2024-2025學年新教材高中數(shù)學 第七章 復數(shù) 7.3.1 復數(shù)的三角表示式 7.3.2（教學用書）教案 新人教A版必修第二冊

2024-2025學年新教材高中數(shù)學第七章復數(shù)7.3.1復數(shù)的三角表示式7.3.2（教學用書）教案新人教A版必修第二冊授課內(nèi)容授課時數(shù)授課班級授課人數(shù)授課地點授課時間教學內(nèi)容分析本節(jié)課的主要教學內(nèi)容為高中數(shù)學新教材第七章復數(shù)7.3.1節(jié)的復數(shù)的三角表示式及7.3.2節(jié)相關內(nèi)容。首先，7.3.1節(jié)將引導學生理解復數(shù)在直角坐標系中的表示，引入極坐標系的概念，并探討復數(shù)與三角函數(shù)的關系，通過歐拉公式將復數(shù)表示為三角形式。在此基礎上，7.3.2節(jié)將拓展到復數(shù)的乘除運算在三角表示下的簡化，以及如何通過復數(shù)的三角形式解決實際問題。

教學內(nèi)容與學生已有知識的聯(lián)系在于，學生在之前的學習中掌握了復數(shù)的代數(shù)表示法，理解了復數(shù)的加減運算，并學習了三角函數(shù)的基礎知識。本節(jié)課將在此基礎上，讓學生將已知的三角函數(shù)知識應用到復數(shù)的表示中，將復數(shù)的乘除運算與三角變換相結合，進一步深化對復數(shù)概念的理解，并提高解決復雜問題的能力。教學目標分析本節(jié)課的教學目標從核心素養(yǎng)角度出發(fā)，旨在培養(yǎng)學生以下幾方面的能力：

1.數(shù)學抽象：通過復數(shù)的三角表示式，使學生能夠從具體的復數(shù)運算中抽象出一般規(guī)律，理解數(shù)學概念之間的內(nèi)在聯(lián)系，提高數(shù)學抽象思維能力。

2.邏輯推理：引導學生運用已知的復數(shù)知識和三角函數(shù)性質(zhì)，進行邏輯推理，推導出復數(shù)乘除運算在三角表示下的簡化方法，培養(yǎng)嚴謹?shù)倪壿嬎季S。

3.數(shù)學建模：培養(yǎng)學生將復數(shù)的三角表示應用于實際問題，建立數(shù)學模型，解決實際問題的能力。

4.數(shù)學運算：通過復數(shù)的三角表示，讓學生熟練掌握復數(shù)的乘除運算，提高數(shù)學運算的速度和準確性。

5.數(shù)據(jù)分析：培養(yǎng)學生運用復數(shù)的三角表示對數(shù)據(jù)進行處理和分析，發(fā)現(xiàn)其中規(guī)律，為解決實際問題提供依據(jù)。

6.數(shù)學應用：將復數(shù)的三角表示應用于實際問題，培養(yǎng)學生將數(shù)學知識應用于實際情境的能力，增強數(shù)學學習的實用性和趣味性。學習者分析1.學生已經(jīng)掌握了復數(shù)的代數(shù)表示、加減運算，以及基本的三角函數(shù)知識，如正弦、余弦、正切函數(shù)的定義及其基本性質(zhì)。此外，學生對坐標系、極坐標系也有一定的了解。

2.在學習興趣方面，學生對數(shù)學學科的興趣可能因個體差異而異，但大部分學生對于能夠解決實際問題的數(shù)學知識表現(xiàn)出較高的興趣。在能力上，學生的數(shù)學邏輯思維能力、運算能力和數(shù)據(jù)分析能力各不相同，部分學生對數(shù)學建模和問題解決具有較強的能力。在學習風格上，部分學生偏向于理論學習，而另一部分學生則更喜歡通過實際操作和探究來學習。

3.學生在復數(shù)三角表示式的學習中可能遇到的困難和挑戰(zhàn)包括：首先，理解復數(shù)與三角函數(shù)之間的聯(lián)系可能存在難度，特別是將復數(shù)的乘除運算與三角變換相結合的部分。其次，對于復數(shù)的三角表示在實際問題中的應用，學生可能難以找到合適的切入點，對數(shù)學建模的過程感到困惑。此外，學生在進行數(shù)學運算時可能因為忽視細節(jié)而導致錯誤，如對三角函數(shù)值的記憶不準確，或者在變換過程中忽略符號等問題。教學資源1.硬件資源：

-投影儀

-計算器

-數(shù)學教具（如坐標系圖紙、三角板等）

2.軟件資源：

-數(shù)學軟件（如GeoGebra、Mathematica等）

-動畫演示軟件（如PowerPoint、Keynote等）

3.課程平臺：

-學校教學管理系統(tǒng)

-在線學習平臺（用于發(fā)布學習資料和作業(yè)）

4.信息化資源：

-電子教材

-互動式電子白板

-網(wǎng)絡教學資源（如教育視頻、在線題庫等）

5.教學手段：

-課堂講授

-小組討論

-案例分析

-課堂練習與反饋

-課后在線互動與答疑

-實物演示與操作

6.輔助材料：

-練習題庫

-復數(shù)三角表示式的實際應用案例

-三角函數(shù)表

-復數(shù)相關數(shù)學競賽題目

7.教學工具：

-圖表、海報

-數(shù)學模型

-評價量表

-學習進度跟蹤表教學過程設計1.導入新課（5分鐘）

目標：激發(fā)學生興趣，引導學生回顧舊知，為新課學習做鋪墊。

過程：通過展示一個與復數(shù)相關的實際案例，如電路分析中的復數(shù)表示，引發(fā)學生思考復數(shù)在現(xiàn)實生活中的應用。隨后，快速回顧復數(shù)的代數(shù)表示和三角函數(shù)的基礎知識，為新學習的復數(shù)三角表示式做好知識銜接。

2.新課內(nèi)容講解（10分鐘）

目標：讓學生理解復數(shù)的三角表示式及其推導過程。

過程：利用投影儀展示歐拉公式的推導過程，解釋復數(shù)與三角函數(shù)之間的關系。通過數(shù)學軟件動態(tài)演示復數(shù)在極坐標系中的表示，讓學生直觀感受復數(shù)的三角形式。

3.案例分析與數(shù)學建模（20分鐘）

目標：培養(yǎng)學生將復數(shù)三角表示應用于實際問題的能力。

過程：給出幾個實際問題，如旋轉(zhuǎn)問題、振動問題等，引導學生運用復數(shù)的三角表示進行數(shù)學建模，解決具體問題。在此過程中，教師巡回指導，幫助學生解決遇到的問題。

4.學生小組討論（10分鐘）

目標：促進學生交流與合作，提高解決問題的能力。

過程：將學生分成小組，針對案例分析和數(shù)學建模中的問題進行討論，共享解題思路和方法。鼓勵學生提出疑問，互相解答。

5.課堂展示與點評（15分鐘）

目標：檢驗學生對知識的掌握程度，及時給予反饋。

過程：邀請各小組代表展示解題過程和答案，教師對學生的展示進行點評，指出優(yōu)點和不足，強調(diào)易錯點，對共性問題進行講解。

6.課堂小結（5分鐘）

目標：鞏固本節(jié)課所學知識，提高學生的總結能力。

過程：教師引導學生總結本節(jié)課學習的復數(shù)三角表示式的關鍵點，以及如何將其應用于實際問題。同時，提醒學生課后復習和完成作業(yè)，為下一節(jié)課做好準備。學生學習效果1.知識掌握：

-學生理解了復數(shù)的三角表示式的概念，掌握了歐拉公式的推導和應用。

-學生能夠?qū)蛿?shù)的乘除運算轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的運算，提高了解題效率。

-學生掌握了復數(shù)在極坐標系中的表示方法，能夠?qū)蛿?shù)與三角函數(shù)緊密聯(lián)系起來。

2.技能提升：

-學生的數(shù)學抽象思維能力得到了鍛煉，能夠從具體的復數(shù)運算中提煉出一般性的規(guī)律。

-學生的邏輯推理能力得到加強，能夠通過嚴密的邏輯推導出復數(shù)三角表示式的相關性質(zhì)。

-學生的數(shù)學建模能力得到提升，能夠?qū)蛿?shù)三角表示應用于解決實際問題，如物理中的振動問題、電路分析等。

3.應用能力：

-學生能夠運用所學的復數(shù)三角表示式進行數(shù)學建模，解決生活中的實際問題。

-學生在解決復數(shù)相關問題時，能夠靈活選擇使用代數(shù)表示或三角表示，根據(jù)問題的特點選擇最合適的解題方法。

4.學習策略：

-學生在小組討論中學會了合作學習，通過交流與共享，提高了學習效率。

-學生在課堂展示和點評環(huán)節(jié)中，學會了如何表達自己的思考，接受他人的評價，從而不斷優(yōu)化自己的學習方法。

5.情感態(tài)度：

-學生對復數(shù)及其三角表示產(chǎn)生了更濃厚的興趣，對數(shù)學學科的學習積極性有所提高。

-學生在解決復數(shù)問題的過程中，體驗到了數(shù)學學習的成就感，增強了自信心。

6.價值觀：

-學生通過復數(shù)三角表示式的學習，認識到數(shù)學與現(xiàn)實生活的緊密聯(lián)系，理解了數(shù)學學習的實用價值。

-學生在數(shù)學建模的過程中，體會到了數(shù)學在科學研究和技術發(fā)展中的重要作用，對數(shù)學的價值有了更深刻的認識。板書設計1.條理清楚、重點突出：

-①復數(shù)的三角表示式

-歐拉公式：e^(iθ)=cos(θ)+i*sin(θ)

-復數(shù)的三角形式：r(cos(θ)+i*sin(θ))

-②復數(shù)的乘除運算

-乘法：復數(shù)的模相乘，角度相加

-除法：復數(shù)的模相除，角度相減

-③實際應用

-數(shù)學建模：振動問題、旋轉(zhuǎn)問題

-電路分析：阻抗的復數(shù)表示

2.簡潔明了：

-使用關鍵詞和符號，如“歐拉公式”、“?！?、“角度”、“乘除運算”等，清晰表達復數(shù)三角表示的核心概念和運算規(guī)則。

-使用不同顏色粉筆區(qū)分復數(shù)的實部和虛部，增強視覺對比，便于學生記憶。

3.藝術性和趣味性：

-①使用圖形和符號增加趣味性，如用圓形代表復數(shù)的模，用箭頭表示角度的變化。

-②在講解復數(shù)乘除運算時，使用動畫效果展示復數(shù)在極坐標系中的旋轉(zhuǎn)，增強視覺效果。

-③結合實際應用，使用圖片或簡筆畫展示復數(shù)三角表示在現(xiàn)實生活中的應用場景，如電路圖、振動圖形等。課后作業(yè)1.計算題：計算下列復數(shù)的三角表示式，并指出其模和幅角。

-3+4i

--2-2i

-1+√3i

答案：

-3+4i=5(cos(θ)+i*sin(θ)),其中θ=arctan(4/3)

--2-2i=2√2(cos(θ)+i*sin(θ)),其中θ=arctan(-1)

-1+√3i=2(cos(θ)+i*sin(θ)),其中θ=π/3

2.應用題：一個電子在磁場中做圓周運動，其角速度為ω，半徑為r。求電子速度的復數(shù)表示，并說明其實部和虛部的物理意義。

答案：電子速度的復數(shù)表示為v=rω(cos(θ)+i*sin(θ))，其中θ為電子運動的角度。實部代表沿切線方向的速度分量，虛部代表沿徑向的速度分量。

3.分析題：已知復數(shù)z=2(cos(π/6)+i*sin(π/6))，求z^2的三角表示式。

答案：z^2=2^2(cos(π/3)+i*sin(π/3))=4(cos(π/3)+i*sin(π/3))

4.解決問題：一個電路由電阻R和電容C串聯(lián)組成，其阻抗Z=R+iXC，其中i為虛數(shù)單位，XC=1/(ωC)，ω為角頻率。求該電路阻抗的三角表示式。

答案：Z=R+iXC=R+i/(ωC)=(R^2+(1/(ωC))^2)^(1/2)(cos(θ)+i*sin(θ))，其中θ=arctan(-1/(ωCR))

5.探究題：探究復數(shù)三角表示在信號處理中的應用，舉例說明如何用復數(shù)表示正弦波。

答案：正弦波可以用復數(shù)表示為A(cos(ωt)+i*sin(ωt))，其中A為振幅，ω為角頻率，t為時間。通過復數(shù)的三角形式，可以方便地分析和計算信號在不同時間點的相位和振幅。反思改進措施（一）教學特色創(chuàng)新

1.在教學過程中，我采用了數(shù)學軟件GeoGebra進行動態(tài)演示，讓學生直觀地理解復數(shù)在極坐標系中的表示，這一創(chuàng)新手段提高了學生的空間想象能力和對復數(shù)概念的理解。

2.通過將復數(shù)三角表示與實際問題相結合，如電路分析和振動問題，讓學生在實際情境中學習數(shù)學，增強了學生將理論知識應用于實踐的能力。

（二）存在主要問題

1.在教學組織方面，我發(fā)現(xiàn)部分學生在小組討論中參與度不高，可能是由于分組不夠合理，導致部分學生難以融入討論氛圍。

2.在教學方法上，我發(fā)現(xiàn)對于一些理解能力較弱的學