2024年高考數(shù)學專項復習調和點列與極點極線（解析幾何）（解析版）

2024年高考數(shù)學專項復習調和點列與極點極線（解析幾何）（解析版）

蠲和點列與極點搬線

和識與方法

以極點極線為背景的題目經常出現(xiàn)在高考和各級競賽試題之中，如圓錐曲線的切線、切點弦、圓錐曲

線內接四邊形兩對邊延長線的交點軌跡等，是圓錐曲線的常考問題，這些問題大多和極點極線與調

和點列的性質有關.熟悉調和點列與極點極線基本性質，能抓住此類問題的本質，明確問題的目標,

能更高效地解決問題.下面介紹交比、調和點歹h完全四邊形、成us圓、極點和極線等射影幾

何的重要概念及性質，溯本求源，揭示此類與極點極線有關的問題的來龍去脈.

（一）調和分割的概念

“調和分割”又稱“調和共輾”，來源于交比，分“調和線束”和“調和點列”兩種，它是交比研究中的

一個重要特例，也是貫穿《高等幾何》課程的一個重要概念.

定義1線束和點列的交比：

如圖，過點。的四條直線被任意直線Z所截的有向線段之比空/昆稱為線束04、O。、OR、

ADBD

或點列AC,8。的交比.

定理1交比與所截直線無關.

【證明】令線束O（a,b,c,d）分別交I于A,B,C,D,

圃AC,BC_S^AQC/SABOC_COsinZAOC,COsinACOB_sinZAOCsinZCOB又田為客

3~AD/~BD~SAAODSABOD~DOsinAAOD/DOsin^BOD~sinAAOD'sinZBOL*'乂口為育

對應向量方向相同，故交比與所截直線無關.

【注】定理說明，點列的交比與其對應線束的交比是相同的.保持線束不變，取另一直線/'交線束于

A,B',C',D',可視為對/作射影變換，所得交比不變，由此說明交比是射影不變量，具有射影不變性.

0

定義2調和線束與調和點列：

定理1若交比為-1,則稱為調和比.交比為-1的線束稱為調和線束，點列稱為調和點列.一般地,

^（AC=ACB

（1>0且抄1,則四點構成“調和點列”;

①叫做“基點。叫做“（內、外）分點”.

根據(jù)定義可得:如果點。內分線段點。外分線段且/=蔡，那么稱點C,。調和分割

線段AB.亦稱4C,8,。為調和點列.線段端點和內外分點，依次構成調和點列.

即：調和點列o內分比=外分比.

ABCD

②也可以以。，。為基點，則四點0,8,。,人仍構成調和點列，故稱48與C,。調和共輾.

③如圖，若AC,構成調和點列，。為直線AB外任意一點，則四直線。4,00,080。為調和

線束；若另一直線截此調和線束，則截得的四點4,。',仍構成調和點列（由定理1可知）.

定理2調和點列的性質:若AC,盡。為調和點列，即熹1=d則

GJDJ-JID

⑴調和性：智+看=旖

。川=Q川=|￡）B|一|。川=|。川一|AB|

力,\CB\一\DB\\CA\一\DA\\CA\一\DA\

」也.I,也+四=2=，+，=^

\CA\\DA\\CA\\DA\\AC\\AD\\AB\

（2）共趣性:

若AC,構成調和點列，則DBC,人也構成調和點列.

即:若點+高r合成立，則高+血=島也成立;

(3)等比性：

|CA|=\DA\=

°\CB\~\DB\~

②記線段AB的中點為M則有|AM|2=|MB|2=\MC\-\MD\.

③記線段CD的中點為N,則有\(zhòng)NC\2=\ND\2=\NA\-\NB\.(同2可證)

,\CA\_\DA\\MA\+\MC\_\MD\+\MA\\MA\+\MC\_\MA\-\MC\

1月：\CB\一\DB\n\MA\-\MC\~\MD\-\MA\=\MD\+\MA\-\MD\-\MA\

由竺比性居用知.(|M4|+|MC|)+(|M4|一=(|M4|+|W(M4Hg)

寸7(|MD|+|M4|)+(|A^D|-|M4|)(|MD|+|AM|)-(|MD|-\MA\)

=半斗=軍斗二|M4|2=|MB|2=\MC\-\MD\

2\MD\21AMi11111111

同理可得\NC\2=\ND\2=\NA\?\NB\.

定理3斜率分別為甌自,總的三條直線。4,服交于t軸外的點2過P作/軸的垂線蝎則瓦%2,%3成

等差數(shù)列的充要條件為人小成調和線束.

分析:不妨設自、自、底均為正數(shù)，其它情況同理可證.

【證明】如圖，設。，小建。與c軸分別交于4瓦。,。四點，則

2e=自+治。磊="不+為0器=第0A,B,C,D成調和點列oIM?，4成調和線束.

定理4已知F為橢圓的焦點」為R相應的準線，過斤任作一直線交橢圓于兩點，交I于點、M,

則48,尸,M成調和點列.

（說明：此處圖像應修正：B點在橢圓上，BB.虛線應往上移一點）

【證明】如圖，分別過作，的垂線，垂足為4,5，則由橢圓的第二定義及平行線的性質可得:

AF_AAi_AM

故ABF,Al成調和點列.

~BF~BBX~BM

定義3阿波羅尼斯Apollonius圓：到兩定點4口距離之比為定值/c（k>0且kW1）的點的軌跡為

圓，稱為4>。〃。成US圓（簡稱阿氏圓），為古希臘數(shù)學家ApoZZonlas最先提出并解決.

【證明】如圖，由=則在AB直線上有兩點C、。滿足⑶=倒=需，故PC、PD

\oc\\OP\

分別為/4PB的內外角平分線，則CPLDP,即P的軌跡為以CD為直徑的圓（圓心。為線段

CD的中點）.

由￡7=*，可知，圖中4CBD為調和點列?

盧。I1^1

定義4完全四邊形:我們把兩兩相交，且沒有三線共點的四條直線及它們的六個交點所構成的圖形,

叫做完全四邊形.如圖，凸四邊形ABCD各邊延長交成的圖形稱為完全四邊形ABCDEF,AC.BD、

EF稱為其對角線.

定理5完全四邊形對角線所在直線互相調和分割.即AGCH'BG。/、初47分別構成調和點列.

【證明】HEIF_S^AECS^BDF_S叢AECS^ACDS^BDFS^BEF_ECADDCAF_1

9

'HF'!E~S^AFC*S^DE~S^ACDS^AFC,S^BEF,sAB^~~CD'~KF'~EC'~KD~

即第=2，所以為調和點列.其余的可由線束的交比不變性得到.

rLrlr

（二）極點和極線的概念

1.極點和極線的幾何定義

如圖，尸為不在圓錐曲線r上的點，過點P引兩條割線依次交圓錐曲線于四點E,F,G,a連接EH

，尸G交于N,連接交于河，我們稱點P為直線AW關于圓錐曲線「的極點，稱直線MN為

點P關于圓錐曲線F的極線.直線MN交圓錐曲線「于兩點，則R4,PB為圓錐曲線「的兩條

切線.若P在圓錐曲線r上，則過點P的切線即為極線.

(1)自極三角形:極點P——極線MN；極點河一一極線PN；極點N——極線用尸；即△PMN中,

三個頂點和對邊分別為一對極點和極線，稱△PMN為“自極三角形”.

(2)極點和極線的兩種特殊情況

⑴當四邊形變成三角形時：曲線上的點E(F,M,N)對應的極線，就是切線PE;

(2)當四邊有一組對邊平行時，如：當尸H〃EG時，EG和的交點M落在無窮遠處；點P的極線

NM2和點N的極線PM,滿足：FH〃NM2//EG//PM,.

2.極點和極線的代數(shù)定義

對于定點P(3,彷)與非退化二次曲線r：Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0,過點P作動直線與曲線「

交于點4與點B,那么點尸關于線段的調和點Q的軌跡是什么？

可以證明：點Q在一條定直線/：Ae心+。防沙+。土尸+E/%+尸=。上，如下圖.我們稱點

P為直線Z關于曲線「的極點；相應地，稱直線，為點P關于曲線F的極線.

一般地，對于圓錐曲線「：4/2+口磔/+32+。r+坳+尸=0,設極點尸(如比),則對應的極線為

LAgc+B幽產+3僅+。寧+E中+尸=0

【注】替換規(guī)則為：/一工如y2-yy0,XgT型中巴T空魯,n.中工

（1）橢圓與+/=l（a>b>0）的三類極點極線

ab

⑴若極點P（g,僅）在橢圓外，過點P作桶圓的兩條功線，切點為48,則極線為切點弦所在直線

xxyy

AB:—o廠+Q1；

azbz

（2）若極點P（g,彷）在橢圓上，過點P作橢圓的切線Z,則極線為切線等+猾=1;

ab

（3）若極點尸（g,渙）在桶圓內，過點P作橢圓的弦AB,分別過作橢圓切線，則切線交點軌跡為

極

a2b2

由此可得橢圓極線的幾何作法：

22

（2）對于雙曲線與一（=1,極點P（g,加）對應的極線為考一萼=1;

abab

⑶對于拋物線g2=2pi,極點P（g,g（））對應的極線為g=0（g+%）.

3.極點和極線的性質

22

（1）引理：已知橢圓方程為馬+冬=i（a〉b>o）,直線/的方程為呼+喈=i,點不

aoab

與原點重合.過點P作直線交橢圓于43兩點，河點在直線上，則''點在直線I上"的充要條

件是"P,"調和分割A,B'\即點=勰.

rJD1V1JD

【證明】先證必要性.設“點的坐標為（g,%）,則有挈+爺=1.設直線的參數(shù)方程為

'XQ+tXi

力=十

1匕+**為參數(shù)）

y0+ty!

與橢圓方程聯(lián)立，得《+4-巾+2（等+曙-頊+（A患T）=。，

即(1+,—1^+(1+/—1)=°，該方程有兩個不等實根，設為也風則￡1+益=0.

即P,河調和分割A且也即得=*.

rr>JVIJD

將以上證明過程反向推導，即得充分性成立.

設p是圓錐曲線r的一個極點，它對應的極線為2,過P任意引一條直線，交r于點4B,交/于點

Q,若點4是位于P,Q間的點，結合引理可得如下極點和極線的三個調和性質：

(1)調和性

⑵共軌性

B,Q,AP四點也構成“調和點列”，即/+=備.

⑶等比性

(1)點Q、P是線段的內、外分點,甯=管=用

K-D|\Q^\

(2)若「為橢圓或雙曲線，當直線AB經過曲線中心。時，QP|?\OQ\=|OA|2=|OB|2.

4.配極原則

若P點關于圓錐曲線「的極線通過另一點Q,則Q點的極線也通過P,稱P、Q關于「調和共輾.

【證明】設點F(xp.yp),則相應的極線為?。合?爺=1,點Q(XQ,Q,相應的極線為Q：等+

"嚕=1.因為小過點Q,Q坐標滿足方程+=1,即F：+=1；則P點坐標滿足方

baba"詈b。

程管+繁=1,這也說明，也就是Q過點P.

配極原則說明：2尸過點QoQ過點P,由此可得下面推論：

推論1：共線點的極線必然共點(4、G、O、E四點共線，它們的極線a、g,d、e共交點F);共點線的

極點必然共線(直線a、g,d、e共交點F,它們的極點A、G,D、E四點共線).

推論2：如下圖，過極點P作兩條直線，與梆圓分別交于點48和C,。，則直線的交點T必

在極線上.

5.橢19的極點與極線的常用性質

對于橢圓，+1=1,極點P(g,%)(不是原點)對應的極線為等+竿=1,有如下性質:

性質1："類焦點”與“類準線”

當極點P(nz,0)(m￥0)在/軸上時，對應的極線c=宗平行于沙軸，當極點P(0,TI)(n￥0)在“軸

上時對應的極線y=W平行于/軸；特別地，當極點尸為橢圓的焦點時，極線為相應的準線.

性質2：平方模型

如下圖，射線OP與橢圓交于點D,與點P的極線交于點C,則?\OC\=\OD\2-,當點P在

x軸上時，|OPb|OC|=a2;當點P在沙軸上時，?\OC\=b2.

性廉3：共朝方向

設極點P（g,彷）不在坐標軸上，則直線OP的斜率為kOP=—,極線八等+萼=1的斜率k

gab

b2x,,y（b2x\b2

="則0mil…0西0尸丁

【注】性質3表明：橢圓內一點P的極線方向與以極點P為中點的弦的方向相同，稱OP與極線

方向共軌.當極點P（x0,y0）在橢圓內時，極線I平行于以P為中點的弦所在直線EF（用點差法

易證）.設直線OP與橢圓相交于點D,過點D作橢圓的切線心則以P為中點的弦所在直線

EF、過點D的切線h、極點P的極線I,三線互相平行，如下圖.

性質4:平行

如下圖，設四邊形ABCD為橢圓的內接梯形，AC//BD,AD^BC=Q,則點P的極線過Q,且與

直線AC.BD平行.特別地，若3C〃AO〃v軸時，點P的極線平行y軸，且與工軸的交點R

也是AC.BD交點，有。冏?|OP|=|OF|2=a2.

性質5:垂直

設圓錐曲線r的一個焦點為F,與F相應的準線為I,若過點F的直線與圓雉曲線r相交于M

,N兩點，則r在M,N兩點處的切線的交點Q在準線I上，且FQ.LMN.

【證明】以橢圓為例證明，雙曲線與拋物線類似處理.

設P（g,彷），則P（如彷）對應的極線為7W：考+萼=1,由F（c,O）在直線MN上得空=

aba

1,所以此=￡■,故Q在準線l：x=-^-_h.由易證kMN-kQF=—1,所以FQ±MN.

性質6：等角定理

如下圖，A,B是橢圓「的一條對稱軸I上的兩點（不在「上），若A,B關于「調和共輾，過A

任作「的一條割線，交:T于P,Q兩點，則ZPBA=AQBA.

證明：因「關于直線I對稱，故在「上存在P,Q的對稱點P',Q'.若P與Q重合，則Q'與P

也重合，此時P,Q關于I對稱，有APAB=AQAB-,若P與Q不重合，則Q'與P也不重合,

由于A,B關于r調和共輾，故為「上完全四點形PQ'QP'的對邊交點，即Q'在P'A上

也在PB上，故BP,BQ關于直線I對稱，也有APBA=AQBA.

【注】事實上，性質6對于圓錐曲線都成立.我們還可以得到下列結論：

⑴直線PB與橢圓的另一交點為則Q'與Q關于，對稱；

（2）ZPAO=ZQAB=AQ'AB-,

=

⑶k^p+kAQ>0.

類型1:判斷位置關系

【例1】已知點M{a,b)在圓。：/+"=1外，則直線姐+她=1與圓O的位置關系是()

A.相切B.相交C.相離D.不確定

類型2:求極線方程

22

【例2】過橢圓吉+q=1內一點”(1⑵，作直線AB與橢圓交于點48,作直線CD與橢圓交于點

C,D,過A,B分別作橢圓的切線交于點P,過C,D分別作橢圓的切線交于點Q,求P,Q連線所

在的直線方程.

22

【例3】設橢圓C：號+3=l(a>b>0)過點M(A/2,1),且左焦點為F,(-V2,l).

ab

(1)求效圓C的方程；⑵當過點尸(4,1)的動直線I于橢圓C相交于兩不同點A,B時，在線段

AB上取點Q,滿足|*H◎4=1而H屈I,證明：點Q總在某定直線上.

類型3：證明直線過定點或三點共線

2?/2

【例4】如圖，過直線Z：5T-7T/-70=0上的點P作橢圓條+(=1的切線PM和PN,切點分別

zoy

為M,N,連結MN.

(1)當點P在直線I上運動時，證明：直線MN恒過定點Q;

⑵當MN//I時，定點Q平分線段MN.

2

【例5】已知A,B分別為橢圓E：^+y2=l(a>l)的左、右頂點，G為E的上頂點，AG-GB=8,P

為直線x=6上的動點，PA與E的另一交點為C,PB與E的另一交點為D.

(1)求E的方程；

(2)證明：直線CD過定點.

類型4證明兩直線垂直

【例6】已知4—2,0),3(2,0),點C是動點，且直線AC和直線BC的斜率之積為—：

(1)求動點C的軌跡方程；

(2)設直線I與⑴中軌跡相切于點P,與直線x=4相交于點Q,且F(l,0),求證：ZFFQ=900.

類型5:證明向量數(shù)量積(或線段長度之積)為定值

【例7】如圖，橢圓有兩頂點4—1,0)，3(1,0),過其焦點尸(0,1)的直線I與橢圓交于C、。兩點，并與

/軸交于點P,直線AC與直線BD交于點Q.

(1)當\CD\=^V2時，求直線I的方程4T0)；

(2)當點P異于4、B兩點時，求證：分?頁為定值.

類型6:與斜率有關的定值問題

2

【例8】設P(T0,y0)為梆圓嚀+靖=1內一定點(不在坐標軸上)，過點P的兩條直線分別與橢圓交

于點A,C和B、D,且AB〃CD.

(1)證明：直線AB的斜率為定值；

(2)過點P作AB的平行線，與橢圓交于E、F兩點,證明：點P平分線段EF.

【例9】如圖，橢圓E：卷■+=l(a>b>0)的禺心率為直線I'.y=~^-x與橢圓E相交于4

ab/N/

B兩點，48=25,。、。是橢圓E上異于A.B的任意兩點，且直線AC.BD相交于點M,直線

AD.BC相交于點N,連結MN.

(1)求橢圓E的方程；

(2)求證:直線MN的斜率為定值.

22

【例10】四邊形ABCD是橢圓泉+殍?/=1的內接四邊形，AB經過左焦點K,AC,BD交于右焦點

F2,直線AB與直線CD的斜率分別為甌5

（1）證明：萼為定值；（2）證明：直線CD過定點，并求出該定點的坐標.

類型7:等角問題

2

【例11】設橢圓。：號+靖=1的右焦點為不過F的直線/與。交于A,B兩點，點M的坐標為（2

,0）.

（1）當，與土軸垂直時，求直線AM的方程；

（2）設O為坐標原點，證明：ZOAM=ZOMB.

【例12］如圖，已知橢圓C:^+，=l(a>b>0)的右焦點為F,點(一1，呼)在橢圓C上，過原點

O的直線與橢圓C相交于M,N兩點，且\MF\+\NF\=^.

⑵設F(l,0),Q(4,0),過點Q且斜率不為零的直線與橢圓C相交于兩點，證明：ZAPO=

Z.BPQ

類型8:三斜率成等差數(shù)列

引理：二次曲線「：人￡2+口磔/+32+。2+坳+尸=。與直線pQ交于點p,Q,定點0在直線

PQ上，PQ與O點關于曲線C的極線交于點R.曲線C上有兩動點A,B,且直線AO.BO分

別交曲線r于點C,D,直線AB,CD分別交PQ于點M,N.則M,O,N,R成調和點列.

X

【證明】延長XO交BC于點E,由定理5可知：B,E,C,Y成調和點列(完全四邊形中的調和點

列)，故M,O,N,R也成調和點列(調和點列在射影變換下的不變性).

222

【例13】橢圓C-.^+^=l,P的坐標是(g,O),Q點在P關于橢圓的極線/=組上.過P作直線

abx0

交橢圓于點A,B.求證:直線AQ,PQ,BQ的斜率成等差數(shù)列.

該結論對于拋物線，雙曲線同樣適用.特別地，當Q點在x軸上時，就是等角線，此時PQ斜率為

0,PQ平分AAQB.

22

【例14］如圖，已知橢圓C：。+3=l(a>6>0),過焦點F任作一直線交橢圓C于A,B兩點，交

a0

F相應的準線于點M,P為過F與:r軸垂直的直線上的任意一點，則直線PA,PM,PB的斜率成

等差數(shù)歹U.

21/2

【例15】如下圖，橢圓和+方=39。)的左右頂點為A,B.Q為直線…上一點，Q4Q5

分別于橢圓交于點A,B,過點P作直線交梆圓于A,B兩點，直線43與2軸交于點P,與直線

2=m交于點、M,記直線QA?QBX,QP的斜率分別為k1,k2,k0,則：

2

(1)口風,上2成等差數(shù)列；⑵xPxQ=a.

【例16】橢圓4■+(■=l(a>b>0)經過點離心率e=..

(1)求橢圓的方程；

(2)設P是直線x=4上任意一點，AB是經過橢圓右焦點F的一條弦(不經過點M).記直線

PA,PF,PB的斜率依次為kuk2,k3.問：是否存在常數(shù)兒使得自+底=混2.若存在，求A的值；若

不存在，說明理由.

知識與方法

以極點極線為背景的題目經常出現(xiàn)在高考和各級競賽試題之中，如圓錐曲線的切線、切點弦、圓錐曲

線內接四邊形兩對邊延長線的交點軌跡等，是圓錐曲線的?？紗栴}，這些問題大多和極點極線與調

和點列的性質有關.熟悉調和點列與極點極線基本性質，能抓住此類問題的本質，明確問題的目標,

能更高效地解決問題.下面介紹交比、調和點歹h完全四邊形、①。〃。成us圓、極點和極線等射影幾

何的重要概念及性質，溯本求源，揭示此類與極點極線有關的問題的來龍去脈.

(一)調和分割的概念

“調和分割”又稱“調和共軌”，來源于交比，分“調和線束”和“調和點列”兩種，它是交比研究中的

一個重要特例，也是貫穿《高等幾何》課程的一個重要概念.

定義1線束和點列的交比：

如圖，過點。的四條直線被任意直線/所截的有向線段之比里/昆稱為線束04、O。、OR、

ADBD

或點列AC,8。的交比.

定理1交比與所截直線無關.

【證明】令線束O(a,b,c,d)分別交I于A,B,C,D,

圃AC,BC_S^AQC/SABOC_COsinZAOC,COsinACOB_sinZAOCsinZCOB又田為客

3~AD/~BD~SAAODSABOD~DOsinAAOD/DOsin^BOD~sinAAOD'sinZBOP'乂口為育

對應向量方向相同，故交比與所截直線無關.

【注】定理說明，點列的交比與其對應線束的交比是相同的.保持線束不變，取另一直線/'交線束于

A,B',C',D',可視為對/作射影變換，所得交比不變，由此說明交比是射影不變量，具有射影不變性.

0

定義2調和線束與調和點列：

定理1若交比為-1,則稱為調和比.交比為-1的線束稱為調和線束，點列稱為調和點列.一般地,

^fAC=ACB

右］初=—加

（1>0且抄1,則四點構成“調和點列”;

①叫做“基點。叫做“（內、外）分點”.

根據(jù)定義可得:如果點。內分線段點。外分線段且/=蔡，那么稱點C,。調和分割

075UID

線段亦稱為調和點列.線段端點和內外分點，依次構成調和點列.

即：調和點列o內分比=外分比.

ABCD

②也可以以。，。為基點，則四點0,8,。,人仍構成調和點列，故稱48與C,。調和共輾.

③如圖，若AC,構成調和點列，。為直線AB外任意一點，則四直線。4,00,080。為調和

線束；若另一直線截此調和線束，則截得的四點4,。',仍構成調和點列（由定理1可知）.

定理2調和點列的性質:若AC,盡。為調和點列，即熹1=d則

GJDJ-JID

⑴調和性：智+看=旖

。川=Q川=|￡）B|一|。川=|。川一|AB|

力,\CB\一\DB\\CA\一\DA\\CA\一\DA\

」也.I,也+四=2=，+，=^

\CA\\DA\\CA\\DA\\AC\\AD\\AB\

（2）共趣性:

若AC,構成調和點列，則人也構成調和點列.

即:若點+高r合成立，則高+血=島也成立;

(3)等比性：

|CA|=\DA\=

°\CB\~\DB\~

②記線段AB的中點為M則有|AM|2=|MB|2=\MC\-\MD\.

③記線段CD的中點為N,則有\(zhòng)NC\2=\ND\2=\NA\-\NB\.(同2可證)

,\CA\_\DA\\MA\+\MC\_\MD\+\MA\\MA\+\MC\_\MA\-\MC\

1月：\CB\一\DB\n\MA\-\MC\~\MD\-\MA\=\MD\+\MA\-\MD\-\MA\

由竺比性居用知.(|M4|+|MC|)+(|M4|一=(|M4|+|W(M4Hg)

寸7(|MD|+|M4|)+(|A^D|-|M4|)(|MD|+|AM|)-(|MD|-\MA\)

=半斗=軍斗二|M4|2=|MB|2=\MC\-\MD\

2\MD\21AMi11111111

同理可得\NC\2=\ND\2=\NA\?\NB\.

定理3斜率分別為甌自,總的三條直線。4,服交于t軸外的點2過P作/軸的垂線蝎則瓦%2,%3成

等差數(shù)列的充要條件為人小成調和線束.

分析:不妨設自、自、底均為正數(shù)，其它情況同理可證.

【證明】如圖，設。，小建。與c軸分別交于4瓦。,。四點，則

2e=自+治。磊="不+為0器=第0A,B,C,D成調和點列oIM?，4成調和線束.

定理4已知F為橢圓的焦點」為R相應的準線，過斤任作一直線交橢圓于兩點，交I于點、M,

則48,尸,M成調和點列.

（說明：此處圖像應修正：B點在橢圓上，BB.虛線應往上移一點）

【證明】如圖，分別過作，的垂線，垂足為4,5，則由橢圓的第二定義及平行線的性質可得:

AF_AAi_AM

故ABF,Al成調和點列.

~BF~BBX~BM

定義3阿波羅尼斯Apollonius圓：到兩定點4口距離之比為定值/c（k>0且kW1）的點的軌跡為

圓，稱為4>。〃。成US圓（簡稱阿氏圓），為古希臘數(shù)學家ApoZZonlas最先提出并解決.

【證明】如圖，由=則在AB直線上有兩點C、。滿足⑶=倒=需，故PC、PD

\oc\\OP\

分別為/4PB的內外角平分線，則CPLDP,即P的軌跡為以CD為直徑的圓（圓心。為線段

CD的中點）.

由￡7=*，可知，圖中4CBD為調和點列?

盧。I1^1

定義4完全四邊形:我們把兩兩相交，且沒有三線共點的四條直線及它們的六個交點所構成的圖形,

叫做完全四邊形.如圖，凸四邊形ABCD各邊延長交成的圖形稱為完全四邊形ABCDEF,AC.BD、

EF稱為其對角線.

定理5完全四邊形對角線所在直線互相調和分割.即AGCH'BG。/、初47分別構成調和點列.

【證明】HEIF_S^AECS^BDF_S叢AECS^ACDS^BDFS^BEF_ECADDCAF_1

9

'HF'!E~S^AFC*S^DE~S^ACDS^AFC,S^BEF,sAB^~~CD'~KF'~EC'~KD~

即第=2，所以為調和點列.其余的可由線束的交比不變性得到.

rLrlr

（二）極點和極線的概念

1.極點和極線的幾何定義

如圖，尸為不在圓錐曲線r上的點，過點P引兩條割線依次交圓錐曲線于四點E,F,G,a連接EH

，尸G交于N,連接交于河，我們稱點P為直線AW關于圓錐曲線「的極點，稱直線MN為

點P關于圓錐曲線F的極線.直線MN交圓錐曲線「于兩點，則R4,PB為圓錐曲線「的兩條

切線.若P在圓錐曲線r上，則過點P的切線即為極線.

(1)自極三角形:極點P——極線MN；極點河一一極線PN；極點N——極線用尸；即△PMN中,

三個頂點和對邊分別為一對極點和極線，稱△PMN為“自極三角形”.

(2)極點和極線的兩種特殊情況

⑴當四邊形變成三角形時：曲線上的點E(F,M,N)對應的極線，就是切線PE;

(2)當四邊有一組對邊平行時，如：當尸H〃EG時，EG和的交點M落在無窮遠處；點P的極線

NM2和點N的極線PM,滿足：FH〃NM2//EG//PM,.

2.極點和極線的代數(shù)定義

對于定點P(3,彷)與非退化二次曲線r：Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0,過點P作動直線與曲線「

交于點4與點B,那么點尸關于線段的調和點Q的軌跡是什么？

可以證明：點Q在一條定直線/：Ae心+。防沙+。土尸+E/%+尸=。上，如下圖.我們稱點

P為直線Z關于曲線「的極點；相應地，稱直線，為點P關于曲線F的極線.

一般地，對于圓錐曲線「：4/2+口磔/+32+。r+坳+尸=0,設極點尸(如比),則對應的極線為

LAgc+B幽產+3僅+。寧+E中+尸=0

【注】替換規(guī)則為：/一工如y2-yy0,XgT型中巴T空魯,n.中工

（1）橢圓與+/=l（a>b>0）的三類極點極線

ab

⑴若極點P（g,僅）在橢圓外，過點P作桶圓的兩條功線，切點為48,則極線為切點弦所在直線

xxyy

AB:—o廠+Q1；

azbz

（2）若極點P（g,彷）在橢圓上，過點P作橢圓的切線Z,則極線為切線等+猾=1;

ab

（3）若極點尸（g,渙）在桶圓內，過點P作橢圓的弦AB,分別過作橢圓切線，則切線交點軌跡為

極

a2b2

由此可得橢圓極線的幾何作法：

22

（2）對于雙曲線與一（=1,極點P（g,加）對應的極線為考一萼=1;

abab

⑶對于拋物線g2=2pi,極點P（g,g（））對應的極線為g=0（g+%）.

3.極點和極線的性質

22

（1）引理：已知橢圓方程為馬+冬=i（a〉b>o）,直線/的方程為呼+喈=i,點不

aoab

與原點重合.過點P作直線交橢圓于43兩點，河點在直線上，則''點在直線I上"的充要條

件是"P,"調和分割A,B'\即點=勰.

rJD1V1JD

【證明】先證必要性.設“點的坐標為（g,%）,則有挈+爺=1.設直線的參數(shù)方程為

'XQ+tXi

力=十

1匕+**為參數(shù)）

y0+ty!

與橢圓方程聯(lián)立，得《+4-巾+2（等+曙-頊+（A患T）=。，

即(1+,—1^+(1+/—1)=°，該方程有兩個不等實根，設為也風則￡1+益=0.

即P,河調和分割A且也即得=*.

rr>JVIJD

將以上證明過程反向推導，即得充分性成立.

設p是圓錐曲線r的一個極點，它對應的極線為2,過P任意引一條直線，交r于點4B,交/于點

Q,若點4是位于P,Q間的點，結合引理可得如下極點和極線的三個調和性質：

(1)調和性

⑵共軌性

B,Q,AP四點也構成“調和點列”，即/+=備.

⑶等比性

(1)點Q、P是線段的內、外分點,甯=管=用

K-D|\Q^\

(2)若「為橢圓或雙曲線，當直線AB經過曲線中心。時，QP|?\OQ\=|OA|2=|OB|2.

4.配極原則

若P點關于圓錐曲線「的極線通過另一點Q,則Q點的極線也通過P,稱P、Q關于「調和共輾.

【證明】設點F(xp.yp),則相應的極線為小：下+爺=1,點Q(XQ,Q,相應的極線為Q：等+

"嚕=1.因為小過點Q,Q坐標滿足方程+=1,即F：+=1；則P點坐標滿足方

baba"詈b。

程管+繁=1,這也說明，也就是Q過點P.

配極原則說明：2尸過點QoQ過點P,由此可得下面推論：

推論1：共線點的極線必然共點(4、G、O、E四點共線，它們的極線a、g,d、e共交點F);共點線的

極點必然共線(直線a、g,d、e共交點F,它們的極點A、G,D、E四點共線).

推論2：如下圖，過極點P作兩條直線，與梆圓分別交于點48和C,。，則直線的交點T必

在極線上.

5.橢19的極點與極線的常用性質

對于橢圓，+1=1,極點P(g,%)(不是原點)對應的極線為等+竿=1,有如下性質:

性質1："類焦點”與“類準線”

當極點P(nz,0)(m￥0)在/軸上時，對應的極線c=宗平行于沙軸，當極點P(0,TI)(n￥0)在“軸

上時對應的極線y=W平行于/軸；特別地，當極點尸為橢圓的焦點時，極線為相應的準線.

性質2：平方模型

如下圖，射線OP與橢圓交于點D,與點P的極線交于點C,則?\OC\=\OD\2-,當點P在

x軸上時，|OPb|OC|=a2;當點P在沙軸上時，?\OC\=b2.

性廉3：共朝方向

設極點P（g,彷）不在坐標軸上，則直線OP的斜率為kOP=—,極線八等+萼=1的斜率k

gab

b2x,,y（b2x\b2

="則0mil…0西0尸丁

【注】性質3表明：橢圓內一點P的極線方向與以極點P為中點的弦的方向相同，稱OP與極線

方向共軌.當極點P（x0,y0）在橢圓內時，極線I平行于以P為中點的弦所在直線EF（用點差法

易證）.設直線OP與橢圓相交于點D,過點D作橢圓的切線心則以P為中點的弦所在直線

EF、過點D的切線h、極點P的極線I,三線互相平行，如下圖.

性質4:平行

如下圖，設四邊形ABCD為橢圓的內接梯形，AC//BD,AD^BC=Q,則點P的極線過Q,且與

直線AC.BD平行.特別地，若3C〃AO〃v軸時，點P的極線平行y軸，且與工軸的交點R

也是AC.BD交點，有。冏?|OP|=|OF|2=a2.

性質5:垂直

設圓錐曲線r的一個焦點為F,與F相應的準線為I,若過點F的直線與圓雉曲線r相交于M

,N兩點，則r在M,N兩點處的切線的交點Q在準線I上，且FQ.LMN.

【證明】以橢圓為例證明，雙曲線與拋物線類似處理.

設P（g,彷），則P（如彷）對應的極線為7W：考+萼=1,由F（c,O）在直線MN上得空=

aba

1,所以此=￡■,故Q在準線l：x=-^-_h.由易證kMN-kQF=—1,所以FQ±MN.

性質6：等角定理

如下圖，A,B是橢圓「的一條對稱軸I上的兩點（不在「上），若A,B關于「調和共輾，過A

任作「的一條割線，交:T于P,Q兩點，則ZPBA=AQBA.

證明：因「關于直線I對稱，故在「上存在P,Q的對稱點P',Q'.若P與Q重合，則Q'與P

也重合，此時P,Q關于I對稱，有APAB=AQAB-,若P與Q不重合，則Q'與P也不重合,

由于A,B關于r調和共輾，故為「上完全四點形PQ'QP'的對邊交點，即Q'在P'A上

也在PB上，故BP,BQ關于直線I對稱，也有APBA=AQBA.

【注】事實上，性質6對于圓錐曲線都成立.我們還可以得到下列結論：

⑴直線PB與橢圓的另一交點為則Q'與Q關于，對稱；

（2）ZPAO=ZQAB=AQ'AB-,

=

⑶k^p+kAQ>0.

類型1:判斷位置關系

【例1】已知點M（a,b）在圓。:/+"=1外，則直線姐+她=1與圓O的位置關系是（）

A.相切B.相交