2025版高考數學全程一輪復習課前預備案第十章計數原理概率隨機變量及其分布列第六節(jié)離散型隨機變量的分布列均值期望與方差

第六節(jié)離散型隨機變量的分布列、均值(期望)與方差必備知識1.離散型隨機變量一般地，對于隨機試驗樣本空間Ω中的每個樣本點ω，都有唯一的實數X(ω)與之對應，我們稱X為隨機變量．可能取值為有限個或可以一一列舉的隨機變量稱為離散型隨機變量．2．離散型隨機變量的分布列一般地，設離散型隨機變量X的可能取值為x1，x2，…，xn，我們稱X取每一個值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n為離散型隨機變量X的概率分布列，簡稱分布列．離散型隨機變量的分布列常用表格表示：Xx1x2…xnPp1p2…pn3.離散型隨機變量的分布列的性質(1)pi________0，i＝1，2，…，n.(2)p1＋p2＋…＋pn＝________．4．離散型隨機變量的均值與方差一般地，若離散型隨機變量X的分布列為Xx1x2…xnPp1p2…pn(1)均值稱E(X)＝________________＝________為隨機變量X的均值或數學期望，數學期望簡稱期望．(2)方差稱D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝________________為隨機變量X的方差，并稱DX為隨機變量X的標準差，記為σ(X(3)均值與方差的性質①E(aX＋b)＝________________．(a，b為常數)②D(aX＋b)＝________________．(a，b為常數)【常用結論】均值與方差的四個常用性質(1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中k為常數．(2)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)．(3)D(X)＝E(X2)－(E(X))2.(4)若X1，X2相互獨立，則E(X1X2)＝E(X1)·E(X2)．夯實基礎1．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)測量全校所有同學的身高，在170cm～175cm之間的人數是離散型隨機變量．()(2)離散型隨機變量的各個可能值表示的事件是彼此互斥的．()(3)離散型隨機變量分布列中，隨機變量取各個值的概率之和可以小于1.()(4)隨機變量的方差和標準差都反映了隨機變量取值偏離均值的平均程度，方差或標準差越小，則偏離均值的平均程度越?。?)2．(教材改編)已知X的分布列為X－101P111設Y＝2X＋3，則E(Y)的值為()A．73C．－1D．13．(教材改編)甲、乙兩工人在一天生產中出現的廢品數分別是兩個隨機變量X，Y，其分布列分別為X0123P0.40.30.20.1Y012P0.30.50.2若甲、乙兩人的日產量相等，則甲、乙兩人中技術較好的是________．4．(易錯)袋中有3個白球，5個黑球，從中任取2個，可以作為隨機變量的是()A．至少取到1個白球B．至多取到1個白球C．取到白球的個數D．取到的球的個數5．(易錯)已知離散型隨機變量X的分布列為：X012P0.51－2qq2則常數q＝________．第六節(jié)離散型隨機變量的分布列、均值(期望)與方差必備知識3．（1）≥（2）14．略夯實基礎1．答案：(1)√(2)√(3)×(4)√2．解析：E(X)＝－1×12＋0×13＋1×16E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－23＋3＝7答案：A3．解析：根據出現廢品數分別是兩個隨機變量X、Y的分布列，得到甲生產廢品期望是1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1，乙生產廢品期望是1×0.5＋2×0.2＝0.9，∵甲生產廢品期望大于乙生產廢品期望，∴甲、乙兩人中技術較好的是乙．答案：乙4．解析：選項A，B是隨機事件；