新定義綜合（數(shù)列新定義、函數(shù)新定義、集合新定義）（30題）-2024年考前15天高考數(shù)學(xué)沖刺（新高考）含答案

沖刺大題07新定義綜合

(數(shù)列新定義、函數(shù)新定義、集合新定義)(精選30題)

1.(2024?遼寧?二模)己知數(shù)列｛%｝的各項是奇數(shù)，且。"是正整數(shù)"的最大奇因數(shù)，

Sn=6Z|+a?+%+%+L+?

(1)求&，。20的值；

⑵求凡邑,$3的值；

⑶求數(shù)列｛5｝的通項公式.

2.(2024?黑龍江雙鴨山?模擬預(yù)測)已知數(shù)列出生,出，…,心("23)的各項均為正整數(shù)，設(shè)集合

T=｛x\x=aJ-ai,l<i<j<N｝,記T的元素個數(shù)為P(T).

⑴若數(shù)列41,3,5,7,求集合T,并寫出尸(7)的值；

⑵若A是遞減數(shù)列，求證:“尸。)=N-1”的充要條件是，A為等差數(shù)列”；

(3)已知數(shù)列A:2—求證:尸⑺=N(N]D.

3.(2024?廣西?二模)已知函數(shù)〃x)=lnx,若存在g(x)M/(x)恒成立,則稱g(x)是的一個“下界函

數(shù)”.

(1)如果函數(shù)g(無)=；-欣為“X)的一個“下界函數(shù)”，求實數(shù)f的取值范圍；

(2)設(shè)函數(shù)尸(x)=/(x)-之+二，試問函數(shù)尸(X)是否存在零點(diǎn)？若存在，求出零點(diǎn)個數(shù)；若不存在，請說

eex

明理由.

4.(2024?湖南長沙?模擬預(yù)測)設(shè)〃次多項式勺。)="'+%廣"-+出/+"+旬(《尸0)，若其滿足

Pn(cosx)=cosnx,則稱這些多項式甘,⑺為切比雪夫多項式.例如：由cose=cos6>可得切比雪夫多項式

々(x)=無，由cos20=2cos2e-1可得切比雪夫多項式呂(X)=2x2-l.

(1)若切比雪夫多項式月(x)=+云2+cx+d,求實數(shù)a,b,c,d的值；

(2)對于正整數(shù)%3時,是否有Pn(x)=2x.《出⑺-Pn^x)成立?

⑶已知函數(shù)/0)=8工3_6工-1在區(qū)間上有3個不同的零點(diǎn)，分別記為石,々，％3，證明：x1+x2+x3=0.

5.(2024?浙江?模擬預(yù)測)已知實數(shù)9工0,定義數(shù)列｛%｝如下：如果

22k

n=x0+2x1+2X2+…+2晨后,項E｛0,1｝,%=0,1,2,…，左，則〃〃=x0+xxq+x2q+???+xkq.

(1)求％和〃8(用夕表示)；

(2)令b,=a*,證明：±4=4，_1；

i=l

⑶若1<4<2,證明：對于任意正整數(shù)”，存在正整數(shù)加，使得4凡+1.

6.(2024?遼寧?三模)若實數(shù)列｛%｝滿足V〃eN*,有?！?22a向，稱數(shù)列｛。“｝為“7數(shù)列”.

⑴判斷%=〃z也=lnw是否為“T數(shù)列”,并說明理由;

(2)若數(shù)列｛為｝為“7數(shù)列”，證明：對于任意正整數(shù)片,私〃，S.k<m<n,都有生二%2%■平

n—mm—k

2024

(3)已知數(shù)列｛%｝為“7數(shù)列”，且=0,令M=max｛同,以24|｝，其中max｛a,6｝表示a,6中的較大者.證明:

i=\

7075

V/W｛1,2,3,…,2024｝,都有一

2023

7.(2024?廣東梅州?二模)已知｛%｝是由正整數(shù)組成的無窮數(shù)列，該數(shù)列前九項的最大值記為河,，即

Mn=max｛<71,a2,?■?,??)；前”項的最小值記為加"，即加“=tninH，3,令。"=的一"，

(〃=1,2,3,…)，并將數(shù)列｛p“｝稱為｛對｝的“生成數(shù)列”.

⑴若%=3",求其生成數(shù)列｛%｝的前”項和；

⑵設(shè)數(shù)列｛凡｝的“生成數(shù)歹「為｛%,｝,求證：P?=q?-,

⑶若｛p,｝是等差數(shù)列，證明：存在正整數(shù)"。，當(dāng)"2"。時，an,an+l,%+2，…是等差數(shù)列.

8.(2024?浙江紹興?二模)己知左eN*,集合％=卜|尤=2'。+2"+…+2*0%J<…氣，其中

品,…,”N｝.

⑴求X2中最小的元素；

⑵設(shè)a=2i+23eX],bsX”且a+6eX],求6的值；

k+i卜

⑶記匕〃eN*,若集合4中的元素個數(shù)為“，求￡肅.

9.(2024?山東濰坊?二模)數(shù)列｛%｝中，從第二項起，每一項與其前一項的差組成的數(shù)列｛。向-?！埃Q為｛%｝

的一階差數(shù)列，記為依此類推，,「｝的一階差數(shù)列稱為｛%｝的二階差數(shù)列，記為,印｝,….如果

一個數(shù)列｛%｝的p階差數(shù)列｛40｝是等比數(shù)列，則稱數(shù)列｛%｝為〃階等比數(shù)列(peN*).

(1)已知數(shù)列｛%｝滿足q=1,an+i=2a?+1.

(i)求q“),4)，a，；

(ii)證明：｛4｝是一階等比數(shù)列；

(2)已知數(shù)列也｝為二階等比數(shù)列，其前5項分別為1n,n9,a7￡弓7g,?華15，求“及滿足。為整數(shù)的所有〃值.

10.(2024?貴州黔西?一模)布勞威爾不動點(diǎn)定理是拓?fù)鋵W(xué)里一個非常重要的不動點(diǎn)定理，它可運(yùn)用到有限

維空間并構(gòu)成了一般不動點(diǎn)定理的基石，得名于荷蘭數(shù)學(xué)家魯伊茲?布勞威爾(L.E.J.Brouwer).簡單地講就是:

對于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)，a),存在實數(shù)%,使得了(%)=%,我們就稱該函數(shù)為“不動點(diǎn)”函數(shù)，實數(shù)

%為該函數(shù)的不動點(diǎn).

(1)求函數(shù)/(元)=2*+x-3的不動點(diǎn)；

(2)若函數(shù)g(x)=lnx-b有兩個不動點(diǎn)再,馬，且王<馬，若馬一再42,求實數(shù)6的取值范圍.

11.(2024?河北滄州?一模)對于函數(shù)>=/(x),XEI,若存在％",使得/(x0)=x。，則稱%為函數(shù)/(x)

的一階不動點(diǎn)；若存在與門，使得/(/(%))=%,則稱%為函數(shù)“X)的二階不動點(diǎn)；依此類推，可以定義

函數(shù)/(X)的”階不動點(diǎn).其中一階不動點(diǎn)簡稱為“不動點(diǎn)”，二階不動點(diǎn)簡稱為“穩(wěn)定點(diǎn)”，函數(shù)/(X)的“不動

點(diǎn)”和“穩(wěn)定點(diǎn)”構(gòu)成的集合分別記為A和8,即/=W/(X)=無｝,5=｛x|/(/(x))=x｝.

(1)若/@)=6">0)，證明：集合/=｛x|/(x)=x｝中有且僅有一個元素；

⑵若/(X)=(4+1■—-+空(a>-1),討論集合B的子集的個數(shù).

12.(2024?山東聊城?二模)對于函數(shù)/(X),若存在實數(shù)%,使/(皿(/+㈤=1,其中《片0,則稱/(X)為何

移A倒數(shù)函數(shù)”，/為"/(X)的可移A倒數(shù)點(diǎn)”.已知g(x)=ex,h(x)=x+a(a>0).

(1)設(shè)夕(x)=g(x)『(x),若吠為“〃(x)的可移-2倒數(shù)點(diǎn)”,求函數(shù)。(x)的單調(diào)區(qū)間;

g(x),x>0

⑵設(shè)O(x)=，x<0,若函數(shù)0(X)恰有3個“可移1倒數(shù)點(diǎn)”，求。的取值范圍.

h(x)'

13.(2024?湖南?二模)羅爾定理是高等代數(shù)中微積分的三大定理之一，它與導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的零點(diǎn)有關(guān)，是由

法國數(shù)學(xué)家米歇爾?羅爾于1691年提出的.它的表達(dá)如下：如果函數(shù)"X)滿足在閉區(qū)間也可連續(xù)，在開區(qū)

間(a,切內(nèi)可導(dǎo)，且〃。)=/(6),那么在區(qū)間(。,方)內(nèi)至少存在一點(diǎn)加，使得/'(加)=0.

⑴運(yùn)用羅爾定理證明：若函數(shù)/(X)在區(qū)間［a,6］連續(xù)，在區(qū)間(a,b)上可導(dǎo)，則存在％e(a,6),使得

/⑸-f(a)

/'(%)=

b-a

2

⑵已知函數(shù)f(x)=x\nx,g(x)=^x~bx+l,若對于區(qū)間(1,2)內(nèi)任意兩個不相等的實數(shù)%,9,都有

|/(x1)-/(x2)|>|g(x1)-g(x2)|成立,求實數(shù)b的取值范圍.

(3)證明：當(dāng)。時，有一1—r一一.

npp-1(n-V)n'

14.(2024?安徽合肥?二模)在數(shù)學(xué)中，廣義距離是泛函分析中最基本的概念之一.對平面直角坐標(biāo)系中兩

個點(diǎn)爪x"J和￡仁,坊),記山閭,=max??,稱山閭，為點(diǎn)6與點(diǎn)A之間的距

1+1%!-X2|1+|必一%|

離”，其中max{p,q}表示，4中較大者.

⑴計算點(diǎn)尸。,2)和點(diǎn)。(2,4)之間的“f_距離”；

⑵設(shè)片(為,%)是平面中一定點(diǎn)，r>0.我們把平面上到點(diǎn)々的“-距離”為『的所有點(diǎn)構(gòu)成的集合叫做以點(diǎn)

々為圓心，以「為半徑的“一圓”.求以原點(diǎn)。為圓心，以:為半徑的圓''的面積；

(3)證明:對任意點(diǎn)片(三,必)第(X2，了2)，月(演‘％),|百41—山囿,+。閭,.

15.(2024?廣東深圳?二模)無窮數(shù)列%,%，…，…的定義如下：如果〃是偶數(shù)，就對"盡可能多次

地除以2,直到得出一個奇數(shù)，這個奇數(shù)就是;如果〃是奇數(shù)，就對3〃+1盡可能多次地除以2,直到得

出一個奇數(shù)，這個奇數(shù)就是為.

(1)寫出這個數(shù)列的前7項；

(2)如果=冽且=〃，求加，〃的值;

⑶記。.=〃")，"eN*,求一個正整數(shù)〃，滿足〃<“")</(/⑺)<???</(/(??,〃")???)).

20244/

16.(2024?湖南邵陽?模擬預(yù)測)對于定義在。上的函數(shù)Ax),若存在距離為d的兩條平行直線4：丫=履+4

和:y=履+2，使得對任意的xe。都有注+“<f(x)<kx+b2,則稱函數(shù)/(x)(xe。)有一個寬度為d的通

道，4與4分別叫做函數(shù)/(x)的通道下界與通道上界.

(1)若/(x)=3，請寫出滿足題意的一組通道寬度不超過3的通道下界與通道上界的直線方程；

ex+l

(2)若g(x)=x+sinx+cosx,證明：g(x)存在寬度為2的通道；

(3)探究3)=生蟲,xe[l,+s)是否存在寬度為41的通道？并說明理由.

x2

17.(2024?福建福州?模擬預(yù)測)記集合

工/⑺,工:=｛/(x)=h+6(xeR[Vxer>,〃x)W/(x)^Hxo?。，/伉)=/(%)),集合

%"=｛/(x)=h+g?R)忖xeD,f(x)>I(x),且叫eJ伉)=/(%)｝,若/(x)eLf^D,則稱直線

V=/(x)為函數(shù)〃x)在。上的“最佳上界線”；若則稱直線了=/(力為函數(shù)在。上的“最

佳下界線”.

⑴已知函數(shù)〃x)=f2+x,/°(x)=Ax+l.若/°(x)eZ73m,求上的值；

(2)已知g(x)=e*+l.

(i)證明：直線>=/(x)是曲線>=g(x)的一條切線的充要條件是直線j=/(x)是函數(shù)g⑺在R上的“最佳

下界線”；

(ii)若"x)=ln(x-l),直接寫出集合4UM，+B)C7；(加女中元素的個數(shù)(無需證明).

18.(2024?遼寧?二模)如果數(shù)列色｝,｛州｝,其中州eZ,對任意正整數(shù)“都有氏-刃<g,則稱數(shù)列｛”｝

為數(shù)列｛%｝的“接近數(shù)列”.已知數(shù)列也｝為數(shù)列｛對｝的“接近數(shù)列”.

(1)若%=2〃+g(〃eN*),求"4，&的值；

(2)若數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，且公差為"(deZ),求證：數(shù)列｛2｝是等差數(shù)列；

oilQ57

(3)若數(shù)列｛%｝滿足q=急，且。用記數(shù)列｛g｝、｛"｝的前〃項和分別為邑，1，試判斷是否

存在正整數(shù)“，使得S”<<？若存在，請求出正整數(shù)”的最小值；若不存在，請說明理由.(參考數(shù)據(jù):

log2￡216.7)

ioXI

19.(2024?遼寧大連?一模)對于數(shù)列(qeN/=1,2,3),定義“T變換”：T將數(shù)列/變換成數(shù)列

3：4也,“，其中)=］%「可?=1,2),且“玉-⑷.這種'7變換”記作3=7(4),繼續(xù)對數(shù)列8進(jìn)行”

變換”，得到數(shù)列C：C”C2，C3,依此類推，當(dāng)?shù)玫降臄?shù)列各項均為0時變換結(jié)束.

(1)寫出數(shù)列/：3,6,5經(jīng)過5次“7變換”后得到的數(shù)列：

⑵若q，出必不全相等，判斷數(shù)列，：%,電，的不斷的“T變換”是否會結(jié)束，并說明理由；

(3)設(shè)數(shù)列4：2020,2,2024經(jīng)過人次“T變換”得到的數(shù)列各項之和最小，求后的最小值.

20.(2024?湖南?一模)已知”為非零常數(shù)，?！?gt;0,若對V〃eN*,匕則稱數(shù)列｛%｝為。數(shù)列.

(1)證明：。數(shù)列是遞增數(shù)列，但不是等比數(shù)列；

⑵設(shè)若｛?！埃秊?。數(shù)列，證明：6“</二；

V4〃一3

〃1

(3)若｛?！埃秊?。數(shù)列，證明：血eN*,使得±—>2024.

i=lai

21.(2023?山西?模擬預(yù)測)對于數(shù)列｛%｝,若存在M>0,使得對任意〃eN*,總有之聞+1-@<〃，則

k=l

稱｛%｝為“有界變差數(shù)列”.

(1)若各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛與｝為有界變差數(shù)列，求其公比q的取值范圍；

⑵若數(shù)列也｝滿足〃出+:=2,且4=2,證明：｛，｝是有界變差數(shù)列；

un

⑶若卜,｝,｛%｝均為有界變差數(shù)列，且以2乂>0,證明：［彳［是有界變差數(shù)列.

22.(2024?江西九江?二模)定義兩個"維向量q=(%j,x,,2,…,2“)，叫=…，肛J的數(shù)量積

x

at-aj=xwX!|+xi2xJ2+…+\?xy?(z,yeN+),=，記i,t為a1的第左個分量(k<eN+).如三

維向量)=(2,1,5),其中I的第2分量％2=1.若由〃維向量組成的集合/滿足以下三個條件：①集合中含

有"個〃維向量作為元素；②集合中每個元素的所有分量取?；?；③集合中任意兩個元素I，1，滿足

a：=a：=T(7為常數(shù))且％q=1.則稱/為T的完美〃維向量集.

(1)求2的完美3維向量集;

(2)判斷是否存在完美4維向量集，并說明理由；

(3)若存在/為7的完美〃維向量集，求證：/的所有元素的第左分量和1=7.

23.(2024?浙江臺州?二模)設(shè)/,3是兩個非空集合，如果對于集合力中的任意一個元素?zé)o，按照某種確定

的對應(yīng)關(guān)系了,在集合8中都有唯一確定的元素y和它對應(yīng)，并且不同的x對應(yīng)不同的乃同時8中的每一

個元素外都有一個/中的元素x與它對應(yīng)，則稱/：8為從集合/到集合8的一一對應(yīng)，并稱集合/

與8等勢，記作1=].若集合N與8之間不存在一一對應(yīng)關(guān)系，則稱/與3不等勢，記作二片氤

例如：對于集合/=N*,8={2",eN*},存在---對應(yīng)關(guān)系y=2x(無?4"3)，因此

⑴已知集合。={(x,y)\x2+y2=1},0=+：=1],試判斷之=5是否成立?請說明理由；

(2)證明：①(0,1)=(-oo,+oo);

②N*=.

24.(2024?浙江嘉興?二模)已知集合/=112勺0<％<%<一-<金嗎力],定義當(dāng)加=/時，把集合A中

所有的數(shù)從小到大排列成數(shù)列抄,數(shù)列{她),}的前n項和為S⑺“.例如：/=2時,

0123

b(2)]=2+2'=3,6(2)2=2°+2?=5,6(2%=2+2=6,/?(2)4=2°+2=9,---,

S(2)4=6(21+6(2b+6(2)3+6(2'=23.

(1)寫出6(2)5,6(2)6,并求S(2)1°；

(2)判斷88是否為數(shù)列也⑶“}中的項.若是，求出是第幾項；若不是，請說明理由；

⑶若2024是數(shù)列色(6}中的某一項可％)“。，求3"。及S(%)“°的值.

25.(2024?廣西?二模)設(shè)xeR,用卜]表示不超過了的最大整數(shù)，則y=[x]稱為取整函數(shù)，取整函數(shù)是德

國數(shù)學(xué)家高斯最先使用，也稱高斯函數(shù).該函數(shù)具有以下性質(zhì)：

①了二k]的定義域為R,值域為Z；

②任意實數(shù)都能表示成整數(shù)部分和純小數(shù)部分之和，即x=[x]+{x}(0<{X}<1),其中[x]為x的整數(shù)部分,

{x}=x-3為x的小數(shù)部分；

③[〃+x]=〃+[%](〃￡Z)；

④若整數(shù)。，b滿足a=bg+r(6>0,q/eZ,0Wr<6),貝”,卜電

5+6x15x-7

(1)解方程

85

19202191

(2)已矢口實數(shù)r滿足r+—+r+—+r+—+-??+r+—=546,求[100r|的值;

[+1)1fH+1

(3)證明：對于任意的大于等于3的正整數(shù)"，均有>丁

4〃一24

26.(2024?河北石家莊?二模)設(shè)集合M是一個非空數(shù)集，對任意x/eM,定義夕(xj)=|x-m，稱"為

集合M的一個度量，稱集合M為一個對于度量夕而言的度量空間，該度量空間記為(M,p).

定義1：若/：/-M是度量空間(M,0)上的一個函數(shù)，且存在ae(0,1),使得對任意x,yeM,均有：

「(〃x)，/⑺)Wap(x,y),則稱/是度量空間(M0上的一個“壓縮函數(shù)”.

定義2：記無窮數(shù)列%,%,電，…為{叫：：°，若見落是度量空間(陰?上的數(shù)列，且對任意正實數(shù)￡>0,都

存在一個正整數(shù)N,使得對任意正整數(shù)見"NN,均有P應(yīng)，凡)<￡,則稱{叫：：°是度量空間(跖夕)上的一

個'基本數(shù)列”.

(1)設(shè)/(x)=sinx+；,證明：/是度量空間1,2，。上的一個“壓縮函數(shù)”;

⑵已知/：RfR是度量空間(R,。)上的一個壓縮函數(shù)，且4eR,定義%"=/(%),?=0,l,2,L,證明:

RE為度量空間(Rw)上的一個“基本數(shù)列”.

27.(2024?湖北?模擬預(yù)測)歐拉函數(shù)在密碼學(xué)中有重要的應(yīng)用.設(shè)〃為正整數(shù)，集合X"={1,2,…，"-1},

歐拉函數(shù)的值等于集合X,中與〃互質(zhì)的正整數(shù)的個數(shù)；記M(x,y)表示x除以y的余數(shù)G和y均為正

整數(shù))，

(1)求°(6)和。(15)；

(2)現(xiàn)有三個素數(shù)p,q,e(p<q<e),n=pq,存在正整數(shù)d滿足"(血,以〃))=1；已知對素數(shù)。和

均有"(xi,a)=l,證明：若xeZ，則了=河([M。。,")『,")；

(3)設(shè)〃為兩個未知素數(shù)的乘積，e?為另兩個更大的已知素數(shù)，且2^=302+1；又q=M(x。/),

e2

c2=M(x,n),xsX“,試用q,c2和〃求出x的值.

28.(2024?江西宜春?模擬預(yù)測)定義：設(shè)V=/(x)和y=g(x)均為定義在/上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)分別為

/'(x),g'(x),若不等式"(x)-g(x)][/'(x)-g'(x)]20對任意xe/恒成立，則稱y=/⑴和kg(x)為區(qū)

間/上的“友好函數(shù)”.

⑴若/(x)=e2x和g(x)=a-e*是“友好函數(shù)”，求a的取值范圍；

21

(2)給出兩組函數(shù)：①工(x)=e、，4(尤)=工+1；②人(x)=xe2，_41nx-6,g2(x)=1e-2e\分別判斷這

兩組函數(shù)是否為(0,+⑹上的“友好函數(shù)”.

29.(2024?海南省直轄縣級單位?一模)若有窮數(shù)列為,%…當(dāng)(〃是正整數(shù))，滿足生=加+1(MN,且

1<Z<?),就稱該數(shù)列為“S數(shù)列”.

⑴已知數(shù)列出｝是項數(shù)為7的S數(shù)列，且〃也也也成等比數(shù)列，(=2也=8,試寫出也｝的每一項;

⑵已知上｝是項數(shù)為2左+1(人1)的S數(shù)列,且6+”&*2,…，國構(gòu)成首項為100,公差為-4的等差數(shù)列，數(shù)

列｛C,｝的前2左+1項和為則當(dāng)上為何值時，取到最大值？最大值為多少？

(3)對于給定的正整數(shù)刀>1,試寫出所有項數(shù)不超過2加的S數(shù)列，使得1,2,22,…,2〃i成為數(shù)列中的連續(xù)項

當(dāng)機(jī)>1500時，試求這些S數(shù)列的前2024項和S23.

30.(2024?江蘇南京?二模)已知數(shù)列｛。,｝的前，項和為若對每一個〃eN*,有且僅有一個加eN*,使

得黑4%<5,用，則稱｛a」為“X數(shù)列，，.記4=5,向-4，〃eN*,稱數(shù)列也｝為｛叫的“余項數(shù)列”.

(1)若｛0｝的前四項依次為0,1,-1,1,試判斷｛%｝是否為“X數(shù)列”，并說明理由；

⑵若S,,=2",證明｛%｝為“X數(shù)列”，并求它的“余項數(shù)列”的通項公式；

(3)已知正項數(shù)列｛%｝為“X數(shù)列”，且｛%｝的“余項數(shù)歹產(chǎn)為等差數(shù)列，證明：S.4(l+2"2)%.

沖刺大題07新定義綜合

（數(shù)列新定義、函數(shù)新定義、集合新定義）（精選30題）

1.（2024?遼寧?二模）己知數(shù)列｛%｝的各項是奇數(shù)，且。"是正整數(shù)”的最大奇因數(shù)，

Sn=%+。2+。3+%+L+?

（1）求。6，"20的值；

（2）求8石2，$3的值；

⑶求數(shù)列｛SJ的通項公式.

【答案】（1）/=3,%。=5

（2）E=2,S2=6,S3=22

【分析】（1）根據(jù)所給定義直接計算可得；

（2）根據(jù)所給定義列出1,2,3,…,8）,即可得解;

（3）當(dāng)"為奇數(shù)時見=2左TWeN*）,即可求出％+/+%+…+%T，當(dāng)"為偶數(shù)時見=4*="斤

（左eN*）,從而得到%+%+R+&+…+%=S"T，即可推導(dǎo)出S,-S,T=4"T（”N2）,再利用累加法計算

可得.

【詳解】（1）因為6=1X2X3,所以。6=3,

X20=1x4x5,所以%o=5；

（2）依題意可得%=%=1，%=3,4=1，牝=5,4=3,%=7,g=1,

所以S]=%+%=2,

5*2=。]+。2+。3+。4=1+1+3+1=6,

S3=q+4+。3+。4+。5+&+。7+。8=1+1+3+1+5+3+7+1=22

(3)因為%是正整數(shù)〃的最大奇因數(shù)，

當(dāng)n為奇數(shù),即〃=2左一1(左￡N*)時a”=a2k_t=2左一1,

所以%+/+%+…+4-=1+3+5+…+(2"-=l+-Ox2"—=4"T，

當(dāng)〃為偶數(shù)，即〃=2左(左wN*)時％=電左=為，

=n-1

所以當(dāng)〃22時。2+。4+〃6+/---*"。2""1x2+”2x2+“3x2+“4x2---^2x2

=%+&+%+。4---1~。2"-1='"-I，

所以S〃=%+電+。3+。4+L+%

=(%+%+^---。2"—1)+(出+%+。6+。8----1~。2")

二代十九，

所以1―51=41(〃")且5]=2,

所以S〃二(S「S〃_J+(S〃T—S7)+~+(S3—S2)+(S2—SJ+H

=4〃T+4〃"??+42+4+2

4(1-4-')4"+2

1-43

當(dāng)〃=1時E=2也滿足s“=三4〃+上2，

所以數(shù)列{SJ的通項公式為s“=￡產(chǎn).

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是理解定義，第三問關(guān)鍵是推導(dǎo)出S“-Se=4'T(〃22)且H=2,最后利

用累加法求出E,.

2.(2024?黑龍江雙鴨山?模擬預(yù)測)己知數(shù)列/：%,2，…,心("23)的各項均為正整數(shù)，設(shè)集合

T={x\x=aJ-ai,l<i<j<N},記7的元素個數(shù)為P(7).

(1)若數(shù)列41,3,5,7,求集合7,并寫出尸(？)的值;

⑵若A是遞減數(shù)列，求證:“尸(7)=N-1”的充要條件是“A為等差數(shù)列”；

(3)已知數(shù)列/:2,22,…,2",求證:P(T)=N(：T).

【答案】⑴？={2,4,6},尸(7)=3.

⑵證明見解析；

(3)證明見解析

【分析】(1)根據(jù)題意，結(jié)合集合的新定義，即可求解；

(2)若A為等差數(shù)列，且A是遞減數(shù)列，得到d<0,結(jié)合證得充分性成立；再由A是

遞減數(shù)列，得至IJT={&-%，%-%，%-%，L,%-%}，結(jié)合互不相等，得至=。3-。2=~=，

得到必要性成立，即可得證；

(3)根據(jù)題意，得到PCO?N(：T),得出得到2"(2""-1)=2”(2i-1),不妨設(shè)

貝沖一4(2/-1)=2小-1,推得2，r_i為奇數(shù)，矛盾，進(jìn)而得證.

【詳解】(1)解：由題意，數(shù)列413,5,7,

可得3-1=2,5-1=4,7-1=6,5-3=2,7-3=47-5=2,

所以集合7={2,4,6},所以尸(合=3.

(2)證明：充分性：若A為等差數(shù)列，且A是遞減數(shù)列，則A的公差為d?<0),

當(dāng)lVi</VN時，a廠—d,所以T={d,2d,3d,…,(NT)4},

則尸(T)=N-1,故充分性成立.

必要性:若A是遞減數(shù)列，P(7)=N-1,則A為等差數(shù)列，

因為A是遞減數(shù)列，所以電-%>。3-心一生，

所以。2--%，。4一%,L,心-$丁，且互不相等，

所以T={a2-。1，。3一%,LMN-％},

a

又因為％~2>ci4-a2>-->aN-a2>aN-aX9

所以色一。2，。4一。2,…,ST且互不相等，

所1以=〃2—，Q4—“2=%—，…，一。2="N-1—"1，

所以?一〃]=4一七=…二心一明，

所以A為等差數(shù)列，必要性成立.

所以若A是遞減數(shù)列，“P(T)=N-1”的充要條件是“A為等差數(shù)列”.

(3)證明：由題意集合中的元素個數(shù)最多為空二D個,

即為04歆：―1),

對于數(shù)列4:2,2?…,2",此時。廣生=2,-2,，

若存在%、一%、="-"，則2*-2"=2h-2,2,其中/>彳，h>h,

故心(2，T-1)=24(2右-4一1),

若i件i2,不妨設(shè)h>h，則2口(2，T-1)=2,2f一i,而工>“,j2>i2,

故為偶數(shù)，2,2F_I為奇數(shù)，矛盾，

故，；=%，故R=/2,故由上2,2,…,2"得到的勺-。，彼此相異，所以尸(T)=N(：T).

3.(2024?廣西?二模)已知函數(shù)〃x)=lnx,若存在g(x)V/(x)恒成立，則稱g(x)是〃x)的一個“下界函

數(shù)

(1)如果函數(shù)g(x)=；-lnx為〃x)的一個“下界函數(shù)”，求實數(shù)f的取值范圍;

12

(2)設(shè)函數(shù)尸(x)=/(x)------十——,試問函數(shù)b(x)是否存在零點(diǎn)？若存在，求出零點(diǎn)個數(shù)；若不存在，請說

exex

明理由.

2

【答案】⑴(-℃,—)

e

(2)函數(shù)F(X)是否存在零點(diǎn)，理由見解答

【分析】(1)把恒成立問題轉(zhuǎn)換為求2xlnx的最小值問題，利用導(dǎo)數(shù)求出最小值即可；

(2)把函數(shù)整理成尸⑴二山?二+工—工-4+2二化-三］,要判斷是否有零點(diǎn)，只需看尸⑴的正

eexexeexxyeeJ

1V

負(fù)問題，令G(x)=--W，利用導(dǎo)數(shù)分析G。)即可.

ee

【詳解】(1)由g(x)W/Q)恒成立，可得工-lnxWlnx恒成立，

所以恒成立，令〃(x)=2xlnx,所以1(x)=2(1+Inx),

當(dāng)xe(02)時，"(x)<0,〃(x)在(0」)單調(diào)遞減；

ee

當(dāng)X￡(—,+8)時，h\x)>0,〃(%)在(―,+8)單調(diào)遞增；

ee

122

所以〃(x)的最小值為〃(與=-J所以鵬，,

eee

2

實數(shù)t的取值范圍(-8,-一］；

e

221

(2)由(1)可知2xInx>—,所以21nx2---,所以Inx2----,①

eexex

又尸(x)=/(x)-士+工，所以尸(x)=lnx-［+工、-工一二+工二工/一三)，

eexeexexeexxee

1VV—1

令G(x),-W，所以G，(X)=JA,

eee

當(dāng)xe(O,l)時,G'(x)<0,G(x)在(0,1)單調(diào)遞減;

當(dāng)xe(l,+s)時，G'(x)>0,G(x)在(1,+e)單調(diào)遞增；

所以G(x)2G⑴=0,②

所以尸(尤lulnx-e+Zw-L-e+NuLd-W)上。，

eexexeexxee

又①②中取等號的條件不同，所以尸(x)>0

所以函數(shù)沒有零點(diǎn).

4.(2024?湖南長沙?模擬預(yù)測)設(shè)〃次多項式耳,(。=。/'+%_/1+--+%”+印+旬(。#0),若其滿足

E,(COSX)=COS77X,則稱這些多項式門⑺為切比雪夫多項式.例如：由cosO=cos6可得切比雪夫多項式

6(x)=X,由cos20=2cos2。一1可得切比雪夫多項式乙(無)=2/-1.

⑴若切比雪夫多項式月⑴二&+加+?+心求實數(shù)a,b,c,d的值；

(2)對于正整數(shù)?...3時，是否有Pn(x)=2x隹-(x)-《_2(x)成立?

(3)已知函數(shù)/(無)=8》3_6%-1在區(qū)間上有3個不同的零點(diǎn)，分別記為占了2戶3，證明：Xj+x2+x3=0.

［答案］⑴a=4,b=d=0,c=_3

⑵%(x)=2x?只(x)-只-(x)成立

(3)證明見解析

【分析】⑴利用月(cos0)=cos3d=cos(20+d)展開計算，根據(jù)切比雪夫多項式可求得。也d,c；(2)要證

原等式成立，只需證明cos("+l)e+cos("-l)e=2cos〃夕cos。成立即可，利用兩角和與差的余弦公式可證結(jié)

論成立;

（3）由已知可得方程4x3-3x=g在區(qū)間（-1,1）上有3個不同的實根，令x=cos6,ee（0,勸，結(jié)合（1）可

1TTS冗7冗

是cos30=—,可得再=COS—,工2=COS—,x=cos一，計算可得結(jié)論.

29993

【詳解】（1）依題意,

2

P3(cos6)=cos3。=cos(2。+0)=cos20cos0-sin26sin0=(2cos0-1)cos0-2sin20cos0

=2cos3^-cos^-2(l-cos20)cos0=4cos%-3cos。，

因此A(x)=4x，-3x,即+云2+cx+d=4--3x,則。=4,6=d=0,c=-3,

(2)E+i(x)=2x￡(x)-W(x)成立,

這個性質(zhì)是容易證明的，只需考慮和差化積式cos(n+l)6+cos(n-l)e=2cos〃e-cos。.

首先有如下兩個式子：

只+1(cos。)=cos(〃e+e)=cosn^cos^-sinw0sin^,

P,T(cos。)=cos("6")=cosndcosd+sinn^sin0,

兩式相加得，P?_i(cos6>)+7^+1(cos。)=2cosn0cos0=2Pn(cos6>)cos6>,

將cosd替換為x,所以只+i(x)=2x￡(x)-P?_t(x).

所以對于正整數(shù)"23時，有勺(x)=2x(x)-/2(x)成立.

(3)函數(shù)〃x)=8/一6x-l在區(qū)間(-1,1)上有3個不同的零點(diǎn)西廣2，三，

即方程4/-3x=；在區(qū)間(-1,1)上有3個不同的實根，

令x=cose,6e(0,n),由(1)知cos3。=；,而36e(0,37i),則3。=1或30=弓或30=g,

十口兀5兀7兀

TT7E再=COS~,X?=COS,%=COS5-,

?.715兀7兀7if4K2兀1

貝+x+x.=cos—+COS——+COS——=COS——COS——+COS——,

12939999(99)

?4兀2兀(3兀兀、「3兀兀、c兀兀兀

而cos——+cos——=cos——+—+cos--------=2cos—cos—=cos—,

99(99)99J399

所以％1+汽+%3=°.

5.（2024?浙江?模擬預(yù)測）已知實數(shù)9。0,定義數(shù)列｛〃,｝如下：如果

22k

n=%+2芯+2X2+…+24w￡{0,1},%=0,1,2,…，左，則〃〃=x0+xxq+x2q+???+xkq.

(1)求％和〃8(用9表不);

u

⑵令bn=a2?_,,證明：￡b，=%_]；

i=l

⑶若l<g<2,證明：對于任意正整數(shù)”，存在正整數(shù)加，使得?！?lt;冊44+1.

【答案】⑴。7=1+?+/,。8=?3

(2)證明見解析

(3)證明見解析

【分析】(1)觀察題目條件等式中的系數(shù)可得答案；

(2)bn=",=尸，分別計算力,和%?可證明結(jié)論；

1=121

(3)先根據(jù)無上界說明存在正整數(shù)加，使得知<(，分加-1是偶數(shù)和〃L1是奇數(shù)分別說明.

【詳解】(1)因為7=1+2+22,所以%=l+q+/；

因為8=2，所以。8=?3；

(2)由數(shù)列{%}定義得：b“=a*=qz；所以￡4=1+4+/+…

1=1

而2"-1=1+2+22+…+2"-，

所以。2一=1+4+/+…+/I=；

i=l

(3)當(dāng)1<"2,由(2)可知，％-1=夕1無上界，故對任意見，存在%,使得金>%.

設(shè)加是滿足%的最小正整數(shù).下面證明明<%+1.

①若加一1是偶數(shù),設(shè)加一1=2匹+22/+…+2。左，項G{0,1},Z=1,2,…，左,

2

則加=1+2/+2?/+…+2%x%,于是dm—1+x1q+%2^+…+—1+〃加—.

因為?！ㄖ?。加一1,所以％1=1+Q/n-l~""+1?

k

若m—1是奇數(shù)，設(shè)加—1=1+2+2?H—,+2'+2，+2/+2H■…?+2xk,

aa

則m~m-\=q'+，_(1+q+q2T+d)=(q_l)(l+q+q2+...+d)_(]+g+g2H+d)+l<l.

所以與.

綜上所述，對于任意正整數(shù)”，存在正整數(shù)加，使得凡〈冊W%+1.

6.(2024?遼寧?三模)若實數(shù)列｛%｝滿足V”eN*,有。,,+22%,稱數(shù)列｛?！埃秊椤癟數(shù)列”.

(1)判斷%=/e=ln”是否為“7數(shù)列”，并說明理由；

(2)若數(shù)列｛%｝為“7數(shù)列”，證明：對于任意正整數(shù)匕〃?/,Kk<m<n,都有乙二至、&」

n—mm—k

2024

(3)已知數(shù)列｛《｝為“T數(shù)列"，且￡4=0,令M=max｛同,以24|｝，其中max｛a,6｝表示a,6中的較大者.證明:

i=l

7075

\/左e｛1,2,3,…,2024｝,都有一M<a.<M,

2023

【答案】(1)數(shù)列｛%｝是“T數(shù)列"，數(shù)列｛2｝不是“7數(shù)列”；

(2)證明見解析

(3)證明見解析

【分析】(1)根據(jù)“T數(shù)列”的定義判斷可得出結(jié)論；

(2)由%+ak+l>2a*(左=2,3,…)可得出ak+t-ak>ak-ak_t,利用累加法結(jié)合不等式的基本性質(zhì)可得

^^->am+l-am,以及上？2--,再結(jié)合%+「風(fēng),-。小可證得結(jié)論成立；

n-mm-k

(3)首先當(dāng)上=1或2024時的情況，再考慮左e｛2,3,…,2023｝時，結(jié)合(2)中結(jié)論考慮用累加法可證得結(jié)

論.

【詳解】(1)因為%+a〃+2—2a“+i=1+(〃+2)—2(H+1)=2>0,

所以數(shù)列｛%｝是“T數(shù)列”，

2

因為“+4+2-26〃+1=InH+ln(?+2)-2ln(?+1)=In^n+2〃)—ln(/+2〃+l)<0,

所以數(shù)列｛4｝不是"數(shù)列”;

⑵令的=〃〃+1-%，因為數(shù)列｛〃〃｝為“T數(shù)列"，所以4+%+222%+[

從而知+2-?！?14，所以

因為IV左<加<H,所以

冊一」加二(」“一1〃一1)+(4〃一1一」〃一2)+?一+(4加+i—〃加)

n—mn—m

_%+*+..,+%>("T〃)q”一°

———c,

n—mn—m1M

。機(jī)2）+???+（Q左+1—Q4）

m-km-k

_C/n-l+。加一2T卜C.v（加一.）cm—1_

-m—k；-m—k；一s

因為所以巴*24子

n—mm—k

(3)當(dāng)左=1或2024時，一|%區(qū)外引火|,

從而⑷＜4引⑷,

當(dāng)左e{2,3,…,2023}時，因為1＜左＜2024,

由第⑵問的結(jié)論得篇A23，可推得小嚓*+急*，從而

（22^q㈡22^〃+1…

202312023202420231120231120232023

對于Vl＜i＜左，由第(2)問的結(jié)論得與二竺2仁?，從而

k—ii-\

i—]k—i1

%1~ak+~—la\=~一7[(，—1)。左+(左一，)％],，=1也成立，從而

k-lk1-1K1-1

k-\1&?一1k-\1—）處a（左一2）k

E%47--￡（，一1）氏+￡（左一，州1-ak+5%

Z=1左一1』z=l22

對于V左<i<2024,由第（2）問的結(jié)論得匕子,從而

2024-Ii-k

i—k2024—i1r,..,..、q

%-2024T02024*2024-k0k=2024-k[0-x^2024+（°一

2024]r20242024

i=2024也成立，從而￡a,<Z■一Mg+Z（2024

i=k+\2U24—kL=%+ii=k+\

1（2。25一”2。2f2023W一3

2024

（2005-A;）（2023-左）

二2。2024Q左

等