人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)相交線與平行線《平行線的性質(zhì)（第6課時(shí)）》示范教學(xué)設(shè)計(jì)

平行線的性質(zhì)（第6課時(shí)）教學(xué)目標(biāo)1．在理解相關(guān)概念和定理的基礎(chǔ)上，綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，解決有關(guān)幾何問題．2．掌握構(gòu)造輔助線的方法，提高分析問題、解決問題的能力．教學(xué)重點(diǎn)構(gòu)造輔助線的方法．教學(xué)難點(diǎn)合理的構(gòu)造輔助線解決問題．教學(xué)過程新課導(dǎo)入輔助線在平行線中的應(yīng)用：在一些幾何問題中，如果單靠圖形中現(xiàn)有的條件無(wú)法解決問題，那么可結(jié)合已知條件和圖形的特點(diǎn)添加輔助線，使題目中的已知條件和所求結(jié)論能很好地聯(lián)系起來(lái)，從而使問題得到解決．【設(shè)計(jì)意圖】引出輔助線存在的意義，引導(dǎo)學(xué)生在后面的解題過程中可以有意識(shí)地去構(gòu)造輔助線解決問題新知探究【例1】如圖，已知∠B＝120°，∠E＝80°，∠C＝20°，試說明AB與CD的位置關(guān)系．【師生活動(dòng)】教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)題目進(jìn)行分析，找到解決問題的關(guān)鍵點(diǎn)：本題要判斷AB與CD的位置關(guān)系，由圖可判斷是平行關(guān)系，關(guān)鍵是通過作輔助線“搭橋”來(lái)嚴(yán)格說明．【答案】解：在∠BEC內(nèi)部作∠CEF＝∠C＝20°，如圖，則CD∥EF．∵∠B＝120°，∠BEC＝80°，∴∠BEF＝∠BEC－∠CEF＝60°．∴∠BEF＋∠B＝180°．∴AB∥EF．∴AB∥CD．【歸納】添加輔助線(直線、射線或線段)是解決幾何論證和計(jì)算問題的重要手段，它是連接已知與未知的“橋梁”．當(dāng)題目中已有的圖形不能夠或不容易解決問題時(shí)，往往考慮添加輔助線，構(gòu)造出一些基本的幾何圖形解決問題．【例2】如圖，若∠B＋∠D＋∠E＝360°，則AB與CD平行嗎？為什么？【師生活動(dòng)】學(xué)生獨(dú)立對(duì)題目進(jìn)行分析，找到構(gòu)造輔助線的方法：過點(diǎn)E構(gòu)造AB的平行線是解決此題的關(guān)鍵．可以先過點(diǎn)E作AB的平行線，再利用“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”以及已知條件判斷所作直線與CD平行，最后利用平行公理的推論得到AB∥CD．【答案】解：平行．理由如下：如圖，過點(diǎn)E作ME∥AB．根據(jù)“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”，可知∠1＋∠B＝180°，∵∠B＋∠D＋∠BED＝360°，∴∠2＋∠D＝180°．∴ME∥CD．∴AB∥CD．【歸納】當(dāng)無(wú)法直接說明角或線段之間的數(shù)量關(guān)系或兩直線的位置關(guān)系時(shí)，通常作輔助線來(lái)幫助解答．如何作輔助線需根據(jù)已知條件和所證結(jié)論確定．輔助線的添加既可以產(chǎn)生新的條件，又能將題目中原有的條件聯(lián)系在一起．【例3】如圖，AB∥CD，P為AB，CD之間的一點(diǎn)，已知∠1＝34°，∠2＝26°，求∠BPC的度數(shù)．【師生活動(dòng)】教師引導(dǎo)學(xué)生從圖形特征上進(jìn)行分析：此圖不是我們所學(xué)過的“三線八角”的基本圖形，需添加輔助線，把它轉(zhuǎn)化成我們所熟悉的基本圖形．你能用多種方法添加輔助線解決此題嗎？【答案】解：方法1：過點(diǎn)P作射線PN∥AB，如圖．∵PN∥AB，∴∠3＝∠1＝34°．∵AB∥CD，∴PN∥CD．∴∠4＝∠2＝26°．∴∠BPC＝∠3＋∠4＝60°．方法2：過點(diǎn)P作射線PM∥AB，如圖．∵AB∥PM，∴∠5＝180°－∠1＝180°－34°＝146°．∵AB∥CD，∴PM∥CD．∴∠6＝180°－∠2＝180°－26°＝154°．∴∠BPC＝360°－∠5－∠6＝360°－146°－154°＝60°．方法3：過點(diǎn)C作CE∥BP交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，如圖．∵CE∥BP，∴∠1＝∠E，∠BPC＝180°－∠7．∵AB∥CD，∴∠E＋∠2＋∠7＝180°．∴∠7＝180°－∠1－∠2＝120°．∴∠BPC＝180°－∠7＝60°．【歸納】在有關(guān)圖形的計(jì)算和推理問題中，常見到“折線拐角”型問題，解決這類問題的方法是經(jīng)過拐點(diǎn)作平行線，聯(lián)系已知角和未知角，從而化“未知”為“已知”，這種方法應(yīng)熟練掌握．常見到的“折線拐角”圖形如下：【例4】如圖，已知AB∥EF，∠BCD＝90°，求∠B＋∠D－∠E的度數(shù)．【師生活動(dòng)】學(xué)生組內(nèi)交流得出構(gòu)造平行線的思路：分別過點(diǎn)C，D作AB與EF的平行線，將∠B，∠D，∠E化歸為平行線的相關(guān)角來(lái)求解．【答案】解：如圖，過點(diǎn)C作CG∥AB，過點(diǎn)D作DH∥EF．∵AB∥EF，∴AB∥CG∥DH∥EF．∴∠B＝∠1，∠2＝∠3，∠E＝∠4．∵∠CDE＝∠3＋∠4，∠BCD＝∠1＋∠2＝90°，∴∠B＋∠CDE－∠E＝∠1＋∠3＋∠4－∠4＝∠1＋∠2＝90°．【歸納】通過添加輔助線可將較復(fù)雜的幾何圖形轉(zhuǎn)化為由平行線構(gòu)成的基本圖形，從而得到相關(guān)角之間的數(shù)量關(guān)系．【例5】如圖，已知AB∥DE，∠ABC＝80°，∠CDE＝140°，求∠BCD的度數(shù)．【師生活動(dòng)】由∠ABC與∠CDE的度數(shù)不能直接求出∠BCD的度數(shù)，雖然AB∥DE，但它們沒構(gòu)成基本的“三線八角”，需要找一中間量作為橋梁溝通AB和DE，于是過拐點(diǎn)C作輔助線．【答案】解：如圖，過點(diǎn)C作GH∥DE．則∠DCH＋∠CDE＝180°(兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ))．∵∠CDE＝140°，∴∠DCH＝180°－∠CDE＝40°．∵AB∥DE，∴AB∥GH(平行于同一條直線的兩條直線平行)．∴∠ABC＝∠BCH(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)．∵∠ABC＝80°，∴∠BCH＝80°．∴∠BCD＝∠BCH－∠DCH＝40°．【歸納】輔助線的添加是數(shù)學(xué)問題中的難點(diǎn)．添加時(shí)不能亂添，要結(jié)合圖形和相關(guān)性質(zhì)添加．在與平行線有關(guān)的“折線拐角”型問題中，經(jīng)過拐點(diǎn)作已知直線的平行線，串聯(lián)起原有的兩條平行線是常用的解題方法．【設(shè)計(jì)意圖】所給出的5道例題涉及到在平行線中構(gòu)造輔助線的不同情況，讓學(xué)生充分體會(huì)到添加輔助線