不等式及其解集

9.1.1不等式及其解集

問題一輛勻速行駛的汽車在11:20距離A

地50km,要在12:00之前駛過A地,車速應(yīng)滿足什么條件？分析設(shè)車速是

x

km/h.從時間上看,汽車要在12:00之前駛過A地,則以這個速度行駛50km所用的時間不到

h,即

從路程上看,汽車要在12:00之前駛過A地,則以這個速度行駛

h的路程要超過50km,即式子①和②從不同角度表示了車速應(yīng)滿足的條件.

像①和②這樣用符號“<”或“>”表示大小關(guān)系的式子,叫做不等式(inequality).像a+2≠a－2這樣用符號“≠”表示不等關(guān)系的式子也是不等式.

有些不等式中不含未知數(shù),例如3<4,－1>－2.有些不等式中含有未知數(shù),例如①和②式中字母x表示未知數(shù).

雖然①和②式表示了車速應(yīng)滿足的條件,但是我們希望更明確地得出x應(yīng)取哪些值.例如對不等式②,當(dāng)x=80時,

x>50;

x=78時,

x>50;當(dāng)x=75時,x=50;當(dāng)x=72時,x<50.這就是說,當(dāng)x取某些值(如80,78)時,不等式x>50成立;當(dāng)x取某些值(如75,72)時,不等式

x>50不成立.與方程的解類似,我們把使不等式成立的未知數(shù)的值叫做不等式的解.323232323232

例如80和78是不等式x>50的解,而75和72不是不等式x>50的解.3232

除了80和78是不等式x>50還有其他解嗎？如果有,這些解應(yīng)滿足什么條件？32思考

在表示75的點上畫空心圓圈，表示不包含這一點.075

可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)x>75時,不等式x>50總成立;而當(dāng)x<75或x=75時,不等式x>50不成立.這就是說,任何一個大于75的數(shù)都是不等式x>50的解,這樣的解有無數(shù)個;任何一個小于或等于75的數(shù)都不是不等式x>50的解.因此,x>75表示了能使不等式x>50成立的x的取值范圍,它可以在數(shù)軸上表示.

3232323232

由上可知,在前面問題中,汽車要在12:00之前駛過A地,車速必須大于75km/h.一般地,一個含有未知數(shù)的不等式的所有的解,組成這個不等式的解集(solutionset).求不等式的解集的過程叫做解不等式.由不等式①能得出這個結(jié)果嗎？

課內(nèi)練習(xí)

1用不等式表示:(1)a是正數(shù);

(2)a是負數(shù);(3)a與5的和小于7;

(4)a與2的差大于－1;

(5)a的4倍大于8;

(6)a的一半小于3.

(1)a>0;

(2)a<0;(3)a+5<7;

(4)a－2>－1;(5)4a>8;

(6)a<3.解：

2下列數(shù)中哪些是不等式x+3>6的解？哪些不是？－4,－,0,1,,3,,,8,12.,,8,12是不等式x+3>6的解;－4,－,0,1,,3不是不等式x+3>6的解．解：3直接說出下列不等式的解集:(1)x+3>6;