2025版高考數(shù)學(xué)全程一輪復(fù)習(xí)課前預(yù)備案第十章計(jì)數(shù)原理概率隨機(jī)變量及其分布列第六節(jié)離散型隨機(jī)變量的分布列均值期望與方差

第六節(jié)離散型隨機(jī)變量的分布列、均值(期望)與方差必備知識(shí)1.離散型隨機(jī)變量一般地，對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間Ω中的每個(gè)樣本點(diǎn)ω，都有唯一的實(shí)數(shù)X(ω)與之對(duì)應(yīng)，我們稱X為隨機(jī)變量．可能取值為有限個(gè)或可以一一列舉的隨機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量．2．離散型隨機(jī)變量的分布列一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為x1，x2，…，xn，我們稱X取每一個(gè)值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n為離散型隨機(jī)變量X的概率分布列，簡稱分布列．離散型隨機(jī)變量的分布列常用表格表示：Xx1x2…xnPp1p2…pn3.離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)(1)pi________0，i＝1，2，…，n.(2)p1＋p2＋…＋pn＝________．4．離散型隨機(jī)變量的均值與方差一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2…xnPp1p2…pn(1)均值稱E(X)＝________________＝________為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，數(shù)學(xué)期望簡稱期望．(2)方差稱D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝________________為隨機(jī)變量X的方差，并稱DX為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差，記為σ(X(3)均值與方差的性質(zhì)①E(aX＋b)＝________________．(a，b為常數(shù))②D(aX＋b)＝________________．(a，b為常數(shù))【常用結(jié)論】均值與方差的四個(gè)常用性質(zhì)(1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中k為常數(shù)．(2)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)．(3)D(X)＝E(X2)－(E(X))2.(4)若X1，X2相互獨(dú)立，則E(X1X2)＝E(X1)·E(X2)．夯實(shí)基礎(chǔ)1．思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)測量全校所有同學(xué)的身高，在170cm～175cm之間的人數(shù)是離散型隨機(jī)變量．()(2)離散型隨機(jī)變量的各個(gè)可能值表示的事件是彼此互斥的．()(3)離散型隨機(jī)變量分布列中，隨機(jī)變量取各個(gè)值的概率之和可以小于1.()(4)隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值偏離均值的平均程度，方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則偏離均值的平均程度越?。?)2．(教材改編)已知X的分布列為X－101P111設(shè)Y＝2X＋3，則E(Y)的值為()A．73C．－1D．13．(教材改編)甲、乙兩工人在一天生產(chǎn)中出現(xiàn)的廢品數(shù)分別是兩個(gè)隨機(jī)變量X，Y，其分布列分別為X0123P0.40.30.20.1Y012P0.30.50.2若甲、乙兩人的日產(chǎn)量相等，則甲、乙兩人中技術(shù)較好的是________．4．(易錯(cuò))袋中有3個(gè)白球，5個(gè)黑球，從中任取2個(gè)，可以作為隨機(jī)變量的是()A．至少取到1個(gè)白球B．至多取到1個(gè)白球C．取到白球的個(gè)數(shù)D．取到的球的個(gè)數(shù)5．(易錯(cuò))已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為：X012P0.51－2qq2則常數(shù)q＝________．第六節(jié)離散型隨機(jī)變量的分布列、均值(期望)與方差必備知識(shí)3．（1）≥（2）14．略夯實(shí)基礎(chǔ)1．答案：(1)√(2)√(3)×(4)√2．解析：E(X)＝－1×12＋0×13＋1×16E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－23＋3＝7答案：A3．解析：根據(jù)出現(xiàn)廢品數(shù)分別是兩個(gè)隨機(jī)變量X、Y的分布列，得到甲生產(chǎn)廢品期望是1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1，乙生產(chǎn)廢品期望是1×0.5＋2×0.2＝0.9，∵甲生產(chǎn)廢品期望大于乙生產(chǎn)廢品期望，∴甲、乙兩人中技術(shù)較好的是乙．答案：乙4．解析：選項(xiàng)A，B是隨機(jī)事件；