高三數(shù)學(xué)步步高（理）第十二編 概率與統(tǒng)計

第十二編概率與統(tǒng)計§12.1隨機事件的概率基礎(chǔ)自測1.下列說法正確的是 （）A.某事件發(fā)生的頻率為P(A)=1.1B.不可能事件的概率為0，必然事件的概率為1C.小概率事件就是不可能發(fā)生的事件，大概率事件就是必然發(fā)生的事件D.某事件發(fā)生的概率是隨著試驗次數(shù)的變化而變化的答案B2.在n次重復(fù)進行的試驗中，事件A發(fā)生的頻率為，當(dāng)n很大時，P(A)與的關(guān)系是 （）A.P(A)≈ B.P(A)＜C.P(A)＞ D.P(A)=答案A3.給出下列三個命題，其中正確命題有 ()①有一大批產(chǎn)品，已知次品率為10%，從中任取100件，必有10件是次品；②做7次拋硬幣的試驗，結(jié)果3次出現(xiàn)正面，因此正面出現(xiàn)的概率是；③隨機事件發(fā)生的頻率就是這個隨機事件發(fā)生的概率.A.0個 B.1個 C.2個 D.3個答案A4.已知某臺紡紗機在1小時內(nèi)發(fā)生0次、1次、2次斷頭的概率分別是0.8，0.12，0.05，則這臺紡紗機在1小時內(nèi)斷頭不超過兩次的概率和斷頭超過兩次的概率分別為，.答案0.970.035.甲、乙兩人下棋，兩人和棋的概率是,乙獲勝的概率是，則乙不輸?shù)母怕适?答案6.拋擲一粒骰子，觀察擲出的點數(shù)，設(shè)事件A為出現(xiàn)奇數(shù)點，事件B為出現(xiàn)2點，已知P（A）=，P（B）=，則出現(xiàn)奇數(shù)點或2點的概率之和為.答案例1盒中僅有4只白球5只黑球，從中任意取出一只球.（1）“取出的球是黃球”是什么事件？它的概率是多少？（2）“取出的球是白球”是什么事件？它的概率是多少？（3）“取出的球是白球或黑球”是什么事件？它的概率是多少？解（1）“取出的球是黃球”在題設(shè)條件下根本不可能發(fā)生，因此它是不可能事件，其概率為0.（2）“取出的球是白球”是隨機事件，它的概率是.（3）“取出的球是白球或黑球”在題設(shè)條件下必然要發(fā)生，因此它是必然事件，它的概率是1.例2某射擊運動員在同一條件下進行練習(xí)，結(jié)果如下表所示：射擊次數(shù)n102050100200500擊中10環(huán)次數(shù)m8194493178453擊中10環(huán)頻率（1）計算表中擊中10環(huán)的各個頻率；（2）這位射擊運動員射擊一次，擊中10環(huán)的概率為多少？解（1）擊中10環(huán)的頻率依次為0.8，0.95，0.88，0.93，0.89，0.906.（2）這位射擊運動員射擊一次，擊中10環(huán)的概率約是0.9.例3（12分）國家射擊隊的某隊員射擊一次，命中7～10環(huán)的概率如下表所示：命中環(huán)數(shù)10環(huán)9環(huán)8環(huán)7環(huán)概率0.320.280.180.12求該射擊隊員射擊一次（1）射中9環(huán)或10環(huán)的概率；（2）至少命中8環(huán)的概率；（3）命中不足8環(huán)的概率.解記事件“射擊一次，命中k環(huán)”為Ak（k∈N，k≤10），則事件Ak彼此互斥. 2分（1）記“射擊一次，射中9環(huán)或10環(huán)”為事件A，那么當(dāng)A9，A10之一發(fā)生時，事件A發(fā)生，由互斥事件的加法公式得P（A）=P（A9）+P（A10）=0.32+0.28=0.60. 5分（2）設(shè)“射擊一次，至少命中8環(huán)”的事件為B，那么當(dāng)A8，A9，A10之一發(fā)生時，事件B發(fā)生.由互斥事件概率的加法公式得P（B）=P（A8）+P（A9）+P（A10）=0.18+0.28+0.32=0.78. 9分（3）由于事件“射擊一次，命中不足8環(huán)”是事件B：“射擊一次，至少命中8環(huán)”的對立事件：即表示事件“射擊一次，命中不足8環(huán)”，根據(jù)對立事件的概率公式得P（）=1-P（B）=1-0.78=0.22. 12分1.在12件瓷器中，有10件一級品，2件二級品，從中任取3件.（1）“3件都是二級品”是什么事件？（2）“3件都是一級品”是什么事件？（3）“至少有一件是一級品”是什么事件？解（1）因為12件瓷器中，只有2件二級品，取出3件都是二級品是不可能發(fā)生的，故是不可能事件.（2）“3件都是一級品”在題設(shè)條件下是可能發(fā)生也可能不發(fā)生的，故是隨機事件.（3）“至少有一件是一級品”是必然事件，因為12件瓷器中只有2件二級品，取三件必有一級品.2.某企業(yè)生產(chǎn)的乒乓球被08年北京奧委會指定為乒乓球比賽專用球.日前有關(guān)部門對某批產(chǎn)品進行了抽樣檢測，檢查結(jié)果如下表所示：抽取球數(shù)n5010020050010002000優(yōu)等品數(shù)m45921944709541902優(yōu)等品頻率（1）計算表中乒乓球優(yōu)等品的頻率；（2）從這批乒乓球產(chǎn)品中任取一個，質(zhì)量檢查為優(yōu)等品的概率是多少？（結(jié)果保留到小數(shù)點后三位）解（1）依據(jù)公式p=，可以計算出表中乒乓球優(yōu)等品的頻率依次是0.900，0.920，0.970，0.940，0.954，0.951.（2）由（1）知，抽取的球數(shù)n不同，計算得到的頻率值雖然不同，但隨著抽取球數(shù)的增多，卻都在常數(shù)0.950的附近擺動，所以抽取一個乒乓球檢測時，質(zhì)量檢查為優(yōu)等品的概率為0.950.3.玻璃球盒中裝有各色球12只，其中5紅、4黑、2白、1綠，從中取1球.求：（1）紅或黑的概率；（2）紅或黑或白的概率.解方法一記事件A1：從12只球中任取1球得紅球；A2：從12只球中任取1球得黑球；A3：從12只球中任取1球得白球；A4：從12只球中任取1球得綠球，則P（A1）=，P（A2）=，P（A3）=，P（A4）=.根據(jù)題意，A1、A2、A3、A4彼此互斥，由互斥事件概率加法公式得（1）取出紅球或黑球的概率為P（A1+A2）=P（A1）+P（A2）=+=.（2）取出紅或黑或白球的概率為P（A1+A2+A3）=P（A1）+P（A2）+P（A3）=++=.方法二（1）取出紅球或黑球的對立事件為取出白球或綠球，即A1+A2的對立事件為A3+A4，∴取出紅球或黑球的概率為P（A1+A2）=1-P（A3+A4）=1-P（A3）-P（A4）=1--==.（2）A1+A2+A3的對立事件為A4.P（A1+A2+A3）=1-P（A4）=1-=.一、選擇題1.已知某廠的產(chǎn)品合格率為90%，抽出10件產(chǎn)品檢查，則下列說法正確的是 （）A.合格產(chǎn)品少于9件 B.合格產(chǎn)品多于9件C.合格產(chǎn)品正好是9件 D.合格產(chǎn)品可能是9件答案D2.某入伍新兵的打靶練習(xí)中，連續(xù)射擊2次，則事件“至少有1次中靶”的互斥事件是 （）A.至多有1次中靶 B.2次都中靶C.2次都不中靶 D.只有1次中靶答案C3.甲:A1、A2是互斥事件；乙：A1、A2是對立事件，那么 （）.A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件，也不是乙的必要條件答案B4.將一顆質(zhì)地均勻的骰子（它是一種各面上分別標(biāo)有點數(shù)1，2，3，4，5，6的正方體玩具）先后拋擲3次，至少出現(xiàn)一次6點向上的概率是 （）A. B. C. D.答案D5.一個口袋內(nèi)裝有一些大小和形狀都相同的白球、黑球和紅球，從中摸出一個球，摸出紅球的概率是0.3，摸出白球的概率是0.5，則摸出黑球的概率是 （）

A.0.8 B.0.2 C.0.5 D.0.3答案B6.在第3、6、16路公共汽車的一個?？空荆俣ㄟ@個車站只能?？恳惠v公共汽車），有一位乘客需在5分鐘之內(nèi)乘上公共汽車趕到廠里，他可乘3路或6路公共汽車到廠里，已知3路車、6路車在5分鐘之內(nèi)到此車站的概率分別為0.20和0.60，則該乘客在5分鐘內(nèi)能乘上所需要的車的概率為 （）A.0.20 B.0.60 C.0.80 D.0.12答案C二、填空題7.中國乒乓球隊甲、乙兩名隊員參加奧運會乒乓球女子單打比賽，甲奪得冠軍的概率為，乙奪得冠軍的概率為，那么中國隊奪得女子乒乓球單打冠軍的概率為.答案8.甲、乙兩人下棋，甲獲勝的概率是40%，甲不輸?shù)母怕适?0%，則甲、乙二人下成和棋的概率為.答案50%三、解答題9.某射手在一次射擊訓(xùn)練中，射中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)、7環(huán)的概率分別為0.21、0.23、0.25、0.28，計算這個射手在一次射擊中：（1）射中10環(huán)或9環(huán)的概率；（2）不夠7環(huán)的概率.解（1）設(shè)“射中10環(huán)”為事件A，“射中9環(huán)”為事件B，由于A，B互斥，則P（A+B）=P（A）+P（B）=0.21+0.23=0.44.（2）設(shè)“少于7環(huán)”為事件C，則P（C）=1-P（）=1-（0.21+0.23+0.25+0.28）=0.03.10.某醫(yī)院一天派出醫(yī)生下鄉(xiāng)醫(yī)療，派出醫(yī)生人數(shù)及其概率如下：醫(yī)生人數(shù)012345人及以上概率0.10.160.30.20.20.04求：（1）派出醫(yī)生至多2人的概率；（2）派出醫(yī)生至少2人的概率.解記事件A：“不派出醫(yī)生”，事件B：“派出1名醫(yī)生”，事件C：“派出2名醫(yī)生”，事件D：“派出3名醫(yī)生”，事件E：“派出4名醫(yī)生”，事件F：“派出不少于5名醫(yī)生”.∵事件A，B，C，D，E，F(xiàn)彼此互斥，且P（A）=0.1，P（B）=0.16，P（C）=0.3，P（D）=0.2，P（E）=0.2，P（F）=0.04.（1）“派出醫(yī)生至多2人”的概率為P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C）=0.1+0.16+0.3=0.56.（2）“派出醫(yī)生至少2人”的概率為P（C+D+E+F）=P（C）+P（D）+P（E）+P（F）=0.3+0.2+0.2+0.04=0.74.或1-P（A+B）=1-0.1-0.16=0.74.11.拋擲一個均勻的正方體玩具（各面分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、5、6），事件A表示“朝上一面的數(shù)是奇數(shù)”，事件B表示“朝上一面的數(shù)不超過3”，求P（A+B解方法一因為A+B的意義是事件A發(fā)生或事件B發(fā)生，所以一次試驗中只要出現(xiàn)1、2、3、5四個可能結(jié)果之一時，A+B就發(fā)生，而一次試驗的所有可能結(jié)果為6個，所以P（A+B）==.方法二記事件C為“朝上一面的數(shù)為2”，則A+B=A+C，且A與C互斥.又因為P（C）=，P（A）=，所以P（A+B）=P（A+C）=P（A）+P（C）=+=.方法三記事件D為“朝上一面的數(shù)為4或6”，則事件D發(fā)生時，事件A和事件B都不發(fā)生，即事件A+B不發(fā)生.又事件A+B發(fā)生即事件A發(fā)生或事件B發(fā)生時，事件D不發(fā)生，所以事件A+B與事件D為對立事件.因為P（D）==，所以P（A+B）=1-P（D）=1-=.12.袋中有12個小球，分別為紅球、黑球、黃球、綠球，從中任取一球，得到紅球的概率為，得到黑球或黃球的概率是，得到黃球或綠球的概率是，試求得到黑球、黃球、綠球的概率各是多少？解分別記得到紅球、黑球、黃球、綠球為事件A、B、C、D.由于A、B、C、D為互斥事件，根據(jù)已知得到解得.∴得到黑球、黃球、綠球的概率各是，，.§12.2古典概型基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)自測1.從甲、乙、丙三人中任選兩名代表，甲被選中的概率為 （）A. B. C. D.1答案C2.擲一枚骰子，觀察擲出的點數(shù)，則擲出奇數(shù)點的概率為 （）A. B. C. D.答案C3.袋中有2個白球，2個黑球，從中任意摸出2個，則至少摸出1個黑球的概率是 （）A. B. C. D.答案B4.一袋中裝有大小相同，編號為1，2，3，4，5，6，7，8的八個球，從中有放回地每次取一個球，共取2次，則取得兩個球的編號之和不小于15的概率為 ()A. B. C. D.答案D5.擲一枚均勻的硬幣兩次，事件M：“一次正面朝上，一次反面朝上”；事件N：“至少一次正面朝上”.則下列結(jié)果正確的是 （）A.P(M)=,P(N)= B.P(M)=,P(N)=C.P(M)=,P(N)= D.P(M)=,P(N)=答案D例1有兩顆正四面體的玩具，其四個面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，下面做投擲這兩顆正四面體玩具的試驗：用（x，y）表示結(jié)果，其中x表示第1顆正四面體玩具出現(xiàn)的點數(shù)，y表示第2顆正四面體玩具出現(xiàn)的點數(shù).試寫出：（1）試驗的基本事件；（2）事件“出現(xiàn)點數(shù)之和大于3”；（3）事件“出現(xiàn)點數(shù)相等”.解（1）這個試驗的基本事件為：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）.（2）事件“出現(xiàn)點數(shù)之和大于3”包含以下13個基本事件：（1，3），（1，4），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）.（3）事件“出現(xiàn)點數(shù)相等”包含以下4個基本事件：（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）.例2甲、乙兩人參加法律知識競答，共有10道不同的題目，其中選擇題6道，判斷題4道，甲、乙兩人依次各抽一題.（1）甲抽到選擇題、乙抽到判斷題的概率是多少？（2）甲、乙兩人中至少有一人抽到選擇題的概率是多少？解甲、乙兩人從10道題中不放回地各抽一道題，先抽的有10種抽法，后抽的有9種抽法，故所有可能的抽法是10×9=90種，即基本事件總數(shù)是90.（1）記“甲抽到選擇題，乙抽到判斷題”為事件A，下面求事件A包含的基本事件數(shù)：甲抽選擇題有6種抽法，乙抽判斷題有4種抽法，所以事件A的基本事件數(shù)為6×4=24.∴P（A）===.（2）先考慮問題的對立面：“甲、乙兩人中至少有一人抽到選擇題”的對立事件是“甲、乙兩人都未抽到選擇題”，即都抽到判斷題.記“甲、乙兩人都抽到判斷題”為事件B，“至少一人抽到選擇題”為事件C，則B含基本事件數(shù)為4×3=12.∴由古典概型概率公式，得P（B）==,由對立事件的性質(zhì)可得P（C）=1-P（B）=1-=.例3（12分）同時拋擲兩枚骰子.（1）求“點數(shù)之和為6”的概率；（2）求“至少有一個5點或6點”的概率.解同時拋擲兩枚骰子，可能的結(jié)果如下表：共有36個不同的結(jié)果. 6分（1）點數(shù)之和為6的共有5個結(jié)果，所以點數(shù)之和為6的概率p=. 9分（2）方法一從表中可以得其中至少有一個5點或6點的結(jié)果有20個，所以至少有一個5點或6點的概率p==. 12分方法二至少有一個5點或6點的對立事件是既沒有5點又沒有6點，如上表既沒有5點又沒有6點的結(jié)果共有16個，則既沒有5點又沒有6點的概率p==，所以至少有一個5點或6點的概率為1-=. 12分1.某口袋內(nèi)裝有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，從中一次摸出2只球.（1）共有多少個基本事件？（2）摸出的2只球都是白球的概率是多少？解（1）分別記白球為1，2，3號，黑球為4，5號，從中摸出2只球，有如下基本事件（摸到1，2號球用（1，2）表示）：(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5)，(3,4),(3,5),(4,5).因此，共有10個基本事件.（2）如下圖所示，上述10個基本事件的可能性相同，且只有3個基本事件是摸到2只白球（記為事件A），即（1，2），（1，3），（2，3），故P（A）=.故共有10個基本事件，摸出2只球都是白球的概率為.2.（·山東文，18）現(xiàn)有8名奧運會志愿者，其中志愿者A1、A2、A3通曉日語，B1、B2、B3通曉俄語，C1、C2通曉韓語，從中選出通曉日語、俄語和韓語的志愿者各1名，組成一個小組.（1）求A1被選中的概率；（2）求B1和C1不全被選中的概率.解（1）從8人中選出日語、俄語和韓語志愿者各1名，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件空間={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A1,B3,C1),(A1,B3,C2),(A2,B1,C1),(A2,B1,C2),(A2,B2,C1),(A2,B2,C2),(A2,B3,C1),(A2,B3,C2),(A3,B1,C1),(A3,B1,C2),(A3,B2,C1),(A3,B2,C2),(A3,B3,C1),(A3,B3,C2)}由18個基本事件組成.由于每一個基本事件被抽取的機會均等，因此這些基本事件的發(fā)生是等可能的.用M表示“A1恰被選中”這一事件，則M={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A1,B3,C1),(A1,B3,C2)}事件M由6個基本事件組成，因而P（M）==.（2）用N表示“B1、C1不全被選中”這一事件，則其對立事件表示“B1、C1全被選中”這一事件，由于={（A1,B1,C1）,(A2,B1,C1),(A3,B1,C1)}，事件有3個基本事件組成，所以P（）==，由對立事件的概率公式得P（N）=1-P（）=1-=.3.袋中有6個球，其中4個白球，2個紅球，從袋中任意取出兩球，求下列事件的概率:（1）A:取出的兩球都是白球；（2）B：取出的兩球1個是白球，另1個是紅球.解設(shè)4個白球的編號為1，2，3，4，2個紅球的編號為5，6.從袋中的6個小球中任取兩個的方法為（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）共15個.（1）從袋中的6個球中任取兩個，所取的兩球全是白球的總數(shù)，即是從4個白球中任取兩個的方法總數(shù)，共有6個，即為（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）.∴取出的兩個球全是白球的概率為P（A）==.（2）從袋中的6個球中任取兩個，其中1個為紅球，而另1個為白球，其取法包括（1，5），（1，6），（2，5），（2，6），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6）共8個.∴取出的兩個球1個是白球，另1個是紅球的概率P（B）=.一、選擇題1.盒中有1個黑球和9個白球，它們除顏色不同外，其他方面沒有什么差別.現(xiàn)由10人依次摸出1個球.設(shè)第1個人摸出的1個球是黑球的概率為P1，第10個人摸出黑球的概率是P10，則 （）A.P10=P1 B.P10=P1C.P10=0 D.P10=P1答案D2.采用簡單隨機抽樣從含有n個個體的總體中抽取一個容量為3的樣本，若個體a前2次未被抽到，第3次被抽到的概率等于個體a未被抽到的概率的倍，則個體a被抽到的概率為 （）A. B. C. D.答案A3.有一個奇數(shù)列1，3，5，7，9，…，現(xiàn)在進行如下分組，第一組有1個數(shù)為1，第二組有2個數(shù)為3、5，第三組有3個數(shù)為7、9、11，…，依此類推，則從第十組中隨機抽取一個數(shù)恰為3的倍數(shù)的概率為（）A. B. C. D.答案B4.從數(shù)字1，2，3中任取兩個不同數(shù)字組成兩位數(shù)，該數(shù)大于23的概率為 （）A. B. C. D.答案A5.設(shè)集合A={1，2}，B={1，2，3}，分別從集合A和B中隨機取一個數(shù)a和b，確定平面上的一個點P（a，b），記“點P（a,b）落在直線x+y=n上”為事件Cn（2≤n≤5，n∈N），若事件Cn的概率最大，則n的所有可能值為 （）A.3 B.4 C.2和5 D.3和4答案D6.（·溫州模擬）若以連續(xù)擲兩次骰子分別得到的點數(shù)m、n作為點P的橫、縱坐標(biāo)，則點P在直線x+y=5下方的概率是 （）A. B. C. D.答案C二、填空題7.（·江蘇，2）一個骰子連續(xù)投2次，點數(shù)和為4的概率為.答案8.（·上海文，8）在平面直角坐標(biāo)系中，從五個點：A（0，0）、B（2，0）、C（1，1）、D（0，2）、E（2，2）中任取三個，這三點能構(gòu)成三角形的概率是（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）.答案三、解答題9.5張獎券中有2張是中獎的，首先由甲然后由乙各抽一張，求：（1）甲中獎的概率P（A）；（2）甲、乙都中獎的概率；（3）只有乙中獎的概率；（4）乙中獎的概率.解（1）甲有5種抽法，即基本事件總數(shù)為5.中獎的抽法只有2種，即事件“甲中獎”包含的基本事件數(shù)為2，故甲中獎的概率為P1=.（2）甲、乙各抽一張的事件中，甲有五種抽法，則乙有4種抽法，故所有可能的抽法共5×4=20種，甲、乙都中獎的事件中包含的基本事件只有2種，故P2==.（3）由（2）知，甲、乙各抽一張獎券，共有20種抽法，只有乙中獎的事件包含“甲未中”和“乙中”兩種情況，故共有3×2=6種基本事件，∴P3==.（4）由（1）可知，總的基本事件數(shù)為5，中獎的基本事件數(shù)為2，故P4=.10.箱中有a個正品，b個次品，從箱中隨機連續(xù)抽取3次，在以下兩種抽樣方式下：（1）每次抽樣后不放回；（2）每次抽樣后放回.求取出的3個全是正品的概率.解（1）若不放回抽樣3次看作有順序，則從a+b個產(chǎn)品中不放回抽樣3次共有A種方法，從a個正品中不放回抽樣3次共有A種方法，可以抽出3個正品的概率p=.若不放回抽樣3次看作無順序，則從a+b個產(chǎn)品中不放回抽樣3次共有C種方法，從a個正品中不放回抽樣3次共有C種方法，可以取出3個正品的概率p=.兩種方法結(jié)果一致.（2）從a+b個產(chǎn)品中有放回的抽取3次，每次都有a+b種方法，所以共有(a+b)3種不同的方法，而3個全是正品的抽法共有a3種，所以3個全是正品的概率p=.11.袋中裝有黑球和白球共7個，從中任取兩個球都是白球的概率為.現(xiàn)有甲、乙兩人從袋中輪流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到兩人中有1人取到白球時即終止.每個球在每一次被取出的機會是等可能的.（1）求袋中原有白球的個數(shù)；（2）求取球2次終止的概率；（3）求甲取到白球的概率.解（1）設(shè)袋中有n個白球，從袋中任取2個球是白球的結(jié)果數(shù)是.從袋中任取2個球的所有可能的結(jié)果數(shù)為=21.由題意知==，∴n（n-1）=6，解得n=3(舍去n=-2).故袋中原有3個白球.（2）記“取球2次終止”為事件A，則P（A）==.（3）記“甲取到白球”的事件為B，“第i次取到白球”為Ai，i=1，2，3，4，5，因為甲先取，所以甲只有可能在第1次，第3次和第5次取球.所以P（B）=P（A1+A3+A5）.因此A1，A3，A5兩兩互斥，∴P（B）=P（A1）+P（A3）+P（A5）=++=++=.12.（·海南、寧夏文，19）為了了解《中華人民共和國道路交通安全法》在學(xué)生中的普及情況,調(diào)查部門對某校6名學(xué)生進行問卷調(diào)查,6人得分情況如下:5,6,7,8,9,10.把這6名學(xué)生的得分看成一個總體.(1)求該總體的平均數(shù);(2)用簡單隨機抽樣方法從這6名學(xué)生中抽取2名,他們的得分組成一個樣本.求該樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)之差的絕對值不超過0.5的概率.解(1)總體平均數(shù)為(5+6+7+8+9+10)=7.5.(2)設(shè)A表示事件“樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)之差的絕對值不超過0.5”.從總體中抽取2個個體全部可能的基本結(jié)果有：（5，6），（5，7），（5，8），（5，9），（5，10），（6，7），（6，8），（6，9），（6，10），（7，8），（7，9），（7，10），（8，9），（8，10），（9，10），共15個基本結(jié)果.事件A包括的基本結(jié)果有：（5，9），（5，10），（6，8），（6，9），（6，10），（7，8），（7，9），共有7個基本結(jié)果.所以所求的概率為P（A）=.§12.3幾何概型基礎(chǔ)自測1.質(zhì)點在數(shù)軸上的區(qū)間［0，2］上運動，假定質(zhì)點出現(xiàn)在該區(qū)間各點處的概率相等，那么質(zhì)點落在區(qū)間［0，1］上的概率為 （）A. B. C. D.以上都不對答案C2.某人向圓內(nèi)投鏢，如果他每次都投入圓內(nèi)，那么他投中正方形區(qū)域的概率為 （）A. B. C. D.答案A3.某路公共汽車每5分鐘發(fā)車一次，某乘客到乘車點的時刻是隨機的，則他候車時間不超過3分鐘的概率是()A. B. C. D.答案A4.設(shè)D是半徑為R的圓周上的一定點，在圓周上隨機取一點C，連接CD得一弦，若A表示“所得弦的長大于圓內(nèi)接等邊三角形的邊長”，則P（A）=.答案5.如圖所示，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，射線OT落在30°角的終邊上，任作一條射線OA，則射線OA落在∠yOT內(nèi)的概率為.答案例1有一段長為10米的木棍，現(xiàn)要截成兩段，每段不小于3米的概率有多大？解記“剪得兩段都不小于3米”為事件A，從木棍的兩端各度量出3米，這樣中間就有10-3-3=4（米）.在中間的4米長的木棍處剪都能滿足條件，所以P（A）===0.4.例2街道旁邊有一游戲：在鋪滿邊長為9cm的正方形塑料板的寬廣地面上，擲一枚半徑為1cm的小圓板，規(guī)則如下：每擲一次交5角錢，若小圓板壓在正方形的邊，可重擲一次；若擲在正方形內(nèi)，須再交5角錢可玩一次；若擲在或壓在塑料板的頂點上，可獲1元錢.試問：（1）小圓板壓在塑料板的邊上的概率是多少？（2）小圓板壓在塑料板頂點上的概率是多少？解（1）考慮圓心位置在中心相同且邊長分別為7cm和9cm的正方形圍成的區(qū)域內(nèi)，所以概率為=.（2）考慮小圓板的圓心在以塑料板頂點為圓心的圓內(nèi)，因正方形有四個頂點，所以概率為.例3（12分）在1升高產(chǎn)小麥種子中混入一粒帶麥銹病的種子，從中隨機取出10毫升，含有麥銹病種子的概率是多少？從中隨機取出30毫升，含有麥銹病種子的概率是多少？解1升=1000毫升， 2分記事件A：“取出10毫升種子含有這粒帶麥銹病的種子”. 4分則P（A）==0.01，即取出10毫升種子含有這粒帶麥銹病的種子的概率為0.01. 7分記事件B：“取30毫升種子含有帶麥銹病的種子”. 9分則P（B）==0.03，即取30毫升種子含有帶麥銹病的種子的概率為0.03. 12分例4在Rt△ABC中，∠A=30°，過直角頂點C作射線CM交線段AB于M，求使|AM|＞|AC|的概率.解設(shè)事件D“作射線CM，使|AM|＞|AC|”.在AB上取點C′使|AC′|=|AC|，因為△ACC′是等腰三角形，所以∠ACC′==75°,=90-75=15，=90，所以，P（D）==.例5甲、乙兩人約定在6時到7時之間在某處會面，并約定先到者應(yīng)等候另一人一刻鐘，過時即可離去.求兩人能會面的概率.解以x軸和y軸分別表示甲、乙兩人到達約定地點的時間，則兩人能夠會面的充要條件是|x-y|≤15.在如圖所示平面直角坐標(biāo)系下，（x,y）的所有可能結(jié)果是邊長為60的正方形區(qū)域，而事件A“兩人能夠會面”的可能結(jié)果由圖中的陰影部分表示.由幾何概型的概率公式得：P（A）====.所以，兩人能會面的概率是.1.如圖所示，A、B兩盞路燈之間長度是30米，由于光線較暗，想在其間再隨意安裝兩盞路燈C、D，問A與C，B與D之間的距離都不小于10米的概率是多少？解記E：“A與C，B與D之間的距離都不小于10米”，把AB三等分，由于中間長度為30×=10（米），∴P（E）==.2.（·江蘇，6）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)D是橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的絕對值均不大于2的點構(gòu)成的區(qū)域，E是到原點的距離不大于1的點構(gòu)成的區(qū)域，向D中隨機投一點，則落入E中的概率為.答案3.如圖所示，有一杯2升的水，其中含有1個細菌，用一個小杯從這杯水中取出0.1升水，求小杯水中含有這個細菌的概率.解記“小杯水中含有這個細菌”為事件A，則事件A的概率只與取出的水的體積有關(guān)，符合幾何概型的條件.∵=0.1升，=2升，∴由幾何概型求概率的公式，得P（A）====0.05.4.在圓心角為90°的扇形AOB中，以圓心O為起點作射線OC，求使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率.解如圖所示，把圓弧三等分，則∠AOF=∠BOE=30°，記A為“在扇形AOB內(nèi)作一射線OC，使∠AOC和∠BOC都不小于30°”，要使∠AOC和∠BOC都不小于30°，則OC就落在∠EOF內(nèi)，∴P（A）==.5.將長為l的棒隨機折成3段，求3段構(gòu)成三角形的概率.解設(shè)A=“3段構(gòu)成三角形”，x,y分別表示其中兩段的長度，則第3段的長度為l-x-y.則試驗的全部結(jié)果可構(gòu)成集合={（x，y）|0＜x＜l,0＜y＜l,0＜x+y＜l},要使3段構(gòu)成三角形，當(dāng)且僅當(dāng)任意兩段之和大于第3段，即x+y>l-x-yx+y＞,x+l-x-y＞yy＜,y+l-x-y＞xx＜.故所求結(jié)果構(gòu)成集合A=.由圖可知，所求概率為P（A）===.一、選擇題1.在區(qū)間（15，25］內(nèi)的所有實數(shù)中隨機取一個實數(shù)a,則這個實數(shù)滿足17＜a＜20的概率是（）A. B. C. D.答案C2.在長為10厘米的線段AB上任取一點G，用AG為半徑作圓，則圓的面積介于36平方厘米到64平方厘米的概率是 ()A. B. C. D.答案D3.當(dāng)你到一個紅綠燈路口時，紅燈的時間為30秒，黃燈的時間為5秒，綠燈的時間為45秒，那么你看到黃燈的概率是 ()A. B. C. D.答案C4.如圖為一半徑為2的扇形（其中扇形中心角為90°），在其內(nèi)部隨機地撒一粒黃豆，則它落在陰影部分的概率為 ()A. B. C. D.1-答案D5.在面積為S的△ABC的邊AB上任取一點P，則△PBC的面積大于的概率是 ()A. B. C. D.答案C6.已知正方體ABCD—A1B1C1D1內(nèi)有一個內(nèi)切球O,則在正方體ABCD—A1B1C1D1內(nèi)任取點M，點M在球O內(nèi)的概率是 ()A. B. C. D.答案C二、填空題7.已知下圖所示的矩形，其長為12，寬為5.在矩形內(nèi)隨機地撒1000顆黃豆，數(shù)得落在陰影部分的黃豆數(shù)為550顆，則可以估計出陰影部分的面積約為.答案338.在區(qū)間（0，1）中隨機地取兩個數(shù)，則事件“兩數(shù)之和小于”的概率為.答案三、解答題9.射箭比賽的箭靶涂有5個彩色的分環(huán)，從外向內(nèi)白色、黑色、藍色、紅色，靶心為金色，金色靶心叫“黃心”，奧運會的比賽靶面直徑是122cm，靶心直徑12.2cm,運動員在70米外射箭，假設(shè)都能中靶，且射中靶面內(nèi)任一點是等可能的，求射中“黃心”的概率.解記“射中黃心”為事件A，由于中靶點隨機的落在面積為×1222cm2的大圓內(nèi)，而當(dāng)中靶點在面積為×12.22cm2的黃心時，事件A發(fā)生，于是事件A發(fā)生的概率P（A）==0.01,所以射中“黃心”的概率為0.01.10.假設(shè)你家訂了一份報紙，送報人可能在早上6∶30至7∶30之間把報紙送到你家，你父親離開家去工作的時間在早上7∶00至8∶00之間，問你父親在離開家前能得到報紙（稱為事件A）的概率是多少？解設(shè)事件A“父親離開家前能得到報紙”.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，以x和y分別表示報紙送到和父親離開家的時間，則父親能得到報紙的充要條件是x≤y,而（x,y)的所有可能結(jié)果是邊長為1的正方形，而能得到報紙的所有可能結(jié)果由圖中陰影部分表示，這是一個幾何概型問題，=12-××=，=1，所以P（A）==.11.已知等腰Rt△ABC中，∠C=90°.（1）在線段BC上任取一點M，求使∠CAM＜30°的概率；（2）在∠CAB內(nèi)任作射線AM，求使∠CAM＜30°的概率.解（1）設(shè)CM=x，則0＜x＜a.（不妨設(shè)BC=a）.若∠CAM＜30°，則0＜x＜a，故∠CAM＜30°的概率為P（A）==.（2）設(shè)∠CAM=，則0°＜＜45°.若∠CAM＜30°，則0°＜＜30°，故∠CAM＜30°的概率為P（B）==.12.設(shè)關(guān)于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0.（1）若a是從0，1，2，3四個數(shù)中任取的一個數(shù)，b是從0，1，2三個數(shù)中任取的一個數(shù)，求上述方程有實根的概率.（2）若a是從區(qū)間［0，3］任取的一個數(shù)，b是從區(qū)間［0，2］任取的一個數(shù)，求上述方程有實根的概率.解設(shè)事件A為“方程x2+2ax+b2=0有實根”.當(dāng)a≥0,b≥0時，方程x2+2ax+b2=0有實根的充要條件為a≥b.（1）基本事件共有12個：（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）.其中第一個數(shù)表示a的取值，第二個數(shù)表示b的取值.事件A中包含9個基本事件，事件A發(fā)生的概率為P（A）==.（2）試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2}.構(gòu)成事件A的區(qū)域為{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2,a≥b}.所以所求的概率為P(A)==.§12.4離散型隨機變量及其分布列基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)自測1.袋中有大小相同的5只鋼球，分別標(biāo)有1，2，3，4，5五個號碼，任意抽取2個球，設(shè)2個球號碼之和為X，則X的所有可能取值個數(shù)為 （）A.25 B.10 C.7 D.6答案C2.下列表中能成為隨機變量X的分布列的是 （）A.X-101P0.30.40.4B.X123P0.40.7-0.1C.X-101P0.30.40.3D.X123P0.30.40.4答案C3.已知隨機變量X的分布列為P（X=i）=（i=1，2，3），則P（X=2）等于 （）A. B. C. D.答案C4.一批產(chǎn)品共50件，其中5件次品，45件合格品，從這批產(chǎn)品中任意抽兩件，其中出現(xiàn)次品的概率是.答案X01P9c2-3-8c5.若X的分布列為則常數(shù)c=.答案例1一袋中裝有編號為1，2，3，4，5，6的6個大小相同的球，現(xiàn)從中隨機取出3個球，以X表示取出的最大號碼.（1）求X的分布列；（2）求X＞4的概率.解（1）X的可能取值為3，4，5，6，從而有：P（X=3）==，P（X=4）==，P（X=5）==，P（X=6）==.故X的分布列為X3456P（2）P（X＞4）=P（X=5）+P（X=6）==.例2（12分）某校高三年級某班的數(shù)學(xué)課外活動小組中有6名男生，4名女生，從中選出4人參加數(shù)學(xué)競賽考試，用X表示其中的男生人數(shù)，求X的分布列.解依題意隨機變量X服從超幾何分布，所以P（X=k）=（k=0，1，2，3，4）. 4分∴P（X=0）==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==,P(X=4)==, ∴X的分布列為X01234P12分例3設(shè)離散型隨機變量X的分布列為X01234P0.20.10.10.3m求：（1）2X+1的分布列；（2）|X-1|的分布列.解由分布列的性質(zhì)知：0.2+0.1+0.1+0.3+m=1，∴m=0.3.首先列表為：X012342X+113579|X-1|10123從而由上表得兩個分布列為：（1）2X+1的分布列：2X+113579P0.20.10.10.30.3（2）|X-1|的分布列：|X-1|0123P0.10.30.30.31.袋中有3個白球，3個紅球和5個黑球.從中抽取3個球，若取得1個白球得1分，取得1個紅球扣1分，取得1個黑球得0分.求所得分?jǐn)?shù)的分布列.解得分的取值為-3，-2，-1，0，1，2，3.=-3時表示取得3個球均為紅球，∴P（=-3）==；=-2時表示取得2個紅球和1個黑球，∴P（=-2）==；=-1時表示取得2個紅球和1個白球，或1個紅球和2個黑球，∴P（=-1）=；=0時表示取得3個黑球或1紅、1黑、1白，∴P（=0）=；=1時表示取得1個白球和2個黑球或2個白球和1個紅球，∴P（=1）=；=2時表示取得2個白球和1個黑球，∴P（=2）=；=3時表示取得3個白球，∴P（=3）=；∴所求分布列為：-3-2-10123P2.袋中有4個紅球，3個黑球，從袋中隨機地抽取4個球，設(shè)取到一個紅球得2分，取到一個黑球得1分.（1）求得分X的分布列；（2）求得分大于6的概率.解得分X的所有可能值為：5，6，7，8.（1）P（X=5）=,P（X=6）=,P（X=7）=,P（X=8）=.∴X的分布列為X5678P（2）得分大于6的概率為：P（X=7）+P（X=8）=+=.3.已知隨機變量的分布列為-2-10123P分別求出隨機變量1=，2=的分布列.解由于1=對于不同的有不同的取值y=x，即y1=x1=-1，y2=x2=-，y3=x3=0，y4=x4=，y5=x5=1，y6=x6=.所以1的分布列為：-1-01P=對于的不同取值-2，2及-1，1，分別取相同的值4與1，即取4這個值的概率應(yīng)是取-2與2值的概率與合并的結(jié)果，取1這個值的概率為取-1與1的概率與合并的結(jié)果，故的分布列為：0149P一、填空題1.袋中有大小相同的紅球6個、白球5個，從袋中每次任意取出1個球，直到取出的球是白球時為止，所需要的取球次數(shù)為隨機變量X，則X的可能值為 （）A.1，2，…，6 B.1，2，…，7 C.1，2，…，11 D.1，2，3，…答案B2.已知某離散型隨機變量X的分布列如下：X123…nPk3k5k…(2n-1)k則常數(shù)k的值為 （）A. B. C. D.答案A3.設(shè)X是一個離散型隨機變量，其分布列為 X-101P1-2qq2則q的值為 （）A.1 B.1± C.1+ D.1-答案D4.在15個村莊中有7個村莊交通不方便，現(xiàn)從中任意選10個村莊，用X表示這10個村莊中交通不方便的村莊數(shù)，下列概率中等于的是 （）A.P(X=2) B.P（X≤2） C.P（X=4） D.P（X≤4）答案C5.一只袋內(nèi)裝有m個白球，n-m個黑球，連續(xù)不放回地從袋中取球，直到取出黑球為止，設(shè)此時取出了X個白球，下列概率等于的是 （）A.P(X=3) B.P（X≥2） C.P（X≤3） D.P（X=2）答案D6.如果～B，則使P（=k）取最大值的k值為 （）A.3 B.4 C.5 D.3或4答案D二、填空題7.若某一射手射擊所得環(huán)數(shù)X的分布列如下：X45678910P0.020.040.060.090.280.290.22則此射手“射擊一次命中環(huán)數(shù)X≥7”的概率是.答案0.888.設(shè)隨機變量X的分布列為：X123…nPk2k4k…2n-1·k則k=.答案三、解答題9.設(shè)離散型隨機變量的分布列P（=）=ak，k=1，2，3，4，5.（1）求常數(shù)a的值；（2）求P（≥）；（3）求P（＜＜）.解（1）由離散型隨機變量的性質(zhì)，得a·1+a·2+a·3+a·4+a·5=1，解得a=.(2)由（1），得P（=）=k,k=1,2,3,4,5.方法一P（≥）=P（=）+P（=）+P（=1）=++=.方法二P（≥）=1-P（＜）=1-[P(=)+P（=）]=1-（）=.(3)∵＜＜，∴=，，，∴P（＜＜）=P（=）+P（=）+P（=）=++=.10.從裝有6個白球、4個黑球和2個黃球的箱中隨機地取出兩個球，規(guī)定每取出一個黑球贏2元，而每取出一個白球輸1元，取出黃球無輸贏，以X表示贏得的錢數(shù)，則隨機變量X可以取哪些值？求X的分布列.解從箱中取兩個球的情形有以下六種：{2白}，{1白1黃}，{1白1黑}，{2黃}，{1黑1黃}，{2黑}.當(dāng)取到2白時，結(jié)果輸2元，則X=-2；當(dāng)取到1白1黃時，輸1元，記隨機變量X=-1；當(dāng)取到1白1黑時，隨機變量X=1；當(dāng)取到2黃時，X=0；當(dāng)取到1黑1黃時，X=2；當(dāng)取到2黑時，X=4.則X的可能取值為-2，-1，0，1，2，4.∵P（X=-2）=，P（X=-1）=，P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=4）=.從而得到X的分布列如下：X-2-10124P11.（·長沙檢測）甲、乙兩人輪流投籃直至某人投中為止，已知甲投籃每次投中的概率為0.4，乙每次投籃投中的概率為0.6，各次投籃互不影響.設(shè)甲投籃的次數(shù)為,若乙先投，且兩人投籃次數(shù)之和不超過4次，求的分布列.解因為乙先投，且次數(shù)之和不超過4次，所以，甲投籃次數(shù)的隨機變量可以是0，1，2三個.由于乙先投，若乙第一次就投中，則甲就不再投，∴P（=0）=0.6.當(dāng)=1時，它包含兩種情況.第一種：甲第1次投中，這種情況的概率為p1=0.4×0.4=0.16.第二種：甲第1次未投中，乙第2次投中，這種情況的概率為p2=0.4×0.6×0.6=0.144，∴P（=1）=p1+p2=0.304.當(dāng)=2時，投籃終止，∴P（=2）=0.4×0.6×0.4=0.096.∴的分布列為012P0.60.3040.09612.某校組織一次冬令營活動，有8名同學(xué)參加，其中有5名男同學(xué)，3名女同學(xué)，為了活動的需要，要從這8名同學(xué)中隨機抽取3名同學(xué)去執(zhí)行一項特殊任務(wù)，記其中有X名男同學(xué).（1）求X的分布列；（2）求去執(zhí)行任務(wù)的同學(xué)中有男有女的概率.解（1）X的可能取值為0，1，2，3.根據(jù)公式P（X=m）=算出其相應(yīng)的概率，即X的分布列為X0123P（2）去執(zhí)行任務(wù)的同學(xué)中有男有女的概率為P（X=1）+P（X=2）=+=.§12.5二項分布及其應(yīng)用基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)自測1.一學(xué)生通過一種英語聽力測試的概率是，他連續(xù)測試兩次，那么其中恰有一次通過的概率是（）A. B. C. D.答案C2.已知隨機變量X服從二項分布X～B（6，），則P（X=2）等于 （）A. B. C. D.答案D3.打靶時甲每打10次可中靶8次，乙每打10次，可中靶7次，若兩人同時射擊一個目標(biāo)，則它們都中靶的概率是 （）A. B. C. D.答案D4.一個電路如圖所示，A、B、C、D、E、F為6個開關(guān)，其閉合的概率都是，且是相互獨立的，則燈亮的概率是 （）A. B. C. D.答案B5.已知P（AB）=，P（A）=，則P（B|A）等于 （）A. B. C. D.答案 B例11號箱中有2個白球和4個紅球，2號箱中有5個白球和3個紅球，現(xiàn)隨機地從1號箱中取出一球放入2號箱，然后從2號箱隨機取出一球，問（1）從1號箱中取出的是紅球的條件下，從2號箱取出紅球的概率是多少？（2）從2號箱取出紅球的概率是多少？解記事件A：最后從2號箱中取出的是紅球；事件B：從1號箱中取出的是紅球.P（B）==，P（）=1-P（B）=，（1）P（A|B）==.（2）∵P（A|）==，∴P（A）=P（AB）+P（A）=P（A|B）P（B）+P（A|）P（）=×+×=.例2甲、乙兩人各進行一次射擊，如果兩人擊中目標(biāo)的概率都是0.8，計算：（1）兩人都擊中目標(biāo)的概率；（2）其中恰有一人擊中目標(biāo)的概率；（3）至少有一人擊中目標(biāo)的概率.解記“甲射擊一次，擊中目標(biāo)”為事件A，“乙射擊一次，擊中目標(biāo)”為事件B.“兩人都擊中目標(biāo)”是事件AB；“恰有1人擊中目標(biāo)”是A或B；“至少有1人擊中目標(biāo)”是AB或A或B.（1）顯然，“兩人各射擊一次，都擊中目標(biāo)”就是事件A·B，又由于事件A與B相互獨立，∴P（AB）=P（A）·P（B）=0.8×0.8=0.64.（2）“兩人各射擊一次，恰好有一次擊中目標(biāo)”包括兩種情況：一種是甲擊中乙未擊中（即A），另一種是甲未擊中，乙擊中（即B），根據(jù)題意，這兩種情況在各射擊一次時不可能同時發(fā)生，即事件A與B是互斥的，所以所求概率為：P=P（A）+P（B）=P（A）·P（）+P（）·P（B）=0.8×(1-0.8)+(1-0.8)×0.8=0.16+0.16=0.32.（3）方法一“兩人各射擊一次，至少有一人擊中目標(biāo)”的概率為P=P（AB）+［P（A）+P（B）］=0.64+0.32=0.96.方法二“兩人都未擊中目標(biāo)”的概率是P（）=P（）·P（）=（1-0.8）×（1-0.8）=0.2×0.2=0.04.∴至少有一人擊中目標(biāo)的概率為P=1-P（）=1-0.04=0.96.例3（12分）一名學(xué)生每天騎車上學(xué)，從他家到學(xué)校的途中有6個交通崗，假設(shè)他在各個交通崗遇到紅燈的事件是相互獨立的，并且概率都是.（1）設(shè)X為這名學(xué)生在途中遇到紅燈的次數(shù)，求X的分布列；（2）設(shè)Y為這名學(xué)生在首次停車前經(jīng)過的路口數(shù)，求Y的分布列；（3）求這名學(xué)生在途中至少遇到一次紅燈的概率.解（1）將通過每個交通崗看做一次試驗，則遇到紅燈的概率為，且每次試驗結(jié)果是相互獨立的，故X～B（6，）， 2分所以X的分布列為P（X=k）=·，k=0，1，2，3，4，5，6. 4分（2）由于Y表示這名學(xué)生在首次停車時經(jīng)過的路口數(shù)，顯然Y是隨機變量，其取值為0，1，2，3，4，5.其中：{Y=k}（k=0，1，2，3，4，5）表示前k個路口沒有遇上紅燈，但在第k+1個路口遇上紅燈，故各概率應(yīng)按獨立事件同時發(fā)生計算.P（Y=k）=·（k=0，1，2，3，4，5）， 6分而{Y=6}表示一路沒有遇上紅燈，故其概率為P（Y=6）=. 因此Y的分布列為：Y0123P···

Y456P··8分（3）這名學(xué)生在途中至少遇到一次紅燈的事件為{X≥1}={X=1或X=2或…或X=6}， 10分所以其概率為P（X≥1）==1-=≈0.912. 12分 1.盒子中有10張獎券，其中3張有獎，甲、乙先后從中各抽取1張（不放回），記“甲中獎”為A，“乙中獎”為B.（1）求P（A），P（B），P（AB），P（A|B）；（2）A與B是否相互獨立，說明理由.解（1）P（A）==，P（B）=，P（AB）==，P（A|B）=.（2）因為P（A）≠P（A|B），所以A與B不相互獨立.2.甲、乙兩人參加一次考試，已知在備選的10道試題中，甲能答對其中6題，乙能答對其中8題.若規(guī)定每次考試分別都從這10題中隨機抽出3題進行測試，至少答對2題算合格.（1）分別求甲、乙兩人考試合格的概率；（2）求甲、乙兩人至少有一人合格的概率.解（1）設(shè)甲、乙考試合格分別為事件A、B，甲考試合格的概率為P（A）=，乙考試合格的概率為P（B）=.（2）A與B相互獨立，且P（A）=，P（B）=,則甲、乙兩人至少有一人合格的概率為P（AB++A）=×+×+×=.3.（·山東理，18）甲、乙兩隊參加奧運知識競賽，每隊3人，每人回答一個問題，答對者為本隊贏得一分，答錯得零分.假設(shè)甲隊中每人答對的概率均為，乙隊中3人答對的概率分別為，，，且各人回答正確與否相互之間沒有影響.用表示甲隊的總得分.（1）求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）用A表示“甲、乙兩個隊總得分之和等于3”這一事件，用B表示“甲隊總得分大于乙隊總得分”這一事件，求P（AB）.解（1）方法一由題意知，的可能取值為0，1，2，3，且P（=0）=×=,P(=1)=××=,P(=2)=××=,P(=3)=×=.所以的分布列為0123P的數(shù)學(xué)期望為E=0×+1×+2×+3×=2.方法二根據(jù)題設(shè)可知,～B（3，）,因此的分布列為P(=k)=××=×,k=0,1,2,3.因為～B（3，）,所以E=3×=2.(2)方法一用C表示“甲隊得2分乙隊得1分”這一事件，用D表示“甲隊得3分乙隊得0分”這一事件，所以AB=C+D，且C、D互斥，P（C）=×××（××+××+××）=,P(D)=××（××）=,由互斥事件的概率公式得P(AB)=P(C)+P(D)=+==.方法二用Ak表示“甲隊得k分”這一事件，用Bk表示“乙隊得k分”這一事件，k=0，1，2，3.由于事件A3B0，A2B1為互斥事件，故有P（AB）=P（A3B0+A2B1）=P（A3B0）+P（A2B1）.由題設(shè)可知，事件A3與B0獨立，事件A2與B1獨立，因此P（AB）=P（A3B0）+P（A2B1）=P（A3）P（B0）+P（A2）P（B1）=×+××（×+××=.一、選擇題1.市場上供應(yīng)的燈泡中，甲廠產(chǎn)品占70%，乙廠占30%，甲廠產(chǎn)品的合格率是95%，乙廠產(chǎn)品的合格率是80%，則從市場上買到一個是甲廠生產(chǎn)的合格燈泡的概率是 （）A.0.665 B.0.56 C.0.24 D.0.285答案A2.從應(yīng)屆高中生中選出飛行員，已知這批學(xué)生體型合格的概率為，視力合格的概率為，其他幾項標(biāo)準(zhǔn)合格的概率為，從中任選一學(xué)生，則該學(xué)生三項均合格的概率為（假設(shè)三項標(biāo)準(zhǔn)互不影響）（）A. B. C. D.答案B3.如圖所示，在兩個圓盤中，指針落在本圓盤每個數(shù)所在區(qū)域的機會均等，那么兩個指針同時落在奇數(shù)所在區(qū)域的概率是 （）A. B. C. D.答案A4.設(shè)隨機變量X～B(6,),則P（X=3）等于 （）A. B. C. D.答案A5.甲、乙兩人同時報考某一所大學(xué)，甲被錄取的概率為0.6，乙被錄取的概率為0.7，兩人是否被錄取互不影響，則其中至少有一人被錄取的概率為 （）A.0.12 B.0.42 C.0.46 D.0.88答案D6.若每名學(xué)生測試達標(biāo)的概率都是（相互獨立），測試后k個人達標(biāo)，經(jīng)計算5人中恰有k人同時達標(biāo)的概率是，則k的值為 （）A.3或4 B.4或5 C.3 D.4答案A二、填空題7.有一批書共100本，其中文科書40本，理科書60本，按裝潢可分精裝、平裝兩種，精裝書70本，某人從這100本書中任取一書，恰是文科書，放回后再任取1本，恰是精裝書，這一事件的概率是.答案8.某射手射擊1次，擊中目標(biāo)的概率是0.9.他連續(xù)射擊4次，且各次射擊是否擊中目標(biāo)相互之間沒有影響.有下列結(jié)論：①他第3次擊中目標(biāo)的概率是0.9；②他恰好擊中目標(biāo)3次的概率是0.93×0.1；③他至少擊中目標(biāo)1次的概率是1-0.14.其中正確結(jié)論的序號是（寫出所有正確的結(jié)論的序號）.答案①③三、解答題9.有甲、乙、丙、丁四名網(wǎng)球運動員，通過對過去戰(zhàn)績的統(tǒng)計，在一場比賽中，甲對乙、丙、丁取勝的概率分別為0.6，0.8，0.9.（1）若甲和乙之間進行三場比賽，求甲恰好勝兩場的概率；（2）若四名運動員每兩人之間進行一場比賽，求甲恰好勝兩場的概率；（3）若四名運動員每兩人之間進行一場比賽，設(shè)甲獲勝場次為，求隨機變量的分布列.解（1）甲和乙之間進行三場比賽，甲恰好勝兩場的概率為P=×0.62×0.4=0.432.（2）記“甲勝乙”，“甲勝丙”，“甲勝丁”三個事件分別為A，B，C，則P（A）=0.6，P（B）=0.8，P（C）=0.9.則四名運動員每兩人之間進行一場比賽，甲恰好勝兩場的概率為P（AB+AC+BC）=P（A）·P（B）·［1-P（C）］+P（A）·［1-P（B）］·P（C）+［1-P（A）］·P（B）·P（C）=0.6×0.8×0.1+0.6×0.2×0.9+0.4×0.8×0.9=0.444.（3）隨機變量的可能取值為0，1，2，3.P（=0）=0.4×0.2×0.1=0.008;P(=1)=0.6×0.2×0.1+0.4×0.8×0.1+0.4×0.2×0.9=0.116;由（2）得P（=2）=0.444；P（=3）=0.6×0.8×0.9=0.432.∴隨機變量的分布列為0123P0.0080.1160.4440.43210.某計算機程序每運行一次都隨機出現(xiàn)一個五位的二進制數(shù)A=a1a2a3a4a5,其中A的各位數(shù)中,a1=1,ak(k=2,3,4,5)出現(xiàn)0的概率為,出現(xiàn)1的概率為.記=a1+a2+a3+a4+a5,當(dāng)程序運行一次時,(1)求=3的概率;(2)求的分布列.解(1)已知a1=1,要使=3,只需后四位中出現(xiàn)2個1和2個0.∴P(=3)=·=.(2)的可能取值為1,2,3,4,5.P(=1)=·=.P(=2)=·=.P(=3)=·=.P(=4)=·=.P(=5)==.∴的分布列為12345P11.已知某種從太空飛船中帶回的植物種子每粒成功發(fā)芽的概率都為,某植物研究所分兩個小組分別獨立開展該種子的發(fā)芽試驗,每次試驗種一粒種子,假定某次試驗種子發(fā)芽,則稱該次試驗是成功的,如果種子沒有發(fā)芽,則稱該次試驗是失敗的.(1)第一個小組做了三次試驗,求至少兩次試驗成功的概率;(2)第二個小組進行試驗,到成功了4次為止,求在第四次成功之前共有三次失敗,且恰有兩次連續(xù)失敗的概率.解(1)第一個小組做了三次試驗,至少兩次試驗成功的概率是P(A)=·+=.(2)第二個小組在第4次成功前,共進行了6次試驗,其中三次成功三次失敗,且恰有兩次連續(xù)失敗,其中各種可能的情況種數(shù)為=12.因此所求的概率為P(B)=12×·=.12.甲、乙兩人進行投籃比賽，兩人各投3球，誰投進的球數(shù)多誰獲勝，已知每次投籃甲投進的概率為,乙投進的概率為，求：（1）甲投進2球且乙投進1球的概率；（2）在甲第一次投籃未投進的條件下，甲最終獲勝的概率.解（1）甲投進2球的概率為·=，乙投進1球的概率為·=，甲投進2球且乙投進1球的概率為×=.(2)在甲第一次投籃未進的條件下,甲獲勝指甲后兩投兩進且乙三投一進或零進(記為A),或甲后兩投一進且乙三投零進(記為B),P(A)=·[·+]=×=,P(B)=····=×=,故所求概率為P(A+B)=.§12.6離散型隨機變量的均值與方差基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)自測1.若隨機變量X的分布列如下表，則EX等于 （）X012345P2x3x7x2x3xxA. B. C. D.答案C2.已知隨機變量X服從二項分布，且EX=2.4，DX=1.44，則二項分布的參數(shù)n，p的值為（）A.n=4,p=0.6 B.n=6,p=0.4 C.n=8,p=0.3 D.n=24,p=0.1答案B3.已知的分布列-101P則在下列式子中，①E=-;②D=;③P(=0)=.正確的個數(shù)是 （）A.0 B.1 C.2 D.3答案C4.已知的分布列為=-1,0,1,對應(yīng)P=，，，且設(shè)=2+1，則的期望是 （）A.- B. C. D.1答案B例1某商場舉行抽獎促銷活動，抽獎規(guī)則是：從裝有9個白球、1個紅球的箱子中每次隨機地摸出一個球，記下顏色后放回，摸出一個紅球可獲得獎金10元；摸出兩個紅球可獲得獎金50元.現(xiàn)有甲、乙兩位顧客，規(guī)定：甲摸一次，乙摸兩次，令X表示甲、乙兩人摸球后獲得的獎金總額.求：（1）X的分布列；（2）X的均值.解（1）X的所有可能取值為0，10，20，50，60.P（X=0）==；P（X=10）=×+×××=;P(X=20)=×××=;P(X=50)=×=;P(X=60)==.故X的分布列為X010205060P（2）EX=0×+10×+20×+50×+60×=3.3(元).例2某運動員投籃時命中率p=0.6.（1）求一次投籃命中次數(shù)的期望與方差；（2）求重復(fù)5次投籃時，命中次數(shù)的期望與方差.解（1）投籃一次，命中次數(shù)的分布列為：01P0.40.6則E=0×0.4+1×0.6=0.6,D=(0-0.6)2×0.4+(1-0.6)2×0.6=0.24.(2)由題意,重復(fù)5次投籃,命中的次數(shù)服從二項分布,即～B(5,0.6),由二項分布期望與方差的計算結(jié)論有E=5×0.6=3,D=5×0.6×0.4=1.2.例3（12分）設(shè)隨機變量具有分布P（=k）=，k=1，2，3，4，5，求E(+2)2，D（2-1）.解∵E=1×+2×+3×+4×+5×==3.E2=1×+22×+32×+42×+52×=11. 4分D=（1-3）2×+（2-3）2×+（3-3）2×+（4-3）2×+（5-3）2×=（4+1+0+1+4）=2. 8分∴E（+2）2=E（2+4+4）=E2+4E+4=11+12+4=27. 10分D（2-1）=4D=8， 12分例4甲、乙兩個野生動物保護區(qū)有相同的自然環(huán)境，且野生動物的種類和數(shù)量也大致相等，而兩個保護區(qū)每個季度發(fā)現(xiàn)違反保護條例的事件次數(shù)的分布列分別為0123P0.30.30.20.2012P0.10.50.4試評定這兩個保護區(qū)的管理水平.解甲保護區(qū)的違規(guī)次數(shù)的數(shù)學(xué)期望和方差為E=0×0.3+1×0.3+2×0.2+3×0.2=1.3;D=(0-1.3)2×0.3+(1-1.3)2×0.3+(2-1.3)2×0.2+(3-1.3)2×0.2=1.21.乙保護區(qū)的違規(guī)次數(shù)的數(shù)學(xué)期望和方差為E=0×0.1+0.5+2×0.4=1.3;D=(0-1.3)2×0.1+(1-1.3)2×0.5+(2-1.3)2×0.4=0.41.因為E=E,D＞D,所以兩個保護區(qū)內(nèi)每個季度發(fā)生的違規(guī)事件的平均次數(shù)相同,但甲保護區(qū)的違規(guī)事件次數(shù)相對分散和波動,乙保護區(qū)內(nèi)的違規(guī)事件次數(shù)更集中和穩(wěn)定.1.編號1,2,3的三位學(xué)生隨意入座編號為1，2，3的三個座位，每位學(xué)生坐一個座位，設(shè)與座位編號相同的學(xué)生的個數(shù)是X.（1）求隨機變量X的分布列；（2）求隨機變量X的數(shù)學(xué)期望和方差.解（1）P（X=0）==；P（X=1）==；P（X=3）==；∴隨機變量X的分布列為X013P（2）EX=1×+3×=1.DX=(1-0)2·+(1-1)2·+(3-1)2·=1.2.A、B是治療同一種疾病的兩種藥，用若干試驗組進行對比試驗.每個試驗組由4只小白鼠組成，其中2只服用A，另2只服用B，然后觀察療效.若在一個試驗組中，服用A有效的小白鼠的只數(shù)比服用B有效的多，就稱該試驗組為甲類組.設(shè)每一只小白鼠服用A有效的概率為，服用B有效的概率為.（1）求一個試驗組為甲類組的概率；（2）觀察3個試驗組，用表示這3個試驗組中甲類組的個數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.解（1）設(shè)Ai表示事件“一個試驗組中，服用A有效的小白鼠有i只”，i=0，1，2，Bi表示事件“一個試驗組中，服用B有效的小白鼠有i只”，i=0，1，2.依題意有P（A1）=2××=,P（A2）=×=.P(B0)=×=,P(B1)=2××=.所求的概率為P=P(B0·A1)+P（B0·A2）+P（B1·A2）=×+×+×=.（2）的可能值為0,1,2,3，且～B(3,).P（=0）==，P（=1）=××=,P(=2)=××=,P(=3)==.的分布列為0123P數(shù)學(xué)期望E=0×+1×+2×+3×=.3.（·湖北理，17）袋中有20個大小相同的球，其中記上0號的有10個，記上n號的有n個（n=1,2,3,4）.現(xiàn)從袋中任取一球，表示所取球的標(biāo)號.（1）求的分布列、期望和方差；（2）若=a+b,E=1,D=11,試求a,b的值.解（1）的分布列為01234P∴E=0×+1×+2×+3×+4×=1.5.D=(0-1.5)2×+(1-1.5)2×+(2-1.5)2×+(3-1.5)2×+(4-1.5)2×=2.75.(2)由D=a2D,得a2×2.75=11,即a=±2.又E=aE+b,所以當(dāng)a=2時,由1=2×1.5+b,得b=-2.當(dāng)a=-2時,由1=-2×1.5+b,得b=4.∴或即為所求.4.有甲、乙兩個建材廠，都想投標(biāo)參加某重點建設(shè)項目，為了對重點建設(shè)項目負責(zé)，政府到兩建材廠抽樣檢查，他們從中各取等量的樣品檢查它們的抗拉強度指數(shù)如下：110120125130135P0.10.20.40.10.2100115125130145P0.10.20.40.10.2其中和分別表示甲、乙兩廠材料的抗拉強度，在使用時要求抗拉強度不低于120的條件下，比較甲、乙兩廠材料哪一種穩(wěn)定性較好.解E=110×0.1+120×0.2+125×0.4+130×0.1+135×0.2=125,E=100×0.1+115×0.2+125×0.4+130×0.1+145×0.2=125，D=0.1×（110-125）2+0.2×(120-125)2+0.4×（125-125）2+0.1×（130-125）2+0.2×（135-125）2=50，D=0.1×（100-125）2+0.2×（115-125）2+0.4×（125-125）2+0.1×（130-125）2+0.2×（145-125）2=165，由于E=E＞120，而D＜D,故甲廠的材料穩(wěn)定性較好.一、選擇題1.設(shè)一隨機試驗的結(jié)果只有A和，且P（A）=p，令隨機變量X=，則X的方差DX等于 （）A.p B.2p(1-p) C.-p(1-p) D.p(1-p)答案D2.某一離散型隨機變量的概率分布列如下表，且E=1.5，則a-b的值 ()0123P0.1ab0.1A.-0.1 B.0 C.0.1 D.0.2答案B3.如果a1,a2,a3,a4,a5,a6的平均數(shù)（期望）為3，那么2（a1-3），2（a2-3），2（a3-3），2（a4-3），2（a5-3），2（a6-3）的平均數(shù)（期望）是 ()A.0 B.3 C.6 D.12答案A4.設(shè)～B（n，p），若有E=12，D=4，則n、p的值分別為 （）A.18， B.16， C.20， D.15，答案A5.隨機變量X的分布列為X124P0.40.30.3則E（5X+4）等于 （）A.15 B.11 C.2.2 D.2.3答案A6.投擲1枚骰子的點數(shù)為，則 （）A.E=3.5，D=3.52 B.E=3.5，D= C.E=3.5，D=3.5