高三數(shù)學(xué)步步高（理）第七編 不等式

第七編不等式§7.1不等關(guān)系與不等式基礎(chǔ)自測1.已知-1＜a＜0,那么-a,-a3,a2的大小關(guān)系是 （）A.a2＞-a3＞-a B.-a＞a2＞-a3C.-a3＞a2＞-a D.a2＞-a＞-a3答案B2.若m＜0,n＞0且m+n＜0，則下列不等式中成立的是 ()A.-n＜m＜n＜-m B.-n＜m＜-m＜nC.m＜-n＜-m＜n D.m＜-n＜n＜-m答案D3.已知a＜0,-1＜b＜0,那么下列不等式成立的是 （）A.a＞ab＞ab2 B.ab2＞ab＞aC.ab＞a＞ab2 D.ab＞ab2＞a答案D4.（·廈門模擬）＞1的一個充分不必要條件是 （）A.x＞y B.x＞y＞0C.x＜y D.y＜x＜0答案B5.設(shè)甲:m,n滿足乙:m,n滿足那么 （）A.甲是乙的充分不必要條件 B.甲是乙的必要不充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件,也不是乙的必要條件答案B例1（1）設(shè)x＜y＜0,試比較(x2+y2)(x-y)與(x2-y2)(x+y)的大??；（2）已知a,b,c∈{正實數(shù)}，且a2+b2=c2,當(dāng)n∈N,n＞2時比較cn與an+bn的大小.解（1）方法一（x2+y2）(x-y)-(x2-y2)(x+y)=(x-y)［x2+y2-(x+y)2］=-2xy(x-y),∵x＜y＜0,∴xy＞0,x-y＜0,∴-2xy(x-y)＞0,∴(x2+y2)(x-y)＞(x2-y2)(x+y).方法二∵x＜y＜0,∴x-y＜0,x2＞y2,x+y＜0.∴(x2+y2)(x-y)＜0,(x2-y2)(x+y)＜0,∴0＜=＜1,∴(x2+y2)(x-y)＞(x2-y2)(x+y).(2)∵a,b,c∈{正實數(shù)}，∴an,bn,cn＞0,而=+.∵a2+b2=c2,則+=1,∴0＜＜1,0＜＜1.∵n∈N,n＞2,∴＜,＜,∴=+＜=1,∴an+bn＜cn.例2已知a、b、c是任意的實數(shù)，且a＞b,則下列不等式恒成立的為 （）A.(a+c)4＞(b+c)4 B.ac2＞bc2C.lg|b+c|＜lg|a+c| D.＞答案D例3（12分）已知-1＜a+b＜3且2＜a-b＜4,求2a+3b解設(shè)2a+3b=m(a+b)+n(a-b),∴,2分∴m=,n=-.4分∴2a+3b=(a+b)-(a-b).5分∵-1＜a+b＜3,2＜a-b＜4,∴-＜(a+b)＜,-2＜-(a-b)＜-1,8分∴-＜(a+b)-(a-b)＜,10分即-＜2a+3b＜.12分1.（1）比較x6+1與x4+x2的大小，其中x∈R;（2）設(shè)a∈R,且a≠0,試比較a與的大小.解（1）（x6+1）-（x4+x2）=x6-x4-x2+1=x4(x2-1)-(x2-1)=(x2-1)(x4-1)=(x2-1)(x2-1)(x2+1)=(x2-1)2(x2+1).當(dāng)x=±1時，x6+1=x4+x2;當(dāng)x≠±1時，x6+1＞x4+x2.（2）a-==當(dāng)-1＜a＜0或a＞1時,a＞；當(dāng)a＜-1或0＜a＜1時,a＜；當(dāng)a=±1時,a=.2.適當(dāng)增加不等式條件使下列命題成立：(1)若a＞b,則ac≤bc;(2)若ac2＞bc2,則a2＞b2;(3)若a＞b,則lg(a+1)＞lg(b+1);(4)若a＞b,c＞d,則＞;(5)若a＞b,則＜.解(1)原命題改為：若a＞b且c≤0，則ac≤bc,即增加條件“c≤0”.(2)由ac2＞bc2可得a＞b,但只有b≥0時，才有a2＞b2,即增加條件“b≥0”(3)由a＞b可得a+1＞b+1,但作為真數(shù)，應(yīng)有b+1＞0,故應(yīng)加條件“b＞-1”(4)＞成立的條件有多種，如a＞b＞0,c＞d＞0,因此可增加條件“b＞0,d＞0”.還可增加條件為“a＜0,c＞0,d＜0”.(5)＜成立的條件是a＞b,ab＞0或a＜0,b＞0,故增加條件為“ab＞0”.3.設(shè)f(x)=ax2+bx,1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(-2)的取值范圍.解方法一設(shè)f(-2)=mf(-1)+nf(1)(m,n為待定系數(shù)),則4a-2b=m(a-b)+n(a+b),即4a-2b=(m+n)a+(n-m)b,于是得,解得,∴f(-2)=3f(-1)+f(1).又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,∴5≤3f(-1)+f(1)≤10,故5≤f(-2)≤10.方法二由,得,∴f(-2)=4a-2b=3f(-1)+又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,∴5≤3f(-1)+f(1)≤10,故5≤f(-2)≤10.方法三由確定的平面區(qū)域如圖.當(dāng)f(-2)=4a-2b過點A時,取得最小值4×-2×=5,當(dāng)f(-2)=4a-2b過點B(3,1)時,取得最大值4×3-2×1=10,∴5≤f(-2)≤10.]一、選擇題1.已知a,b,c滿足c＜b＜a且ac＜0，則下列選項中不恒成立的是 （）A.＞ B.＞0 C.＞ D.＜0答案C2.已知a、b、c滿足c＜b＜a,且ac＜0,那么下列選項中一定成立的是 （）A.ab＞ac B.c(b-a)＜0C.cb2＜ab2 D.ac(a-c)＞0答案A3.設(shè)a＞1＞b＞-1,則下列不等式恒成立的是 （）A. B.C. D.a>b2答案D4.(·杭州模擬)已知三個不等式：ab＞0，bc-ad＞0,＞0(其中a,b,c,d均為實數(shù)),用其中兩個不等式作為條件,余下的一個不等式作為結(jié)論組成一個命題,可組成的正確命題的個數(shù)是 （）A.0 B.1 C.2 D.3答案D5.已知函數(shù)f(x)=log2(x+1),設(shè)a＞b＞c＞0,則,,的大小關(guān)系為 ()A.＜＜ B.＜＜C.＜＜ D.＜＜答案 B6.若x＞y＞1,且0＜a＜1,則①ax＜ay;②logax＞logay;③x-a＞y-a;④logxa＜logya.其中不成立的個數(shù)是 （）A.1 B.2 C.3 D答案C二、填空題7.已知a+b＞0，則+與+的大小關(guān)系是.答案+≥+8.給出下列四個命題：①若a＞b＞0,則＞;②若a＞b＞0,則a-＞b-;③若a＞b＞0,則＞;④設(shè)a,b是互不相等的正數(shù)，則|a-b|+≥2.其中正確命題的序號是.（把你認(rèn)為正確命題的序號都填上）答案②三、解答題9.比較aabb與abba（a,b為不相等的正數(shù)）的大小.解=aa-bbb-a=,當(dāng)a＞b＞0時，＞1,a-b＞0,∴＞1；當(dāng)0＜a＜b時，＜1,a-b＜0,∴＞1.綜上所述，總有aabb＞abba.10.已知奇函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,+∞)上是單調(diào)遞減函數(shù),,,∈R且+＞0,+＞0,+＞0.試說明f()+f()+f()的值與0的關(guān)系.解由+＞0,得＞-.∵f(x)在R上是單調(diào)減函數(shù),∴f()＜f(-).又∵f(x)為奇函數(shù),∴f()＜-f(),∴f()+f()＜0,同理f()+f()＜0,f()+f()＜0,∴f()+f()+f()＜0.11.某個電腦用戶計劃使用不超過1000元的資金購買單價分別為80元、90元的單片軟件和盒裝磁盤.根據(jù)需要，軟件至少買3片，磁盤至少買4盒，寫出滿足上述所有不等關(guān)系的不等式.解設(shè)買軟件x片、磁盤y盒,N+N+則x、y滿足關(guān)系：N+N+12.已知a＞0,a2-2ab+c2=0,bc＞a2.試比較a,b,c的大小.解∵bc＞a2＞0,∴b,c同號.又a2+c2＞0,a＞0,∴b=＞0,∴c＞0,由(a-c)2=2ab-2ac=2a(b-c)≥0,∴b-c≥0.當(dāng)b-c＞0,即b＞c時,由·c＞a2(a-c)(2a2+ac+c2)＜0.∵a＞0,b＞0,c＞0,∴2a2+ac+c2＞0,∴a-c＜0,即a＜c,則a＜c＜b；當(dāng)b-c=0,即b=c時,∵bc＞a2,∴b2＞a2,即b≠a.又∵a2-2ab+c2=(a-b)2=0a=b與a≠b矛盾,∴b-c≠0.綜上可知:a＜c＜b.§7.2一元二次不等式及其解法基礎(chǔ)自測1.下列結(jié)論正確的是 （）A.不等式x2≥4的解集為{x|x≥±2}B.不等式x2-9＜0的解集為{x|x＜3}C.不等式(x-1)2＜2的解集為{x|1-＜x＜1+}D.設(shè)x1,x2為ax2+bx+c=0的兩個實根，且x1＜x2,則不等式ax2+bx+c＜0的解集為{x|x1＜x＜x2}答案C2.（·湖南理,2）不等式≤0的解集是 （）A.（-∞,-1） B.C.（-∞,-1） D.答案D3.（·天津理,8）已知函數(shù)f(x)=則不等式x+(x+1)·f(x+1)≤1的解集是 ()A. B.C. D.答案C4.在R上定義運算:xy=x(1-y).若不等式(x-a)(x+a)＜1對任意實數(shù)x成立,則 ()A.-1＜a＜1 B.0＜a＜2C.-＜a＜ D.-＜a＜答案C5.(·江蘇，4)A={x|(x-1)2＜3x-7}，則A∩Z的元素的個數(shù)為. 答案0例1解不等式≥(x2-9)-3x.解原不等式可化為-x2+≥x2--3x,即2x2-3x-7≤0.解方程2x2-3x-7=0,得x=.所以原不等式的解集為.例2已知不等式ax2+bx+c＞0的解集為(,),且0＜＜,求不等式cx2+bx+a＜0的解集.解方法一由已知不等式的解集為(,)可得a＜0,∵，為方程ax2+bx+c=0的兩根，②①∴由根與系數(shù)的關(guān)系可得②①∵a＜0,∴由②得c＜0,則cx2+bx+a＜0可化為x2++＞0,①÷②得==-＜0,由②得==·＞0,∴、為方程x2+x+=0的兩根.∵0＜＜,∴不等式cx2+bx+a＜0的解集為.方法二由已知不等式解集為(,),得a＜0,且，是ax2+bx+c=0的兩根，∴+=-,=,∴cx2+bx+a＜0x2+x+1＞0()x2-(+)x+1＞0(x-1)(x-1)＞0＞0.∵0＜＜,∴＞,∴x＜或x＞,∴cx2+bx+a＜0的解集為.例3已知不等式＞0(a∈R).(1)解這個關(guān)于x的不等式;(2)若x=-a時不等式成立,求a的取值范圍.解(1)原不等式等價于(ax-1)(x+1)＞0.①當(dāng)a=0時,由-(x+1)＞0,得x＜-1;②當(dāng)a＞0時,不等式化為(x+1)＞0,解得x＜-1或x＞;③當(dāng)a＜0時,不等式化為(x+1)＜0;若＜-1,即-1＜a＜0,則＜x＜-1;若=-1,即a=-1,則不等式解集為空集;若＞-1,即a＜-1,則-1＜x＜.綜上所述,a＜-1時,解集為;a=-1時,原不等式無解;-1＜a＜0時,解集為;a=0時,解集為{x|x＜-1};a＞0時,解集為.(2)∵x=-a時不等式成立,∴＞0,即-a+1＜0,∴a＞1,即a的取值范圍為a＞1.例4（12分）已知f(x)=x2-2ax+2,當(dāng)x∈［-1，+∞）時，f(x)≥a恒成立，求a的取值范圍.解方法一f(x)=(x-a)2+2-a2,此二次函數(shù)圖象的對稱軸為x=a,1分①當(dāng)a∈(-∞,-1)時，結(jié)合圖象知,f(x)在［-1，+∞）上單調(diào)遞增，f(x)min=f(-1)=2a+3,3分要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a,即2a+3≥a,解得a≥-3,又a＜-1,∴-3≤a＜-1;5分②當(dāng)a∈［-1，+∞）時，f(x)min=f(a)=2-a2,7分由2-a2≥a,解得-2≤a≤1,又a≥-1,∴-1≤a≤1.10分綜上所述，所求a的取值范圍為-3≤a≤1.12分方法二由已知得x2-2ax+2-a≥0在［-1，+∞）上恒成立，4分即Δ=4a2-4(2-a)≤0或,8分解得-3≤a≤1.12分1.解下列不等式：（1）-x2+2x-＞0;(2)9x2-6x+1≥0.解（1）-x2+2x-＞0x2-2x+＜03x2-6x+2＜0Δ=12＞0,且方程3x2-6x+2=0的兩根為x1=1-,x2=1+,∴原不等式解集為.(2)9x2-6x+1≥0(3x-1)2≥0.∴x∈R,∴不等式解集為R.2.已知關(guān)于x的不等式(a+b)x+(2a-3b)＜0的解集為，求關(guān)于x的不等式(a-3b)x+(b-2a)＞解∵(a+b)x+(2a-3b)＜0的解集是,∴于是a=2b＞0,b＞0,不等式(a-3b)x+(b-2a)＞0,即為-bx-3b＞0,亦即-bx＞3b,∴x＜-3.故所求不等式的解集為{x|x＜-3}.3.解關(guān)于x的不等式＜0（a∈R）.解＜0(x-a)(x-a2)＜0,①當(dāng)a=0或a=1時，原不等式的解集為；②當(dāng)a＜0或a＞1時，a＜a2，此時a＜x＜a2;③當(dāng)0＜a＜1時，a＞a2，此時a2＜x＜a.綜上，當(dāng)a＜0或a＞1時，原不等式的解集為{x|a＜x＜a2}；當(dāng)0＜a＜1時，原不等式的解集為{x|a2＜x＜a};當(dāng)a=0或a=1時，原不等式的解集為.4.函數(shù)f(x)=x2+ax+3.(1)當(dāng)x∈R時,f(x)≥a恒成立,求a的范圍;(2)當(dāng)x∈［-2,2］時,f(x)≥a恒成立,求a的范圍.解(1)∵x∈R時,有x2+ax+3-a≥0恒成立,須Δ=a2-4(3-a)≤0,即a2+4a-12≤0,所以-6≤a≤2.(2)當(dāng)x∈［-2,2］時,設(shè)g(x)=x2+ax+3-a≥0,分如下三種情況討論(如圖所示):①如圖(1),當(dāng)g(x)的圖象恒在x軸上方時,滿足條件時,有Δ=a2-4(3-a)≤0,即-6≤a≤2.②如圖(2),g(x)的圖象與x軸有交點,但在x∈［-2,+∞)時,g(x)≥0,即即解之得a∈.③如圖(3),g(x)的圖象與x軸有交點,但在x∈(-∞,2］時,g(x)≥0,即即-7≤a≤-6綜合①②③得a∈［-7，2］.一、選擇題1.函數(shù)y=的定義域是 （）A.［-,-1）∪（1，］ B.［-,-1］∪（1，）C.［-2,-1）∪（1，2］ D.（-2,-1）∪（1，2）答案A2.不等式＞0的解集是 （）A.（-2,1） B.（2，+∞）C.(-2,1)∪(2,+∞) D.(-∞,-2)∪(1,+∞)答案C3.若(m+1)x2-(m-1)x+3(m-1)＜0對任何實數(shù)x恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是 ()A.m＞1 B.m＜-1C.m＜- D.m＞1或m＜-答案C4.若關(guān)于x的不等式：x2-ax-6a＜0有解且解的區(qū)間長不超過5個單位，則a的取值范圍是A.-25≤a≤1 B.a≤-25或a≥1C.-25≤a＜0或1≤a＜24 D.-25≤a＜-24或0＜a≤1答案D5.(·合肥模擬)已知函數(shù)f(x）的定義域為（-∞，+∞），為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)y=的圖象如右圖所示，且f(-2)=1,f(3)=1,則不等式f(x2-6)＞1的解集為 （）A.(2,3)∪(-3,-2) B.(-,)C.(2,3) D.(-∞,-)∪(,+∞)答案A6.不等式組的解集為 （）A.{x|-1＜x＜1} B.{x|0＜x＜3}C.{x|0＜x＜1} D.{x|-1＜x＜3}答案C二、填空題7.若不等式2x＞x2+a對于任意的x∈［-2，3］恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為.答案(-∞,-8)8.已知{x|ax2-ax+1＜0}=,則實數(shù)a的取值范圍為.答案0≤a≤4三、解答題9.解關(guān)于x的不等式56x2+ax-a2＜0.解原不等式可化為(7x+a)(8x-a)＜0,即＜0.①當(dāng)-＜,即a＞0時,-＜x＜;②當(dāng)-=,即a=0時,原不等式解集為;③當(dāng)-＞,即a＜0時,＜x＜-.綜上知:當(dāng)a＞0時,原不等式的解集為;當(dāng)a=0時,原不等式的解集為;當(dāng)a＜0時,原不等式的解集為.10.已知x2+px+q＜0的解集為，求不等式qx2+px+1＞0的解集.解∵x2+px+q＜0的解集為,∴-,是方程x2+px+q=0的兩實數(shù)根，由根與系數(shù)的關(guān)系得,∴,∴不等式qx2+px+1＞0可化為-,即x2-x-6＜0,∴-2＜x＜3,∴不等式qx2+px+1＞0的解集為{x|-2＜x＜3}.11.若不等式2x-1＞m(x2-1)對滿足|m|≤2的所有m都成立，求x的取值范圍.解方法一原不等式化為(x2-1)m-(2x-1)＜0.令f(m)=(x2-1)m-(2x-1)(-2≤m≤2).則解得＜x＜.方法二求已知不等式視為關(guān)于m的不等式，（1）若x2-1=0，即x=±1時，不等式變?yōu)?x-1＞0,即x＞,∴x=1,此時原不等式恒成立.（2）當(dāng)x2-1＞0時，使＞m對一切|m|≤2恒成立的充要條件是＞2,∴1＜x＜.(3)當(dāng)x2-1＜0時，使＜m對一切|m|≤2恒成立的充要條件是＜-2.∴＜x＜1.由（1）（2）（3）知原不等式的解集為.12.已知函數(shù)f(x)=ax2+a2x+2b-a3,當(dāng)x∈(-2,6)時，其值為正，而當(dāng)x∈(-∞,-2)∪(6,+∞）時，其值為負(fù).（1）求實數(shù)a,b的值及函數(shù)f(x)的表達式；（2）設(shè)F(x)=-f(x)+4(k+1)x+2(6k-1),問k取何值時，函數(shù)F(x)的值恒為負(fù)值？解(1)由題意可知-2和6是方程f(x)=0的兩根，∴,∴,∴f(x)=-4x2+16x+48.(2)F(x)=-(-4x2+16x+48)+4(k+1)x+2(6k-1)=kx2+4x-2.當(dāng)k=0時，F(xiàn)(x)=4x-2不恒為負(fù)值；當(dāng)k≠0時，若F(x)的值恒為負(fù)值，則有,解得k＜-2.§7.3基本不等式基礎(chǔ)自測1.已知a＞0,b＞0，+=1，則a+2b的最小值為 ()A.7+2 B.2 C.7+2 D.14答案A2.設(shè)a＞0,b＞0,下列不等式中不成立的是 ()A.≥2 B.a2+b2≥2ab C.≥a+b D.≥2+ 答案D3.已知x＞0,y＞0，x,a,b,y成等差數(shù)列，x,c,d,y成等比數(shù)列，則的最小值是 ()A.0 B.1 C.2 D.4答案D4.x+3y-2=0，則3x+27y+1的最小值為 （） A.7 B.3 C.1+2 D.5答案A5.（·江蘇，11）x,y,z∈R+，x-2y+3z=0,的最小值是.答案3例1已知x＞0,y＞0,z＞0.求證：≥8.證明∵x＞0,y＞0,z＞0,∴+≥＞0,+≥＞0.+≥＞0,∴≥=8.（當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z時等號成立）例2（1）已知x＞0,y＞0，且+=1,求x+y的最小值；（2）已知x＜,求函數(shù)y=4x-2+的最大值；（3）若x,y∈(0,+∞)且2x+8y-xy=0，求x+y的最小值.解（1）∵x＞0,y＞0,+=1,∴x+y=(x+y)=++10≥6+10=16.當(dāng)且僅當(dāng)=時，上式等號成立，又+=1,∴x=4,y=12時，(x+y)min=16.（2）∵x＜,∴5-4x＞0,∴y=4x-2+=-+3≤-2+3=1,當(dāng)且僅當(dāng)5-4x=,即x=1時，上式等號成立，故當(dāng)x=1時，ymax=1.(3)由2x+8y-xy=0,得2x+8y=xy,∴+=1,∴x+y=(x+y)=10++=10+2≥10+2×2×=18,當(dāng)且僅當(dāng)=,即x=2y時取等號，又2x+8y-xy=0,∴x=12,y=6,∴當(dāng)x=12,y=6時，x+y取最小值18.例3（12分）某造紙廠擬建一座平面圖形為矩形且面積為162平方米的三級污水處理池，池的深度一定（平面圖如圖所示），如果池四周圍墻建造單價為400元/米，中間兩道隔墻建造單價為248元/米，池底建造單價為80元/米2，水池所有墻的厚度忽略不計.（1）試設(shè)計污水處理池的長和寬，使總造價最低，并求出最低總造價；（2）若由于地形限制，該池的長和寬都不能超過16米，試設(shè)計污水池的長和寬，使總造價最低，并求出最低總造價.解（1）設(shè)污水處理池的寬為x米，則長為米.1分則總造價f(x)=400×+248×2x+80×162=1296x++12960=1296+129603分≥1296×2+12960=38880（元），當(dāng)且僅當(dāng)x=(x＞0),即x=10時取等號.5分∴當(dāng)長為16.2米，寬為10米時總造價最低，最低總造價為38880元.6分（2）由限制條件知,∴10≤x≤16.8分設(shè)g(x)=x+.g(x)在上是增函數(shù)，∴當(dāng)x=10時(此時=16),g(x)有最小值，即f(x)有最小值. 10分1296×+12960=38882(元).∴當(dāng)長為16米，寬為10米時，總造價最低，為38882元.12分1.已知,a,b,c均為正數(shù)，且a+b+c=1.求證：++≥9.證明++=++=3+++≥3+2+2+2=9.當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=時取等號.2.若-4＜x＜1,求的最大值.解=·==-∵-4＜x＜1,∴-(x-1)＞0,＞0.從而≥2-≤-1當(dāng)且僅當(dāng)-(x-1)=，即x=2（舍）或x=0時取等號.即=-1.3.甲、乙兩地相距s千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不超過c千米/小時，已知汽車每小時的運輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v(千米/小時）的平方成正比，比例系數(shù)為b;固定部分為a元.（1）把全程運輸成本y（元）表示為速度v(千米/小時）的函數(shù)，并指出這個函數(shù)的定義域；（2）為了使全程運輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛？解（1）建模：依題意知，汽車從甲地勻速行駛到乙地所用時間為，全程運輸成本為y=(a+bv2)=sb,v∈（0,c］.（2）依題意，有s,b,a,v都是正數(shù).因此y=sb≥2s;①若≤c,則當(dāng)且僅當(dāng)v=v=時,y取到最小值.②若≥c,則y在（0，c］上單調(diào)遞減，所以當(dāng)v=c時，y取到最小值.綜上所述，為了使全程運輸成本最小，當(dāng)≤c時，行駛速度應(yīng)該為v=；當(dāng)≥c時，行駛速度應(yīng)該為v=c.一、選擇題1.若不等式x2+ax+4≥0對一切x∈（0，1］恒成立，則a的取值范圍為 （）A. B. C. D.答案C2.在下列函數(shù)中，當(dāng)x取正數(shù)時，最小值為2的是 （）A.y=x+ B.y= C.y= D.y=x2-2x+3答案D3.已知0＜x＜1，則x(3-3x)取得最大值時x的值為 ()A. B. C. D.答案B4.（·聊城模擬）若直線2ax+by-2=0（a,b∈R+）平分圓x2+y2-2x-4y-6=0，則+的最小值是 （）A.1 B.5 C.4 D.3+2答案D5.（·汕頭模擬）函數(shù)y=log2x+logx(2x)的值域是 （）A. B. C. D.答案D6.有一個面積為1m2，形狀為直角三角形的框架，有下列四種長度的鋼管供應(yīng)用，其中最合理（夠用且最?。┑氖牵ǎ〢.4.7m B.4.8答案C二、填空題7.（·徐州調(diào)研）若實數(shù)a,b滿足ab-4a-b+1=0(a＞1),則(a+1)(b+2)的最小值為答案278.若a,b是正常數(shù)，a≠b,x,y∈(0,+∞)，則+≥,當(dāng)且僅當(dāng)=時上式取等號.利用以上結(jié)論，可以得到函數(shù)f(x)=+的最小值為，取最小值時x的值為.答案25三、解答題9.（1）已知0＜x＜，求x(4-3x)的最大值；（2）點(x,y)在直線x+2y=3上移動，求2x+4y的最小值.解（1）已知0＜x＜,∴0＜3x＜4.∴x(4-3x)=(3x)(4-3x)≤=當(dāng)且僅當(dāng)3x=4-3x,即x=時“=”成立.∴當(dāng)x=時，x(4-3x）的最大值為.（2）已知點(x,y)在直線x+2y=3上移動，所以x+2y=3.∴2x+4y≥2=2=2=4.當(dāng)且僅當(dāng)，即x=,y=時“=”成立.∴當(dāng)x=,y=時，2x+4y的最小值為4.10.已知a、b∈（0，+∞），且a+b=1,求證：(1)a2+b2≥;(2)+≥8;(3)+≥;(4)≥.證明由a、b∈（0，+∞），得≤ab≤≥4.（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時取等號）(1)∵a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab≥1-2×=，∴a2+b2≥.(2)∵+≥≥8,∴+≥8.(3)由(1)、(2)的結(jié)論，知+=a2+b2+4++≥+4+8=,∴+≥.(4)=++ab+=+++2≥2++2=.11.設(shè)a＞0,b＞0,a+b=1.（1）證明：ab+≥4;（3）探索猜想，并將結(jié)果填在以下括號內(nèi)：a2b2+≥（

）；a3b3+≥（

）；（3）由（1）（2）歸納出更一般的結(jié)論，并加以證明.（1）證明方法一ab+≥44a2b2-17ab+4≥0(4ab-1)(ab-4)≥0.∵ab=()2≤=,∴4ab≤1，而又知ab≤＜4,因此(4ab-1)(ab-4)≥0成立，故ab+≥4.方法二ab+=ab++，∵ab≤=，∴≥4，∴≥.當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時取等號.又ab+≥2=，當(dāng)且僅當(dāng)ab=，即=4,a=b=時取等號.故ab+≥+=4（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時，等號成立）.（2）解猜想：當(dāng)a=b=時，不等式a2b2+≥()與a3b3+≥()取等號，故在括號內(nèi)分別填16與64.（3）解由此得到更一般性的結(jié)論：anbn+≥4n+.證明如下：∵ab≤=,∴≥4.∴anbn+=anbn++≥2+×4n=+=4n+，當(dāng)且僅當(dāng)ab=,即a=b=時取等號.12.某工廠統(tǒng)計資料顯示，產(chǎn)品次品率p與日產(chǎn)量x(單位：件，x∈N+，1≤x≤96)的關(guān)系如下：又知每生產(chǎn)一件正品盈利a(a為正常數(shù))元，每生產(chǎn)一件次品就損失元.（注：次品率p=×100%，正品率=1-p)（1）將該廠日盈利額T（元）表示為日產(chǎn)量x的函數(shù)；（2）為了獲得最大盈利，該廠的日產(chǎn)量應(yīng)定為多少件？解（1）依題意可知：p=(1≤x≤96,x∈N+),日產(chǎn)量x件中次品有xp件，正品有x-px件，日盈利額T=a(x-px)-px=a.(2)∵T=a=a=a=a≤a(104-2)=64a，所以當(dāng)100-x=20，即x=80時，T最大.因此日產(chǎn)量為80件時，日盈利額T取最大值.§7.4二元一次不等式（組）與簡單的線性規(guī)劃問題基礎(chǔ)自測1.已知點A（1，-1），B（5，-3），C（4，-5），則表示△ABC的邊界及其內(nèi)部的約束條件是.答案2.（·天津理，2）設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z=5x+y的最大值為 （ ）A.2 B.3 C.4 答案D3.若點（1，3）和（-4，-2）在直線2x+y+m=0的兩側(cè)，則m的取值范圍是 （）A.m＜-5或m＞10 B.m=-5或m=10C.-5＜m＜10 D.-5≤m≤104.（·北京理，5）若實數(shù)x，y滿足則z=3x+2y的最小值是 ()A.0 B.1 C. D答案B5.（·福建理，8）若實數(shù)x、y滿足，則的取值范圍是 ()A.(0,1) B. C.(1,+∞) D.答案C例1畫出不等式組表示的平面區(qū)域,并回答下列問題:(1)指出x,y的取值范圍;(2)平面區(qū)域內(nèi)有多少個整點?解(1)不等式x-y+5≥0表示直線x-y+5=0上及右下方的點的集合.x+y≥0表示直線x+y=0上及右上方的點的集合,x≤3表示直線x=3上及左方的點的集合.所以,不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示.結(jié)合圖中可行域得x∈,y∈［-3,8］.(2)由圖形及不等式組知當(dāng)x=3時,-3≤y≤8,有12個整點;當(dāng)x=2時,-2≤y≤7,有10個整點;當(dāng)x=1時,-1≤y≤6,有8個整點;當(dāng)x=0時，0≤y≤5，有6個整點；當(dāng)x=-1時,1≤y≤4,有4個整點;當(dāng)x=-2時,2≤y≤3,有2個整點;∴平面區(qū)域內(nèi)的整點共有2+4+6+8+10+12=42(個).例2（·湖南理，3）已知變量x、y滿足條件則x+y的最大值是 （）A.2 B.5 C.6 D.8答案6例3（12分）某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，計劃每天每種產(chǎn)品的生產(chǎn)量不少于15噸，已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1噸，需煤9噸，電力4千瓦時，勞力3個；生產(chǎn)乙產(chǎn)品1噸，需煤4噸，電力5千瓦時，勞力10個；甲產(chǎn)品每噸的利潤為7萬元，乙產(chǎn)品每噸的利潤為12萬元；但每天用煤不超過300噸，電力不超過200千瓦時，勞力只有300個.問每天生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品各多少噸，才能使利潤總額達到最大？解設(shè)每天生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別為x噸、y噸，利潤總額為z萬元，1分則線性約束條件為，4分目標(biāo)函數(shù)為z=7x+12y,6分作出可行域如圖，8分作出一組平行直線7x+12y=t,當(dāng)直線經(jīng)過直線4x+5y=200和直線3x+10y=300的交點A(20，24)時，利潤最大.10分即生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別為20噸、24噸時，利潤總額最大，zmax=7×20+12×24=428（萬元）.答每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品20噸、乙產(chǎn)品24噸，才能使利潤總額達到最大.12分1.（·浙江理，17）若a≥0，b≥0，且當(dāng)時，恒有ax+by≤1，則以a，b為坐標(biāo)的點P（a，b）所形成的平面區(qū)域的面積等于.答案12.（·全國Ⅰ理，13）若x，y滿足約束條件則z=2x-y的最大值為.答案93.某家具公司制作木質(zhì)的書桌和椅子兩種家具，需要木工和漆工兩道工序，已知木工平均四個小時做一把椅子，八個小時做一張書桌，該公司每星期木工最多有8000個工作時；漆工平均兩小時漆一把椅子，一個小時漆一張書桌，該公司每星期漆工最多有1300個工作時.又已知制作一把椅子和一張書桌的利潤分別是15元和20元，根據(jù)以上條件，怎樣安排生產(chǎn)能獲得最大利潤？解依題意設(shè)每星期生產(chǎn)x把椅子，y張書桌，那么利潤p=15x+20y.其中x,y滿足限制條件.即點（x,y）的允許區(qū)域為圖中陰影部分，它們的邊界分別為4x+8y=8000(即AB)，2x+y=1300(即BC)，x=0(即OA)和y=0(即OC）.對于某一個確定的p=p0滿足p0=15x+20y,且點（x,y)屬于陰影部分的解x,y就是一個能獲得p0元利潤的生產(chǎn)方案.對于不同的p,p=15x+20y表示一組斜率為-的平行線，且p越大，相應(yīng)的直線位置越高；p越小，相應(yīng)的直線位置越低.按題意，要求p的最大值，需把直線p=15x＋20y盡量地往上平移，又考慮到x，y的允許范圍，當(dāng)直線通過B點時，處在這組平行線的最高位置，此時p取最大值.由,得B（200，900），當(dāng)x=200,y=900時，p取最大值，即pmax=15×200+20×900=21000,即生產(chǎn)200把椅子、900張書桌可獲得最大利潤21000元.一、選擇題1.（·全國Ⅱ理，5）設(shè)變量x,y滿足約束條件:則z=x-3y的最小值為 （）A.-2 B.-4 C.-6 D.-8答案D2.若不等式組表示的平面區(qū)域是一個三角形，則a的取值范圍是 （）A.a≥ B.0＜a≤1 C.1≤a≤ D.0＜a≤1或a≥答案D3.已知平面區(qū)域D由以A（1，3）、B（5，2）、C（3，1）為頂點的三角形內(nèi)部和邊界組成.若在區(qū)域D上有無窮多個點（x，y）可使目標(biāo)函數(shù)z=x+my取得最小值，則m等于 （）A.-2 B.-1 C.1 D.4答案C4.（·山東理，12）設(shè)二元一次不等式組，所表示的平面區(qū)域為M,使函數(shù)y=ax（a＞0,a≠1)的圖象過區(qū)域M的a的取值范圍是 （）A.［1,3］ B.［2,］ C.［2,9］ D.［,9］答案C5.（·武漢模擬）如果實數(shù)x，y滿足,目標(biāo)函數(shù)z=kx+y的最大值為12，最小值為3，那么實數(shù)k的值為 （）A.2 B.-2 C. D答案A6.（·江蘇，10）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知平面區(qū)域A={(x,y)|x+y≤1,且x≥0,y≥0},則平面區(qū)域B={(x+y,x-y)|(x,y)∈A}的面積為 （）A.2 B.1 C. D.答案 B二、填空題7.（·安徽理，15）若A為不等式組表示的平面區(qū)域，則當(dāng)a從-2連續(xù)變化到1時，動直線x+y=a掃過A中的那部分區(qū)域的面積為.答案8.設(shè)集合A={(x,y)|y≥|x-2|,x≥0},B={(x,y)|y≤-x+b},A∩B≠.(1)b的取值范圍是；（2）若(x,y)∈A∩B,且x+2y的最大值為9,則b的值是.答案（1）［2,+∞)（2）三、解答題9.已知實數(shù)x、y滿足，試求z=的最大值和最小值.解由于z==，所以z的幾何意義是點（x,y）與點M（-1，-1）連線的斜率，因此的最值就是點（x，y）與點M（-1，-1）連線的斜率的最值，結(jié)合圖可知：直線MB的斜率最大，直線MC的斜率最小，即zmax=kMB=3，此時x=0，y=2；zmin=kMC=，此時x=1，y=0.10.已知變量x,y滿足的約束條件為.若目標(biāo)函數(shù)z=ax+y(其中a＞0)僅在點（3，0）處取得最大值，求a的取值范圍.解依據(jù)約束條件，畫出可行域.∵直線x+2y-3=0的斜率k1=-,目標(biāo)函數(shù)z=ax+y(a＞0)對應(yīng)直線的斜率k2=-a,若符合題意，則須k1＞k2,即-＞-a,得a＞.11.兩種大小不同的鋼板可按下表截成A,B,C三種規(guī)格成品:規(guī)規(guī)格類型鋼板類型A規(guī)格B規(guī)格C規(guī)格第一種鋼板211第二種鋼板123某建筑工地需A，B，C三種規(guī)格的成品分別為15，18，27塊，問怎樣截這兩種鋼板，可得所需三種規(guī)格成品，且所用鋼板張數(shù)最小.解設(shè)需要第一種鋼板x張，第二種鋼板y張，鋼板總數(shù)為z張，z=x+y約束條件為：作出可行域如圖所示：令z=0，作出基準(zhǔn)直線l:y=-x,平行移動直線l發(fā)現(xiàn)在可行域內(nèi)，經(jīng)過直線x+3y=27和直線2x+y=15的交點A可使z取最小，由于都不是整數(shù)，而最優(yōu)解（x,y）中，x,y必須都是整數(shù)，可行域內(nèi)點A不是最優(yōu)解；通過在可行域內(nèi)畫網(wǎng)格發(fā)現(xiàn)，經(jīng)過可行域內(nèi)的整點且與A點距離最近的直線是x+y=12,經(jīng)過的整點是B(3,9)和C（4，8），它們都是最優(yōu)解.答要截得所需三種規(guī)格的鋼板，且使所截兩種鋼板的張數(shù)最少的方法有兩種：第一種截法是截第一種鋼板3張，第二種鋼板9張；第二種截法是截第一種鋼板4張，第二種鋼板8張；兩種方法都最少要截兩種鋼板共12張.12.在R上可導(dǎo)的函數(shù)f(x)=x3+ax2+2bx+c,當(dāng)x∈(0,1)時取得極大值,當(dāng)x∈(1,2)時取得極小值,求點(a,b)對應(yīng)的區(qū)域的面積以及的取值范圍.解函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)為=x2+ax+2b,當(dāng)x∈(0,1)時,f(x)取得極大值,當(dāng)x∈(1,2)時,f(x)取得極小值,則方程x2+ax+2b=0有兩個根,一個根在區(qū)間(0,1)內(nèi),另一個根在區(qū)間(1,2)內(nèi),由二次函數(shù)=x2+ax+2b的圖象與方程，x2+ax+2b=0根的分布之間的關(guān)系可以得到在aOb平面內(nèi)作出滿足約束條件的點(a,b)對應(yīng)的區(qū)域為△ABD(不包括邊界),如圖陰影部分,其中點A(-3,1),B(-1,0),D(-2,0),△ABD的面積為S△ABD=|BD|×h=(h為點A到a軸的距離).點C(1,2)與點(a,b)連線的斜率為,顯然∈(kCA,kCB),即∈.單元檢測七一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）1.已知集合M={x|x2＜4},N={x|x2-2x-3＜0},則集合M∩N等于 （）A.{x|x＜-2} B.{x|x＞3}C.{x|-1＜x＜2} D.{x|2＜x＜3}答案C2.已知a＞0,b＞0,a,b的等差中項是，且m=a+,n=b+，則m+n的最小值是 （）A.3 B.4 C.5 D.6答案C3.已知x＞，則函數(shù)y=4x+的最小值為 （）A.-3 B.2 C.5 D.7答案D4.若x,y是正數(shù)，則+的最小值是 （）A.3 B. C.4 D.答案C5.在坐標(biāo)平面上有兩個區(qū)域M和N，其中區(qū)域M=區(qū)域N={（x，y）|t≤x≤t+1，0≤t≤1}，區(qū)域M和N公共部分的面積用函數(shù)f(t)表示，則f(t)的表達式為 （）A.-t2+t+ B.-2t2+2tC.1-t2 D.答案A6.（·青島調(diào)研）今有一臺壞天平，兩臂長不等，其余均精確，有人要用它稱物體的重量，他將物體放在左右托盤各稱一次，取兩次稱量結(jié)果分別為a、b.設(shè)物體的真實重量為G，則 （）A. B.≤GC.＞G D.＜G答案C7.設(shè)函數(shù)f(x)=，若f(x0)＞1,則x0的取值范圍是 ()A.(0,2)(3,+∞) B.(3,+∞)C.(0,1)(2,+∞) D.(0,2)答案A8.若不等式組表示的平面區(qū)域是一個三角形，則a的取值范圍是 ()A.a＜5 B.a≥7 C.5≤a＜7 D.a＜5或a≥7答案C9.（·江西理，9）若0＜a1＜a2,0＜b1＜b2,且a1+a2=b1+b2=1,則下列代數(shù)式中值最大的是 （）A.a1b1+a2b2 B.a1a2+b1b2C.a1b2+a2b1D.答案A10.一批救災(zāi)物資隨26輛汽車從某市以vkm/h的速度勻速直達400km外的災(zāi)區(qū)，為了安全起見，兩輛汽車的間距不得小于()2km,則這批物資全部運送到災(zāi)區(qū)最少需 （）A.5h B.10h C.15h D.20h答案B11.函數(shù)f(x)=，則不等式xf(x)-x≤2的解集為 （）A.［-2，2］ B.［-1，2］ C.［1，2］ D.［-2，-1］∪［1，2］答案B12.（·江西文,12）已知函數(shù)f(x)=2x2+(4-m)x+4-m,g(x)=mx，若對于任一實數(shù)x,f(x)與g(x)的值至少有一個為正數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是 ()A.［-4，4］ B.(-4，4) C.(-∞,4) D.(-∞,-4)答案C二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分）13.若方程x2-2ax+4=0在區(qū)間（1，2］上有且僅有一個根，則實數(shù)a的取值范圍是.答案14.（·江西三校聯(lián)考）若不等式x2-2ax+a＞0對x∈R恒成立，則關(guān)于t的不等式a2t+1＜的解集為.答案(-2,2)15.已知，則(x+1)2+(y+1)2的最小值和最大值分別是.答案13,4116.（·中山調(diào)研）對于0≤m≤4的m，不等式x2+mx＞4x+m-3恒成立，則x的取值范圍是.答案x＜-1或x＞3三、解答題（本大題共6小題，共74分）17.（·石家莊模擬）（12分）已知a=(1,x),b=(x2+x,-x),m為常數(shù)且m≤-2,求使不等式a·b+2＞m成立的x的范圍.解∵a=（1，x），b=（x2+x，-x），∴a·b=x2+x-x2=x