2023-2024學(xué)年河南省平頂山市八年級(jí)（下）期末數(shù)學(xué)試卷

第1頁(yè)（共1頁(yè)）2023-2024學(xué)年河南省平頂山市八年級(jí)（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每小題3分，共30分）下列各小題均有四個(gè)答案，其中只有一個(gè)是正確的．1．（3分）新能源汽車(chē)產(chǎn)業(yè)發(fā)展對(duì)減少交通領(lǐng)域污染物排放、促進(jìn)高質(zhì)量碳達(dá)峰、降低石油進(jìn)口依賴(lài)、支撐建設(shè)全球汽車(chē)強(qiáng)國(guó)具有重要意義．在以下四種國(guó)產(chǎn)品牌的車(chē)標(biāo)中，是中心對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A． B． C． D．2．（3分）分式有意義，則x的取值范圍是（）A．x≠0 B．x≠1 C．x≠﹣1 D．x＞﹣13．（3分）下列等式從左到右的變形，是因式分解的是（）A．（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣4y2 B．6xy2＝2x?3y2 C．x2﹣2x+1＝（x﹣1）2 D．a(chǎn)2﹣a﹣2＝a（a﹣1）﹣24．（3分）若x＜y，則下列不等式一定成立的是（）A．x+m＞y+m B．﹣3x＜﹣3y C． D．2x﹣n＜2y﹣n5．（3分）如圖，在四邊形ABCD中，已知∠1＝∠2，添加下列條件不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（）A．AB∥CD B．∠3＝∠4 C．AD＝BC D．∠1＝∠36．（3分）小明準(zhǔn)備用26元買(mǎi)火腿腸和方便面，已知一根火腿腸2元，一盒方便面3元，他買(mǎi)了5盒方便面，他最多可以買(mǎi)幾根火腿腸（）A．4 B．5 C．6 D．77．（3分）用形狀、大小完全相同的一種或幾種平面圖形進(jìn)行拼接，彼此之間不留空隙、不重疊地鋪成一片，就是平面圖形的鑲嵌．只用下面一種圖形能夠進(jìn)行平面鑲嵌的是（）A．正五邊形 B．正六邊形 C．正八邊形 D．正十二邊形8．（3分）如圖，CD是△ABC邊AB上的高，且AB＝AC．分別以點(diǎn)A，C為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧的交點(diǎn)為M，N，直線MN恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，則∠BCD的度數(shù)為（）A．22.5° B．23° C．23.5° D．24°9．（3分）為提升城市充電基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)，某公共停車(chē)場(chǎng)計(jì)劃購(gòu)進(jìn)A，B兩種型號(hào)的充電樁．已知A型充電樁比B型充電樁的單價(jià)少0.2萬(wàn)元，且用16萬(wàn)元購(gòu)買(mǎi)A型充電樁的數(shù)量比用15萬(wàn)元購(gòu)買(mǎi)B型充電樁的數(shù)量多5個(gè)．設(shè)A型充電樁的單價(jià)為x萬(wàn)元，則可列方程為（）A． B． C． D．10．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，，點(diǎn)E為斜邊AC的中點(diǎn)，點(diǎn)D在邊BC上，且CD＝4．點(diǎn)P為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，則PD+PE的最小值為（）A． B． C． D．二、填空題（每小題3分，共15分）11．（3分）分解因式：6x﹣9xy＝．12．（3分）已知不等式組的解集為x＞3，寫(xiě)出一個(gè)滿(mǎn)足題意的a的值．13．（3分）如圖，CD是△ABC邊AB上的高，且AB＝AC＝4，∠ABC＝15°，則△ABC的面積為．14．（3分）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，且BC＝2AB＝2，當(dāng)∠B＝60°時(shí)，DE的長(zhǎng)為．15．（3分）如圖，點(diǎn)D是等邊△ABC邊BC上一點(diǎn)，且∠BAD＝20°．將△ABD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（α≠0）得到△AB′D′，其中點(diǎn)B，D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為B′，D′當(dāng)直線B′D′經(jīng)過(guò)△ABC的頂點(diǎn)時(shí)，∠CDD′的度數(shù)為．三、解答題（共8小題，共75分）16．（10分）（1）解不等式組，并把不等式①，②的解集表示在數(shù)軸上．（2）解方程：．17．（9分）先化簡(jiǎn)，再求值，其中a＝4．18．（9分）如圖，O，M，N在正方形網(wǎng)格紙的格點(diǎn)上，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度，連接MN．（1）先將線段MN向左平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到線段M1N1，其中M，N的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為M1，N1，再將線段M1N1繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得線段M2N2，M1，N1的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為M2，N2．（2）連接MM2，利用尺規(guī)作圖畫(huà)出∠MM2N2平分線M2P，并在射線M2P上描出點(diǎn)Q，使得QN＝QN1．19．（9分）如圖，在?ABCD中，E、F是對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，并且AF＝CE．求證：BF＝DE．20．（9分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l1：y＝﹣x+4與直線l2：y＝3x+b交于點(diǎn)A（2，m），且直線l1與x軸相交于點(diǎn)B，直線l2與y軸相交于點(diǎn)C．（1）求出m與b的值．（2）根據(jù)圖象，直接寫(xiě)不等式組﹣x+4＞3x+b的解集．（3）連接BC，求△ABC的面積．21．（9分）問(wèn)題提出：如圖1，BD是四邊形ABCD的對(duì)角線，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，且AE＝CF．在不添加輔助線的情況下，要證明四邊形ABCD是平行四邊形，需增加一個(gè)怎樣的條件．小萌的想法：增加條件∠ABD＝∠CDB．理由如下：∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB＝∠CFD＝90°．又∠ABD＝∠CDB，AE＝CF，則△ABE≌△CDF（依據(jù)①），∴AB＝CD．由∠ABD＝∠CDB可得：AB∥CD∴四邊形ABCD是平行四邊形．（依據(jù)②）小燕的想法：增加條件AD＝CB．理由如下：…數(shù)學(xué)思考：（1）請(qǐng)你寫(xiě)出小萌推理過(guò)程中的依據(jù)①和依據(jù)②的內(nèi)容：依據(jù)①：；依據(jù)②：．（2）請(qǐng)你幫助小燕寫(xiě)出推理過(guò)程．（3）如圖2，AC是?ABCD的對(duì)角線，BE⊥AC于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，連接FB，AB＝FB，∠BAC＝45°，，直接寫(xiě)出?ABCD的面積．22．（10分）一個(gè)批發(fā)兼零售的文具店規(guī)定：凡一次購(gòu)買(mǎi)鉛筆300支以上（不包括300支），可以按批發(fā)價(jià)付款；購(gòu)買(mǎi)300支以下（包括300支）只能按零售價(jià)付款．小明來(lái)該店購(gòu)買(mǎi)鉛筆，如果給學(xué)校八年級(jí)學(xué)生每人購(gòu)買(mǎi)1支，那么只能按零售價(jià)付款，需用120元；如果多購(gòu)買(mǎi)60支，那么可以按批發(fā)價(jià)付款，同樣需用120元．設(shè)該校八年級(jí)的學(xué)生總數(shù)為x人．（1）請(qǐng)你利用解不等式組，求八年級(jí)的學(xué)生總數(shù)x的取值范圍？（2）如果按批發(fā)價(jià)購(gòu)買(mǎi)360支鉛筆與按零售價(jià)購(gòu)買(mǎi)300支所付款相同，那么這個(gè)學(xué)校八年級(jí)學(xué)生有多少人？23．（10分）如圖，在△ABC中，已知∠B＝∠C＝α，（0°＜α＜45°），AD⊥BC，垂足為D．點(diǎn)P是線段DC上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)D，C重合），將線段PD繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)2α得到線段PE，連接DE．（1）觀察猜想：如圖1，當(dāng)點(diǎn)E落在線段AC上時(shí)，PC與PD的數(shù)量關(guān)系為；△ADE的形狀是．（2）探索證明：如圖2，若在線段BP上存在點(diǎn)Q（不與點(diǎn)B，P重合）滿(mǎn)足PQ＝PC，連接AE，AQ，QE，判斷△AEQ的形狀，并說(shuō)明理由．（提示：延長(zhǎng)QE到F，使得QE＝EF，連接AF，CF）（3）解決問(wèn)題：在（2）的條件下，若∠BAC＝120°，．當(dāng)點(diǎn)P為線段CD的三等分點(diǎn)時(shí)，直接寫(xiě)出四邊形ABQE的周長(zhǎng)．

2023-2024學(xué)年河南省平頂山市八年級(jí)（下）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（每小題3分，共30分）下列各小題均有四個(gè)答案，其中只有一個(gè)是正確的．1．（3分）新能源汽車(chē)產(chǎn)業(yè)發(fā)展對(duì)減少交通領(lǐng)域污染物排放、促進(jìn)高質(zhì)量碳達(dá)峰、降低石油進(jìn)口依賴(lài)、支撐建設(shè)全球汽車(chē)強(qiáng)國(guó)具有重要意義．在以下四種國(guó)產(chǎn)品牌的車(chē)標(biāo)中，是中心對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A，B，C不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，D是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故選：D．2．（3分）分式有意義，則x的取值范圍是（）A．x≠0 B．x≠1 C．x≠﹣1 D．x＞﹣1【解答】解：由題可知，1﹣x≠0，解得x≠1．故選：B．3．（3分）下列等式從左到右的變形，是因式分解的是（）A．（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣4y2 B．6xy2＝2x?3y2 C．x2﹣2x+1＝（x﹣1）2 D．a(chǎn)2﹣a﹣2＝a（a﹣1）﹣2【解答】解：A．從左邊到右邊的變形是平方差公式的運(yùn)用，不屬于因式分解，故本選項(xiàng)不符合題意；B．從左邊到右邊的變形不屬于因式分解，故本選項(xiàng)不符合題意；C．從左邊到右邊的變形屬于因式分解，故本選項(xiàng)符合題意；D．從左邊到右邊的變形不屬于因式分解，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：C．4．（3分）若x＜y，則下列不等式一定成立的是（）A．x+m＞y+m B．﹣3x＜﹣3y C． D．2x﹣n＜2y﹣n【解答】解：A．因?yàn)閤＜y，所以x+m＜y+m，故本選項(xiàng)不合題意；B．因?yàn)閤＜y，所以﹣3x＞﹣3y，故本選項(xiàng)不合題意；C．因?yàn)閤＜y，所以，故本選項(xiàng)不合題意；D．因?yàn)閤＜y，所以2x﹣n＜2y﹣n，故本選項(xiàng)符合題意；故選：D．5．（3分）如圖，在四邊形ABCD中，已知∠1＝∠2，添加下列條件不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（）A．AB∥CD B．∠3＝∠4 C．AD＝BC D．∠1＝∠3【解答】解：A、∵∠1＝∠2，∴AD∥BC，∵AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故選項(xiàng)A不符合題意；B、∵∠1＝∠2，∴AD∥BC，∵∠3＝∠4，∴AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故選項(xiàng)B不符合題意；C、∵∠1＝∠2，∴AD∥BC，∵AD＝BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故選項(xiàng)C不符合題意；D、∠1＝∠3，無(wú)法判斷四邊形ABCD是平行四邊形．故選項(xiàng)D符合題意．故選：D．6．（3分）小明準(zhǔn)備用26元買(mǎi)火腿腸和方便面，已知一根火腿腸2元，一盒方便面3元，他買(mǎi)了5盒方便面，他最多可以買(mǎi)幾根火腿腸（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：設(shè)他買(mǎi)了x根火腿腸，根據(jù)題意得2x+5×3≤26，解得x≤5.5，所以x的最大整數(shù)為5，即他最多可以買(mǎi)5根火腿腸．故選：B．7．（3分）用形狀、大小完全相同的一種或幾種平面圖形進(jìn)行拼接，彼此之間不留空隙、不重疊地鋪成一片，就是平面圖形的鑲嵌．只用下面一種圖形能夠進(jìn)行平面鑲嵌的是（）A．正五邊形 B．正六邊形 C．正八邊形 D．正十二邊形【解答】解：A、正五邊形每個(gè)內(nèi)角是180°﹣360°÷5＝108°，不能整除360°，不能密鋪，故選項(xiàng)不符合題意；B、正六邊形的每個(gè)內(nèi)角是120°，能整除360°，3個(gè)能密鋪，故選項(xiàng)符合題意；C、正八邊形每個(gè)內(nèi)角是180°﹣360°÷8＝135°，不能整除360°，不能密鋪，故選項(xiàng)不符合題意；D、正十二邊形每個(gè)內(nèi)角是180°﹣360°÷12＝150°，不能整除360°，不能密鋪，故選項(xiàng)不符合題意；故選：B．8．（3分）如圖，CD是△ABC邊AB上的高，且AB＝AC．分別以點(diǎn)A，C為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧的交點(diǎn)為M，N，直線MN恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，則∠BCD的度數(shù)為（）A．22.5° B．23° C．23.5° D．24°【解答】解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，由作圖可知，MN垂直平分AC，∵直線MN恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，∴AD＝CD，∴∠A＝∠ACD，又∵∠ADC＝90°，∴∠ACD＝45°，∵∠CDB＝90°，∴∠B+∠BCD＝90°，∴∠ACB+∠BCD＝90°，∴∠BCD+∠BCD+∠ACD＝90°，∴2∠BCD+45°＝90°，∴∠BCD＝22.5°，故選：A．9．（3分）為提升城市充電基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)，某公共停車(chē)場(chǎng)計(jì)劃購(gòu)進(jìn)A，B兩種型號(hào)的充電樁．已知A型充電樁比B型充電樁的單價(jià)少0.2萬(wàn)元，且用16萬(wàn)元購(gòu)買(mǎi)A型充電樁的數(shù)量比用15萬(wàn)元購(gòu)買(mǎi)B型充電樁的數(shù)量多5個(gè)．設(shè)A型充電樁的單價(jià)為x萬(wàn)元，則可列方程為（）A． B． C． D．【解答】解：設(shè)A型充電樁的單價(jià)為x萬(wàn)元，則B型充電樁的單價(jià)（x+0.2）萬(wàn)元．根據(jù)題意得：﹣5＝．故選：C．10．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，，點(diǎn)E為斜邊AC的中點(diǎn)，點(diǎn)D在邊BC上，且CD＝4．點(diǎn)P為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，則PD+PE的最小值為（）A． B． C． D．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，，∴AC＝2BC，∵AC2＝AB2+BC2，∴BC＝6，AC＝12，∴BD＝BC﹣CD＝2，延長(zhǎng)DB到F，使得BF＝BD＝2，連接EF交AB于P，取BC的中點(diǎn)Q，連接EQ，∴D、F關(guān)于AB對(duì)稱(chēng)，∴PF＝DF，BQ＝，∴PD+PE＝PE+PF≥EF，∵E是AC的中點(diǎn)，∴EQ＝，EQ∥AB，∴EQ⊥BC，∴EF＝＝2，故選：A．二、填空題（每小題3分，共15分）11．（3分）分解因式：6x﹣9xy＝3x（2﹣3y）．【解答】解：原式＝3x（2﹣3y）．故答案為：3x（2﹣3y）．12．（3分）已知不等式組的解集為x＞3，寫(xiě)出一個(gè)滿(mǎn)足題意的a的值2（答案不唯一）．【解答】解：∵不等式組的解集為x＞3，∴a≤3，∴a的值可以是2，故答案為：2（答案不唯一）．13．（3分）如圖，CD是△ABC邊AB上的高，且AB＝AC＝4，∠ABC＝15°，則△ABC的面積為4．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝15°，∴∠CAD＝∠B+∠ACB＝15°+15°＝30°，∴CD＝AC＝×4＝2，∴△ABC的面積＝AB?CD＝×4×2＝4．故答案為：4．14．（3分）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，且BC＝2AB＝2，當(dāng)∠B＝60°時(shí)，DE的長(zhǎng)為．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，BC＝2AB＝2，∠B＝60°∴AD∥BC，AD＝BC＝2，CD＝AB＝BC＝1，∠ADC＝∠B＝60°，∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∴BE＝CE＝BC＝1，∴AB＝BE，CD＝CE，∴△ABE是等邊三角形，∴AE＝AB＝1，∠DAE＝∠AEB＝60°，∵CD＝CE，∴∠CDE＝∠CED，∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠CED，∴∠ADE＝∠CDE＝∠ADC＝30°，∴∠AED＝180°﹣∠DAE﹣∠ADE＝90°，∴DE＝＝＝，故答案為：．15．（3分）如圖，點(diǎn)D是等邊△ABC邊BC上一點(diǎn)，且∠BAD＝20°．將△ABD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（α≠0）得到△AB′D′，其中點(diǎn)B，D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為B′，D′當(dāng)直線B′D′經(jīng)過(guò)△ABC的頂點(diǎn)時(shí)，∠CDD′的度數(shù)為140°或0°或20°．【解答】解：由題意知，當(dāng)直線BD′經(jīng)過(guò)△ABC的頂點(diǎn)時(shí)，分BD′經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)B，BD經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)C，兩種情況求解：當(dāng)BD′經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)B時(shí)，如圖1，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，∠AB'D'＝∠ABD＝60°，∠B'AD'＝∠BAD＝20°，AB′＝AB＝AC，AD′＝AD，∴△ABB是等邊三角形，∴∠B'AB＝60°，∴∠D'AB＝40°，∠D'AD＝60°，∴△D′AD是等邊三角形，∴∠ADD'＝60°，∴∠CDD'＝∠ADD'+∠ADC＝∠ADD'+（∠ABC+∠BAD）＝140°，當(dāng)α＝360°時(shí)，B、B重合，BD經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)B、C，如圖2，此時(shí)∠CDD'＝0°；當(dāng)B′D經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)C時(shí)，當(dāng)∠ACB'＝∠AB'D'＝60°，此時(shí)B′、B重合，∠CDD'＝0°，當(dāng)∠ACB'＝180°﹣∠AB'D'＝120°，此時(shí)不成立；當(dāng)B、C重合，BD經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)C，如圖3，同理，△DAD是等邊三角形，∴∠ADD'＝60°，∴∠CDD'＝∠ADC﹣∠ADD'＝（∠B+∠BAD）﹣∠ADD'＝20°，綜上所述，∠CDD的度數(shù)為140°或50°或20°，故答案為：140°或0°或20°．三、解答題（共8小題，共75分）16．（10分）（1）解不等式組，并把不等式①，②的解集表示在數(shù)軸上．（2）解方程：．【解答】解：（1），解不等式①，得x≥1，解不等式②，得x＜2，把不等式①，②的解集表示在數(shù)軸上如下：所以不等式組的解集是1≤x＜2；（2），方程可化為，方程兩邊同乘x﹣4，得3﹣x﹣1＝x﹣4，解得x＝3，檢驗(yàn)：當(dāng)x＝3時(shí)x﹣4≠0，所以分式方程的解是x＝3．17．（9分）先化簡(jiǎn)，再求值，其中a＝4．【解答】解：原式＝?＝＝，當(dāng)a＝4時(shí)，原式＝＝1．18．（9分）如圖，O，M，N在正方形網(wǎng)格紙的格點(diǎn)上，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度，連接MN．（1）先將線段MN向左平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到線段M1N1，其中M，N的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為M1，N1，再將線段M1N1繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得線段M2N2，M1，N1的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為M2，N2．（2）連接MM2，利用尺規(guī)作圖畫(huà)出∠MM2N2平分線M2P，并在射線M2P上描出點(diǎn)Q，使得QN＝QN1．【解答】解：（1）如圖，線段M1N1和線段M2N2即為所求．（2）如圖，射線M2P即為所求．作線段N1N的垂直平分線，交射線M2P于點(diǎn)Q，此時(shí)QN＝QN1，則點(diǎn)Q即為所求．19．（9分）如圖，在?ABCD中，E、F是對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，并且AF＝CE．求證：BF＝DE．【解答】證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD＝BC，AD∥BC，∠DAC＝∠BCA，∵AF＝CE，∴AE＝CF，在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（SAS），∴BF＝DE．20．（9分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l1：y＝﹣x+4與直線l2：y＝3x+b交于點(diǎn)A（2，m），且直線l1與x軸相交于點(diǎn)B，直線l2與y軸相交于點(diǎn)C．（1）求出m與b的值．（2）根據(jù)圖象，直接寫(xiě)不等式組﹣x+4＞3x+b的解集．（3）連接BC，求△ABC的面積．【解答】解：（1）由題意得：m＝﹣2+4＝2，∴3×2+b＝m＝2，解得：b＝﹣4，∴m的值為2，m的值為﹣4；（2）由圖象得：當(dāng)x＜2時(shí)，﹣x+4＞3x+b，即：不等式組﹣x+4＞3x+b的解集為：x＜2；（3）設(shè)l1與y軸交于點(diǎn)D，當(dāng)y＝0時(shí)，x＝4，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝4，則：B（4，0），D（0，4），∴S△ABC＝S△BCD﹣S△ACD＝×8×4﹣＝16﹣8＝8．21．（9分）問(wèn)題提出：如圖1，BD是四邊形ABCD的對(duì)角線，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，且AE＝CF．在不添加輔助線的情況下，要證明四邊形ABCD是平行四邊形，需增加一個(gè)怎樣的條件．小萌的想法：增加條件∠ABD＝∠CDB．理由如下：∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB＝∠CFD＝90°．又∠ABD＝∠CDB，AE＝CF，則△ABE≌△CDF（依據(jù)①），∴AB＝CD．由∠ABD＝∠CDB可得：AB∥CD∴四邊形ABCD是平行四邊形．（依據(jù)②）小燕的想法：增加條件AD＝CB．理由如下：…數(shù)學(xué)思考：（1）請(qǐng)你寫(xiě)出小萌推理過(guò)程中的依據(jù)①和依據(jù)②的內(nèi)容：依據(jù)①：AAS；依據(jù)②：一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．（2）請(qǐng)你幫助小燕寫(xiě)出推理過(guò)程．（3）如圖2，AC是?ABCD的對(duì)角線，BE⊥AC于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，連接FB，AB＝FB，∠BAC＝45°，，直接寫(xiě)出?ABCD的面積．【解答】解：（1）依據(jù)①：AAS；依據(jù)②：一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；故答案為：AAS；一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；（2）∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB＝∠CFD＝90°，在Rt△ADE與Rt△CBF中，，∴Rt△ADE≌Rt△CBF（HL），∴∠ADE＝∠CBF，∴AD∥CB，∴四邊形ABCD是平行四邊形；（3）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA，∵BE⊥AC于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，∴∠AEB＝∠CFD＝90°，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴AE＝CF，∵AB＝BF＝，∴∠BAC＝∠AFB＝45°，AE＝EF，∴AE＝BE＝EF＝AB＝1，∴AE＝EF＝CF＝1，∴AC＝3，∴?ABCD的面積＝2S△ABC＝2×AC?BE＝2××3×1＝3．22．（10分）一個(gè)批發(fā)兼零售的文具店規(guī)定：凡一次購(gòu)買(mǎi)鉛筆300支以上（不包括300支），可以按批發(fā)價(jià)付款；購(gòu)買(mǎi)300支以下（包括300支）只能按零售價(jià)付款．小明來(lái)該店購(gòu)買(mǎi)鉛筆，如果給學(xué)校八年級(jí)學(xué)生每人購(gòu)買(mǎi)1支，那么只能按零售價(jià)付款，需用120元；如果多購(gòu)買(mǎi)60支，那么可以按批發(fā)價(jià)付款，同樣需用120元．設(shè)該校八年級(jí)的學(xué)生總數(shù)為x人．（1）請(qǐng)你利用解不等式組，求八年級(jí)的學(xué)生總數(shù)x的取值范圍？（2）如果按批發(fā)價(jià)購(gòu)買(mǎi)360支鉛筆與按零售價(jià)購(gòu)買(mǎi)300支所付款相同，那么這個(gè)學(xué)校八年級(jí)學(xué)生有多少人？【解答】解：（1）依題意，得：，解得：240＜x≤300，答：八年級(jí)的學(xué)生總數(shù)x的取值范圍為240＜x≤300；（2）設(shè)這個(gè)學(xué)校八年級(jí)學(xué)生有y人，依題意得：×300＝×360，解得：y＝300，經(jīng)檢驗(yàn)，y＝300是原方程的根，答：這個(gè)學(xué)校八年級(jí)學(xué)生有300人．23．（10分）如圖，在△ABC中，已知∠B＝∠C＝α，（0°＜α＜45°），AD⊥BC，垂足為D．點(diǎn)P是線段DC上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)D，C重合），將線段PD繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)2α得到線段PE，連接D