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文檔簡介

福建省2025屆高三數(shù)學模擬考試試題文(含解析)

本試卷共23題,共150分,考試時間120分鐘,考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回.

留意事項:

1.答題前,考生先將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫清晰,將條形碼精確粘貼在

條形碼區(qū)域內(nèi).

2.選擇題必需運用28鉛筆填涂;非選擇題必需運用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工

整,筆跡清晰.

3.請依據(jù)題號依次在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草

稿紙、試卷上答題無效.

4.作圖可先運用鉛筆畫出,確定后必需用黑色字跡的簽字筆描黑.

5.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺.不準運用涂改液、修正帶、刮紙刀.

一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項

是符合題目要求的.

1.已知全集U=R,集合A={x|-2<X<4,XeZ}與5={xI%=2太左eZ}的關(guān)系的韋恩

圖如圖所示,則陰影部分所表示的集合的元素共有().

A.2個B.3個C.4個D.5個

【答案】B

【解析】

【分析】

由韋恩圖確定所求集合為AC(e5),由交集和補集定義即可求得結(jié)果.

【詳解】由韋恩圖可知所求陰影部分為AC(e5),

A={-2,-1,0,1,2,3,4},5集合表示全部2的倍數(shù),A(^5)={-1,1,3).

陰影部分所表示的集合的元素個數(shù)為3個.

故選:B.

【點睛】本題考查集合運算中的交集和補集運算,涉及到依據(jù)韋恩圖確定所求集合,屬于基

礎(chǔ)題.

。I.

2.若復數(shù)2=--eR,則實數(shù)。=().

1-Z

A.-2B.2C.-1D.1

【答案】A

【解析】

【分析】

依據(jù)復數(shù)的除法運算可整理得到z,依據(jù)實數(shù)的定義可知虛部為零,由此可求得結(jié)果.

、2+cii(2+山)(1+,)2-Q+(2+〃)Z2-〃2+〃.

【詳解】??""=7-=(l-f)(l+z)=2=亍+亍"火'

。I

--=0,解得:Q=—2

2

故選:A-

【點睛】本題考查依據(jù)復數(shù)的類型求解參數(shù)值的問題,涉及到復數(shù)的除法運算,屬于基礎(chǔ)題.

3.下列是函數(shù)/(x)=tan[的對稱中心的是(

A.B.C.(0,0)D.三。

【答案】D

【解析】

【分析】

jTKTT

令2x-]=《-(左eZ)解出x后可得函數(shù)的對稱中心,對應各個選項可得結(jié)果.

【詳解】令2x—?=怎左eZ),解得:x=^+^-(keZ),

.,./(%)的對稱中心為]兀k7T,

五+彳0,左Z,

71kn3十乃,故是/(%)的一個對稱中心.

當&=1時,--1---=

848

故選:D.

【點睛】本題考查正切型函數(shù)對稱中心的求解問題,關(guān)鍵是嫻熟駕馭整體對應的方式,屬于

基礎(chǔ)題.

4.下圖統(tǒng)計了截止到2024年年底中國電動汽車充電樁細分產(chǎn)品占比及保有量狀況,關(guān)于這5

次統(tǒng)計,下列說法正確的是()

中國電動汽車充電樁細分產(chǎn)品占比情況

■公共類。私人類

中國電動汽車充電樁細分產(chǎn)品保有量情況(單位:萬臺)

■公共類。私人類

A.私人類電動汽車充電樁保有量增長率最高的年份是2024年

B.公共類電動汽車充電樁保有量的中位數(shù)是25.7萬臺

C.公共類電動汽車充電樁保有量的平均數(shù)為23.12萬臺

D.從2024年起先,我國私人類電動汽車充電樁占比均超過50%

【答案】D

【解析】

【分析】

依據(jù)統(tǒng)計圖表中數(shù)據(jù)依次推斷各個選項即可得到結(jié)果.

【詳解】對于A,2016年私人類電動汽車充電樁保有量增長率為空空x100%=687.5%,

0.8

477-232

高于2018年的增長率一-------xlOO%x105.6%,A錯誤;

23.2

對于B,公共類電動汽車充電樁保有量由小至大排序,位于第三位的是21.4,故中位數(shù)為21.4

萬臺,B錯誤;

對于C,公共類電動汽車充電樁保有量的平均數(shù)為上_:-----§——-=23.02萬

臺,C錯誤;

對于。,從2017年起先,私人類電動汽車充電樁占比分別為52.0%,61.4%,57.5%,均

超過50%,。正確.

故選:D.

【點睛】本題考查依據(jù)統(tǒng)計圖表解決實際問題,涉及到增長率、中位數(shù)和平均數(shù)的計算,屬

于基礎(chǔ)題.

5.科赫曲線是一種外形像雪花的幾何曲線,一段科赫曲線可以通過下列操作步驟構(gòu)造得到,

任畫一條線段,然后把它均分成三等分,以中間一段為邊向外作正三角形,并把中間一段去

掉,這樣,原來的一條線段就變成了4條小線段構(gòu)成的折線,稱為“一次構(gòu)造”;用同樣的

方法把每條小線段重復上述步驟,得到16條更小的線段構(gòu)成的折線,稱為“二次構(gòu)造”,…,

如此進行“〃次構(gòu)造”,就可以得到一條科赫曲線.若要在構(gòu)造過程中使得到的折線的長度達

到初始線段的1000倍,則至少須要通過構(gòu)造的次數(shù)是().(取lg3ao.4771,

C.24D.25

【答案】D

【解析】

【分析】

由折線長度改變規(guī)律可知“〃次構(gòu)造”后的折線長度為[g]a,由此得到(q)>1000,利

用運算法則可知n>°?.,由此計算得到結(jié)果.

2xlg2-lg3

4

【詳解】記初始線段長度為。,則“一次構(gòu)造”后的折線長度為一。,“二次構(gòu)造”后的折線

3

長度為[3]a,以此類推,“〃次構(gòu)造”后的折線長度為[q]a,

若得到的折線長度為初始線段長度的1000倍,則a21000a,即>1000,

.,.Ig]]=7zlg1=7z(lg4-lg3)=?(21g2-lg3)>lgl000=3.

3_______

即?24.02,???至少須要25次構(gòu)造.

2x0.3010-0.4771

故選:D.

【點睛】本題考查數(shù)列新定義運算的問題,涉及到對數(shù)運算法則的應用,關(guān)鍵是能夠通過構(gòu)

造原則得到每次構(gòu)造后所得折線長度成等比數(shù)列的特點.

6.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸入的。的值為4,則輸出的。的值為().

A.6B.7C.8D.9

【答案】B

【解析】

【分析】

依據(jù)程序框圖運行程序,直到不滿意M>N時輸出結(jié)果即可.

【詳解】依據(jù)程序框圖運行程序,輸入a=4,M=100,N=l,滿意M>N,循環(huán);

"=100+4=104,N=1X4=4,?=5,滿意M>N,循環(huán);

河=104+5=109,N=4X5=20,。=6,滿意M>N,循環(huán);

河=109+6=115,?/=20x6=120,a=7,不滿意M>N,輸出a=7.

故選:B.

【點睛】本題考查依據(jù)程序框圖循環(huán)結(jié)構(gòu)計算輸出結(jié)果的問題,屬于基礎(chǔ)題.

?c(aa

7.已知直線融+y—1=0將圓C:(x—ir+(y+2)2=4平分,則圓C中以點匕,一耳、為中點

的弦的弦長為().

A.2B.2&C.2A/3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】

由直線平分圓可知其過圓心,從而求得。,依據(jù)圓心與弦中點連線垂直于弦,可利用勾股定理

求得半弦長,進而得到弦長.

【詳解】直線依+y—1=0平分圓C,..?直線依+y—1=0過圓C的圓心C。,—2),

—2—1=0,解得:a=3,

.??圓心C。,-2)到點仁,高的距離為{(1_1『+(_2+1)2=1,

???所求弦長為2"1=2百.

故選:C.

【點睛】本題考查直線被圓截得弦長的求解,關(guān)鍵是嫻熟駕馭圓的性質(zhì),即圓心與弦中點連

線垂直于弦.

8.關(guān)于函數(shù)/(x)=xsinx,xe[-7z-,7r],有下列三個結(jié)論:①為偶函數(shù);②/(x)有3

71

個零點;③/(元)在0,-上單調(diào)遞增.其中全部正確結(jié)論的編號是().

I2J

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【答案】D

【解析】

【分析】

由奇偶性定義可知①正確;令/(x)=0可求得零點,知②正確;依據(jù)導函數(shù)恒正可確定③正

確.

【詳解】f(-x)=-xsin(-x)=xsinx=/(x),.,./(x)為偶函數(shù),①正確;

令/(九)=0,則x=0或sinx=0,

當sinx=0時,x=0或了=一萬或%=萬,

,/(九)的零點為%=0或%=-乃或%=乃,共3個,②正確;

/f(x)=sinx+xcosx,

當xe]。,'時,sin%>0,cosx>0,/f(%)>0,

.?./(x)在上單調(diào)遞增,③正確.

故選:D.

【點睛】本題考查函數(shù)性質(zhì)與零點的相關(guān)學問,涉及到奇偶性和單調(diào)性的推斷、零點的求解

等學問;關(guān)鍵是能夠嫻熟駕馭奇偶性和函數(shù)單調(diào)性的推斷方法,同時熟識正弦函數(shù)的相關(guān)學

問.

9.已知圓錐SC的高是底面半徑的3倍,且圓錐SC的底面直徑、體積分別與圓柱3/的底

面半徑、體積相等,則圓錐SC與圓柱31的側(cè)面積之比為().

A.Vio:lB.3:1C.2:1D.V10:2

【答案】A

【解析】

【分析】

設(shè)圓錐SC的底面半徑為,可求得圓錐的母線長,依據(jù)圓錐側(cè)面積公式求得側(cè)面積;由圓錐

體積與圓柱體積相等可構(gòu)造方程求得圓柱的高,進而依據(jù)圓柱側(cè)面積公式求得圓柱側(cè)面積,

從而求得比值.

【詳解】設(shè)圓錐SC的底面半徑為r,貝U高為3r,圓錐SC的母線長/=,產(chǎn)+9產(chǎn)=瓜,

,圓錐SC的側(cè)面積為nrl=A/IO^T2;

圓柱的底面半徑為2r,高為〃,

]r

又圓錐的體積V=—〃產(chǎn),3廠=47r/打二%/,...力=一,

34

「?圓柱OM的側(cè)面積為2兀?2rh-=7ir2,

「?圓錐SC與圓柱的側(cè)面積之比為產(chǎn):nr1-Vid:i.

故選:A-

【點睛】本題考查圓錐和圓柱側(cè)面積的求解問題,涉及到圓錐和圓柱體積公式的應用,屬于

基礎(chǔ)題.

(%2—X。)+…+cos?一/)為

10.對于集合{%1,%2,--?,%?},定義:Q=)+c°s

n

集合{芯,%2,…,居}相對于毛的“余弦方差”,則集合(—2廠相對于毛的“余

弦方差”為()

?1R1c3nV3

4223

【答案】B

【解析】

【分析】

依據(jù)所給“余弦方差”定義公式,代入集合中的各元素,即可得。的表達式,結(jié)合余弦降幕

公式及誘導公式化簡,即可求解.

【詳解】由題意可知,集合卜布,一二,正,歹,相對于飛的“余弦方差”代入公式可得

71,」3萬)

1+cos2--------I1一+COSO2I-y-X1+cos2------1+cos2

I10J,0

+____〔I。r

222

4

41

所以原式Q=—=—,

82

故選:B.

【點睛】本題考查了新定義應用,降塞公式及誘導公式化簡三角函數(shù)式的應用,屬于中檔題.

lnx-2,x>0

11.已知/(x)=1,則滿意2/(/(m))+1=2"'*1的實數(shù)機的取值范圍是

2---。

I2

().

A.(-oo,-l]B.(-co,-l]

C.(-a),l]D.(-<x),-l]0(0,1]

【答案】B

【解析】

分析】

令t=可求得/⑺=2'+g,知/(m)=/40,分別在機>0和機K0兩種狀況下解

不等式求得結(jié)果.

【詳解】令?=/(m),則2/(。+1=2'+1,;,二/(加)=/<0,

當相>0時,lnm—2<0,解得:

當機<0時,2"-440,解得:m<-l;

2

綜上所述:加的取值范圍為(—,―斗(?!?].

故選:B.

【點睛】本題考查依據(jù)方程有解求解參數(shù)范圍問題,關(guān)鍵是能夠采納換元法將問題轉(zhuǎn)化為函

數(shù)不等式的求解問題,進而利用分類探討構(gòu)造不等式求得結(jié)果.

12.在直四棱柱ABCD-4用£口中,底面ABCD是邊長為4正方形,M=5,垂直于AA1

的截面分別與面對角線2A,4A,BXC,2。相交于四個不同的點E,F(xiàn),G,“,則

四棱錐A-EFGH體積的最大值為().

8125128640

A.-B.---C.---D.---

382581

【答案】D

【解析】

【分析】

由直棱柱的特點和底面為正方形可證得四邊形EFGH為矩形,設(shè)點4到平面EFGH的距離

為5(0</<1),可表示出ERFG,依據(jù)四棱錐體積公式將所求體積表示為關(guān)于/的函數(shù),

利用導數(shù)可求得所求的最大值.

四棱柱ABCD-AKGR為直四棱柱,..?A&,平面ABC。,A4,平面

平面EFGH//平面ABCD,平面EFGHH平面,

由面面平行性質(zhì)得:

EF//BXDX//GH,EH//AC//FG,

又用,_LAC,.LLEG,二四邊形EEGH為矩形.

設(shè)點A到平面EFGH的距離為5/(0<?<1),

AC=BQ=4形,:.EF=4血Q-t),FG=4?

???四棱錐A—EEG”的體積V=gx5fx32《lT)=?,2—/3),

.?.V'=^(2f—3/),.?.當時,V'>0,當時,V'<0,

,2工T,1604__8_640

.?.當時,V^=-x

ax9-27~81

故選:D.

【點睛】本題考查立體幾何中的體積最值的求解問題,關(guān)鍵是能夠?qū)⑺笏睦忮F的體積表示

為關(guān)于某一變量的函數(shù)的形式,進而利用導數(shù)來求解函數(shù)最值,從而得到所求體積的最值.

二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.

13.曲線/(x)=2工+工在1=1處的切線斜率為.

x

【答案】21rl2—1

【解析】

【分析】

求導后,代入%=1即可求得結(jié)果.

【詳解】由/''(%)=2*ln2—[得:/'⑴=21n2—1,即在x=l處的切線斜率為21n2—1.

X

故答案為:2山2—1.

【點睛】本題考查利用導數(shù)的幾何意義求解切線斜率問題,屬于基礎(chǔ)題.

14.如圖,在平行四邊形ABCD中,E為的中點,歹為DE的中點,若=+

m

則一=.

【解析】

【分析】

13

依據(jù)平面對量線性運算可得到AE=—AB+—AD,由此確定〃〃的值,從而求得結(jié)果.

24

【詳解】

AF^AD+DF^AD+-DE^AD+-^DC+CE^AD+-(AB+-CB]

=AD+-\AB--AD\=-AB+-AD,

212J24

13m2

AF=mAB+nAD?m=二,〃=7,一

24〃3

故答案為:—.

3

【點睛】本題考查平面對量的線性運算,涉及到平面對量的加減法運算和數(shù)乘運算,考查學

生對于平面幾何中的向量運算駕馭的嫻熟程度.

22

15.已知雙曲線C:^與=1()〉0)的左、右頂點分別為4、3,點P在雙曲線。上,且直

4b-

線K4與直線P5的斜率之積為1,則雙曲線。的焦距為.

【答案】472

【解析】

分析】

設(shè)P(餐,%),利用斜率乘積為1和P在雙曲線上可構(gòu)造方程組求得從,進而得到02,求得焦

距.

【詳解】由雙曲線方程知:4(—2,0),5(2,0),

2

設(shè)P(x°,y°),貝=即片一常=4,

x0+2x0-2x0-4

22

又9_4=1,.?方=4,??1=。2+/=8,...雙曲線。的焦距為2c=4行.

4b

故答案為:40.

【點睛】本題考查雙曲線焦距的求解問題,關(guān)鍵是能夠利用斜率關(guān)系和點在雙曲線上構(gòu)造方

程求得雙曲線標準方程中的未知量.

27r

16.已知ABC的內(nèi)角A、B、。的對邊分別為。、b、c,B=—,平分NABC交AC

于點。,若BD=2,2AD=3CD,貝UABC的面積為.

【答案】生叵

6

【解析】

【分析】

2

由角平分線定理可得,設(shè)。。=2根,貝IJAD=3%,利用余弦定理表示出

cosZBDC=-cosABDAcosZABC=--,從而構(gòu)造方程組求得c,代入三角形面積公

2

式即可求得結(jié)果.

【詳解】

4RAD3即

由角平分線定理得:——a=2c

BC15c23

設(shè)CD=2根,則4)=3帆,

4

4+4m92——c29

BD?+CD2-BC2

cosZBDC=________9

2BDCD8m

2BDAD12m

22

4+4m--c2

又cosZ.BDC-cos(1—ZJRDA)=—cosZ.BDA,________9_4+9m之-c,

8m12m

整理得:c2=9m2+6…①

c2+-c2-25m2

笈+叱―1IQ

4AC29

cosZABC二一,整理得:一c?=25/2…②,

2ABBC29

210

①②聯(lián)立可解得:^=25,即。=5,〃=1。二可,

,加n5」xWx5sin主=2.

??^AABC

22336

故答案:上匕.

6

【點睛】本題考查解三角形的相關(guān)學問,涉及到余弦定理和三角形面積公式的應用、角平分

線定理的應用;關(guān)鍵是能夠利用互補角的余弦值互為相反數(shù)和余弦定理來構(gòu)造方程組求得未

知量.

三、解答題:共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題,每

個試題考生都必需作答.第22、23題為選考題,考生依據(jù)要求作答.

(-)必考題:共60分.

17.2024年10月1日,慶祝中華人民共和國成立70周年大會、閱兵式、群眾游行在北京隆重

實行,這次閱兵編59個方(梯)隊和聯(lián)合軍樂團,總規(guī)模約1.5萬人,各型飛機160余架、

裝備580余套,是近幾次閱兵中規(guī)模最大的一次.某機構(gòu)統(tǒng)計了觀看此次閱兵的年齡在30歲

至80歲之間的100個觀眾,按年齡分組:第1組[30,40),第2組[40,50),第3組[50,60),

第4組[60,70),第5組[70,80],得到的頻率分布直方圖如圖所示.

頻率,組距

0.035

0.03

0.01

0.005

u304050607080年份

(1)求。的值及這100個人的平均年齡(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表);

(2)用分層抽樣的方法在年齡為[50,60)、[60,70)的人中抽取5人,再從抽取的5人中隨機

抽取2人接受采訪,求接受采訪的2人中年齡在[50,60)的恰有1人的概率.

3

【答案】(1)a=0.02,平均年齡為54.5歲;(2)-

【解析】

【分析】

(1)依據(jù)頻率和為1可構(gòu)造方程求得。;利用頻率分布直方圖估計平均數(shù)的方法可計算得到

平均年齡;

(2)依據(jù)分層抽樣原則可計算得到從[50,60)抽取3人,從[60,70)抽取2人,采納列舉法可

得到基本領(lǐng)件總數(shù)和滿意題意的基本領(lǐng)件個數(shù),由古典概型概率公式計算可得結(jié)果.

【詳解】(1)(0.005+0.035+0.03+a+0.01)x10=1,a=0.02.

平均年齡為35x0.05+45x0.35+55x0.3+65x0.2+75x0.1=54.5(歲).

n3

(2)依據(jù)分層抽樣原則可知:從「50,60)中應抽取5x——=3人,從「60,70)中應抽取

設(shè)從[50,60)抽取的3人為“力,c,從[60,70)抽取的2人為A8,

則隨機抽取2人采訪,基本領(lǐng)件有(a,。),(a,c),(a,A),

(c,A),(c,B),(AB),共10種,

其中年齡在[50,60)的恰有1人的有(a,A),(a,5),(A,A),(b,B),(c,A),共6

種,

所求概率==

【點睛】本題考查依據(jù)頻率分布直方圖求解參數(shù)值和估計平均數(shù)、分層抽樣的應用和古典概

型概率問題的求解;求解古典概型概率問題的常用方法是采納列舉法列舉出全部基本領(lǐng)件總

數(shù),并從中找到符合題意的基本領(lǐng)件個數(shù),進而依據(jù)概率公式求得結(jié)果.

18.已知數(shù)列{%}的前1項和為4=1,2Sn-an+l=n-l.

(1)求證:是等比數(shù)列;

(2)若6.=4",求數(shù)列{4a也}的前〃項和7;.

【答案】(1)證明見解析;(2)8”T)+8(4T

113

【解析】

【分析】

(1)利用4,=S〃—和已知等式可得%+]—;=314—g],閱歷證〃=1時依舊成立,從

而證得數(shù)列為等比數(shù)列;

(2)由等比數(shù)列通項公式可求得%進而得到得到{4a,,勿}通項公式后,采納分組

求和法,結(jié)合等比數(shù)列求和公式可求得結(jié)果.

【詳解】(1)2Sn-an+l=n-l,.,.當“22時,2S“_j——2,

兩式作差得:—a,+]+a==1,即a“+i=3a“_1,一g=,

當〃=]時,2S]-g=0,即g=2al=2,.[%-]=3一5],

滿意%=

又可一!=工,...數(shù)列是以;為首項,3為公比的等比數(shù)列.

22I2J2

1=1

(2)由(1)知:tzn——=—,3",■-ci?—^3"+1j,

4a也=2(3"i+1)?4"=8?12^+2.4,!,

.?工=8x”+12i+...+12"T)+2x(4i+42+...+4")

-8x4")_8"TI8(4T)

1-121-4113

【點睛】本題考查等比數(shù)列的證明、分組求和法求解數(shù)列的前"項和的問題,涉及到凡與S"

關(guān)系的應用、利用遞推關(guān)系式證明數(shù)列為等比數(shù)列、等比數(shù)列求和公式等學問,屬于常考題

型.

19.在四棱錐河-A5CD中,底面ABCD是直角梯形,平面ABM,

—BM=AB=AM=AD=4.

2

(1)證明:AM,平面A3CD;

(2)若E是的中點,CD=3,求E到平面AQW的距離.

Q

【答案】(1)證明見解析;(2)j

【解析】

【分析】

(1)由勾股定理和線面垂直性質(zhì)可得AM_LAB,AD±AM.由線面垂直判定定理可證得

結(jié)論;

(2)利用體積橋的方式,首先求得三棱錐C-AEW的體積,進而依據(jù)

yE-ACM=yc-AEM=^CM-d可求得所求的距離?

【詳解】(1)AB=AM=?BM,:.AB2+AM-=BM->:.AMLAB,

2

AD_L平面ASM,AMu平面ABM,.\AD±AM,

QABIAD=A,43,4。匚平面458,;.3_1_平面4500.

(2)AZ),平面ABM,ABI平面ABM,:.AD±AB,

四邊形ABC。為直角梯形,二AB//CD,:.點C到平面ABM的距離等于AD,

又E為物1中點,=S"EM=]SAA5M=5X5AB-AM=4,

.i.VCc一AEM=_3SIAXA/XElLjiVylf,AD=_3x4x4=—3

由(l)知:AM,平面ABCD,又ACu平面ABCD,:.AM±AC,

12

AC=y/CD+AD=79+16=5>S^CM=1-AC-AM=1x5x4=10,

設(shè)點E到平面ACM的距離為d,

VE-ACM=VC-AEM=?SAACM,解得:,

Q

即點E到平面ACM的距離為g.

【點睛】本題考查立體幾何中線面垂直關(guān)系的證明、點到面的距離的求解問題;求解點到面

的距離的常用方法是采納體積橋的方式,將問題轉(zhuǎn)化為三棱錐的高的求解問題.

22

20.已知直線/與橢圓。:二+上=1交于不同的兩點A,B.

62

(1)若線段AB的中點為,求直線/的方程;

(2)若/的斜率為左,且/過橢圓。的左焦點R,A5的垂直平分線與%軸交于點N,求證:

\FN\

為定值.

\AB\

【答案】(1)4x+6y-7=0;(2)證明見解析

【解析】

【分析】

(1)利用點差法可求得直線/的斜率,進而求得直線/的方程;

(2)設(shè)/:y=k(x+2),與橢圓方程聯(lián)立得到韋達定理的形式,進而表示出A6中點坐標;

\FN\

當左=0時,易求得匕W的值;當左W0時,可得A5垂直平分線方程,進而求得N點坐標

\AB\

...,\FN\\FN\

和|FN|,利用弦長公式求得進而求得樂j

的值;綜合兩種狀況可\A知B\為定值?

【詳解】(1)設(shè)A(WK),B(x2,y2),

[22

五+兌=1

62,兩式作差得:加二上斗+々

22々一七3M+%'

區(qū)+近=1

162

QM中點為得,3三「人一、三,

二直線/的方程為:y-1=-|(x-l),即:4x+6y-7=0.

(2)由橢圓方程知:F(-2,0),可設(shè)直線/的方程:y=k(x+2),

y=攵(元+2)

聯(lián)立,2,2_得:

(1+3左2)兀2+12左2九+12k2—6=0,

162

設(shè)4(%,%),8(%2,%),則%+々=~)—,xxx2=2>

ID_LI

,z、〃12k3-4k

/.y,+y=k(x+x)+4k=--------不+4左=-----丁,

7129v]1?2)1+3P1+3V

6k2.X+%_2k

…2一1+34之'21+3左2'

當左=0時,\AB\=2A/6,回曰,戶逅

11\AB\6

/

A5的垂直平分線方程為:y--^-r16k21

當左w0時,%+-------7,

Mk1)

、2

4k2'4k22(^+l)

令y=0得:%=—,:.N,0,二|可|=—「

11+3左2

1+3左271+342

12.『4(12.—6)

1+3父J1+3F

2#(尸+1)

1+3/~

2儼+1)_

..網(wǎng)=1+3左2=V|.

"AB\~2A/6(P+1)—6;

1+342

綜上所述:粵為定值直.

\AB\6

【點睛】本題考查直線與橢圓綜合應用問題,涉及到中點弦所在直線方程、定值問題的求解;

求解中點弦問題的常用方法是點差法的方式;求解定值問題的關(guān)鍵是能夠通過某一變量表示

出所求值,通過化簡消元得到定值.

21.已知函數(shù)/(x)=alnx-x,其中。為常數(shù).

(1)探討函數(shù)y=/(x)的單調(diào)性;

(2)當a=e(e為自然對數(shù)的底數(shù)),xw[l,+co)時,若方程〃了)=卷二生有兩個不等實

x+1

數(shù)根,求實數(shù)b的取值范圍.

【答案】⑴當心0時,/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞減;當a>0時,/(%)在(0,。)上單調(diào)

遞增,在(a,+8)上單調(diào)遞減;(2)[—1,1)

【解析】

【分析】

(1)分別在和。>0兩種狀況下,依據(jù)/'(%)的正負確定/(%)的單調(diào)性;

(2)將問題轉(zhuǎn)化為當xe[l,a)時,g(x)=e("+l)lnx一-與丁二匕有兩個不同交點的問

X

題,通過導數(shù)可求得g(x)的單調(diào)性和最值,進而得到函數(shù)圖象,通過數(shù)形結(jié)合的方式可確定

b的范圍.

【詳解】⑴由題意得:〃九)定義域為(0,+8),r(x)=0—1=匕,

XX

當aVO時,r(%)<0,則/(九)在(0,+。)上單調(diào)遞減;

當a>0時,令/"(X)=0,解得:x=a,

,當xe(0,a)時,/'(%)>0;當xe(a,+co)時,/'(j;)<0,

???〃龍)在(0,a)上單調(diào)遞增,在(a,茁)上單調(diào)遞減.

綜上所述:當a<0時,/(尤)在(0,+e)上單調(diào)遞減;當a〉0時,/(九)在(0,。)上單調(diào)遞

增,在(a,+8)上單調(diào)遞減.

(2)當a=e時,elnx-x=色二^有兩個不等實根,方程可化為6=義土1皿二三,

X+1X

令g(x)-a+l)ln—,則g,aL+ex『l*

令//(無)=一/+ex+e-elnx,則=-2x+e,=+"―e,

xx

當尤e[l,+8)時,-2x2+ex-e<-2<0,即"(x)〈0;./7(x)在[1,+℃)上單調(diào)遞減,

.?./z(x)</z(l)=-l+2e=2e-l,且〃(6)=-/+e2+e—e=O

/?(九)在[1,+°。)上有且僅有一個零點x=e,

,當xe[l,e)時,力(力>0,即g'(x)>0;當尤e(e,+?)時,7z(%)<0,即g'(x)<0,

g(%)在[1,e)上單調(diào)遞增,在(e,上單調(diào)遞減,

???g(xLx=g(e)=e+l—e=Lg⑴=-L

由此可得g(x)圖象如下圖所示:

則當xe[1,茁)時,方程〃司=色二殳有兩個不等實數(shù)根等價于當xe[1,茁)時,g(x)與

y=匕有兩個不同交點,

由圖象可知:/?G[-1,1).

【點睛】本題考查導數(shù)在探討函數(shù)中的應用,涉及到利用導數(shù)探討含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、依

據(jù)方程根的個數(shù)求解參數(shù)范圍的問題;求解方程根的個數(shù)問題的關(guān)鍵是能夠?qū)栴}轉(zhuǎn)化為兩

個函數(shù)圖象交點個數(shù)的求解問題,利用數(shù)形結(jié)合的方式求得結(jié)果.

(二)選考題:共10分.請考生在第22、23兩題中任選一題作答.假如多做,則按所做的第

一題計分.

1-cos20

22.在平面直角坐標系中,曲線。的參數(shù)方程為彳1+COS26(。為參數(shù)),以坐標原點為

y-2tan夕

極點,X軸的正半軸為極軸建立極坐標系,直線/的極坐標方程為22sin[。-W]+G=0.

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