分式及其運(yùn)算（原卷版）-2024年中考數(shù)學(xué)真題

分式及其運(yùn)算

目錄一覽

知識(shí)目標(biāo)（新課程標(biāo)準(zhǔn)提煉）

中考解密（分析中考考察方向，厘清命題趨勢(shì)，精準(zhǔn)把握重難點(diǎn)）

考點(diǎn)回歸（梳理基礎(chǔ)考點(diǎn)，清晰明了，便于識(shí)記）

重點(diǎn)考向（以真題為例，探究中考命題方向）

A考向一分式有意義的條件

A考向二分式的值為零的條件

A考向三分式的值

A考向四分式的乘除法

A考向五分式的加減法

A考向六分式的混合運(yùn)算

A考向七分式的化簡(jiǎn)求值

A考向八零指數(shù)幕與負(fù)整數(shù)指數(shù)導(dǎo)的運(yùn)算

最新真題薈萃（精選最新典型真題，強(qiáng)化知識(shí)運(yùn)用，優(yōu)化解題技巧）

知識(shí)目標(biāo)

1.了解分式和最簡(jiǎn)分式的概念；

2.能利用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行約分和通分；

3.能進(jìn)行簡(jiǎn)單的分式加、減、乘、除法運(yùn)算.

2:中考解密

分式是歷年中考的考察重點(diǎn)，年年考查，分值為10分左右。預(yù)計(jì)2024年各地中考還將繼續(xù)重視對(duì)分式的

有關(guān)概念、分式的性質(zhì)和分式的混合運(yùn)算等的考查，且考查形式多樣，為避免丟分，學(xué)生應(yīng)扎實(shí)掌握。

考點(diǎn)回歸

分式的概念1.分式的概念：一般地，如果A、B表示兩個(gè)整式，并且B中含有字母，

A

那么式子W叫做分式。

B

【注意】A、B都是整式，B中含有字母，且BRO。

2.因?yàn)?不能做除數(shù)，所以分式的分母不能為0.

3.分式是兩個(gè)整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分?jǐn)?shù)線

可以理解為除號(hào)，還兼有括號(hào)的作用.

4.分式的分母必須含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即

從形式上看是A的形式，從本質(zhì)上看分母必須含有字母，同時(shí)，分母不等

B

于零，且只看初始狀態(tài)，不要化簡(jiǎn).

5.分式是一種表達(dá)形式，如x+」+2是分式，如果形式都不是a的形式，那

xB

就不能算是分式了，如：(x+1)+(x+2),它只表示一種除法運(yùn)算，而

不能稱之為分式，但如果用負(fù)指數(shù)次募表示的某些代數(shù)式如(a+b)-2,

y-1,則為分式，因?yàn)閥-1=」僅是一種數(shù)學(xué)上的規(guī)定，而非一種運(yùn)算形

y

式.

分式有意義的1.分式有意義的條件是分母不等于零.

條件2.分式無(wú)意義的條件是分母等于零.

3.分式的值為正數(shù)的條件是分子、分母同號(hào).

4.分式的值為負(fù)數(shù)的條件是分子、分母異號(hào).

分式的值為零分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零.

的條件注意：“分母不為零”這個(gè)條件不能少.

分式的值分式求值歷來是各級(jí)考試中出現(xiàn)頻率較高的題型，而條件分式求值是較難

的一種題型，在解答時(shí)應(yīng)從已知條件和所求問題的特點(diǎn)出發(fā)，通過適當(dāng)?shù)?/p>

變形、轉(zhuǎn)化，才能發(fā)現(xiàn)解題的捷徑.

分式的基本性1.分式的基本性質(zhì)

質(zhì)及其運(yùn)用分式的分子與分母乘(或除以)同一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變。

AAC.AA^C(、

—=----/一=------(cro)o

BBCBB+C

2.分式的約分和通分

(1)約分：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把一個(gè)分式的分子與分母的公因式約

去叫做分式的約分。

(2)通分：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把幾個(gè)異分母的分式分別化成與原來

的分式相等的同分母的分式叫做分式的通分。

(3)最簡(jiǎn)分式：分子與分母沒有公因式的分式，叫做最簡(jiǎn)分式。

(4)最簡(jiǎn)公分母：各分母的所有因式的最高次募的積叫做最簡(jiǎn)公分母。

【注意1］約分的根據(jù)是分式的基本性質(zhì).約分的關(guān)鍵是找出分子和分母

的公因式。

【注意2】通分的根據(jù)是分式的基本性質(zhì).通分的關(guān)鍵是確定幾個(gè)分式的

最簡(jiǎn)公分母。

分式的乘除法1.分式的乘法法則：分式乘分式，用分子的積作積的分子，分母的積作積

的分母.

bdb-d

2.分式的除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與

被除式相乘.^4--=---=—

bdbcb-c

3.分式的乘方法則：把分子、分母分別乘方.(q丫=丈

UJb"

4.分式的乘、除、乘方混合運(yùn)算.運(yùn)算順序應(yīng)先把各個(gè)分式進(jìn)行乘方運(yùn)算，

再進(jìn)行分式的乘除運(yùn)算，即“先乘方，再乘除”.

分式的加減法1.同分母分式加減法法則：同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加

、邛a,ba±b

感.一±—=----

CCC

2.異分母分式加減法法則把分母不相同的幾個(gè)分式化成分母相同的分式，

叫做通分，經(jīng)過通分，異分母分式的加減就轉(zhuǎn)化為同分母分式的加減.

acadbead±bc

+—±—

bdbdbdbd

說明：

(1)分式的通分必須注意整個(gè)分子和整個(gè)分母，分母是多項(xiàng)式時(shí)，必須

先分解因式，分子是多項(xiàng)式時(shí)，要把分母所乘的相同式子與這個(gè)多項(xiàng)式相

乘，而不能只同其中某一項(xiàng)相乘.

（2）通分是和約分是相反的一種變換.約分是把分子和分母的所有公因

式約去，將分式化為較簡(jiǎn)單的形式；通分是分別把每一個(gè)分式的分子分母

同乘以相同的因式，使幾個(gè)較簡(jiǎn)單的分式變成分母相同的較復(fù)雜的形

式.約分是對(duì)一個(gè)分式而言的；通分則是對(duì)兩個(gè)或兩個(gè)以上的分式來說

的.

分式的混合運(yùn)1.分式的混合運(yùn)算，要注意運(yùn)算順序，式與數(shù)有相同的混合運(yùn)算順序；先

算乘方，再乘除，然后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的.

2.最后結(jié)果分子、分母要進(jìn)行約分，注意運(yùn)算的結(jié)果要化成最簡(jiǎn)分式或整

式.

3.分式的混合運(yùn)算，一般按常規(guī)運(yùn)算順序，但有時(shí)應(yīng)先根據(jù)題目的特點(diǎn)，

運(yùn)用乘法的運(yùn)算律進(jìn)行靈活運(yùn)算.

分式的化簡(jiǎn)求先把分式化簡(jiǎn)后，再把分式中未知數(shù)對(duì)應(yīng)的值代入求出分式的值.

值在化簡(jiǎn)的過程中要注意運(yùn)算順序和分式的化簡(jiǎn).化簡(jiǎn)的最后結(jié)果分子、分

母要進(jìn)行約分，注意運(yùn)算的結(jié)果要化成最簡(jiǎn)分式或整式.

【規(guī)律方法】分式化簡(jiǎn)求值時(shí)需注意的問題

1.化簡(jiǎn)求值，一般是先化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)分式或整式，再代入求值.化簡(jiǎn)時(shí)不

能跨度太大，而缺少必要的步驟，代入求值的模式一般為“當(dāng)...時(shí)，原式

—,,

2.代入求值時(shí)，有直接代入法，整體代入法等常用方法.解題時(shí)可根據(jù)

題目的具體條件選擇合適的方法.當(dāng)未知數(shù)的值沒有明確給出時(shí)，所選取

的未知數(shù)的值必須使原式中的各分式都有意義，且除數(shù)不能為0.

A考向一分式有意義的條件

廨題技f亍嵬錯(cuò)易源7將則提醒

A

分式的三要素：（1）形如萬(wàn)的式子；（2）43均為整式；（3）分母5中含有字母.

?尸面）…若芬式…］一看意文「廁;而前i板國(guó)戛7）

x+1

A.燈-1B.xr0C.#1D.#2

2.（2023?鎮(zhèn)江）使分式1有意義的x的取值范圍是.

x-5

3.（2022?南京）若2在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是.

x-3

A考向二分式的值為零的條件

廨題技［可易錯(cuò)易痘7聒則盤馥

分式的意義：

（1）有意義的條件是分式中的字母取值不能使分母等于零，即

（2）無(wú)意義的條件是分母為0.（3）分式值為0要滿足兩個(gè)條件，分子為0,分母不為0.

4.（2023?涼山州）分式2的值為0,則X的值是（)

X-X

X-1

A.0B.-1C.1D.0或1

5.（2023?常州）若代數(shù)式的值是0,則實(shí)數(shù)X的值是（)

X

2

X-1

A.-1B.0C.1D.2

6.(2023?湖州)若分式x-l的值為0,則X的值是（)

3x+l

A.1B.0C.-1D.-3

A考向三分式的值

解題技巧/易錯(cuò)易混/特別提醒

應(yīng)用完全平方公式時(shí)，要注意：

①公式中的a,b可是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式；

②對(duì)形如兩數(shù)和（或差）的平方的計(jì)算，都可以用這個(gè)公式；

③對(duì)于三項(xiàng)的可以把其中的兩項(xiàng)看做一項(xiàng)后，也可以用完全平方公式.

?百爸）一當(dāng)二二二5肝「芬式二3一x”2-二2二7而殖是7

9-

9+6x+x^

A.-15B.-3C.3D.15

8.（2022?湖州）當(dāng)Q=1時(shí)，分式的值是.

a

9.（2022?福建）已知非零實(shí)數(shù)x,歹滿足歹=x，貝7-y+3xy的值等于

x+1xy

A考向四分式的乘除法

解題技巧/易錯(cuò)易混/特別提醒

分式乘除法的運(yùn)算，歸根到底是乘法的運(yùn)算，當(dāng)分子和分母是多項(xiàng)式時(shí)，一般應(yīng)先進(jìn)行因式分解，再約

分.

10.(2023?河北)化簡(jiǎn)3的結(jié)果是()

3/Y__\2

x(-----)

X

A.xy6B.xy5C.Ny5D.x2y6

11.（2022?德陽(yáng)）下列計(jì)算正確的是（)

A.(a-b)2=a2-b2B")2T

C.Q+Q，]D.(-]仍2)3=:-]a3b6

a~2

A考向五分式的加減法

解題技巧/易錯(cuò)易混/特別提醒

有關(guān)代數(shù)式的常見題型為用代數(shù)式表示數(shù)字或圖形的變化規(guī)律.數(shù)與圖形的規(guī)律探索問題，關(guān)鍵要能夠通過

觀察、分析、聯(lián)想與歸納找出數(shù)或圖形的變化規(guī)律，并用代數(shù)式表示出來.

12.（2023?廣東）計(jì)算32的結(jié)果為（）

一+—

aa

A.[B.「C.cD-6.

a

aca2a

13.（2023?河南）化簡(jiǎn)］的結(jié)果是（）

----+—

aa

A.0B.1C.aD.tz-2

14.（2023?溫州）計(jì)算：

(1)|-1|+3^+(1)--(-4)；

⑵a?+2二

a+11+a

A考向六分式的混合運(yùn)算

解題技巧/易錯(cuò)易混/特別提醒

1.整式和分式進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，可以把整式看成分母為1的分式.

2.注意運(yùn)算順序：分式的混合運(yùn)算，先乘方，再乘除，然后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的.

石廠石匠3?濟(jì)苧）巨如二冽藥不為同的藪一二：.；滿定如下買縈工;i+'a3

1-a1-a

l2,l-a3

，右。1=2,則。2023的值是（）

"+11-an

A.-]B.1C.-3D.2

~2~3

16.（2023?綏化）化簡(jiǎn)：（=

x+2-x-11）+x-4A—1—?

99

X2-2Xx-4x+4x-2xx-2

（?襄陽(yáng)）

17.2023化簡(jiǎn)：（1-a）+2

aa-a

a+121

a-1

A考向七分式的化簡(jiǎn)求值

解題技巧/易錯(cuò)易混/特別提醒

1.注意化簡(jiǎn)結(jié)果：運(yùn)算的結(jié)果要化成最簡(jiǎn)分式或整式.分子、分母中有公因式的要進(jìn)行約分化為最簡(jiǎn)分式

或整式.

2.注意運(yùn)算律的應(yīng)用：分式的混合運(yùn)算，一般按常規(guī)運(yùn)算順序，但有時(shí)應(yīng)先根據(jù)題目的特點(diǎn)，運(yùn)用乘法的

運(yùn)算律運(yùn)算，會(huì)簡(jiǎn)化運(yùn)算過程.

18.（2023?武漢）已如x2-xT=0,計(jì)算2的值是（）

（2_1）x-x

x+1x2

'X+2X+1

A.1B.-1C.2D.-2

19.（2023?衡陽(yáng)）已知x=5,則代數(shù)式n-”的值為——?

XTX2_16

20.（2023?湘潭）先化簡(jiǎn)，再求值：（1+n）?2，其中x=6.

—X+x

x+l2

x-9Q

A考向八零指數(shù)幕與負(fù)整數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算

21.（2023?攀枝花）計(jì)算-1。，以下結(jié)果正確的是（）

A.-10=-1B.-10=0C.-10=1D.-1。無(wú)意義

22.（2023?綏化）計(jì)算|-5|+2。的結(jié)果是（）

A.-3B.7C.-4D.6

23.（2023?重慶）計(jì)算：2-43。=____.

最新真題各尊

（2020?隨州）2+1的計(jì)算結(jié)果為（）

x2-4x2~2x

A-XB.2xC2xD.2

x+2x+2x-2x（x+2）

2.（2023?赤峰）化簡(jiǎn)4+%-2的結(jié)果是（）

x+2

A.1B.2cD.2

X-Xx_

x+2

X2-4x+2

3.（2023?南充）若x+1=0,則X的值為___

x-2

4.（2023?上海）化簡(jiǎn)：2-2x的結(jié)果為.

1-xl-x

5.（2023?福建）已知］+2二-1,且4#-6,則ab-a的值為—

aba+b

6.（2023?大慶）若x滿足（x-2）升1=1,則整數(shù)x的值為

7.（2023?湖北）計(jì)算：1Q=

（-1）2+由

8.（2023?北京）已知x+2y-l=0,求代數(shù)式？x+4y的值.

o9

x乙+4xy+4y

9.（2023?揚(yáng)州）計(jì)算:

（1）（2-°-^yy^+tan60°；（2）軟—b+（6-Q）.

a+b

10.（2023?通遼）以下是某同學(xué)化簡(jiǎn)分式2的部分運(yùn)算過程:

a-Kb./2aKb-Kb、

----「ka--------）