概率論與統(tǒng)計(jì)全冊(cè)配套完整課件3

概率論與統(tǒng)計(jì)全冊(cè)配套完整課件3

第一章

隨機(jī)事件及其概率

自然界和社會(huì)生活中的現(xiàn)象大體上可分為兩類：一類可事前預(yù)知，如：“太陽從東方升起”、“在一個(gè)大氣壓下，水在100℃時(shí)沸騰”等一定會(huì)發(fā)生；“同性電荷相吸引”、“太陽從西方升起”等一定不會(huì)發(fā)生。這類現(xiàn)象是確定性現(xiàn)象，也叫必然現(xiàn)象。

另一類事前不可預(yù)知，如：“拋一枚硬幣的結(jié)果”、“某地區(qū)年降雨量的多少”、“打靶時(shí)，彈著點(diǎn)與靶心的距離”等。這類現(xiàn)象是偶然性現(xiàn)象，也叫隨機(jī)現(xiàn)象。隨機(jī)現(xiàn)象的特點(diǎn)：在一定條件下，可能出現(xiàn)這樣的結(jié)果，也可能出現(xiàn)那樣的結(jié)果，而在試驗(yàn)之前不能預(yù)知確切的結(jié)果．人們經(jīng)過長(zhǎng)期實(shí)踐并深入研究之后，發(fā)現(xiàn)這類現(xiàn)象在大量重復(fù)試驗(yàn)下，它的結(jié)果又呈現(xiàn)出某種規(guī)律性——統(tǒng)計(jì)規(guī)律性．例如，在相同條件下拋同一枚硬幣，其結(jié)果可能是正面朝上，也可能是反面朝上，并且在每次拋擲之前無法肯定拋擲的結(jié)果是什么。但是，如多次重復(fù)拋一枚硬幣得到正面朝上大致有一半。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象規(guī)律性的數(shù)學(xué)學(xué)科，是科技工作者所必須具備的一種工具，也是現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)理論的應(yīng)用與研究的重要工具?！?.1樣本空間和隨機(jī)事件

一、隨機(jī)試驗(yàn)為了研究隨機(jī)現(xiàn)象，就要對(duì)客觀事物進(jìn)行觀察．觀察的過程稱為試驗(yàn)．下面舉一些試驗(yàn)的例子．E1：拋一枚硬幣，觀察正面H、反面T出現(xiàn)的情況．E2：拋兩枚硬幣，觀察正面H、反面T出現(xiàn)的情況．E3：拋兩枚硬幣，觀察“正面H朝上”的硬幣個(gè)數(shù).．E4：擲一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)．E5：記錄電話交換臺(tái)一分鐘內(nèi)收到的呼喚次數(shù)．E6:

盒中有標(biāo)號(hào)為1到10的相同小球，任取一個(gè)觀察標(biāo)號(hào).E7:某射手向槍靶射擊一發(fā)子彈，觀察其中靶的環(huán)數(shù).上述對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行的試驗(yàn)或觀測(cè)具有以下特點(diǎn)：（1）可以在相同條件下重復(fù)地進(jìn)行；（2）每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，但能事先明確所有可能結(jié)果，且每次試驗(yàn)僅有其中一個(gè)結(jié)果出現(xiàn)；（3）每次試驗(yàn)進(jìn)行之前，不能斷言哪個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn)．在概率論中，將具有上述三個(gè)特點(diǎn)的試驗(yàn)稱為隨機(jī)試驗(yàn)，簡(jiǎn)稱試驗(yàn)，常用字母E來表示．我們進(jìn)行隨機(jī)試驗(yàn)的目的是要對(duì)試驗(yàn)的各種結(jié)果出現(xiàn)的可能性進(jìn)行分析，從而找出隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律．二、樣本空間隨機(jī)試驗(yàn)的所有可能出現(xiàn)的結(jié)果所構(gòu)成的集合稱為的樣本空間，通常記為Ω．樣本空間的元素，即的每個(gè)結(jié)果，稱為樣本點(diǎn)．下面是前面試驗(yàn)的樣本空間：

Ω1：{H,T}．Ω2

：{HH,HT,TH,TT}．Ω3：{0,1,2}．Ω4：{1,2,3,4,5,6}．

Ω5：{0,1,2,…}.Ω6:{1,2,3,4,5,…,10}Ω7：{0,1,2,3,4,5,…,10}注意：樣本空間的元素由試驗(yàn)的目的確定．如試驗(yàn)E2和E3同是拋兩枚硬幣，由于試驗(yàn)?zāi)康牟灰粯樱瑯颖究臻g也不一樣．三、隨機(jī)事件在進(jìn)行隨機(jī)試驗(yàn)時(shí)，人們往往關(guān)心的是滿足某種條件的一些樣本點(diǎn)所組成的集合．例如，在E4中，令A(yù)表示“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，則A是Ω4＝{1,2,3,4,5,6}的子集，它由樣本點(diǎn){2,4,6}構(gòu)成，記作A＝{2,4,6}．一般地，稱試驗(yàn)的樣本空間Ω的子集為隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱事件，通常用大寫字母A、B、C、…表示事件．在一次試驗(yàn)中，若某事件中至少有一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)了，則稱事件發(fā)生了．稱試驗(yàn)中必定發(fā)生的事件為必然事件，不可能發(fā)生的事件為不可能事件．在每次試驗(yàn)中，樣本空間Ω中必定有一個(gè)樣本點(diǎn)會(huì)出現(xiàn)，因此又把樣本空間稱為必然事件．空集

是樣本空間Ω的一個(gè)特殊的子集，也可作為一個(gè)事件．但由于空集不含樣本空間Ω中的任何元素，在每次試驗(yàn)中

都不會(huì)發(fā)生，因此又稱之為不可能事件．把必然事件和不可能事件看作隨機(jī)事件，是為了事件運(yùn)算方便．由樣本空間的單個(gè)元素構(gòu)成的子集，即樣本點(diǎn)，又稱為基本事件．

四、事件間的關(guān)系和運(yùn)算

樣本空間和事件都是集合，因此事件間的關(guān)系和運(yùn)算實(shí)際上是集合間的關(guān)系和運(yùn)算．設(shè)樣本空間為Ω，A、B、C和Ak（k＝1,2,3…）為Ω的子集．1、事件的包含和相等在一次試驗(yàn)中，若A發(fā)生必然導(dǎo)致B發(fā)生，則稱B包含A。記為如在E4中，A表示“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，B表示“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于1”．即A={2,4,6}，B={2,3,4,5,6}，則實(shí)際上，A

是B

的子集。2、事件的和（相當(dāng)于并集）在一次試驗(yàn)中，“事件A與B至少有一個(gè)發(fā)生”是一個(gè)事件，稱為事件A與B的和，記作A∪B，或者A＋B．“n個(gè)事件A1、A2、…、An中至少有一個(gè)發(fā)生”稱為這n個(gè)事件的和。記作“可列個(gè)事件A1、A2、…中至少有一個(gè)發(fā)生”稱為這可列個(gè)事件的和。記作如，在E4中，令A(yù)表示擲一顆骰子“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”，C表示“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不大于1”，

Ak表示“出現(xiàn)k點(diǎn)”（k＝1,2,…,6）那么A＝{2,4,6}，C＝{1}，A∪C＝{1,2,4,6}，又如，在E5中，令A(yù)k表示“一分鐘內(nèi)收到k次呼喚”，k＝0、1、2、…，A表示“呼喚次數(shù)大于100次”，B表示“呼喚次數(shù)小于150次”．那么

3、事件的積（相當(dāng)于交集）在一次試驗(yàn)中，“事件A與B同時(shí)發(fā)生”是一個(gè)事件，稱為事件A與B的積，記作A∩B或者AB．表示“n個(gè)事件A1，A2，…An同時(shí)發(fā)生”．表示“可列個(gè)事件A1，A2，…An,…同時(shí)發(fā)生”．

A∩B表示“一分鐘內(nèi)呼喚次數(shù)大于100次且小于150次”，即有A∩B

E4中，A＝{2,4,6}，B＝{2,3,4,5,6}，C＝{1}，則A∩B表示“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為大于1的偶數(shù)”．由于A是B的子集，所以A∩B=A．而A∩C表示“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為不大于1的偶數(shù)”，這是不可能發(fā)生的，故A∩C＝

。4、互不相容的事件若A∩B＝

，則稱事件A與B為互不相容．互不相容的事件在一次試驗(yàn)中不能同時(shí)發(fā)生．

例如，在E4中，A與C為互不相容的事件．5、事件的差（相當(dāng)于差集）在一次試驗(yàn)中，“事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生”這一事件稱為事件A與B的差，記作A－B．6、對(duì)立事件（相當(dāng)于余集）“A不發(fā)生”這一事件稱為事件A的對(duì)立事件，記作事件的關(guān)系和事件的運(yùn)算可以用文氏圖（圖1－1）直觀地表示．事件的關(guān)系和運(yùn)算與集合論的內(nèi)容對(duì)照如表1－1．7、事件運(yùn)算的主要性質(zhì)（1）交換律A∪B＝B∪A，AB＝BA；（2）結(jié)合律(A∪B)∪C＝

A∪(B∪C)，(A∩B)∩C

＝A∩(B∩C)；（3）分配律(A∪B)C＝AC∪BC,(A∩B)∪C＝(A∪C)∩(B∪C);(4）吸收律

(A∪B)A=A,(AB)∪A=A

；

（5）對(duì)偶律此外還有：

A∪A＝A，AA＝A，A∪Ω＝Ω，AΩ＝A．

A∪

＝A，A∩

＝

，利用事件的關(guān)系、事件的運(yùn)算及其性質(zhì)，可將復(fù)雜的事件用己知的簡(jiǎn)單事件表示，這在處理問題時(shí)會(huì)很方便．例1一大批產(chǎn)品中有5件次品，若從中依次任取3件，令A(yù)k表示“取到的第k件為正品”，k＝1，2，3．試用A1,A2，A3，表示下列事件：（1）“取到的3件中至少有一件為正品”，記為A．（2）“取到的3件均為次品”，記為B．（3）“取到的3件恰好有一件為正品”，記為C．（4）“取到的3件至多有一件為正品”，記為D．解（1）A＝A1∪A2∪A3

例2如圖1－2所示的電路中，以A表示“信號(hào)燈亮”這一事件，以B、C、D分別表示事件：繼電器接點(diǎn)Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ閉合，則§1.2事件的頻率與概率

概率論研究的是隨機(jī)現(xiàn)象量的規(guī)律性．因此僅僅知道試驗(yàn)中可能出現(xiàn)哪些事件是不夠的，還必須對(duì)事件發(fā)生的可能性大小的問題進(jìn)行量的描述．一、

概率的統(tǒng)計(jì)定義人們經(jīng)過長(zhǎng)期實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，雖然隨機(jī)事件在一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)，但在大量重復(fù)的試驗(yàn)中它卻呈現(xiàn)出明顯的規(guī)律性――頻率穩(wěn)定性．頻率的定義：在相同條件下進(jìn)行的n次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的次數(shù)nA稱為事件A發(fā)生的頻數(shù)．比值nA／n稱為事件A發(fā)生的頻率，并記為fn(A),即fn(A)=nA

／n．

由定義，易知頻率具有下述基本性質(zhì)：

(1)0≤fn(A)≤1；(2)fn(Ω)=1，fn(

)＝0．(3)若A、B為互不相容的兩個(gè)事件，則

fn(A∪B)=fn(A)+fn(B)事實(shí)上，若在ｎ次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生了ｎA(yù)次，事件B發(fā)生了ｎB次，由于A、B為互不相容，故A∪B發(fā)生的次數(shù)ｎA(yù)∪B=ｎA(yù)

＋ｎB

，根據(jù)頻率的定義得

fn(A∪B)=fn(A)+fn(B)

由于事件發(fā)生的頻率是它發(fā)生的次數(shù)與試驗(yàn)次數(shù)之比，其大小表示發(fā)生的頻繁程度．頻率愈大，事件發(fā)生愈頻繁，這意味著事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性愈大．因而，直觀的想法是用頻率來表示事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性的大小．但是否可行？例1(拋擲硬幣試驗(yàn))在一組不變的條件(如硬幣是勻的，垂直上拋等等)下，重復(fù)拋擲一枚硬幣，考察事件A＝{出現(xiàn)正面}發(fā)生的頻率．歷史上曾經(jīng)有不少人做過這個(gè)試驗(yàn)，表1－3列出了大量投擲硬幣的試驗(yàn)結(jié)果．

從上表可見，在多次重復(fù)試驗(yàn)中，同一事件發(fā)生的頻率

雖然并不完全相同，但總是在一個(gè)固定的數(shù)值附近擺動(dòng)，呈

現(xiàn)出一定的穩(wěn)定性．當(dāng)重復(fù)的次數(shù)增加時(shí)，這種現(xiàn)象就越明

顯．頻率的這種穩(wěn)定性，反映了隨機(jī)事件本身固有的屬性，

也就是說，事件的概率是客觀存在的。實(shí)驗(yàn)者投擲次數(shù)正面次數(shù)

頻率蒲豐404020480.5069皮爾遜1200060190.5016皮爾遜24000120120.5005概率的統(tǒng)計(jì)定義：在相同條件下，重復(fù)進(jìn)行n次試驗(yàn)，當(dāng)n充分大，事件A發(fā)生的頻率fn(A)=nA

／n．穩(wěn)定地在某一數(shù)值p附近擺動(dòng)，則稱

p為事件A發(fā)生的概率，記作P(A)＝p．關(guān)于概率的統(tǒng)計(jì)定義:(1)0≤P(A)≤1P(Φ)=0P(Ω)=1;(2)給出了概率的一種近似求法(頻率近似代替概率)(3)頻率與概率不同,頻率與試驗(yàn)次數(shù)有關(guān),而概率是事物的本身屬性.(實(shí)際問題中頻率可認(rèn)為是概率的隨機(jī)表現(xiàn)).(4)頻率代替概率的缺點(diǎn)是不能使n+1次試驗(yàn)優(yōu)于n次試驗(yàn)所得結(jié)果.(很多問題中影響并不大)為此，人們要尋找更精確的定義.二、概率的公理化體系在勒貝格測(cè)度論和積分理論基礎(chǔ)上，前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫在1933年提出了概率的公理化體系．

公理1對(duì)任一事件A有P(A)≥0．

公理2P(Ω)=1．

公理3對(duì)可列個(gè)兩兩互不相容的事件A1,A2,…,An,…,有

在此基礎(chǔ)上得到概率的理論定義：

設(shè)實(shí)值函數(shù)P(A)的定義域?yàn)樗紤]的全體隨機(jī)事件組成

的集合，且這個(gè)集合函數(shù)滿足公理1、2、3，則稱P(A)為事件A的概率．

通常將公理1、2、3稱為概率的三個(gè)基本性質(zhì)，第三條稱為可列可加性．三、性質(zhì)由概率的三個(gè)基本性質(zhì)可以推出其他的重要性質(zhì):（1）P(

)=0證明令A(yù)i=

（i=1,2,…），則故由公理3：

而實(shí)數(shù)P(

)≥0，由上式知P(

)=0

(2)(有限可加性)設(shè)A1,A2,…,An為n個(gè)兩兩互不相容的事件，則

只需令A(yù)n

＋1=An＋2=…=

，利用公理3即可證明．

特別地，當(dāng)A、B為兩個(gè)互不相容的事件，則P(A∪B)=P(A)＋P(B)(3)設(shè)A為任一事件，則(4)(單調(diào)性)若A

B,則P(B－A)=P(B)－

P(A)，且P(A)≤P(B)

證明當(dāng)A

B,有B=A∪(B－A)，且A(B－A)=

，則P(B)=P(A)＋P(B－A)，∴P(B－A)=P(B)－

P(A)．

由概率的非負(fù)性P(B－A)≥0，故P(A)≤P(B)．(5)兩個(gè)事件概率的加法公式:若A、B為任意兩個(gè)事件，則P(A∪B)=P(A)＋P(B)－P(AB)(1-7)證明∵A∪B=A∪(B－AB)且A與B－AB互不相容∴P(A∪B)=P(A)＋P(B－AB)∵AB

B∴P(B－AB)=P(B)—P(AB)∴P(A∪B)=P(A)＋

P(B)—P(AB)

例1若事件A、B的概率分別為1/4和1/3，在下列三種情況下分別求(1)A與B互不相容；(2)A

B；(3)P(AB)=1/5．

解(1)若A、B為互不相容，則(2)若A

B，則(3)若P(AB)=1/5，則

又由加法公式P(A∪B)=P(A)＋

P(B)－P(AB)，解法2∵B=BΩ§1.3古典概型和幾何概型

一、古典概型（等可能概型）有很多試驗(yàn)都具有兩個(gè)共同的特點(diǎn)：(1)試驗(yàn)的可能結(jié)果(樣本空間的樣本點(diǎn))有限；(有限性)(2)每次試驗(yàn)中各樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相等。(等可能性)具有以上兩個(gè)特點(diǎn)的試驗(yàn)稱為等可能概型．它在概率論發(fā)展初期是主要的研究對(duì)象，故也稱為古典概型．古典概型在概率論中占有重要地位．一方面它有助于簡(jiǎn)單直觀地理解概率論的一些基本概念；另一方面古典概型的概率計(jì)算在產(chǎn)品質(zhì)量的抽樣檢查等實(shí)際問題以及理論物理的研究中都有重要的應(yīng)用．若試驗(yàn)結(jié)果由n個(gè)基本事件組成，并且基本事件的發(fā)生具有相同的可能性，而事件A由其中的m個(gè)基本事件組成，則（事件A含的基本事件數(shù)除以試驗(yàn)的基本事件總數(shù)）此定義通常稱為概率的古典定義。顯然古典概率滿足：

(1

)

0≤P(A)≤1(2)P(Φ)=0P(Ω)=1;(3)若A、B為互不相容的兩個(gè)事件，則

P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．例1袋內(nèi)有外形一樣的5個(gè)白球，3個(gè)黑球，從中任取兩個(gè)。求取出的兩個(gè)球⑴都是白球的概率；⑵都是黑球的概率；⑶一個(gè)白球一個(gè)黑球的概率。解：設(shè)A表示“取到兩白”、B表示“取到兩黑”、C表示“取到一白一黑”試驗(yàn)的基本事件總數(shù)A含的基本事件數(shù)B含的基本事件數(shù)C含的基本事件數(shù)例2：一批產(chǎn)品共200個(gè)，其中有6個(gè)廢品。求（1）這批產(chǎn)品的廢品率（任取一件產(chǎn)品是廢品的概率）；（2）任取3個(gè)恰有一個(gè)廢品的概率；（3）任取3個(gè)全非廢品的概率。解：設(shè)A、B、C分別表示(1)、(2)、(3)中三事件，則例3：兩封信隨機(jī)投入Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四個(gè)郵筒，A表示恰有一封信投入第二個(gè)郵筒，B表示各有一封信投入前兩個(gè)郵筒。求P(A)、P(B)。解：基本事件總數(shù)為4×4=16

A含的基本事件數(shù)表示兩封信中任一封投入第二個(gè)郵筒表示另一封可投入余下三個(gè)郵筒中的一個(gè)郵筒B含的基本事件數(shù)例410件產(chǎn)品中7件正品，3件次品，任取兩件(不放回抽樣)，求“取到一件正品一件次品”的概率．解：令A(yù)表示“取到兩件正品”，B表示“取到兩件次品”，C表示“取到一正一次”。法1直接用古典概型的概率計(jì)算公式計(jì)算(既非兩件正品又非兩件次品即一正一次)∵A、B互不相容，∴P(A∪B)=P(A)＋

P(B)=8/15=1-P(A∪B)=7/15例5在1~100中任取一數(shù)，求取到的數(shù)既不能被6整除，又不能被8整除的概率．解令A(yù)表示“取到的數(shù)能被6整除”，B表示“取到的數(shù)能被8整除”．那么“取到的數(shù)既不能被6整除，又不能被8整除”可表示為100內(nèi)6的倍數(shù)有16個(gè)，8的倍數(shù)有12個(gè)，6和8的公倍數(shù)有4個(gè)，故有

P(A)=16/100，P(B)=12/100，P(AB)=4/100．由P(A∪B)=P(A)＋P(B)－P(AB)=0.24二、幾何概型古典概型所研究的隨機(jī)試驗(yàn)是有限等概率樣本空間，對(duì)于有無窮多可能結(jié)果的試驗(yàn)，古典概率的定義就不適用了．向某一可度量的區(qū)域G內(nèi)投一點(diǎn)，如果所投點(diǎn)落在G中任一區(qū)域g內(nèi)的可能性的大小與g的度量成正比，而與g的位置和形狀無關(guān)．把具有這種特征的隨機(jī)試驗(yàn)稱為幾何概型．這里所說的度量，可以是線段的長(zhǎng)度；可求積的平面區(qū)域的面積；可求積的空間區(qū)域的體積等等．幾何概型中樣本點(diǎn)可以用G中的點(diǎn)表示，因而樣本空間Ω=G．事件A的概率的計(jì)算公式為顯然幾何概率具有如下性質(zhì)：(1)0≤P(A)≤1．(2)P(Ω)=1，P(

)=0．(3)若A1,A2,…,An,…為可列個(gè)兩兩互不相容的事件，則例6甲乙兩人約定在0時(shí)到T時(shí)在某地會(huì)面，先到者等候t（≤T）時(shí)，過時(shí)即可離去，試求兩人能會(huì)面的概率．解令x和y分別表甲和乙到達(dá)某地的時(shí)刻，那么x和y均可能取[0，T]內(nèi)任一值．即0≤x≤T，0≤y≤T．如圖1-3，建立直角坐標(biāo)系，問題可視為向平面區(qū)域Ω={(x,y)|0≤x≤T,0≤y≤T}內(nèi)投點(diǎn)．令A(yù)表示“兩人能會(huì)面”，則A={(x,y)||x-y|≤t}為圖中陰影部分．例7

平面上畫著一些平行線，相鄰兩條平行線間的距離均為a，向該平面上任意投一枚長(zhǎng)度為l(l＜a)的針，試求針與平行線中任意一條相交的概率．解令x表示針的中點(diǎn)到最近的一條平行線的距離，表示針與此線的交角，如圖1－4．于是投針問題相當(dāng)于向平面區(qū)域內(nèi)投點(diǎn)．令A(yù)表示“針與平行線相交”，則A發(fā)生相當(dāng)于在平面上建立直角坐標(biāo)系，如圖1－5．此問題是是法國(guó)科學(xué)家蒲豐在1777年提出的“投針問題”．令

p=P(A)，那么此事件的概率p與π有關(guān)，因此可用它計(jì)算π的近似值.“投針問題”還是找礦中的一個(gè)重要概型．設(shè)在給定區(qū)域內(nèi)的某處有一礦脈（相當(dāng)于針）長(zhǎng)為l，用間隔為a的一組平行線進(jìn)行探測(cè)，假定l＜a，那么“找到礦脈”的概率也就相當(dāng)于針與平行線相交的概率．求π的方法是：投針N次，記錄針與平行線相交的次數(shù)n，用頻率作為概率p的值，得到近似計(jì)算公式：§1.4條件概率

一、條件概率直到現(xiàn)在，對(duì)P(A)的討論都是相對(duì)于某組確定的條件S而言的．P(A)就是在條件組實(shí)現(xiàn)之下，事件A發(fā)生的概率（為簡(jiǎn)略起見，“條件組S”通常不再提及）．除這組基本條件“S”外，有時(shí)還要提出附加的限制條件；即要求“在事件A已經(jīng)發(fā)生的前提下”事件B發(fā)生的概率．這就是條件概率的問題．條件概率是概率論中的一個(gè)重要而實(shí)用的概念．例1將一枚硬幣擲兩次．觀察其出現(xiàn)正反面的情況．設(shè)事件A“至少有一次為正面”，事件B為“兩次擲出同一面”．現(xiàn)在來求已知事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率．這里，樣本空間Ω={HH,HT,TH,TT},A={HH,HT,TH}B＝{HH,TT}．已知事件A已發(fā)生，有了這一信息，即知試驗(yàn)所有可能結(jié)果所成的集合就是A，A中共有3個(gè)元素，其中只有HH∈B．于是，在A已經(jīng)發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率

P(B|A)＝1/3在這里，P(B)＝2/4≠P(B|A)．這是因?yàn)樵谇驪(B|A)時(shí)是限制在A已經(jīng)發(fā)生的條件下考慮B發(fā)生的概率的．另外，P(A)＝3/4，

P(AB)＝1/4，

P(B|A)＝1/3

故有當(dāng)P(A)＞0時(shí)上式對(duì)古典概型都是成立的．事實(shí)上,設(shè)試驗(yàn)的基本事件總數(shù)為n，

A所包含的基本事件數(shù)為nA(nA>0)，AB所包含的基本事件數(shù)為nAB，即有由此給出一般情況下條件概率的定義：設(shè)A、B為兩個(gè)事件，且P(A)＞0，則稱為事件A已發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率．可以驗(yàn)證條件概率滿足：(1)對(duì)任一事件B，有P(B|A)≥0；(2)P(Ω|A)=1；(3)設(shè)B1，B2，…，Bn，…為兩兩互不相容的事件，則例2袋中有5個(gè)大小相同的球，其中編號(hào)為1、2、3的是紅球，編號(hào)為4、5的是白球．甲乙兩人從中各摸一球．求下列事件的概率．(1)“甲摸到了紅球”；“乙摸到了白球”；“甲摸到紅球且乙摸到白球”；(2)“甲先摸到紅球后，乙摸到白球”的概率．解(1)令A(yù)表示“甲摸到了紅球”，B表示“乙摸到了白球”，則AB為“甲摸到紅球且乙摸到白球”．將甲、乙兩人所摸到的球的編號(hào)用(i，j)表示，則樣本空間由下列樣本點(diǎn)構(gòu)成：(1，2)(1，3)(1，4)(1，5)(2，1)(2，3)(2，4)(2，5)(3，1)(3，2)(3，4)(3，5)(4，1)(4，2)(4，3)(4，5)(5，1)(5，2)(5，3)(5，4)樣本空間所含樣本點(diǎn)數(shù)n=A52=5×4=20，事件A所含樣本點(diǎn)數(shù)nA=A31A41=4×3=12，事件B所含樣本點(diǎn)數(shù)nB=A21A41=2×4=8，事件AB所含樣本點(diǎn)數(shù)nAB=A31A21=2×3=6，∴P(A)=12/20=0.6；P(B)=8/20=0.4；P(AB)=6/20=0.3．(2)“甲先摸到紅球后，乙摸到白球”的概率是A發(fā)生條件下，B發(fā)生的概率P(B|A)．由（1）可見導(dǎo)致A發(fā)生的樣本點(diǎn)有12個(gè)，AB同時(shí)發(fā)生的樣本點(diǎn)有6個(gè)，故有P(B|A)=P(AB)/P(A)

=6/12=1/2．對(duì)第二問，若利用第一次摸取的所有可能結(jié)果作成的樣本空間，即Ω={1,2,3,4,5},則做法更簡(jiǎn)潔．由于Ω中共有5個(gè)元素，已知A發(fā)生，即1,2,3號(hào)三個(gè)球中已摸走一個(gè)，于是，第二次的所有可能結(jié)果的集合中共有4個(gè)球，2紅2白，故得

P(B|A)=2/4=1/2．例3在0至9這10個(gè)數(shù)字中隨機(jī)取一個(gè)，(1)已知抽到的為奇數(shù)，求該數(shù)大于6的概率；(2)已知抽到的數(shù)大于6，求該數(shù)為奇數(shù)的概率．解令A(yù)表示“抽到的為奇數(shù)”，B表示“抽到的數(shù)大于6”．（1）要求P（B|A）；（2）要求P（A|B）．Ω={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,}，A={1,3,5,7,9}，B={7,8,9}，AB={7,9}故有P(A)=0.5，P(B)=0.3，P(AB)=0.2．∴P(B|A)=P(AB)/P(A)=2/5，

P(A|B)=P(AB)/P(B)=2/3

．由此例可見P(B|A)與P(A|B)是不同的．二、乘法公式由條件概率定義可得兩個(gè)事件積的概率公式．若P(A)＞0，P(AB)=P(A)P(B|A)．若P(B)＞0，P(AB)=P(B)P(A|B)．兩式都稱為概率的乘法公式例410件產(chǎn)品中有7件正品和3件次品，(1)任取兩件(不放回抽樣)，求“取到一正一次”的概率；(2)任取兩件(有放回抽樣)，求“取到的兩件正品”的概率．解此題在古典概型時(shí)討論過，現(xiàn)用乘法公式來討論．令A(yù)i表示“取到的第i件為正品”，i=1，2．那么問題(1)中“取到一正一次”可表示為問題（2）中“取到的兩件均為正品”可表示為A1A2（2）P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)注意：在有放回抽樣問題中P(A2|A1)=P(A2)．乘法公式還可推廣到多個(gè)事件的情況，如P(ABC)=P(AB)P(C|AB)=P(A)P(B|A)P(C|AB)．例510件產(chǎn)品中3件為次品，每次從中任取一件不放回，求第3次才取到次品的概率．解令A(yù)i表示“第i次取到的為正品”（i=1，2，3），則“第3次才取到次品”的概率為§1.5全概率公式和貝葉斯公式

一、全概率公式例1有10件產(chǎn)品，其中有3件為次品，從中任取一件不放回，連續(xù)取兩次，求第2次取到的為次品的概率．解令A(yù)表“第2次取到次品”，B表“第一次取到正品”，則

從形式上看，上述分解式似乎將A復(fù)雜化了；但從實(shí)質(zhì)上看，上述分解式將復(fù)雜的事件A分解為較簡(jiǎn)單的事件了．把這個(gè)想法一般化，得

全概率公式設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間為Ω，B1，B2，…，Bn為E的一組事件，若滿足(1)BiBj=

，i、j=1，2，…，n，i≠j；(2)B1∪B2∪…∪Bn=Ω．滿足(1)與(2)的事件組叫樣本空間的一個(gè)劃分．(完備事件組)若P（Bi）＞0，（i=1，2，…，n），那么，E的任一事件A的概率此式即為全概率公式證∵A=AΩ=A(B1∪B2∪…∪Bn)=AB1∪AB2∪…∪ABn

且P（Bi）＞0，（i=1，2，…，n），(ABi

)(ABj)=

，i≠j

∴

P(A)=P(AB1)+P(AB2)+…+P(ABn)=P(B1)P(A|B1)

+P(B2)P(A|B2)

+…+P(Bn)P(A|Bn)例1就用了ｎ＝2的全概率公式．若P(A)不易直接求得，但卻容易找到Ω的一個(gè)劃分B1,B2,…,Bn

,且P(Bi)和P(A|Bi)已知或容易求，那么就可以根據(jù)全概率公式求P(A)。用全概率公式的關(guān)鍵在于找出完備事件組．例2某廠有1、2、3三個(gè)車間，生產(chǎn)同一型號(hào)的元件，其產(chǎn)量分別占該廠總產(chǎn)量的25%、35%和40%，各車間的次品率分別為5%、4%和3%，各車間的產(chǎn)品都混放在一起，求從總產(chǎn)品中任取一件為次品的概率．解令A(yù)表示“取到一件次品”，Bi表示“取到第i車間的產(chǎn)品”，i=1，2，3，則由題意知P(B1)=0.25，P(B2)=0.35，P(B3)=0.4．P(A|B1)=0.05P(A|B2)=0.04P(A|B3)=0.03而B1，B2，B3是完備事件組，由全概公式P(A)=P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)=0.25×0.05＋0.35×0.04＋0.40×0.03=0.0385．例：有12個(gè)乒乓球?yàn)樾虑?，每次比賽時(shí)取出3個(gè)用完后放回去，求第三次比賽時(shí)取到3個(gè)新球的概率。解：設(shè)Ai，Bi，Ci分別為第一、二、三次取到i個(gè)新球(i=0、1、2、3）。二、貝葉斯公式在全概率公式中，復(fù)雜事件A的概率是通過尋找出引起A發(fā)生的各種“原因”:B1、B2、…、Bn發(fā)生的概率P(Bi)，和它們對(duì)A產(chǎn)生的作用P(A|Bi)，i=1、2、…、n來求P(A)的

P(Bi)通常是從已知條件或以往經(jīng)驗(yàn)得到的，是在試驗(yàn)前對(duì)引起A發(fā)生的各種“原因”發(fā)生的可能性大小的估計(jì)，稱為驗(yàn)前概率．若在事件A發(fā)生條件下，重新考慮引起A發(fā)生的各種“原因”發(fā)生的概率P(Bi|A)，i=1，2，…，n，則可以利用條件概率定義和全概率公式推導(dǎo)出此式稱貝葉斯公式，也稱逆概率公式．貝葉斯公式所求的P(Bi|A)(i=1,2,…,n)又稱為驗(yàn)后概率．這是在試驗(yàn)后當(dāng)A發(fā)生的條件下，對(duì)導(dǎo)致A發(fā)生的各種“原因”發(fā)生的可能性大小的重新估計(jì)．(i=1,2,…,n)例3對(duì)以往數(shù)據(jù)分析結(jié)果表明，當(dāng)機(jī)器調(diào)整良好時(shí)，產(chǎn)品合格率為90%，而當(dāng)機(jī)器發(fā)生某一故障時(shí)，合格率為30%．每天早上機(jī)器開動(dòng)時(shí)，機(jī)器調(diào)整良好的概率為75%．試求已知某日早上第一件產(chǎn)品是合格品時(shí)，機(jī)器調(diào)整良好的概率是多少？解設(shè)A為事件“產(chǎn)品合格”，B為事件“機(jī)器調(diào)整良好”，已知P(A|B)=0.9，

這就是說，當(dāng)生產(chǎn)出第一件產(chǎn)品是合格品時(shí)，機(jī)器調(diào)整良好的概率是0.9．這里，概率0.75是由以往的數(shù)據(jù)分析得到的，是驗(yàn)前概率．而0.9就是驗(yàn)后概率．有了驗(yàn)后概率我們就能對(duì)機(jī)器的情況有進(jìn)一步的了解．例4根據(jù)以往記錄資料，某疾病的診斷性試驗(yàn)具有如下效果，確實(shí)患此病的人試驗(yàn)反應(yīng)呈陽性的占95%，沒患此病的人試驗(yàn)反應(yīng)呈陰性的占95%，此病的發(fā)病率為0.5%，現(xiàn)對(duì)自然人群進(jìn)行普查，求當(dāng)試驗(yàn)反應(yīng)呈陽性時(shí)，確實(shí)患此病的概率．解令A(yù)表示“試驗(yàn)反應(yīng)呈陽性”，B表示“確實(shí)患此病”，則問題所求為P(B|A)．由題意可知：

P(A|B)=0.95P(B)=0.005此題的結(jié)論表明，盡管有病反應(yīng)呈陽性和無病反應(yīng)呈陰性的概率都較高，都為0.95，但若將此試驗(yàn)用于普查，則有P(B|A)＝0.087，亦即其正確性只有8.7%(平均1000個(gè)陽性反應(yīng)的人中大約只有87人確患有此病)．如果不注意到這一點(diǎn)，將會(huì)經(jīng)常得出錯(cuò)誤的診斷，這也說明，若將P(B|A)和P(A|B)搞混了會(huì)造成不良的后果．

§1.6事件的獨(dú)立性一、相互獨(dú)立的事件在前面的討論中我們看到對(duì)“有放回抽樣”問題第1次取到正品與否，不影響第2次取到正品的概論，即P(A2|A1)=P(A2)，此時(shí)由乘法公式可得P(A2A1)=P(A1)P(A2)．設(shè)A、B是兩事件，若P(AB)=P(A)P(B)，則稱A與B為相互獨(dú)立的事件．由上述定義不難驗(yàn)證:(1)若A、B相互獨(dú)立，則A與即P(AB)=P(A)P(B)(2)若P(A)＞0，P(B)＞0，則A、B相互獨(dú)立與A、B互不相容不能同時(shí)成立．事實(shí)上，當(dāng)A、B相互獨(dú)立時(shí)，P(AB)=P(A)P(B)，若P(A)＞0，P(B)＞0，則P(AB)＞0．而在A、B互不相容時(shí)P(AB)=0，故兩者不能同時(shí)成立．例1P(A)=0.4，P(A∪B)=0.7，A、B相互獨(dú)立，求P(B)．解A、B相互獨(dú)立，即P(AB)=P(A)P(B)．∴P(A∪B)=P(A)＋P(B)－

P(AB)=P(A)＋P(B)－

P(A)P(B)=P(A)＋P(B)[1－

P(A)]

相互獨(dú)立概念可以推廣:n事件A1，A2，…，An若滿足P(AiAj)=P(Ai)P(Aj)，(i≠j，i、j=1,2,…,n)，則稱A1，A2，…，An兩兩獨(dú)立．例2當(dāng)A、B、C兩兩獨(dú)立時(shí)，P(ABC)=P(A)P(B)P(C)是否一定成立？解不一定．如，一袋中有4張大小相同的卡片，上面分別印有下列數(shù)字：111，001，100，010．從中任取一張，用A、B、C分別表示取到的卡片上第1、2、3位上數(shù)字為1．則于是A、B、C滿足P(AB)=P(A)P(B)

P(AC)=P(A)P(C)

P(BC)=P(B)P(C)故A、B、C為兩兩獨(dú)立事件．但是P(ABC)=1/4，P(A)P(B)P(C)=1/8，∴P(ABC)≠P(A)P(B)P(C)．設(shè)A、B、C為三個(gè)事件，若滿足P(AB)=P(A)P(B)

P(AC)=P(A)P(C)

P(BC)=P(B)P(C)P(ABC)=P(A)P(B)P(C)．則稱A、B、C為相互獨(dú)立的事件．一般地，設(shè)A1,A2,…,An為n個(gè)事件，若對(duì)任意k,任意1≤i1＜i2＜…＜ik≤n，都有

P(Ai1

Ai2…Aik

)=P(Ai1)P(Ai2)…P(Aik)．則稱A1，A2，…，An為相互獨(dú)立的事件．例3甲、乙兩人射出同一目標(biāo)，已知甲的命中率為0.6，乙的命中率為0.5，若兩人同時(shí)射出，求目標(biāo)被擊中的概率．解令A(yù)表示“甲命中目標(biāo)”，B表示“乙命中目標(biāo)”，C表示“目標(biāo)被擊中”，則C=A∪B．P(A∪B)=P(A)＋P(B)－P(AB)．根據(jù)題意，可以認(rèn)為A、B為相互獨(dú)立，即有P(AB)=P(A)P(B)∴P(C)=P(A∪B)=P(A)＋P(B)－

P(A)P(B)=0.6＋0.5－0.6×0.5=0.8

例4一個(gè)元件能正常工作的概率叫做這個(gè)元件的可靠性，由元件組成的系統(tǒng)能正常工作的概率叫做系統(tǒng)的可靠性，設(shè)構(gòu)成系統(tǒng)的每個(gè)元件的可靠性均為p(0＜p＜1)，且各元件能否正常工作是相互獨(dú)立的．由4個(gè)元件按圖1－7的兩種連接方式構(gòu)成系統(tǒng)Ⅰ和系統(tǒng)Ⅱ，試比較兩個(gè)系統(tǒng)可靠性的大?。饬預(yù)i表示“第i個(gè)元件工作正常”(i=1,2,3,4)，B表示“系統(tǒng)Ⅰ工作正常”，C表示“系統(tǒng)Ⅱ工作正?！?，則P(Ai)=p(i=1,2,3,4)

，且A1,A2,A3,A4相互獨(dú)立．B=A1A2∪A3A4，C=(A1∪A3)(A2∪A4)P(B)=P(A1A2∪A3A4)=P(A1A2)＋P(A3A4)－P(A1A2A3A4)=P(A1)P(A2)+P(A3)P(A4)－P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)=2p2－p4．=2(1－p)2－(1－p)4．=2(1－p)2－(1－p)4=(2p－p2)2．∴P(C)－P(B)=(2p－p2)2－（2p2－p4）=2p2(1－p)2＞0．故系統(tǒng)Ⅱ優(yōu)于系統(tǒng)Ⅰ．二、n重伯努利概型許多問題中，我們只關(guān)心試驗(yàn)中某事件A發(fā)生與否．這種只有兩個(gè)可能結(jié)果的試驗(yàn)稱為伯努利試驗(yàn)．例如：射擊“中”與“不中”，抽樣時(shí)的“正品”和“次品”，投幣試驗(yàn)“出正面”還是“出反面”，等等．在每次試驗(yàn)中事件A或者發(fā)生或者不發(fā)生，且每次試驗(yàn)結(jié)果與其它各次試驗(yàn)結(jié)果無關(guān)，即每次試驗(yàn)中A發(fā)生的概率都是P(0<p<1)，這樣的n次重復(fù)試驗(yàn)叫n重伯努里試驗(yàn).。例5一射手每次射擊命中率為0.8，向一目標(biāo)連續(xù)射擊3次是三重伯努利試驗(yàn)．若令A(yù)i表示“第i次射擊命中目標(biāo)”，由已知P(Ai)=0.8(i=1,2,3)．這個(gè)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果為這8個(gè)事件兩兩互不相容．由于3次射擊是獨(dú)立的，則事件A1，A2，A3是相互獨(dú)立的．上述8個(gè)事件的概率均可求出：P(A1A2A3)=0.83=0.512．若令pi表示“3次射擊中命中i”的概率(i=0,1,2,3)，那么伯努里定理：設(shè)一次試驗(yàn)中A發(fā)生的概率為p(0<p<1),則n重貝努里試驗(yàn)中，A恰好發(fā)生k次的概率例620件產(chǎn)品中2件次品，每次從中取一件，然后放回．取5次，求5件中取到次品數(shù)為k的概率pk(k=0,1,2,3,4,5)．解這是有放回抽樣，是五重伯努利試驗(yàn)，每次取到次品的概率p=0.1．那么章小結(jié)一、隨機(jī)試驗(yàn)

（1）可以在相同條件下重復(fù)地進(jìn)行；（2）每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，但能事先明確所有可能結(jié)果，且每次試驗(yàn)僅有其中一個(gè)結(jié)果出現(xiàn)；（3）每次試驗(yàn)進(jìn)行之前，不能斷言哪個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn)．二、隨機(jī)事件（在一次試驗(yàn)中可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件或樣本空間的子集）概念關(guān)系運(yùn)算三、概率（事件發(fā)生可能性的大?。?、頻率穩(wěn)定性→概率的統(tǒng)計(jì)定義2、古典概型（兩特性：有限性等可能性）3、幾何概型（向某可度量的區(qū)域G內(nèi)隨機(jī)投點(diǎn)，g是G內(nèi)任意小區(qū)域，點(diǎn)落入g內(nèi)的可能性大小滿足：與g的度量成正比，而與g的形狀和位置無關(guān)）4、3個(gè)公理

P(A)≥0P(Ω)=1可列可加性概率的公理化定義四、加法公式1、有限可加性（條件：兩兩互不相容）2、多去少補(bǔ)原理五、條件概率、乘法公式六、全概率公式、貝葉斯公式七、相互獨(dú)立性3、n

個(gè)事件兩兩獨(dú)立與相互獨(dú)立的區(qū)別八、n

重貝努里試驗(yàn)每次試驗(yàn)中事件A要么發(fā)生要么不發(fā)生，且每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率相等，這樣的n

次重復(fù)試驗(yàn)叫n重貝努里試驗(yàn)。若在每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率都為p，則在n重貝努里試驗(yàn)中，事件A發(fā)生n次的概率為例1、設(shè)一個(gè)人的生日在哪一天是等可能的，現(xiàn)有20人。求①生日各不相同；②恰有兩人生日相同；③至多兩人生日相同；④至少兩人生日相同的概率。（一年365天）解：用A、B、C、D依次表示上述四事件，則有例2、對(duì)飛機(jī)進(jìn)行兩次獨(dú)立射擊，第一次命中率為0.4，第二次命中率為0.5，中一彈被擊落的概率為0.2，中兩彈被擊落的概率為0.6。求①被擊中一次；②被擊中兩次；③被擊落；④已知被擊落而只中一彈的概率。解：B表示被擊落，Ci

表示中i彈，Ai

表示第i次中，則(3)用全概率公式(4)用貝葉斯公式例3、在圓周上任取三點(diǎn)A，

B，C，求△ABC為銳角△的概率。解：設(shè)D表示△ABC為銳角△，∠A=x，

∠B=y，則Ω對(duì)應(yīng)的區(qū)域ABCOxy例4、假定生男生女是等可能的，考慮有兩個(gè)孩子的家庭。①已知某家有男孩，求這一家有兩個(gè)男孩的概率；②若從這些家庭中隨機(jī)選取一個(gè)孩子結(jié)果是男孩，求這家另一個(gè)孩子也是男孩的概率。(1)b、g分表男女孩，則Ω={(bb),(bg),(gb),(gg)}(樣本點(diǎn)是家庭)且每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的概率都為1/4（生男生女等可能，相互獨(dú)立）設(shè)A表“有男孩”，B表“有兩男孩”，則AB=B(2)bb有兄弟的男孩，bg有姐妹的男孩，

gb有兄弟的女孩，

gg有姐妹的女孩，則Ω1={bb,bg,gb,gg}，每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的概率為1/4A1表示“選到男孩”，B2表示“一個(gè)孩子有兄弟”，則例5、從學(xué)校乘公汽到火車站要經(jīng)過6個(gè)交通崗，設(shè)在各交通崗遇紅燈的概率為2/5，且相互獨(dú)立。求①?zèng)]有遇到紅燈；②遇到一次紅燈；③至多遇到一次紅燈；④至少遇到一次紅燈的概率解：這是一個(gè)

n=6,p=2/5的貝努里概型①求p0②求p1③求p0+p1④求p1+p2+p3+

p4+p5+p6=1-p0例6、某店有4個(gè)售貨員，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)每個(gè)售貨員平均一個(gè)小時(shí)只有15分鐘用秤，問該店應(yīng)配備幾臺(tái)秤較為合理？解：由題設(shè)每個(gè)售貨員用秤的概率都為1/4，且相互獨(dú)立，所以此問題可看作n=4,p=1/4的貝努里概型。由于p0+p1+p2≈0.95，即最多兩人同時(shí)用秤的概率高達(dá)95%，該店應(yīng)配備兩臺(tái)秤較為合理。例7、現(xiàn)有外包裝完全相同的優(yōu)、良、中3個(gè)等級(jí)的的產(chǎn)品，各等級(jí)產(chǎn)品數(shù)量相等，每次取1件，有放回連續(xù)取3次，求下列各事件的概率：A=“三件全優(yōu)”；B=“三件同級(jí)”；C=“三件等級(jí)全不同”；D=“三件等級(jí)不全同”；E=“三件中無優(yōu)”；F=“三件無優(yōu)且無中”；G=“三件無優(yōu)或無中”。解：Ai表第i次取到優(yōu)，Bi表第i次取到良，Ci表第i次取到中，9個(gè)事件相互獨(dú)立用一般加法公式第二章

隨機(jī)變量及其分布§2.1

隨機(jī)變量及其分布函數(shù)

一、隨機(jī)變量在第一章里討論了如何用字母表示事件以及求事件概率的基本方法．為了全面地研究隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果，揭示客觀存在著的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，我們將隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果與實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)起來，將隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化，引入隨機(jī)變量的概念．有許多隨機(jī)試驗(yàn)的可能結(jié)果本身就是數(shù)字，如：擲一顆骰子觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)某射手射擊10次，觀察命中的次數(shù)測(cè)定一批電子元件的使用壽命還有一些隨機(jī)試驗(yàn)的可能結(jié)果本身不是數(shù)字，如：

抽查產(chǎn)品質(zhì)量，結(jié)果是“正品”或“次品”

射擊結(jié)果“中”或“不中”但這些結(jié)果也可以用實(shí)數(shù)來代替，如用“1”代表“中”、“0”代表“不中”等。

定義設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間為Ω，若對(duì)每一個(gè)樣本點(diǎn)ω∈Ω，存在唯一實(shí)數(shù)X(ω)與之對(duì)應(yīng)，且對(duì)任何實(shí)數(shù)x，事件{X(ω)≤x}都有確定的概率，則稱X(ω)是一個(gè)隨機(jī)變量，簡(jiǎn)單地記為X．

許多教材習(xí)慣用希臘字母ξ、η、ζ等表示隨機(jī)變量。

隨機(jī)變量是研究隨機(jī)試驗(yàn)的有效工具．引入隨機(jī)變量后，就可以用隨機(jī)變量X描述事件．例如

擲一顆骰子，用X表示出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，則{X=i}表示“出現(xiàn)i點(diǎn)”，{X＜0}是不可能事件，{X＜7}是必然事件，{X≥2}表示出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于或等于2。

隨機(jī)變量X的取值隨試驗(yàn)結(jié)果而定，在試驗(yàn)之前只知道其可能取值的范圍，因?yàn)樵囼?yàn)的各種結(jié)果出現(xiàn)的概率是可以確定的．那么，隨機(jī)變量取各個(gè)值的概率或在某個(gè)范圍內(nèi)取值的概率也就可以確定．隨機(jī)變量是隨機(jī)事件的函數(shù).

上例中P{X=i}=1/6，P{X＜0}=0，P{X＜7}=1P{X≥2}=5/6二、隨機(jī)變量的分布函數(shù)

引進(jìn)隨機(jī)變量后，我們可以用隨機(jī)變量X取值的集合來表示隨機(jī)事件。即對(duì)于任意實(shí)數(shù)a和b,{X≤a}、{X＜a}、{X＝a}、{X≥a}、{X＞a}、{a

＜X≤b

}等都是隨機(jī)事件。

定義設(shè)X是隨機(jī)變量，x是任意實(shí)數(shù)，函數(shù)

F(x)=P(X≤x)稱為X的分布函數(shù)。

對(duì)任意實(shí)數(shù)x1、x2（x1＜x2）有P{x1＜X≤x2}=P{X≤x2}－P{X≤x1}=F(x2)－F(x1)．因此，若已知X的分布函數(shù)，就知道X落在任一區(qū)間上的概率,在這個(gè)意義上分布函數(shù)完整地描述了隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性．

首先分布函數(shù)F(x)描述的是事件“X≤x”的概率，其次，它

又是一個(gè)定義于全體實(shí)數(shù)且以區(qū)間[0,1]為值域的普通函數(shù)．正

是由于它的這種雙重屬性使我們得以用數(shù)學(xué)分析的方法來研究隨

機(jī)變量的概率問題．

由分布函數(shù)的定義可知F(x)具有以下基本性質(zhì)：(1)0≤F(x)≤1，(－∞＜x＜＋∞)．(2)對(duì)任意實(shí)數(shù)x1、x2，當(dāng)x1＜x2時(shí)，有F(x1)≤F(x2)．（不減）（右連續(xù)）此外，還有這是因?yàn)檫@是因?yàn)?/p>

解當(dāng)x＜0時(shí)，{X≤x}為不可能事件，P{X≤x}=0．

當(dāng)0≤x＜1時(shí)，P{X≤x}=P{X=0}=

0.5，

當(dāng)x≥1時(shí)，P{X≤x}=P{X=0}＋

P{X=1}=1．這是一個(gè)分段函數(shù)，圖形為

例1設(shè)X為擲一枚硬幣出現(xiàn)正面的次數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布函數(shù)．oxy0.511例2向區(qū)間[0，1]上隨機(jī)投一點(diǎn)，使所投點(diǎn)落在[0，1]內(nèi)

任一子區(qū)間的概率與子區(qū)間長(zhǎng)度成正比（比例系數(shù)為1），而

與子區(qū)間所在位置無關(guān)．令X表示落點(diǎn)的坐標(biāo)，則X是一個(gè)隨

機(jī)變量，求X的分布函數(shù)．

解X是一個(gè)非離散型隨機(jī)變量，分布函數(shù)F(x)=P{X≤x}

根據(jù)題意有：

x＜0時(shí)，{X≤x}為不可能事件，F(xiàn)(x)=P{X≤x}=0．0≤x＜

1時(shí)，F(xiàn)(x)=P{X≤x}=P{0≤X＜

x}=x．

x＞1時(shí)，{X≤x}為必然發(fā)生，F(xiàn)(x)=P{X≤x}=1．

因此，X的分布函數(shù)

例2設(shè)X的分布函數(shù)為求常數(shù)A與B的值。解：由于所以于是

例3設(shè)X的分布函數(shù)為求P{1<X≤2},P{2≤X≤4},P{X>3}。

解P{1＜X≤2}=F(2)－F(1)=0.5－0.2=0.3P{2≤X≤4}=P{X=2}+P{2＜X≤4}=［F(2)－F(2－0)］+［F(4)－F(2)

］=0.6－0.2=0.4P{X＞3}=1－P{X≤3}=1－F(3)=1－0.5=0.5§2.2離散型隨機(jī)變量有些隨機(jī)變量，它全部可能取值只有有限個(gè)或可列無窮多個(gè)，這類隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．例如，擲一顆骰子觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)、某射手射擊10次，觀察命中的次數(shù)、電話交換臺(tái)單位時(shí)間接到的呼叫次數(shù)等，它們都是離散型隨機(jī)變量．而測(cè)定電子元件的使用壽命，其可能取的值充滿了區(qū)間(0,+∞)，是無法按一定次序一一列舉出來的,所以它是一個(gè)非離散型的隨機(jī)變量．為了完全描述隨機(jī)變量X，只知道它可能取的值是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，更重要的是要知道它取各個(gè)值的概率．

設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為xk(k=1,2,…)，事件{X=xk}的概率為

P{X=xk}=pk(k=1,2,…)

(1)

稱(1)式為離散型隨機(jī)變量X的概率分布或分布律．它也可以用表格的形式來表示：X

x1x2…

xn

…

pkp1

p2…

pn…由概率的定義，pk

滿足如下兩個(gè)條件

(1)pk≥0(k=1,2,…)；

反之，滿足上述條件的數(shù)列{pk}都是某一隨機(jī)變量的分布列。

一般地，離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)可表成都是右連續(xù)單調(diào)不減的階梯函數(shù)．它在X的每一個(gè)可能取值處發(fā)生“跳躍”，其跳躍的高度恰為X取xi的概率．

顯然，離散隨機(jī)變量的分布函數(shù)由其分布律惟一確定．反之，若已知離散隨機(jī)變量的分布函數(shù)，則其分布律亦被惟一地確定下來．因而分布律和分布函數(shù)都能完整描述離散型隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，在應(yīng)用時(shí)可選一種即可。例1設(shè)X的分布函數(shù)為求X的分布率。

解離散隨機(jī)變量?jī)H在其分布函數(shù)發(fā)生跳躍的點(diǎn)處取值，且其概率恰等于該點(diǎn)處的躍度．

于是由分布函數(shù)可得分布律為X0245P{X=k}

0.20.30.10.41．兩點(diǎn)分布（0-1分布）若隨機(jī)變量X只可能取兩個(gè)值，其概率分布為

P{X=1}=p，P{X=0}=q(0＜p＜1，p＋q=1)．

則稱X服從兩點(diǎn)分布或0-1分布．也可表示為：X01pk

1－

pp分布函數(shù)為

對(duì)于只有兩種可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)，總可以令其中一個(gè)結(jié)果為事件A，則另一個(gè)結(jié)果為則問題就歸結(jié)為兩點(diǎn)分布．例如，一次射擊的命中與否；一個(gè)新生兒是男是女；一次抽樣結(jié)果是正品還是次品，等等．2．二項(xiàng)分布在§1.7中介紹了n重伯努利試驗(yàn)，當(dāng)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p(0＜p＜1)時(shí)，n次試驗(yàn)中A發(fā)生的次數(shù)X的可能值為0,1,2,…,n．且P{X=k}=pk=用{X=1}表A，{X