2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 二次函數(shù)的應(yīng)用講義

二次函數(shù)的應(yīng)用

考點(diǎn)直擊

利用二次函數(shù)解決實(shí)際問題，要建立數(shù)學(xué)模型，即把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題，利用題中存在的公式、內(nèi)含的規(guī)律

等，建立函數(shù)解析式，再利用函數(shù)的圖象及性質(zhì)去研究問題.在研究實(shí)際問題時要注意自變量的取值范圍應(yīng)具有實(shí)際意義.

1.應(yīng)用二次函數(shù)解決實(shí)際問題一般有兩種類型

⑴拋物線模型類問題：這類問題解題的關(guān)鍵在于根據(jù)拋物線的形狀和位置確定拋物線的函數(shù)解析式；

⑵函數(shù)模型類問題：這類問題解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題目中的數(shù)量關(guān)系列出函數(shù)解析式，利用函數(shù)解析式分析解決問題.

2.利用二次函數(shù)解決實(shí)際問題的一般步驟

(1)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系；

⑵把實(shí)際問題中的一些數(shù)據(jù)與點(diǎn)的坐標(biāo)聯(lián)系起來；

(3)用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式；

(4)利用二次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)去分析問題、解決問題.

鰥事

例1設(shè)xN0,y20,2x+y=6,貝!].P=4%2+3xy+y2—6x—3y()

A.有最大值18,無最小值B.無最大值，有最小值孑

C.有最大值18,最小值yD.既無最大值又無最小值

【思路點(diǎn)撥】由2x+y=6得y=6-2x,代入P=4x2+3xy+y2-6x-3y,根據(jù)x>0,y>0,求出x的取值范圍即可求出答

案.

舉一反三1(鎮(zhèn)江中考)已知實(shí)數(shù)x,y滿足/+3尤+y_3=0,則x+y的最大值為一.

2

舉一反三2(內(nèi)江中考)若x,y,z為實(shí)數(shù)，且匕*咒藍(lán)：:'則代數(shù)式x-3yz+i的最大值是一.

(X-y-r4Z一L

例2如圖，拋物線y=ax2-2ax+c(a*0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(C(0,-2),與x軸交于4(-1，0),B兩點(diǎn).

⑴求拋物線的解析式及點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(2)若P為線段BC下方拋物線上的一動點(diǎn)，設(shè)△PBC的面積為S,求S的最大值.

舉一反三3如圖，二次函數(shù)y=-x2+(n-l)x+3的圖象與y軸交于點(diǎn)A,與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)B(-2,0).

(1)求二次函數(shù)的解析式；

⑵若點(diǎn)P是這個二次函數(shù)圖象在第二象限內(nèi)的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作y軸的垂線與線段AB交于點(diǎn)C,求線段PC長度的最大

值.

例3（河北中考）某跳水運(yùn)動員進(jìn)行10m跳臺跳水訓(xùn)練，身體（將運(yùn)動員看成一點(diǎn)）在空中運(yùn)動的路線是拋物線，如圖，拋

物線經(jīng)過原點(diǎn)（圖中標(biāo)出的數(shù)據(jù)為已知數(shù)據(jù)）.在跳某個規(guī)定動作時，正常情況下，該運(yùn)動員在空中最高處距水面1。|加入水處

距池邊4m.同時，運(yùn)動員在距水面高度5m以前，必須完成規(guī)定的翻騰、打開動作，并調(diào)整好入水姿勢，否則就會失誤.

⑴求這條拋物線的解析式；

⑵某次試跳中，測得運(yùn)動員在空中的運(yùn)動路線是⑴中的拋物線，目運(yùn)動員在空中調(diào)整好入水姿勢時距池邊的水平距離

為31犯問此次跳水會不會失誤?通過計算說明理由.

舉一反三4（聊城中考）某公園草坪的防護(hù)欄由100段形狀相同的拋物線形構(gòu)件組成，為了牢固起見，每段護(hù)欄需要間距

0.4m加設(shè)一根不銹鋼的支柱，防護(hù)欄的最高點(diǎn)距底部0.5m（如圖），則這條防護(hù)欄需要不銹鋼支柱的總長度至少為（）

A.50mB.100m

C.160mD.200m

例4（盤錦中考）某服裝廠生產(chǎn)A品牌服裝，每件成本為71元，零售商到此服裝廠一次性批發(fā)A品牌服裝x件時，批發(fā)

單價為y元，y與X之間滿足如圖所示的函數(shù)關(guān)系，其中批發(fā)件數(shù)X為10的正整數(shù)倍.

（1）當(dāng)100SXS300時,y與x的函數(shù)解析式為.

（2）某零售商到此服裝廠一次性批發(fā)A品牌服裝200件，需要支付多少元？

（3）零售商到此服裝廠一次性批發(fā)A品牌服裝x（100<x<400）件，服裝廠的利潤為co元，問：x為何值時，3最大?最

大值是多少?

舉一反三5（益陽中考）某公司新產(chǎn)品上市30天全部售完，如圖1表示產(chǎn)品的市場日銷售量與上市時間之間的關(guān)系，如

圖2表示單件產(chǎn)品的銷售利潤與上市時間之間的關(guān)系，則最大日銷售利潤是一元.

例5（福建中考）空地上有一段長為a米的舊墻MN,某人利用舊墻和木欄圍成一個矩形菜園ABCD,已知木欄總長為100

米

⑴已知a=20,矩形菜園的一邊靠墻，另三邊一共用了100米木欄，且圍成的矩形菜園面積為450平方米.如圖1,求所

利用舊墻AD的長.

⑵已知（。<a<50,,且空地足夠大，如圖2.請你合理利用舊墻及所給木欄設(shè)計一個方案，使得所圍成的矩形菜園AB

CD的面積最大，并求面積的最大值.

MN

空地

圖1圖2

舉一反三6（無錫中考）有一塊矩形地塊ABCD,.AB=20m,BC=30皿為美觀，擬種植不同的花卉，如圖所示，將矩

形ABCD分割成四個等腰梯形及一個矩形，其中梯形的高相等，均為xm.現(xiàn)決定在等腰梯形AEHD和BCGF中種植甲種花

卉；在等腰梯形ABFE和CDHG中種植乙種花卉；在矩形EFGH中種植丙種花卉.甲、乙、丙三種花卉的種植成本分別為20

元//病、60元/nA40元//,設(shè)三種花卉的種植總成本為y元.

（1）當(dāng)X=5時，求種植總成本y；AD

（2）求種植總成本y與x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；

⑶若甲、乙兩種花卉的種植面積之差不超過120nl2,求三種花卉的最低種植總成本.

BC

基礎(chǔ)夯實(shí)

1.（南通中考）如圖是王阿姨晚飯后步行的路程S（單位:m）與時間t（單位:min）的函數(shù)圖象，其中曲線段AB是以B為頂點(diǎn)的

拋物線一部分.下列說法不正確的是（）

A.25min~50min,王阿姨步行的路程為800m

B.線段CD的函數(shù)解析式為s=32t+400（25<t<50）

C.5min~20min,王阿姨步行速度由慢到?jīng)Q

D.曲線段AB的函數(shù)解析式為s=-3（t-20）2+1200（5<t<20）

2.（無錫中考）某賓館共有80間客房.賓館負(fù)責(zé)人根據(jù)經(jīng)驗(yàn)作出預(yù)測：今年7月份，每天的房間空閑數(shù)y（單位：間）與定價

x（單位：元/間）之間滿足y=；x-42Q2168）.若賓館每天的日常運(yùn)營成本為5000元，有客人入住的房間，賓館每天每間另

外還需支出28元的各種費(fèi)用，賓館想要獲得最大利潤，同時也想讓客人得到實(shí)惠，應(yīng)將房間定價為（）

A.252元/間B.256元/間

C.258元/間D.260元/間

3.（臨沂中考）從地面豎直向上拋出一小球，小球的高度h（單位：m）與小球運(yùn)動時間t（單位：s）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.

有下列結(jié)論：

①小球在空中經(jīng)過的路程是40m；

②小球拋出3s后，速度越來越快；

③小球拋出3s時速度為0；

④小球的高度h=30m時,t=1.5s.其中正確的是（）

A.①④B,①②

C.②③④D.②③

4.（綿陽中考）如圖是拋物線型拱橋，當(dāng)拱頂離水面2m時，水面寬4m,水面下降2m,水面寬度增加—m.

4m

5.（新疆中考）如圖，在邊長為6cm的正方形ABCD中點(diǎn)E,F,G,H分別從點(diǎn)A.B,C,D同時出發(fā).均以1cm/s的速度向點(diǎn)B,

CD,A勻速運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)B時,四個點(diǎn)同時停止運(yùn)動，在運(yùn)動過程中，當(dāng)運(yùn)動時間為—s時,四邊形EFGH的面積最

小，其最小值是___cm2.

6.（日照中考）如圖，某小區(qū)有一塊靠墻（墻的長度不限）的矩形空地ABCD,為美化環(huán)境，用總長為100m的籬笆圍成四塊

矩形花圃（靠墻一側(cè)不用籬笆，籬笆的厚度不計）.

⑴若四塊矩形花圃的面積相等，求證：AE=3BE;

⑵在⑴的條件下，設(shè)BC的長度為xm.矩形區(qū)域ABCD的面積為ym2,求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取

值范圍.

7.(臺州中考)某藥廠銷售部門根據(jù)市場調(diào)研結(jié)果，對該廠生產(chǎn)的一種新型原料藥未來兩年的銷售進(jìn)行預(yù)測，并建立如下

模型：設(shè)第t個月該原料藥的月銷售量為P(單位：噸)，P與t之間存在如圖所示的函數(shù)關(guān)系，其圖象是函數(shù)P=鬻(0<t

<8)的圖象與線段AB的組合；設(shè)第t個月銷售該原料藥每噸的毛利潤為Q(單位：萬元)，Q與t之間滿足如下關(guān)系:Q=

[2t+8(0<t<12),

3+44(12<t<24).

(1)當(dāng)8<t<24時,求P關(guān)于t的函數(shù)解析式.

(2)設(shè)第t個月銷售該原料藥的月毛利潤為w(單位:萬元).

①求co關(guān)于t的函數(shù)解析式；

②該藥廠銷售部門分析認(rèn)為,336WWW513是最有利于該原料藥可持續(xù)生產(chǎn)和銷售的月毛利潤范圍,求此范圍所對應(yīng)的月

銷售量P的最小值和最大值.

8.如圖,拋物線y=-必+bx+c與x軸交于A(l,0),B(-3,0)兩點(diǎn)

⑴求該拋物線的解析式.

(2)設(shè)(1)中的拋物線交y軸于C點(diǎn),在該拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得△QAC的周長最小?若存在，求出Q點(diǎn)的

坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

(3)在(1)中的拋物線上的第二象限上是否存在一點(diǎn)P，使△PBC的面積最大?若存在，求出△PBC面積的最大值；若不存

在，請說明理由.

能力拓展

2

9.如圖，平行于x軸的直線AC分別交拋物線.yi=x(x>0)與y2=^-(x>0)于B,C兩點(diǎn)，過點(diǎn)C作y軸的平行線交y

1于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作AC的平行線DE,交y2于點(diǎn)E,則—=

10.(浙江競賽)已知a,b是整數(shù),a邦且-3gaS4,-3Wb*,則二次函數(shù)y=x2-(a+b)x+ab的最小值為()

A..——49B.—1

4

IL如圖，某日的錢塘江觀潮信息如圖：

2022年x月x日，天氣:陰:能見度:1.8千米.

11：40時，甲地“交叉潮”形成，潮水勻速奔向乙地；

12：10時，潮頭到達(dá)乙地，形成“一線潮”，開始均勻加速，繼續(xù)向西；

12：35時，潮頭到達(dá)丙地，遇到堤壩阻擋后回頭，形成“回頭潮”.

圖1圖2

按上述信息，小紅將“交叉潮”形成后潮頭與乙地之間的距離S(單位：千米)與時間t(單位：分)的函數(shù)關(guān)系用圖3表示，

其中：“11：40時甲地,交叉潮，的潮頭離乙地12千米記為點(diǎn)A(0,12),點(diǎn)B坐標(biāo)為(m,0),曲線BC可用二次函數(shù)s=七/+b

t+c(b,c是常數(shù))刻畫.

⑴求m的值，并求出潮頭從甲地到乙地的速度

(2)11：59時，小紅騎單車從乙地出發(fā)，沿江邊公路以0.48千米/分的速度往甲地方向去看潮，問她幾分鐘后與潮頭相

遇?

⑶相遇后，小紅立即調(diào)轉(zhuǎn)車頭，沿江邊