第2章平面解析幾何初步（培優(yōu)課對稱問題的解法）課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)選擇性

培優(yōu)課對稱問題的解法第2章平面解析幾何初步湘教版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第一冊課標(biāo)要求1.掌握平面上點關(guān)于點、線的對稱問題的解法;2.能夠根據(jù)對稱思想,求解實際問題.重難探究·能力素養(yǎng)速提升目錄索引

學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點一點關(guān)于點、線的對稱問題【例1】

直線l:2x+3y-6=0關(guān)于點(-1,2)對稱的直線方程是(

)A.3x-2y-10=0B.3x-2y-23=0C.2x+3y-4=0D.2x+3y-2=0D解析

(方法1)設(shè)所求對稱直線方程上的點的坐標(biāo)為(x,y),則其關(guān)于點(-1,2)對稱的對稱點的坐標(biāo)為(-2-x,4-y).因為點(-2-x,4-y)在直線l:2x+3y-6=0上,所以2(-2-x)+3(4-y)-6=0,整理得2x+3y-2=0.故選D.(方法2)設(shè)直線l:2x+3y-6=0關(guān)于點(-1,2)對稱的直線為l1,則l∥l1.設(shè)直線l1的方程為2x+3y+t=0(t≠-6).在直線2x+3y-6=0上任取一點P(0,2),點P(0,2)關(guān)于(-1,2)的對稱點為P'(-2,2),將P'(-2,2)代入2x+3y+t=0(t≠-6)得t=-2.故所求方程為2x+3y-2=0.故選D.規(guī)律方法

1.點關(guān)于點成中心對稱的解法若兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2)關(guān)于點P0(x0,y0)中心對稱,則2.線關(guān)于點成中心對稱問題的解法(1)設(shè)出所求直線上的點的坐標(biāo)P(x,y),求出點P(x,y)關(guān)于M的對稱點P'的坐標(biāo),將點P'的坐標(biāo)代入已知直線,所得方程即為所求直線的方程;(2)根據(jù)直線l關(guān)于直線外一點M的對稱直線與已知直線互相平行可得對稱直線l'的斜率,再取直線l上任意一特殊點,求其關(guān)于點M的對稱點,將該點代入直線l'中,即可求出直線l'的方程.變式訓(xùn)練1已知直線l1與l2關(guān)于原點對稱,若l1的方程是x+2y-3=0,則l2的方程是(

)A.x+2y+3=0 B.x-2y+3=0C.2x+y+3=0 D.2x-y+3=0A解析

因為直線l1與l2關(guān)于原點對稱,則只需將l1的方程中x改為-x,y改為-y,可得l2的方程是-x+2(-y)-3=0,即x+2y+3=0,故選A.探究點二軸對稱問題角度1點關(guān)于直線的對稱問題【例2】

求點A(-2,3)關(guān)于直線3x-y-1=0對稱的點A'的坐標(biāo).分析

設(shè)A(-2,3)關(guān)于直線的對稱點為A'(x0,y0),根據(jù)對稱性的特征建立方程組求解.

解

設(shè)A'(x0,y0),由題意,所以點A關(guān)于直線3x-y-1=0對稱的點A'為(4,1).規(guī)律方法

1.點關(guān)于直線對稱問題的解法若兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2)關(guān)于直線l:Ax+By+C=0(A,B不同時為0)對稱,則線段P1P2的中點在直線l上,且直線P1P2⊥直線l,2.點關(guān)于特殊的直線的對稱問題的結(jié)論

點的坐標(biāo)對稱直線結(jié)論點P(x0,y0)y=x(y0,x0)y=-x(-y0,-x0)x+y+t=0(-t-y0,-t-x0)x-y+t=0(y0-t,x0+t)變式訓(xùn)練2[2024甘肅高二期末](多選題)已知點M(1,0)關(guān)于直線mx-y+1=0(m∈R)的對稱點N在直線x+y=0上,則實數(shù)m的值為(

)AC解析

因為點N在直線x+y=0上,設(shè)點N(a,-a),又M(1,0),化簡為m(a+1)+a+2=0.①因為MN與直線mx-y+1=0垂直,角度2線關(guān)于線成軸對稱問題【例3】

已知直線l:x-y-1=0,l1:x-y+3=0,l2:2x-y-1=0.(1)求直線l1關(guān)于直線l的對稱直線l1'的方程;(2)求直線l2關(guān)于直線l的對稱直線l2'的方程.解

(1)因為l1∥l,所以l1'∥l.設(shè)直線l1'的方程為x-y+c=0(c≠3,且c≠-1).在直線l1上取點M(0,3),設(shè)點M關(guān)于直線l的對稱點為M'(a,b),把點M'的坐標(biāo)代入直線l1'的方程,得4-(-1)+c=0,解得c=-5.所以直線l1'的方程為x-y-5=0.規(guī)律方法

直線關(guān)于直線的對稱直線方程的求解方法設(shè)直線l1關(guān)于直線l的對稱直線為l2.直線l1與直線l的關(guān)系方法過程平行l(wèi)1∥l2∥l,取直線l1上一點,求該點關(guān)于直線l的對稱點利用兩直線平行及點關(guān)于直線對稱求解相交求l與l1的交點,再在直線l1上取一點(不是交點),求該點關(guān)于直線l的對稱點利用點關(guān)于直線對稱求方程變式訓(xùn)練3(1)求直線l1:2x-y+6=0關(guān)于直線l:2x-y+1=0對稱的直線l2的方程;(2)求直線2x+y-4=0關(guān)于直線x-y+1=0對稱的直線的方程.解

(1)設(shè)直線l2的方程為2x-y+c=0(c≠6且c≠1),在直線l1:2x-y+6=0上取點P(-2,2),設(shè)點P關(guān)于直線l:2x-y+1=0的對稱點為P'(m,n),則(2)因為直線2x+y-4=0與直線x-y+1=0相交,聯(lián)立直線方程可得

探究點三點關(guān)于直線對稱問題的應(yīng)用【例4】

在直線l:3x-y-1=0上,求點P和Q,使得(1)點P到點A(4,1)和B(0,4)的距離之差最大;(2)點Q到點A(4,1)和C(3,4)的距離之和最小.解

(1)如圖所示,設(shè)點B關(guān)于直線l的對稱點B'的坐標(biāo)為(a,b),聯(lián)立①②可得a=3,b=3,即B'點的坐標(biāo)為(3,3).即直線l與直線AB'的交點坐標(biāo)為P(2,5),且此時點P到點A,B的距離之差最大.(2)如圖所示,設(shè)點C關(guān)于直線l的對稱點為C'(m,n),規(guī)律方法

求直線上一點到兩定點的和(差)距離最值問題的求法

兩定點A,B與定直線l的關(guān)系直線上尋找一點到兩定點的和最小直線上尋找一點到兩定點的差的絕對值最大兩定點A,B在定直線l的同側(cè)過一定點A(或B)關(guān)于直線l的對稱點A'(或B'),連接AB'(或A'B)與直線l的交點即為所求連接AB,則AB與直線l的交點即為所求兩定點A,B在定直線l的異側(cè)連接AB,則AB與直線l的交點即為所求過一定點A(或B)關(guān)于直線l的對稱點A'(或B'),連接AB'(或A'B)與直線l的交點即為所求變式訓(xùn)練4(1)已知A(1,4),B(8,3),點P在x軸上,求使|AP|+|BP|取得最小值的點P的坐標(biāo);(2)已知點A(1,3),B(5,-2),在x軸上找一點P使|AP|-|BP|最大,求點P的坐標(biāo).解

(1)A(1,4)關(guān)于x軸的對稱點為A'(1,-4),因為|AP|+|BP|=|A'P|+|BP|≥|A'B|,當(dāng)A',P,B三點共線時取等號,此時點P為直線A'B與x軸的交點,直線A'B的直線方程為

,整理得y=x-5.令y=0,得x=5,所以P點坐標(biāo)為(5,0).(2)如圖所示,作點B關(guān)于x軸的對稱點B'(5,2),由對稱性可知|BP|=|B'P|,則|AP|-|BP|=|AP|-|B'P|.當(dāng)A,B',P三點不共線時,由三角形三邊關(guān)系得|AP|-|B'P|<|AB'|;當(dāng)A,B',P三點共線時,|AP|-|B'P|=|AB'|.所以|AP|-|B'P|≤|AB'|,當(dāng)且僅當(dāng)A,B',P三點共線時,等號成立,此時,直線AB'學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)1234567891011121314151617A級必備知識基礎(chǔ)練1.點A(1,4)關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)是(

)A.(-1,4) B.(1,-4)C.(-1,-4) D.(-4,-1)C12345678910111213141516172.點A(1,4)關(guān)于點M(0,-1)的對稱點坐標(biāo)是(

)A.()

B.(-1,2)C.(-1,6) D.(-1,-6)D解析

由題意可知,點M是所求點與點A的中點,設(shè)所求點為A'(x,y),則

12345678910111213141516173.點A(1,4)關(guān)于x軸的對稱點的坐標(biāo)是(

)A.(-1,4) B.(1,-4)C.(-1,-4) D.(-4,-1)B12345678910111213141516174.點P(2,5)關(guān)于直線x=4的對稱點的坐標(biāo)是(

)A.(6,5) B.(6,-5) C.(5,6) D.(5,-6)A解析

設(shè)點Q(a,b)為所求的對稱點,則由題意知b=5,且點Q與點P的中點在直線x=4上,因此

=4,得a=6.故所求對稱點是(6,5).12345678910111213141516175.點P(2,5)關(guān)于直線x+y=0的對稱點的坐標(biāo)是(

)A.(5,2) B.(-5,-2)C.(-2,-5) D.(5,-2)B解析

設(shè)對稱點P'(m,n),故點P關(guān)于直線x+y=0的對稱點的坐標(biāo)是(-5,-2).12345678910111213141516176.直線2x-y=2關(guān)于直線2x-y+3=0的對稱直線方程是

.

2x-y+8=0解析

直線2x-y=2可化為2x-y-2=0,則直線2x-y-2=0與直線2x-y+3=0平行.設(shè)所求直線的方程為2x-y+t=0(t≠-2,且t≠3),在直線2x-y=2上任取一點M(1,0),設(shè)點M關(guān)于直線2x-y+3=0的對稱點為M'(a,b),則方程2x-y+t=0,解得t=8.故所求直線方程為2x-y+8=0.12345678910111213141516177.直線l與l1關(guān)于點(1,-1)中心對稱,若直線l的方程是2x+3y-6=0,則直線l1的方程是

.

2x+3y+8=0解析

在直線l1上任取一點A(x,y),則點A關(guān)于點(1,-1)的對稱點B(2-x,-2-y)一定在直線l:2x+3y-6=0上,故有2(2-x)+3(-2-y)-6=0,整理得2x+3y+8=0.故直線l1的方程為2x+3y+8=0.12345678910111213141516178.已知直線l:y=3x+3.求:(1)點P(4,5)關(guān)于直線l的對稱點坐標(biāo);(2)直線y=x-2關(guān)于直線l對稱的直線的方程.解

(1)設(shè)點P(4,5)關(guān)于直線l:y=3x+3的對稱點的坐標(biāo)為(a,b),故點P(4,5)關(guān)于直線l的對稱點的坐標(biāo)為(-2,7).12345678910111213141516177x+y+22=0,即直線x-y-2=0關(guān)于直線l對稱的直線的方程為7x+y+22=0.1234567891011121314151617B級關(guān)鍵能力提升練9.已知點A(5,7)與點B關(guān)于直線l:y=x+1對稱,則點B的坐標(biāo)為(

)A.(7,6) B.(4,7)C.(6,-7) D.(6,6)D123456789101112131415161710.一束光線從點M(5,3)射出,經(jīng)x軸反射后的光線經(jīng)過點N(7,3),則反射光線所在的直線方程為(

)A.y=3x-18 B.y=-3x-12C.y=3x+12 D.y=-3x+18A解析

根據(jù)光線的反射原理,入射光線上的點關(guān)于反射面對稱的點在反射光線的反向延長線上.由題可知,點M(5,3)關(guān)于x軸對稱的點為M'(5,-3),則M'(5,-3)在反射光線的反向延長線上.則kM'N==3,所以反射光線所在的直線方程為y-3=3(x-7),即y=3x-18.故選A.123456789101112131415161711.（多選題）光線從A(-3,4)點射出,到x軸上的B點后,被x軸反射到y(tǒng)軸上的C點,又被y軸反射,這時反射線恰好過點D(-1,6),則BC所在直線的方程是(

)A.5x-2y+7=0B.3x+y-1=0C.3x-2y+4=0D.2x-y-3=0AC1234567891011121314151617A123456789101112131415161713.已知點A(1,3)關(guān)于直線y=kx+b對稱的點是B(-2,1),則直線y=kx+b的方程是

.

123456789101112131415161714.將一張畫了直角坐標(biāo)系(兩坐標(biāo)軸單位長度相同)的紙折疊一次,使點A(2,0)與點B(-2,4)重合,則與點C(5,8)重合的點的坐標(biāo)是

.

(6,7)解析

由已知得折線為線段AB的垂直平分線,設(shè)垂直平分線的方程為y=kx+b,線段AB的中點為(0,2),斜率為kAB==-1,則線段AB的垂直平分線的斜率k為1,將點(0,2)代入,可得b=2,故垂直平分線的方程為y=x+2.設(shè)點C(5,8)關(guān)于直線y=x+2的對稱點為P(x0,y0),123456789101112131415161715.已知點A(0,4)與點B關(guān)于直線l0:x+2y-3=