知識1 實數(shù)（公式、定理、結(jié)論圖表）-2023年中考數(shù)學(xué)必背知識手冊

知識必備01數(shù)與式（公式、定理、結(jié)論圖表）

匚思維導(dǎo)圖

實數(shù)化筒計笄

實際問題

分式

數(shù)的開方化簡計算

］、知識梳理

考點一、實數(shù)的有關(guān)概念、性質(zhì)

1.實數(shù)及其分類

實數(shù)可以按照下面的方法分類：

f正整數(shù)

，整數(shù)零

負

數(shù)

I整

有

數(shù)

理

正

數(shù)

分

分數(shù)r

數(shù)

負

分

實

數(shù)i

無理數(shù)｛正無理數(shù)

負無理數(shù)

實數(shù)還可以按照下面的方法分類:

正有理數(shù)J正整數(shù)

I定分數(shù)

正無理數(shù)

實數(shù)《零

負整數(shù)

負有理數(shù)｛

負分數(shù)

負無理數(shù)

典例1：實數(shù)—2,0.3,,-兀中，無理數(shù)的個數(shù)是()

7

A.2B.3C.4D.5

【思路點撥】常見的無理數(shù)有以下幾種形式：

7171

(1)字母型：如五是無理數(shù)，一、一等都是無理數(shù)，而不是分數(shù)；

24

(2)構(gòu)造型：如2.10100100010000…(每兩個1之間依次多一個0)就是一個無限不循環(huán)的小數(shù)；

(3)根式型：五氐娠…都是一些開方開不盡的數(shù)；

(4)三角函數(shù)型：sin35°、tan27°、cos29°等.

【答案】A；

【解析】本題主要考查無理數(shù)的概念.無理數(shù)是指無限不循環(huán)小數(shù)，、回，-兀都是無限不循環(huán)小數(shù)，

故共有2個無理數(shù).

【總結(jié)升華】無理數(shù)通常有以下幾類：①開方開不盡的數(shù)；②含乃的數(shù)；③看似循環(huán)但實際不循環(huán)的小數(shù)；

④三角函數(shù)型：sin35°、tan27。、cos290等.抓住這幾類無理數(shù)特征，則可以輕松解決有關(guān)無理

數(shù)的相關(guān)試題.

2.數(shù)軸

規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸.每一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點來表示；反過來,

數(shù)軸上的每一個點都表示一個實數(shù).實數(shù)和數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)的關(guān)系.

3.相反數(shù)

實數(shù)a和-a叫做互為相反數(shù).零的相反數(shù)是零.

一般地，數(shù)軸上表示互為相反數(shù)的兩個點，分別在原點的兩旁，并且離原點的距離相等.

4.絕對值

一個實數(shù)的絕對值就是數(shù)軸上表示這個數(shù)的點與原點的距離.

一個正實數(shù)的絕對值是它本身；一個負實數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；零的絕對值是零，即

如果a>0,那么|a|=a；

如果a<0,那么|a|=-a；

如果a=0,那么|a|=0.

典例2：閱讀下面的材料，回答問題：

點48在數(shù)軸上分別表示實數(shù)a、b,46兩點之間的距離表示為.當(dāng)人6兩點中有一點在原

點時，不妨設(shè)點/在原點，如圖IT,|A5|=|O同=網(wǎng)=|a—小當(dāng)/、6兩點都不在原點時:

(1)如圖「2,點A、B都在原點的右邊，|=網(wǎng)—問=/?一a=

O(A)B

-----------------------------1----------------------------?

0b

圖1-1

04B

______________L_1_____________1____________?

0ab

圖1-2

(2)如圖1-3,點A、B都在原點的左邊，|4同=|。國—|Q4m—同=—/?—(―a)=a—b—\a

(3)如圖1-4,點A、B在原點的兩邊，|AB|=|OA|+|OB|=同+網(wǎng)=a+(—A)—a—b=|t7—Z?|.

B0A

1-J---------------1------------------A

b0a

圖1-3

綜上，數(shù)軸上48兩點之間的距離|A同=|a-q.

回答下列問題：

(1)數(shù)軸上表示2和5的兩點之間的距離是；數(shù)軸上表示一2和一5的兩點之間的距離

是；數(shù)軸上表示1和一3的兩點之間的距離是.

(2)數(shù)軸上表示x和一1的兩點A和B之間的距離是.如果|4耳=2,那么下.

【答案】(1)3,3,4；(2)x=l或x=—3.

依據(jù)閱讀材料，所獲得的結(jié)論為|A4=|a-耳，結(jié)合各問題分別代入求解.

(1)|2-5|=3,|-2-(-5)|=3,|1-(-3)|=4；(2)|AB|=|x-(-l)|=|x+l|；

因為|AB|=2,所以|X+1|=2,所以x+l=2或x+l=—2.所以無=1或x=—3.

5.實數(shù)大小的比較

(1)在數(shù)軸上表示兩個數(shù)的點，右邊的點所表示的數(shù)較大.

(2)正數(shù)都大于0；負數(shù)都小于0,兩個負數(shù)絕對值大的那個負數(shù)反而小.

(3)對于實數(shù)。、b,a-b>0od>b\a-b=0<^>a=b；a-b<0oa<b.

常用方法：①數(shù)軸圖示法；②作差法；③作商法；④平方法等.

6.有理數(shù)的運算

運算律：

加法交換律a+b=b+a；

加法結(jié)合律(a+b)+c=a+(b+c)；

乘法交換律ab=ba；

乘法結(jié)合律(ab)c-a,(be)；

分配律a(b+c)=ab+ac.

(3)運算順序：在加、減、乘、除、乘方、開方這六種運算中，力口、減是第一級運算，乘、除是第二級

運算，乘方、開方是第三級運算.在沒有括號的算式中，首先進行第三級運算，然后進行第二級運算，最后

進行第一級運算，也就是先算乘方、開方，再算乘、除，最后算加、減.

算式里如果有括號，先進行括號內(nèi)的運算.

如果只有同一級運算，從左到右依次運算.

典例3：t+B1口X(—2.4)；

517、2

【答案】—1+——+—x(-2.4)=——1.5+0.4-1.4=-1.5-1.4=-2.9

8612J5

7.平方根

如果x2=a,那么x就叫做a的平方根(也叫做二次方根).

8.算術(shù)平方根

正數(shù)a的正的平方根，叫做a的算術(shù)平方根.零的算術(shù)平方根是零.

9.近似數(shù)及有效數(shù)字

近似地表示某一個量準(zhǔn)確值的數(shù)，叫做這個量準(zhǔn)確值的近似數(shù).一個近似數(shù)，四舍五入到哪一位，就說

這個近似數(shù)精確到哪一位.這時，從左邊第一個不是0的數(shù)字起，到精確到的數(shù)位止，所有的數(shù)字都叫這個

數(shù)的有效數(shù)字.

10.科學(xué)記數(shù)法

把一個數(shù)記成土aX10"的形式(其中n是整數(shù)，a是大于或等于1而小于10的數(shù))，稱為用科學(xué)記數(shù)法

表示這個數(shù).

考點二、二次根式、分式的相關(guān)概念、性質(zhì)

1.二次根式的概念

形如JZ(a>0)的式子叫做二次根式.

2.最簡二次根式和同類二次根式的概念

最簡二次根式是指滿足下列條件的二次根式：

(1)被開方數(shù)不含分母；

(2)被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式.

幾個二次根式化成最簡二次根式以后，如果被開方數(shù)相同，這幾個二次根式就叫做同類二次根式.

3.二次根式的主要性質(zhì)

(1)4a>0(tz>0)；

(2)(G)=a(a20)；

/—r[a(a>0)

(3)yja=|a|=s；

[-a(a<0)

(4)積的算術(shù)平方根的性質(zhì)：4ab=4a-4b{a>Q,b>0)；

[a_4a

(5)商的算術(shù)平方根的性質(zhì):(a>0,Z?>0).

y/b

4.二次根式的運算

(1)二次根式的加減

二次根式相加減，先把各個二次根式化成最簡二次根式，再把同類二次根式分別合并.

(2)二次根式的乘除

二次根式相乘除，把被開方數(shù)相乘除，根指數(shù)不變.

典例4：(1)705-V24+2J1+V0.125-V6；

【思路點撥】

在進行二次根式的加減運算時，一般先化成最簡二次根式，再合并同類二次根式.在進行二次根式的

乘除運算時，一般先進行乘除運算，再化成最簡二次根式.無論進行何種運算，最后結(jié)果一定要化成最簡二

次根式的形式.

【答案與解析】

⑴后—4+—#=*2祈+孚+亨—新=孚+子—3人

【總結(jié)升華】

在二次根式運算中，要注意根據(jù)題目特點，靈活運用二次根式的性質(zhì).能夠運用乘法公式使運算簡捷

一些的，可以應(yīng)用乘法公式.

5.代數(shù)式的有關(guān)概念

(1)代數(shù)式：用運算符號(加、減、乘、除、乘方、開方)把數(shù)或表示數(shù)的字母連接而成的式子，叫做代

數(shù)式.

用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，計算后所得的結(jié)果，叫做代數(shù)式的值.

代數(shù)式的分類：

整式［單項式

f有理式多項式

代數(shù)式I分式

I無理式

(2)有理式：只含有加、減、乘、除、乘方運算(包含數(shù)字開方運算)的代數(shù)式，叫做有理式.

(3)整式：沒有除法運算或者雖有除法運算但除式里不含字母的有理式叫做整式.

整式包括單項式和多項式.

(4)分式：除式中含有字母的有理式，叫做分式.分式的分母取值如果為零，分式?jīng)]有意義.

6.整式的運算

(1)整式的加減：整式的加減運算，實際上就是合并同類項.在運算時，如果遇到括號，根據(jù)去括號法

則，先去括號，再合并同類項.

(2)整式的乘法：

①正整數(shù)幕的運算性質(zhì)：

cT?an=a",+"；

(ab)m=am.bm；

gwo,m>n).

其中m、n都是正整數(shù).

②整式的乘法：單項式乘單項式，用它們的系數(shù)的積作為積的系數(shù)，對于相同字母，用它們的指數(shù)的和

作為積里這個字母的指數(shù)，對于只在一個單項式里含有的字母，連同它的指數(shù)作為積的一個因式.

單項式乘多項式，用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加.

多項式乘多項式，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加.

③乘法公式：

(a+6)(?！猙)—ci~-b~；

(a+b)2—a2+2ab+b1.

④零和負整數(shù)指數(shù)：在。"+a"=a""(aWO,m,n都是正整數(shù))中，當(dāng)m=n時，規(guī)定a°=l；

當(dāng)m<n時，如m-n=-p(p是正整數(shù))，規(guī)定

ap

7.因式分解

(1)因式分解的概念

把一個多項式化成幾個整式的積的形式，叫做多項式的因式分解.

在因式分解時，應(yīng)注意：

①在指定數(shù)(有理數(shù)、實數(shù))的范圍內(nèi)進行因式分解，一定要分解到不能再分解為止，題目中沒有指定

數(shù)的范圍，一般是指在有理數(shù)范圍內(nèi)分解.

②因式分解以后，如果有相同的因式，應(yīng)寫成舞的形式，并且要把各個因式化簡.

(2)因式分解的方法

①提公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c).

②運用公式法：cr-b2-(?+/?)(?-/?)；a1±2ab+b2-(a+Z?)2；

③十字相乘法：x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b).

④運用求根公式法：若+/^+。=0(。彳0)的兩個根是七、x2,

2

則有：ax+bx+c-a{x-xl)(x-x2)

(3)因式分解的步驟

①多項式的各項有公因式時，應(yīng)先提取公因式;

②考慮所給多項式是否能用公式法分解.

8.分式

(1)分式的概念

A

形如一的式子叫做分式，其中A和B均為整式，B中含有字母，注意B的值不能為零.

B

(2)分式的基本性質(zhì)

分式的分子與分母都乘(或除以)同一個不等于零的整式，分式的值不變.

AAxMAA-M

-=——.(其中M是不等于零的整式)

~B~BxMBB+M

(3)分式的運算

、4工a、ba+ba,cad+bc

①加減法：一±—=-----,一±-=-------

cccbdbd

ad

be

(2n

④乘方:—(n為正整數(shù)).

解分式方程的注意事項：

(1)去分母化成整式方程時不要與通分運算混淆；

(2)解完分式方程必須進行檢驗，驗