安徽省皖江聯(lián)盟2024屆高三5月模擬預(yù)測數(shù)學(xué)試卷及答案

姓名_________座位號_____________

（在此卷上答題無效）

數(shù)學(xué)

本試卷共4頁.19題。全卷滿分150分，考試時間120分鐘。

考生注意事項：

I.答題前,先將自己的姓名、玳考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡

上的指定位置。

2.選擇儂的作答:每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。寫在試卷,

草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。

3,非選擇題的作答:用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答施區(qū)域內(nèi)。寫在試卷、草稿紙和答題

卡上的非答題區(qū)域均無效。

4.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交。

一、選擇題:本題共8小題,每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.已知集合4={-l,0,l},B={y\y=21,xeA］，則

A.4r）S={l}BMUB={-l,0,l}C.BQAD.AQB

2

2.已知雙曲線x丁-4=1的焦距為4,則該雙曲線經(jīng)過一、三象限的漸近線的斜率為

3m

3.記a=2-，b=0.4f",c=k>ga,2,則

A.b<c<aB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

4.已知空間中不過同一點的三條直線共面”是）,zn,n兩兩相交”的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

5.已知復(fù)數(shù)z滿足/+z+l=0,則下列結(jié)論正確的是

A.z=1B.z+z=lC.z-z=1D.z3=1

i6

6.在二項式（々-?。┑恼归_式中，下列說法正確的是

A.常數(shù)項為與B.各項的系數(shù)和為64

C.第3項的二項式系數(shù)最大D.奇數(shù)項二項式系數(shù)和為-32

7.在平面直角坐標系“Oy中，已知向垃褊與通關(guān)于y軸對稱，若向量a=（1,0）滿足OA2+a-AB=0,

記4的軌跡為&則

A.￡是一條垂宜于工軸的直線B.E是兩條平行直線.

C.E是一個半徑為I的圓D.E是橢圓

8.設(shè)正數(shù)數(shù)列{%}的前?項和為S.,且S,=￡&+/卜“eN?）,則

A.{aJ是等差數(shù)列B.{SJ是等差數(shù)列2.{/}單調(diào)遞增D.{SJ單調(diào)遞增

【G-024］數(shù)學(xué)試卷第1頁（共4頁）

二、選擇題:本題共3小題,每小題6分，共18分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求,

全部選對的得6分,部分選對的得部分分，有選錯的得0分。

9.設(shè)離散型隨機變量X的分布列如表，若肉攸型隨機變垃丫滿足y=2X-l,則

A.x=0.2B.E(X)=2,0(>)=1.8

C￡(X)=2,D(X)=L4D.E(r)=3,P(D=7.2

10.已知函數(shù)/(x)=4疝1(5：+中)(4>0,8>0/3</)的部分圖象如圖所示,且圖中陰影部分的面積為

47r,則

A./(X+IT)=/(X)y^EB

f3DC

D.函數(shù)在區(qū)間(；,97r)內(nèi)單調(diào)遞減

44

1L拋物線x2=8y的焦點為尸，準線為直線2,過點F的直線交拋物線于A.B兩點,分別過A.B作拋物線

的切線交于點P.A4'JJ于點4',88'12于點8',則

A.點P在直線y=-4上B.點P在直線/IB上的投影是定點

C.以/!'夕為直徑的圓與直線AB相切D.嗯魯?shù)淖钚≈禐楦?/p>

三、填空題:本題共3小題,每小題5分，共15分。

12.已知lgx+lgy=2,則x+y的最小值為.

13.已知三棱錐P-ABC的外接球為球。,PC為球0的直徑，且PC=2,E4=P8=Q,AB=1,則三棱錐

P-ABC的體積為.

14.“完全數(shù)”是一類特殊的自然數(shù),它的所有正因數(shù)的和等于它自身的兩倍.尋找“完全數(shù)”用到函數(shù)

。(")：VneN*,cr(n)為兀的所有正因數(shù)之和，如。(6)=1+2+3+6=12,則CT(20)=；

o(6")=_______-

四、解答題:共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.(13分)

已知函數(shù)/(%)=COS(3*+9)(3>0,-萬?<w<0)的最小正周期,

為n,且函數(shù)/(z)的圖象向左平移三個單位后得到的函數(shù)為T

6

偶函數(shù).~oisT-27五行一，

U)求函數(shù)/(工)的解析式，并通過列表、描點在給定坐標系*123，2

中作出函數(shù)/(%)在［0,汨上的圖象；

(2)在銳角LABC中，a,〃，c分別是角4,8,C的對邊,若一

W=，求/⑶的值地

【C-024】數(shù)學(xué)試卷第2頁(共4頁)

16.(15分)

籃球運動深受青少年喜愛.2024《街頭籃球》SFSA全國超級聯(lián)賽賽程正式公布，首站比賽將于4月

13日正式打響，于6月30日結(jié)束，共進行13站比賽.

(1)為了解喜愛籃球運動是否與性別有關(guān)，某統(tǒng)計部門在某地隨機抽取了男性和女性各100名進

行調(diào)查，得到2x2列聯(lián)表如下：

喜愛籃球運動不喜愛籃球運動合計

男性6040100

女性2080100

合計80120200

依據(jù)小概率值?=0.001的獨立性檢驗，能否認為喜愛籃球運動與性別有關(guān)？

(2)某?；@球隊的甲、乙、丙、丁四名球員進行傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者

都等可能將球傳給另外三個人中的任何一人，如此不停地傳下去，且假定每次傳球都能被接

到.記甲第"次觸球的概率為匕，則P產(chǎn)1.

(1)證明:數(shù)列憶—I是等比數(shù)列；

(ii)判斷第24次與第25次觸球者是甲的概率的大小.

2

2_rt(ad-bc)

(Q+6)(c+d)(Q+C)(b+d)

a0.10.050.010.0050.001

%2.7063.8416.6357.87910.828

17.(15分)

如圖,在圓臺。01中分別為上、下底面的直徑，且

AB=2AlBl,CCl為異于的一條母線.

(1)若M為/1C的中點，證明:GM〃平面AB8M；

(2)若。。產(chǎn)3,48=4,448c=30。,求二面角A-CC-0的正弦值,

18.（17分）

已知函數(shù)/（#）=?-/T"n*,其中?>0.

（1）若曲線），=/（#）在點（1,1）處的切線方程為y=1，求/（工）的最小值；

（2）若&n。3*-2對于任意x>0均成立，且式a）=b+ka的最小值為1，求實數(shù)k.

a

19.（17分）

如圖.各邊與坐標軸平行或垂直的矩形4BQ）內(nèi)接于橢圓E：j+==l（a乂>0）,其中點4,B分別

在第三、四象限，邊40.8c與*軸的交點為％,Mr

⑴若4B=BC=1,且根，必為橢圓E的焦點，求橢圓E的離心率；

（2）若&是橢圓E的另一內(nèi)接矩形，且點4也在第三象限，若矩形/1BCD和矩形4&G2

的面積相等，證明：|04『+|04『是定值，并求出該定值；

⑶若ABCD是邊長為1的正方形，邊與y軸的交點為MjM,設(shè)P；（i=l,2,…，100）是正

方形ABCD內(nèi)部的100個點，記d*=?|弧尸」，其中4=1,2,3,4.證明&W，d3&中至少有

兩個小于81.

數(shù)學(xué)參考答案及評分標準

二'選擇題:

題號1234567891011

答案ABCBDACDBDABCBCD

【解析】

1.依題意幺={-1,0,1}用={9|9=2"4€4}=仁,1,2卜因此/口8={1}，選項A正確

22

2.因為雙曲線二-當=1的焦距為4,所以3+-=22,解得一=1,所以則該雙曲線經(jīng)

3m2

過一、三象限的漸近線的斜率為=走，選項B正確.

V33

3.顯然0<a=2一°4<2°==0.4一°4>04°=i；c=iOg042<log041=0,故選項C正確.

4.依題意，直線/，私〃不過同一點，因此，若加,〃兩兩相交”則必有加,〃共面(由三

個交點確定的平面)"，但若加，〃共面”，有可能有兩條直線平行，與第三條之間分

別相交，但此時，“/切，〃兩兩相交”結(jié)論錯誤，故選項B正確.

5.因為/+2+1=0,所以，一1=(2一1)(/+?+])=0,從而/=],選項D正確.

1116-3-

6.(6一一)6的展開式通項為l+i=C"(A)6f?(——y=C；-(—y-x2當r=2時，常

2x2x2

數(shù)項為?！?-工)2="，選項A正確；令2=1,得各項的系數(shù)和為(1-工)6=工，選項B

24264

錯誤；展開式共7項，二項式系數(shù)最大應(yīng)為第4項，故選項C錯誤；依題意奇數(shù)項二項

16

式系數(shù)和為0+&+=32，選項D錯誤.

2z=o

7.不妨設(shè)點4的坐標為(N,y),OA=(X,y\OB=(-rr,y),

由厲？+〃?刀=0可得獷+憂―2/=0,即(/—1)2+憂=1,故選項C正確?

8.依題意S”4冊+工]=2S"S”-S“_、+—=S.+%=—=S：-SJ=1,

21anJSn-Sn_]Sn_Sn_[

令幾=1,解得百=1,從而S；=場S/=品,%=品一Jrz—1,易知選項D正確.

9,因為0.1+0.4+升0.2+02=1,所以hO.l,A選項錯誤；

由E(X)=OxO.l+1x04+2x0.1+3x0.2+4x0.2=2,MX=0+1+^+3+4=2,

故D(X)=(0-2)2x0.1+(1-2)2x0.4+(2-2)2xO.l+(3-2)2x0.2+(4-2)2x0.2=1.8,

因此選項B正確；

又y=2J^l,所以，E(y)=2E(X)-l=3,0(y)=40(X)=7.2,故C錯D對.

2九

10.由題意，4=2,47=4兀，所以T=—=TI,即0=2,

CD

JTJT

又/(0)=1,所以2sin0=l,可得*=—,因此/Q)=2sin(22+—).

66

顯然，函數(shù)周期為兀，/3+兀)=/(出)，選項A正確；

因為/(詈)=2sin(午+，=0,所以選項B正確，

數(shù)學(xué)參考答案第1頁(共6頁)

/（—）=2sin（—+-）=2sin—=2,選項C正確；

6662

若se（工型），即二＜2＜羽，則+函數(shù)先減再增，D錯誤.

444433

11.依題意焦點B的坐標為（0,2）,準線為直線/：,=-2,

不妨設(shè)/（々,%）,3（22,）2）,直線48的方程為》=丘+2,

聯(lián)立？=庇+2與J?=8?,得/_8kx—16=0,從而4+4=84,1也=-16,

由題意，y=—x2,yy=-x,

J84

故拋物線過點4石的切線方程分別為

11

?一％=7%（z”巧），？一%=產(chǎn)（z艮―4），

解得點尸的坐標為（生產(chǎn)，-2）,故A錯誤；

因為方?麗=0,所以抒1^/石，

即點P在直線，四上的投影是點歹（定點），故選項B正確；

njffiRtA4FP^RtA4W,RtABFP^RtABTP,因止匕PP=4P=3'P,

即以⑷⑻為直徑的圓與直線48相切，選項C正確；

2

對于選項D,因為|4B|=%+為+4=8戶+8,|FF|=716A+16=4^+1，

..AAB\+18廬+9r^--1

從而',',=I----=2〃2+1+------,

附47FTT4VFTi

令”"2+121,由函數(shù))=2/+\單調(diào)性易知，2=1,函數(shù)取最小值;.D正確.

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分。

B1

12.2013.（-14.42；5（2"+1-1）（3"+1-1）.（第一空2分，第二空3分）

【解析】

12.依題意？＞0,2/＞0,2；沙=100,所以立+922而=20,等號成立當且僅當2=沙=10.

13.如圖，易知/P4O=NPBO=90。，AC^BC^i,

作于點H,易知BHLPC,AH=BH=g

2

AHBH2-AB2

cosNAHB=、

2AH-BH3

QATTTJTJ?/ALTD32^2V2

S叢AHB=—AH,BH,sin/AHB=—x-----=,

2834

1F)

故三棱錐P-ABC的體積為—翅力成,PC=J.

14.FT(20)=1+2+4+5+10+20=(2°+2+22)(5°+5)=42

℃)=(1+2+4+…+2")(1+3+9+..7)](2向-1)(3—1).

數(shù)學(xué)參考答案第2頁（共6頁）

四、解答題:

15.(13分)

解：(1)?.?函數(shù)”2)的最小正周期7=—=口，。=2,

(D

,*,向左平移后/(N~1—)=C0S(2?H---F(p)為偶函數(shù)，且—＜夕＜0,***(p=—，

'6323

JI

故f(%)解析式為/(劣)=cos(2力-j)...............................................................4分

列表如下：

5萬litIbr

X0蒞n

6T

*It3川

2x-----0n

3"I2T

￡￡

/(X)210一102

jJI

即2acosC=bcosC+ccos5,解得cosC=—,即。=—,..............11分

23

兀JT

又因為△Z5C是銳角三角形，所以一＜3＜一,

62

兀2HJI1

^0＜25--＜y,BP/(x)=cos(25--)e(--,l)......................................13分

16.(15分)

解：(1)假設(shè)80：喜愛籃球運動與性別獨立，即喜愛籃球運動與性別無關(guān).

2

的黃宜?士立的A*,ZV?200x(60x80-20x40)100,八℃。

根4n據(jù)列聯(lián)表數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得B/=---------------------=——＞10.828=xooi,

100x100x80x12030

依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷五。不成立，

即能認為喜愛籃球運動與性別有關(guān)，從此推斷犯錯誤的概率不超過0?001.

............................................................6分

(2)(i)由題意，

4=加.0+(1-％_).-卜_]+；,...........................................................8分

所以/_；=一；)

數(shù)學(xué)參考答案第3頁(共6頁)

1313-,為公比的等比數(shù)列.…12分

又6—所以是以i為首項

3

（止）由（i）,

所以g4=:（一；尸+；<；，&=?（_；）"+（>；?

故甲第25次觸球者的概率大....................15分

17.（15分）

解：（1）證明：連接4cl.

因為44,AB分別為上、下底面的直徑，且

所以44,34,eg為圓臺母線且交于一點.因此4a，。,。l四點共面......3分

因為圓臺。q中平面幺8。〃平面44。1,

平面44c°n平面48。=4。，平面44c1?？谄矫?4cl=4G，

所以4c〃4q,

又因為48=244,所以普=罌=：

從而￡%=￡4=▲,即C|為P。的中點...........................5分

PCPA21

在△P4C中，V為4。的中點，所以〃44r

因為44=平面CM<z平面幺344，

所以〃平面AB44............................................7分

（2）以。為坐標原點，。8。。］分別為外2軸，過點。且垂直與平面幺的直線為

2軸，建立空間直角坐標系。-磔/Z.

因為/幺5。=30。，所以/幺。。=60。，所以4（0,-2,0）,。（6,-1,0）,0］（0,0,3）,

因為布=（6,-1,0）,所以謂=^方=（5，-（0）,故。］（3,-;,3）,

------>\［31

所以qc=（53）,...........................................9分

n.-OC=0,

設(shè)平面OCC］的法向量為多=(xyz),則(一?

nxCC=0,

_%=0,

即81?_n'所以平面。。C］的一個法向量為”］=(1,6,0).

~xi--?/i-3zi=。，

.................................11分

又幺。=（6,i,o）,設(shè)平面acq的法向量為％=（4，％，4），

氏X?+%=0,

所以?-AC=0,即憶一…

-CC=0,=0,

所以平面OOC］的一個法向量為“213分

數(shù)學(xué)參考答案第4頁（共6頁）

15分

13

18.(17分)

解：(1)①由題意，且/(力)的定義域為(0,+8)

a2xa-b

f\x)=a2xa-1--=2分

XX

4)=1,Q=1,a=1,

依題意即<,從而4分

八1)=0,a2-b=0,b=l,

T—1

故/⑵=/一In①，f\x)=----，....................5分

x

從而函數(shù)/Q)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增,

所以/3)min=*l)=L............................7分

(2)依題意，xa——\nx>3/一2,其中Q>0,記八(/)=1?！猯ni-3/+2,則h(x)>0，

aa

因為伏l)=o,WQ),即為1)是帖:)的極小值也是最小值,故加⑴=0,

而於(n)=-----3,所以Q3=0,解得6=a>—3a,............9分

axa

止匕時h(x)=xa一(a-3)ln/—3i+2(/>0),

若0<a<3,則/fO時，xa—>0,lnL—O,-(Q—3)lni-—oo,-3/+2—>2,

BPh(x)—>-oo,與〃/)NO矛盾！.....................................]]分

a—3.o>xa_3x—Q+3CL(xa—1)—3Q—1)

若QN3,h\x)=axa~{------5=--------------=----------------

xxx

則當0<立<1時，"⑶必1)?0,八⑺單調(diào)遞減,

xx

a(m)=("3)(D>o,)單調(diào)遞增,

當/>1時，h'⑺>h(x

xx

符合題意.

故a23........13分

所以g(〃)=6-(3-4)〃，其中Q23.

?一上

若不?3即k>-3時，則函數(shù)g(a)在［3,+oo)上最小值為g(3),

依題意9-3(3-口=1,解得心=g,符合題意;

15分

若13—>卜3即k<-3時，則函數(shù)g(a)在［3,+8)上最小值為。(3三—卜)，

依題意g(土且)=1,即一(3-&)二=1,無解，不符合題意.