)”，所以在上恒成立，所以在上恒成立，所以，設(shè)，則，令，則，所以在上單調(diào)遞增，又，，所以存在使得，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最小值，最小值為，且，所以，故函數(shù)的最小值為，又，所以，故t的最大整數(shù)值為.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：“新定義”主要是指即時(shí)定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問題，有時(shí)還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對新定義的透徹理解.但是，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識，所以說“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應(yīng)萬變才是制勝法寶.二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．）9.下列命題正確的是（）A.回歸直線恒過樣本點(diǎn)的中心，且至少過一個樣本點(diǎn)B.在回歸直線方程中，變量與x正相關(guān)C.變量x，y樣本相關(guān)系數(shù)越大，表示它們的線性相關(guān)性越強(qiáng)D.在回歸分析中，殘差平方和越大，模型的擬合效果越好【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)變量之間相關(guān)關(guān)系的有關(guān)概念，回歸直線的特征，回歸分析中相關(guān)系數(shù)和線性相關(guān)性的關(guān)系，殘差平方和和模型的擬合效果的關(guān)系即可判斷．【詳解】對于A，回歸直線恒過樣本點(diǎn)的中心，但可以不經(jīng)過任何一個樣本點(diǎn)，A錯誤；對于B，在回歸直線方程中，，所以變量與x正相關(guān)，B正確；對于C，變量x，y的樣本相關(guān)系數(shù)越大，越靠近，表示它們的線性相關(guān)性越強(qiáng)，C正確；對于D，在回歸分析中，殘差平方和越小，模型的擬合效果越好，D錯誤．故選：BC．10.已知，則（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】移項(xiàng)可得，，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得，再根據(jù)指對冪函數(shù)的單調(diào)性即可判斷各選項(xiàng)的真假．【詳解】由題可得，，設(shè)，，所以，即函數(shù)在上遞增，所以由可得：．對于A，由函數(shù)在上遞減，所以當(dāng)時(shí)，，A錯誤；對于B，易知函數(shù)在上遞增，所以當(dāng)時(shí)，，即，B正確；對于C，當(dāng)時(shí)，若，則，C錯誤；對于D，因?yàn)楹瘮?shù)在上遞增，所以當(dāng)時(shí)，，D正確．故選：BD．11.斐波那契數(shù)列又稱黃金分割數(shù)列，斐波那契數(shù)列滿足：，，記，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】由賦值法得值可判斷A項(xiàng)，由遞推關(guān)系式等量代換可證明B項(xiàng)，運(yùn)用累加法可判斷C項(xiàng)，運(yùn)用裂項(xiàng)相消法求和可判斷D項(xiàng).【詳解】對于A項(xiàng)，因?yàn)?，，，所以，，，，故A項(xiàng)正確；對于B項(xiàng)，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，故B項(xiàng)正確；對于C項(xiàng)，因?yàn)?，所以，所以，，，…，，由累加法得：，又因?yàn)?，所以，即：，故C項(xiàng)錯誤；對于D項(xiàng)，因?yàn)?，，，所以，故D項(xiàng)正確.故選：ABD.12.已知函數(shù)，下列說法正確的是（）A.若為單調(diào)遞減函數(shù)，則B.當(dāng)或時(shí)，有且僅有一個極值點(diǎn)C.當(dāng)時(shí)，圖象與x軸相切D.當(dāng)或時(shí)，有且僅有一個零點(diǎn)【答案】ACD【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由恒成立判斷A；舉例說明判斷B；求出函數(shù)的零點(diǎn)，并求出在該點(diǎn)處的切線方程判斷C；求出函數(shù)只有一個零點(diǎn)的m范圍判斷D作答.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，對于A，由為單調(diào)遞減函數(shù)，得，令，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，遞增，當(dāng)時(shí)，遞減，則當(dāng)時(shí)，，于是，解得，A正確；對于B，由選項(xiàng)A知，當(dāng)時(shí)，為單調(diào)遞減函數(shù)，無極值點(diǎn)，B錯誤；對于C，當(dāng)時(shí)，，顯然，，且，因此函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線為，為x軸，C正確；對于D，由，得，令，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，而當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，因此函數(shù)僅只一個零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，遞增，函數(shù)值集合為，，遞減，函數(shù)值集合為，則當(dāng)時(shí)，，函數(shù)只有一個零點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)，解得，所以當(dāng)或時(shí)，有且僅有一個零點(diǎn)，D正確.故選：ACD第II卷非選擇題（共90分）三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.若函數(shù)在處的切線方程為，則實(shí)數(shù)a=___________．【答案】1【解析】【分析】運(yùn)用導(dǎo)數(shù)幾何意義列方程求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，由題意知，，所以故答案為：1.14.寫出一個同時(shí)具有下列性質(zhì)①②的數(shù)列的通項(xiàng)公式：___________．①；②單調(diào)遞增．【答案】（符合此種形式即可）【解析】【分析】先猜想數(shù)列是一個等差數(shù)列，進(jìn)而根據(jù)性質(zhì)①得到首項(xiàng)與公差的關(guān)系，然后根據(jù)性質(zhì)②得到答案.【詳解】假設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，首項(xiàng)為，由性質(zhì)①可得：，即，再根據(jù)②可知，公差，顯然（）滿足題意.故答案為：（符合此種形式即可）15.如圖甲是第七屆國際數(shù)學(xué)家大會（簡稱ICME—7）的會徽圖案，會徽的主題圖案是由圖乙的一連串直角三角形演化而成的．已知為直角頂點(diǎn)，設(shè)，，，…，構(gòu)成數(shù)列，令，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，則___________．【答案】8【解析】【分析】先根據(jù)勾股定理得到，然后得到，利用裂項(xiàng)求和可得.【詳解】由題意：因，故，所以，，，所以.故答案為：8.16.已知函數(shù)，其中．若，則的最大值為_______；若方程有且只有1個實(shí)根，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為___________．【答案】①.2②.【解析】【分析】在區(qū)間內(nèi)求導(dǎo)，求出極大值，再根據(jù)時(shí)畫出函數(shù)圖象，對“只有一個解作出幾何解釋”，據(jù)此求出t的范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，時(shí)：，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，并且；所以，在時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即，時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，由于當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的大致圖象如下：欲使得只有一個解，則必須，即，設(shè)，則，單調(diào)遞減，又；故答案為：2；.四、解答題（本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．）17.已知函數(shù)，是函數(shù)的一個極值點(diǎn)．（1）求實(shí)數(shù)a的值；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值．【答案】（1）（2）最大值為15，最小值為【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件可得可求得a的值并檢驗(yàn)即可.（2）運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求在上的極值并與、比較大小即可.【小問1詳解】由題意知，，由是極值點(diǎn)，得，故，經(jīng)檢驗(yàn)：成立.故a的值為1.【小問2詳解】由（1）知，，所以，令，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減．當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減．又，，，所以在上最大值為15，最小值為．18.為了解學(xué)生對黨的“二十大”精神的學(xué)習(xí)情況，學(xué)校開展了“二十大”相關(guān)知識的競賽活動，全校共有1000名學(xué)生參加，其中男生450名，采用分層抽樣的方法抽取100人，將他們的比賽成績（滿分為100分），分為6組：，，，，，，得到如圖所示的頻率分布直方圖．其中成績不低于80分為“優(yōu)秀”，低于80分為“非優(yōu)秀”．（1）求實(shí)數(shù)a的值，并估算全校1000名學(xué)生中成績優(yōu)秀的人數(shù)；（2）完成下列列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認(rèn)為比賽成績優(yōu)秀與性別有關(guān)．優(yōu)秀非優(yōu)秀合計(jì)男女10合計(jì)附：，其中．0.100.050.0100.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1），250（人）（2）填表見解析；沒有【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率和為1求得，進(jìn)而根據(jù)頻率估計(jì)成績優(yōu)秀的人數(shù)；（2）根據(jù)題意結(jié)合分層抽樣完善列聯(lián)表，求，并與臨界值對比分析.【小問1詳解】由題意可得：，解得，樣本中成績優(yōu)秀的頻率為：，以樣本估計(jì)總體，全校1000名學(xué)生中成績優(yōu)秀的人數(shù)為：（人）.【小問2詳解】由題意，采用分層抽樣，男生抽取人數(shù)人，女生抽取人，且樣本中優(yōu)秀的人數(shù)為人，故列聯(lián)表如下：優(yōu)秀非優(yōu)秀合計(jì)男153045女104555合計(jì)2575100可得，因?yàn)?，故沒有95%的把握認(rèn)為比賽成績優(yōu)秀與性別有關(guān)19.已知數(shù)列滿足，．（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列落入?yún)^(qū)間的所有項(xiàng)的和．【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）由已知可得，利用等比數(shù)列的定義證明結(jié)論，從而可求出的通項(xiàng)公式，（2）解不等式，即得的范圍，再利用分組求和求解.【小問1詳解】由得，又，所以所以是首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，所以【小問2詳解】由題意，即，解得：，即，故落入?yún)^(qū)間項(xiàng)為，所以其和.20.在扶貧政策的大力支持下，某縣農(nóng)副產(chǎn)品加工廠經(jīng)營得十分紅火，不僅解決了就業(yè)問題，而且為脫貧工作作出了重大貢獻(xiàn)，該工廠收集了1月份至5月份的銷售量數(shù)據(jù)（如下表），并利用這些數(shù)據(jù)對后期生產(chǎn)規(guī)模做出決策．月份12345銷售量（萬斤）4.95.86.88.310.237.21181.1374該工廠為了預(yù)測未來幾個月的銷售量，建立了y關(guān)于x的回歸模型：．表中：，．（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)與回歸模型，求關(guān)于回歸方程（的值精確到0.1，的值精確到整數(shù)位）；（2）已知該工廠的月利潤（單位：萬元）與，的關(guān)系為，根據(jù)（1）的結(jié)果，預(yù)測該工廠哪一個月的月利潤最?。畢⒖脊剑簩τ谝唤M數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，．【答案】（1）（2）6月份的月利潤最小【解析】【分析】（1）根據(jù)最小二乘法公式分別求得，即可.（2）利用基本不等式求函數(shù)最值.【小問1詳解】由題意，，令得所以，，所以y關(guān)于x的回歸方程為【小問2詳解】由（1）知，故當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號成立．所以該工廠6月份的月利潤最小．21.已知數(shù)列是以為首項(xiàng)的常數(shù)列，為數(shù)列的前n項(xiàng)和．（1）求；（2）設(shè)正整數(shù)，其中．例如：，則，；，則，．若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得，結(jié)合等比數(shù)列求和公式運(yùn)算求解；（2）根據(jù)題意可得，利用分組求和結(jié)合錯位相減法運(yùn)算求解.【小問1詳解】由題意可得：，則，可得，可知數(shù)列是以首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列，所以.【小問2詳解】因?yàn)閯t由題意，所以，可得，（i）先求數(shù)列的前n項(xiàng)