2024年高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)調(diào)和點(diǎn)列與極點(diǎn)極線（解析幾何）（解析版）

2024年高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)調(diào)和點(diǎn)列與極點(diǎn)極線（解析幾何）（解析版）

蠲和點(diǎn)列與極點(diǎn)搬線

和識(shí)與方法

以極點(diǎn)極線為背景的題目經(jīng)常出現(xiàn)在高考和各級(jí)競(jìng)賽試題之中，如圓錐曲線的切線、切點(diǎn)弦、圓錐曲

線內(nèi)接四邊形兩對(duì)邊延長(zhǎng)線的交點(diǎn)軌跡等，是圓錐曲線的常考問(wèn)題，這些問(wèn)題大多和極點(diǎn)極線與調(diào)

和點(diǎn)列的性質(zhì)有關(guān).熟悉調(diào)和點(diǎn)列與極點(diǎn)極線基本性質(zhì)，能抓住此類問(wèn)題的本質(zhì)，明確問(wèn)題的目標(biāo),

能更高效地解決問(wèn)題.下面介紹交比、調(diào)和點(diǎn)歹h完全四邊形、成us圓、極點(diǎn)和極線等射影幾

何的重要概念及性質(zhì)，溯本求源，揭示此類與極點(diǎn)極線有關(guān)的問(wèn)題的來(lái)龍去脈.

（一）調(diào)和分割的概念

“調(diào)和分割”又稱“調(diào)和共輾”，來(lái)源于交比，分“調(diào)和線束”和“調(diào)和點(diǎn)列”兩種，它是交比研究中的

一個(gè)重要特例，也是貫穿《高等幾何》課程的一個(gè)重要概念.

定義1線束和點(diǎn)列的交比：

如圖，過(guò)點(diǎn)。的四條直線被任意直線Z所截的有向線段之比空/昆稱為線束04、O。、OR、

ADBD

或點(diǎn)列AC,8。的交比.

定理1交比與所截直線無(wú)關(guān).

【證明】令線束O（a,b,c,d）分別交I于A,B,C,D,

圃AC,BC_S^AQC/SABOC_COsinZAOC,COsinACOB_sinZAOCsinZCOB又田為客

3~AD/~BD~SAAODSABOD~DOsinAAOD/DOsin^BOD~sinAAOD'sinZBOL*'乂口為育

對(duì)應(yīng)向量方向相同，故交比與所截直線無(wú)關(guān).

【注】定理說(shuō)明，點(diǎn)列的交比與其對(duì)應(yīng)線束的交比是相同的.保持線束不變，取另一直線/'交線束于

A,B',C',D',可視為對(duì)/作射影變換，所得交比不變，由此說(shuō)明交比是射影不變量，具有射影不變性.

0

定義2調(diào)和線束與調(diào)和點(diǎn)列：

定理1若交比為-1,則稱為調(diào)和比.交比為-1的線束稱為調(diào)和線束，點(diǎn)列稱為調(diào)和點(diǎn)列.一般地,

^（AC=ACB

（1>0且抄1,則四點(diǎn)構(gòu)成“調(diào)和點(diǎn)列”;

①叫做“基點(diǎn)。叫做“（內(nèi)、外）分點(diǎn)”.

根據(jù)定義可得:如果點(diǎn)。內(nèi)分線段點(diǎn)。外分線段且/=蔡，那么稱點(diǎn)C,。調(diào)和分割

線段AB.亦稱4C,8,。為調(diào)和點(diǎn)列.線段端點(diǎn)和內(nèi)外分點(diǎn)，依次構(gòu)成調(diào)和點(diǎn)列.

即：調(diào)和點(diǎn)列o內(nèi)分比=外分比.

ABCD

②也可以以。，。為基點(diǎn)，則四點(diǎn)0,8,。,人仍構(gòu)成調(diào)和點(diǎn)列，故稱48與C,。調(diào)和共輾.

③如圖，若AC,構(gòu)成調(diào)和點(diǎn)列，。為直線AB外任意一點(diǎn)，則四直線。4,00,080。為調(diào)和

線束；若另一直線截此調(diào)和線束，則截得的四點(diǎn)4,。',仍構(gòu)成調(diào)和點(diǎn)列（由定理1可知）.

定理2調(diào)和點(diǎn)列的性質(zhì):若AC,盡。為調(diào)和點(diǎn)列，即熹1=d則

GJDJ-JID

⑴調(diào)和性：智+看=旖

。川=Q川=|￡）B|一|。川=|。川一|AB|

力,\CB\一\DB\\CA\一\DA\\CA\一\DA\

」也.I,也+四=2=，+，=^

\CA\\DA\\CA\\DA\\AC\\AD\\AB\

（2）共趣性:

若AC,構(gòu)成調(diào)和點(diǎn)列，則DBC,人也構(gòu)成調(diào)和點(diǎn)列.

即:若點(diǎn)+高r合成立，則高+血=島也成立;

(3)等比性：

|CA|=\DA\=

°\CB\~\DB\~

②記線段AB的中點(diǎn)為M則有|AM|2=|MB|2=\MC\-\MD\.

③記線段CD的中點(diǎn)為N,則有\(zhòng)NC\2=\ND\2=\NA\-\NB\.(同2可證)

,\CA\_\DA\\MA\+\MC\_\MD\+\MA\\MA\+\MC\_\MA\-\MC\

1月：\CB\一\DB\n\MA\-\MC\~\MD\-\MA\=\MD\+\MA\-\MD\-\MA\

由竺比性居用知.(|M4|+|MC|)+(|M4|一=(|M4|+|W(M4Hg)

寸7(|MD|+|M4|)+(|A^D|-|M4|)(|MD|+|AM|)-(|MD|-\MA\)

=半斗=軍斗二|M4|2=|MB|2=\MC\-\MD\

2\MD\21AMi11111111

同理可得\NC\2=\ND\2=\NA\?\NB\.

定理3斜率分別為甌自,總的三條直線。4,服交于t軸外的點(diǎn)2過(guò)P作/軸的垂線蝎則瓦%2,%3成

等差數(shù)列的充要條件為人小成調(diào)和線束.

分析:不妨設(shè)自、自、底均為正數(shù)，其它情況同理可證.

【證明】如圖，設(shè)。，小建。與c軸分別交于4瓦。,。四點(diǎn)，則

2e=自+治。磊="不+為0器=第0A,B,C,D成調(diào)和點(diǎn)列oIM?，4成調(diào)和線束.

定理4已知F為橢圓的焦點(diǎn)」為R相應(yīng)的準(zhǔn)線，過(guò)斤任作一直線交橢圓于兩點(diǎn)，交I于點(diǎn)、M,

則48,尸,M成調(diào)和點(diǎn)列.

（說(shuō)明：此處圖像應(yīng)修正：B點(diǎn)在橢圓上，BB.虛線應(yīng)往上移一點(diǎn)）

【證明】如圖，分別過(guò)作，的垂線，垂足為4,5，則由橢圓的第二定義及平行線的性質(zhì)可得:

AF_AAi_AM

故ABF,Al成調(diào)和點(diǎn)列.

~BF~BBX~BM

定義3阿波羅尼斯Apollonius圓：到兩定點(diǎn)4口距離之比為定值/c（k>0且kW1）的點(diǎn)的軌跡為

圓，稱為4>。〃。成US圓（簡(jiǎn)稱阿氏圓），為古希臘數(shù)學(xué)家ApoZZonlas最先提出并解決.

【證明】如圖，由=則在AB直線上有兩點(diǎn)C、。滿足⑶=倒=需，故PC、PD

\oc\\OP\

分別為/4PB的內(nèi)外角平分線，則CPLDP,即P的軌跡為以CD為直徑的圓（圓心。為線段

CD的中點(diǎn)）.

由￡7=*，可知，圖中4CBD為調(diào)和點(diǎn)列?

盧。I1^1

定義4完全四邊形:我們把兩兩相交，且沒(méi)有三線共點(diǎn)的四條直線及它們的六個(gè)交點(diǎn)所構(gòu)成的圖形,

叫做完全四邊形.如圖，凸四邊形ABCD各邊延長(zhǎng)交成的圖形稱為完全四邊形ABCDEF,AC.BD、

EF稱為其對(duì)角線.

定理5完全四邊形對(duì)角線所在直線互相調(diào)和分割.即AGCH'BG。/、初47分別構(gòu)成調(diào)和點(diǎn)列.

【證明】HEIF_S^AECS^BDF_S叢AECS^ACDS^BDFS^BEF_ECADDCAF_1

9

'HF'!E~S^AFC*S^DE~S^ACDS^AFC,S^BEF,sAB^~~CD'~KF'~EC'~KD~

即第=2，所以為調(diào)和點(diǎn)列.其余的可由線束的交比不變性得到.

rLrlr

（二）極點(diǎn)和極線的概念

1.極點(diǎn)和極線的幾何定義

如圖，尸為不在圓錐曲線r上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P引兩條割線依次交圓錐曲線于四點(diǎn)E,F,G,a連接EH

，尸G交于N,連接交于河，我們稱點(diǎn)P為直線AW關(guān)于圓錐曲線「的極點(diǎn)，稱直線MN為

點(diǎn)P關(guān)于圓錐曲線F的極線.直線MN交圓錐曲線「于兩點(diǎn)，則R4,PB為圓錐曲線「的兩條

切線.若P在圓錐曲線r上，則過(guò)點(diǎn)P的切線即為極線.

(1)自極三角形:極點(diǎn)P——極線MN；極點(diǎn)河一一極線PN；極點(diǎn)N——極線用尸；即△PMN中,

三個(gè)頂點(diǎn)和對(duì)邊分別為一對(duì)極點(diǎn)和極線，稱△PMN為“自極三角形”.

(2)極點(diǎn)和極線的兩種特殊情況

⑴當(dāng)四邊形變成三角形時(shí)：曲線上的點(diǎn)E(F,M,N)對(duì)應(yīng)的極線，就是切線PE;

(2)當(dāng)四邊有一組對(duì)邊平行時(shí)，如：當(dāng)尸H〃EG時(shí)，EG和的交點(diǎn)M落在無(wú)窮遠(yuǎn)處；點(diǎn)P的極線

NM2和點(diǎn)N的極線PM,滿足：FH〃NM2//EG//PM,.

2.極點(diǎn)和極線的代數(shù)定義

對(duì)于定點(diǎn)P(3,彷)與非退化二次曲線r：Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0,過(guò)點(diǎn)P作動(dòng)直線與曲線「

交于點(diǎn)4與點(diǎn)B,那么點(diǎn)尸關(guān)于線段的調(diào)和點(diǎn)Q的軌跡是什么？

可以證明：點(diǎn)Q在一條定直線/：Ae心+。防沙+。土尸+E/%+尸=。上，如下圖.我們稱點(diǎn)

P為直線Z關(guān)于曲線「的極點(diǎn)；相應(yīng)地，稱直線，為點(diǎn)P關(guān)于曲線F的極線.

一般地，對(duì)于圓錐曲線「：4/2+口磔/+32+。r+坳+尸=0,設(shè)極點(diǎn)尸(如比),則對(duì)應(yīng)的極線為

LAgc+B幽產(chǎn)+3僅+。寧+E中+尸=0

【注】替換規(guī)則為：/一工如y2-yy0,XgT型中巴T空魯,n.中工

（1）橢圓與+/=l（a>b>0）的三類極點(diǎn)極線

ab

⑴若極點(diǎn)P（g,僅）在橢圓外，過(guò)點(diǎn)P作桶圓的兩條功線，切點(diǎn)為48,則極線為切點(diǎn)弦所在直線

xxyy

AB:—o廠+Q1；

azbz

（2）若極點(diǎn)P（g,彷）在橢圓上，過(guò)點(diǎn)P作橢圓的切線Z,則極線為切線等+猾=1;

ab

（3）若極點(diǎn)尸（g,渙）在桶圓內(nèi)，過(guò)點(diǎn)P作橢圓的弦AB,分別過(guò)作橢圓切線，則切線交點(diǎn)軌跡為

極

a2b2

由此可得橢圓極線的幾何作法：

22

（2）對(duì)于雙曲線與一（=1,極點(diǎn)P（g,加）對(duì)應(yīng)的極線為考一萼=1;

abab

⑶對(duì)于拋物線g2=2pi,極點(diǎn)P（g,g（））對(duì)應(yīng)的極線為g=0（g+%）.

3.極點(diǎn)和極線的性質(zhì)

22

（1）引理：已知橢圓方程為馬+冬=i（a〉b>o）,直線/的方程為呼+喈=i,點(diǎn)不

aoab

與原點(diǎn)重合.過(guò)點(diǎn)P作直線交橢圓于43兩點(diǎn)，河點(diǎn)在直線上，則''點(diǎn)在直線I上"的充要條

件是"P,"調(diào)和分割A(yù),B'\即點(diǎn)=勰.

rJD1V1JD

【證明】先證必要性.設(shè)“點(diǎn)的坐標(biāo)為（g,%）,則有挈+爺=1.設(shè)直線的參數(shù)方程為

'XQ+tXi

力=十

1匕+**為參數(shù)）

y0+ty!

與橢圓方程聯(lián)立，得《+4-巾+2（等+曙-頊+（A患T）=。，

即(1+,—1^+(1+/—1)=°，該方程有兩個(gè)不等實(shí)根，設(shè)為也風(fēng)則￡1+益=0.

即P,河調(diào)和分割A(yù)且也即得=*.

rr>JVIJD

將以上證明過(guò)程反向推導(dǎo)，即得充分性成立.

設(shè)p是圓錐曲線r的一個(gè)極點(diǎn)，它對(duì)應(yīng)的極線為2,過(guò)P任意引一條直線，交r于點(diǎn)4B,交/于點(diǎn)

Q,若點(diǎn)4是位于P,Q間的點(diǎn)，結(jié)合引理可得如下極點(diǎn)和極線的三個(gè)調(diào)和性質(zhì)：

(1)調(diào)和性

⑵共軌性

B,Q,AP四點(diǎn)也構(gòu)成“調(diào)和點(diǎn)列”，即/+=備.

⑶等比性

(1)點(diǎn)Q、P是線段的內(nèi)、外分點(diǎn),甯=管=用

K-D|\Q^\

(2)若「為橢圓或雙曲線，當(dāng)直線AB經(jīng)過(guò)曲線中心。時(shí)，QP|?\OQ\=|OA|2=|OB|2.

4.配極原則

若P點(diǎn)關(guān)于圓錐曲線「的極線通過(guò)另一點(diǎn)Q,則Q點(diǎn)的極線也通過(guò)P,稱P、Q關(guān)于「調(diào)和共輾.

【證明】設(shè)點(diǎn)F(xp.yp),則相應(yīng)的極線為小：下+爺=1,點(diǎn)Q(XQ,Q,相應(yīng)的極線為Q：等+

"嚕=1.因?yàn)樾∵^(guò)點(diǎn)Q,Q坐標(biāo)滿足方程+=1,即F：+=1；則P點(diǎn)坐標(biāo)滿足方

baba"詈b。

程管+繁=1,這也說(shuō)明，也就是Q過(guò)點(diǎn)P.

配極原則說(shuō)明：2尸過(guò)點(diǎn)QoQ過(guò)點(diǎn)P,由此可得下面推論：

推論1：共線點(diǎn)的極線必然共點(diǎn)(4、G、O、E四點(diǎn)共線，它們的極線a、g,d、e共交點(diǎn)F);共點(diǎn)線的

極點(diǎn)必然共線(直線a、g,d、e共交點(diǎn)F,它們的極點(diǎn)A、G,D、E四點(diǎn)共線).

推論2：如下圖，過(guò)極點(diǎn)P作兩條直線，與梆圓分別交于點(diǎn)48和C,。，則直線的交點(diǎn)T必

在極線上.

5.橢19的極點(diǎn)與極線的常用性質(zhì)

對(duì)于橢圓，+1=1,極點(diǎn)P(g,%)(不是原點(diǎn))對(duì)應(yīng)的極線為等+竿=1,有如下性質(zhì):

性質(zhì)1："類焦點(diǎn)”與“類準(zhǔn)線”

當(dāng)極點(diǎn)P(nz,0)(m￥0)在/軸上時(shí)，對(duì)應(yīng)的極線c=宗平行于沙軸，當(dāng)極點(diǎn)P(0,TI)(n￥0)在“軸

上時(shí)對(duì)應(yīng)的極線y=W平行于/軸；特別地，當(dāng)極點(diǎn)尸為橢圓的焦點(diǎn)時(shí)，極線為相應(yīng)的準(zhǔn)線.

性質(zhì)2：平方模型

如下圖，射線OP與橢圓交于點(diǎn)D,與點(diǎn)P的極線交于點(diǎn)C,則?\OC\=\OD\2-,當(dāng)點(diǎn)P在

x軸上時(shí)，|OPb|OC|=a2;當(dāng)點(diǎn)P在沙軸上時(shí)，?\OC\=b2.

性廉3：共朝方向

設(shè)極點(diǎn)P（g,彷）不在坐標(biāo)軸上，則直線OP的斜率為kOP=—,極線八等+萼=1的斜率k

gab

b2x,,y（b2x\b2

="則0mil…0西0尸丁

【注】性質(zhì)3表明：橢圓內(nèi)一點(diǎn)P的極線方向與以極點(diǎn)P為中點(diǎn)的弦的方向相同，稱OP與極線

方向共軌.當(dāng)極點(diǎn)P（x0,y0）在橢圓內(nèi)時(shí)，極線I平行于以P為中點(diǎn)的弦所在直線EF（用點(diǎn)差法

易證）.設(shè)直線OP與橢圓相交于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D作橢圓的切線心則以P為中點(diǎn)的弦所在直線

EF、過(guò)點(diǎn)D的切線h、極點(diǎn)P的極線I,三線互相平行，如下圖.

性質(zhì)4:平行

如下圖，設(shè)四邊形ABCD為橢圓的內(nèi)接梯形，AC//BD,AD^BC=Q,則點(diǎn)P的極線過(guò)Q,且與

直線AC.BD平行.特別地，若3C〃AO〃v軸時(shí)，點(diǎn)P的極線平行y軸，且與工軸的交點(diǎn)R

也是AC.BD交點(diǎn)，有。冏?|OP|=|OF|2=a2.

性質(zhì)5:垂直

設(shè)圓錐曲線r的一個(gè)焦點(diǎn)為F,與F相應(yīng)的準(zhǔn)線為I,若過(guò)點(diǎn)F的直線與圓雉曲線r相交于M

,N兩點(diǎn)，則r在M,N兩點(diǎn)處的切線的交點(diǎn)Q在準(zhǔn)線I上，且FQ.LMN.

【證明】以橢圓為例證明，雙曲線與拋物線類似處理.

設(shè)P（g,彷），則P（如彷）對(duì)應(yīng)的極線為7W：考+萼=1,由F（c,O）在直線MN上得空=

aba

1,所以此=￡■,故Q在準(zhǔn)線l：x=-^-_h.由易證kMN-kQF=—1,所以FQ±MN.

性質(zhì)6：等角定理

如下圖，A,B是橢圓「的一條對(duì)稱軸I上的兩點(diǎn)（不在「上），若A,B關(guān)于「調(diào)和共輾，過(guò)A

任作「的一條割線，交:T于P,Q兩點(diǎn)，則ZPBA=AQBA.

證明：因「關(guān)于直線I對(duì)稱，故在「上存在P,Q的對(duì)稱點(diǎn)P',Q'.若P與Q重合，則Q'與P

也重合，此時(shí)P,Q關(guān)于I對(duì)稱，有APAB=AQAB-,若P與Q不重合，則Q'與P也不重合,

由于A,B關(guān)于r調(diào)和共輾，故為「上完全四點(diǎn)形PQ'QP'的對(duì)邊交點(diǎn)，即Q'在P'A上

也在PB上，故BP,BQ關(guān)于直線I對(duì)稱，也有APBA=AQBA.

【注】事實(shí)上，性質(zhì)6對(duì)于圓錐曲線都成立.我們還可以得到下列結(jié)論：

⑴直線PB與橢圓的另一交點(diǎn)為則Q'與Q關(guān)于，對(duì)稱；

（2）ZPAO=ZQAB=AQ'AB-,

=

⑶k^p+kAQ>0.

類型1:判斷位置關(guān)系

【例1】已知點(diǎn)M{a,b)在圓。：/+"=1外，則直線姐+她=1與圓O的位置關(guān)系是()

A.相切B.相交C.相離D.不確定

類型2:求極線方程

22

【例2】過(guò)橢圓吉+q=1內(nèi)一點(diǎn)”(1⑵，作直線AB與橢圓交于點(diǎn)48,作直線CD與橢圓交于點(diǎn)

C,D,過(guò)A,B分別作橢圓的切線交于點(diǎn)P,過(guò)C,D分別作橢圓的切線交于點(diǎn)Q,求P,Q連線所

在的直線方程.

22

【例3】設(shè)橢圓C：號(hào)+3=l(a>b>0)過(guò)點(diǎn)M(A/2,1),且左焦點(diǎn)為F,(-V2,l).

ab

(1)求效圓C的方程；⑵當(dāng)過(guò)點(diǎn)尸(4,1)的動(dòng)直線I于橢圓C相交于兩不同點(diǎn)A,B時(shí)，在線段

AB上取點(diǎn)Q,滿足|*H◎4=1而H屈I,證明：點(diǎn)Q總在某定直線上.

類型3：證明直線過(guò)定點(diǎn)或三點(diǎn)共線

2?/2

【例4】如圖，過(guò)直線Z：5T-7T/-70=0上的點(diǎn)P作橢圓條+(=1的切線PM和PN,切點(diǎn)分別

zoy

為M,N,連結(jié)MN.

(1)當(dāng)點(diǎn)P在直線I上運(yùn)動(dòng)時(shí)，證明：直線MN恒過(guò)定點(diǎn)Q;

⑵當(dāng)MN//I時(shí)，定點(diǎn)Q平分線段MN.

2

【例5】已知A,B分別為橢圓E：^+y2=l(a>l)的左、右頂點(diǎn)，G為E的上頂點(diǎn)，AG-GB=8,P

為直線x=6上的動(dòng)點(diǎn)，PA與E的另一交點(diǎn)為C,PB與E的另一交點(diǎn)為D.

(1)求E的方程；

(2)證明：直線CD過(guò)定點(diǎn).

類型4證明兩直線垂直

【例6】已知4—2,0),3(2,0),點(diǎn)C是動(dòng)點(diǎn)，且直線AC和直線BC的斜率之積為—：

(1)求動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程；

(2)設(shè)直線I與⑴中軌跡相切于點(diǎn)P,與直線x=4相交于點(diǎn)Q,且F(l,0),求證：ZFFQ=900.

類型5:證明向量數(shù)量積(或線段長(zhǎng)度之積)為定值

【例7】如圖，橢圓有兩頂點(diǎn)4—1,0)，3(1,0),過(guò)其焦點(diǎn)尸(0,1)的直線I與橢圓交于C、。兩點(diǎn)，并與

/軸交于點(diǎn)P,直線AC與直線BD交于點(diǎn)Q.

(1)當(dāng)\CD\=^V2時(shí)，求直線I的方程4T0)；

(2)當(dāng)點(diǎn)P異于4、B兩點(diǎn)時(shí)，求證：分?頁(yè)為定值.

類型6:與斜率有關(guān)的定值問(wèn)題

2

【例8】設(shè)P(T0,y0)為梆圓嚀+靖=1內(nèi)一定點(diǎn)(不在坐標(biāo)軸上)，過(guò)點(diǎn)P的兩條直線分別與橢圓交

于點(diǎn)A,C和B、D,且AB〃CD.

(1)證明：直線AB的斜率為定值；

(2)過(guò)點(diǎn)P作AB的平行線，與橢圓交于E、F兩點(diǎn),證明：點(diǎn)P平分線段EF.

【例9】如圖，橢圓E：卷■+=l(a>b>0)的禺心率為直線I'.y=~^-x與橢圓E相交于4

ab/N/

B兩點(diǎn)，48=25,。、。是橢圓E上異于A.B的任意兩點(diǎn)，且直線AC.BD相交于點(diǎn)M,直線

AD.BC相交于點(diǎn)N,連結(jié)MN.

(1)求橢圓E的方程；

(2)求證:直線MN的斜率為定值.

22

【例10】四邊形ABCD是橢圓泉+殍?/=1的內(nèi)接四邊形，AB經(jīng)過(guò)左焦點(diǎn)K,AC,BD交于右焦點(diǎn)

F2,直線AB與直線CD的斜率分別為甌5

（1）證明：萼為定值；（2）證明：直線CD過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

類型7:等角問(wèn)題

2

【例11】設(shè)橢圓。：號(hào)+靖=1的右焦點(diǎn)為不過(guò)F的直線/與。交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2

,0）.

（1）當(dāng)，與土軸垂直時(shí)，求直線AM的方程；

（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：ZOAM=ZOMB.

【例12］如圖，已知橢圓C:^+，=l(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F,點(diǎn)(一1，呼)在橢圓C上，過(guò)原點(diǎn)

O的直線與橢圓C相交于M,N兩點(diǎn)，且\MF\+\NF\=^.

⑵設(shè)F(l,0),Q(4,0),過(guò)點(diǎn)Q且斜率不為零的直線與橢圓C相交于兩點(diǎn)，證明：ZAPO=

Z.BPQ

類型8:三斜率成等差數(shù)列

引理：二次曲線「：人￡2+口磔/+32+。2+坳+尸=。與直線pQ交于點(diǎn)p,Q,定點(diǎn)0在直線

PQ上，PQ與O點(diǎn)關(guān)于曲線C的極線交于點(diǎn)R.曲線C上有兩動(dòng)點(diǎn)A,B,且直線AO.BO分

別交曲線r于點(diǎn)C,D,直線AB,CD分別交PQ于點(diǎn)M,N.則M,O,N,R成調(diào)和點(diǎn)列.

X

【證明】延長(zhǎng)XO交BC于點(diǎn)E,由定理5可知：B,E,C,Y成調(diào)和點(diǎn)列(完全四邊形中的調(diào)和點(diǎn)

列)，故M,O,N,R也成調(diào)和點(diǎn)列(調(diào)和點(diǎn)列在射影變換下的不變性).

222

【例13】橢圓C-.^+^=l,P的坐標(biāo)是(g,O),Q點(diǎn)在P關(guān)于橢圓的極線/=組上.過(guò)P作直線

abx0

交橢圓于點(diǎn)A,B.求證:直線AQ,PQ,BQ的斜率成等差數(shù)列.

該結(jié)論對(duì)于拋物線，雙曲線同樣適用.特別地，當(dāng)Q點(diǎn)在x軸上時(shí)，就是等角線，此時(shí)PQ斜率為

0,PQ平分AAQB.

22

【例14］如圖，已知橢圓C：。+3=l(a>6>0),過(guò)焦點(diǎn)F任作一直線交橢圓C于A,B兩點(diǎn)，交

a0

F相應(yīng)的準(zhǔn)線于點(diǎn)M,P為過(guò)F與:r軸垂直的直線上的任意一點(diǎn)，則直線PA,PM,PB的斜率成

等差數(shù)歹U.

21/2

【例15】如下圖，橢圓和+方=39。)的左右頂點(diǎn)為A,B.Q為直線…上一點(diǎn)，Q4Q5

分別于橢圓交于點(diǎn)A,B,過(guò)點(diǎn)P作直線交梆圓于A,B兩點(diǎn)，直線43與2軸交于點(diǎn)P,與直線

2=m交于點(diǎn)、M,記直線QA?QBX,QP的斜率分別為k1,k2,k0,則：

2

(1)口風(fēng),上2成等差數(shù)列；⑵xPxQ=a.

【例16】橢圓4■+(■=l(a>b>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)離心率e=..

(1)求橢圓的方程；

(2)設(shè)P是直線x=4上任意一點(diǎn)，AB是經(jīng)過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F的一條弦(不經(jīng)過(guò)點(diǎn)M).記直線

PA,PF,PB的斜率依次為kuk2,k3.問(wèn)：是否存在常數(shù)兒使得自+底=混2.若存在，求A的值；若

不存在，說(shuō)明理由.

知識(shí)與方法

以極點(diǎn)極線為背景的題目經(jīng)常出現(xiàn)在高考和各級(jí)競(jìng)賽試題之中，如圓錐曲線的切線、切點(diǎn)弦、圓錐曲

線內(nèi)接四邊形兩對(duì)邊延長(zhǎng)線的交點(diǎn)軌跡等，是圓錐曲線的常考問(wèn)題，這些問(wèn)題大多和極點(diǎn)極線與調(diào)

和點(diǎn)列的性質(zhì)有關(guān).熟悉調(diào)和點(diǎn)列與極點(diǎn)極線基本性質(zhì)，能抓住此類問(wèn)題的本質(zhì)，明確問(wèn)題的目標(biāo),

能更高效地解決問(wèn)題.下面介紹交比、調(diào)和點(diǎn)歹h完全四邊形、①?！?。成us圓、極點(diǎn)和極線等射影幾

何的重要概念及性質(zhì)，溯本求源，揭示此類與極點(diǎn)極線有關(guān)的問(wèn)題的來(lái)龍去脈.

(一)調(diào)和分割的概念

“調(diào)和分割”又稱“調(diào)和共軌”，來(lái)源于交比，分“調(diào)和線束”和“調(diào)和點(diǎn)列”兩種，它是交比研究中的

一個(gè)重要特例，也是貫穿《高等幾何》課程的一個(gè)重要概念.

定義1線束和點(diǎn)列的交比：

如圖，過(guò)點(diǎn)。的四條直線被任意直線/所截的有向線段之比里/昆稱為線束04、O。、OR、

ADBD

或點(diǎn)列AC,8。的交比.

定理1交比與所截直線無(wú)關(guān).

【證明】令線束O(a,b,c,d)分別交I于A,B,C,D,

圃AC,BC_S^AQC/SABOC_COsinZAOC,COsinACOB_sinZAOCsinZCOB又田為客

3~AD/~BD~SAAODSABOD~DOsinAAOD/DOsin^BOD~sinAAOD'sinZBOP'乂口為育

對(duì)應(yīng)向量方向相同，故交比與所截直線無(wú)關(guān).

【注】定理說(shuō)明，點(diǎn)列的交比與其對(duì)應(yīng)線束的交比是相同的.保持線束不變，取另一直線/'交線束于

A,B',C',D',可視為對(duì)/作射影變換，所得交比不變，由此說(shuō)明交比是射影不變量，具有射影不變性.

0

定義2調(diào)和線束與調(diào)和點(diǎn)列：

定理1若交比為-1,則稱為調(diào)和比.交比為-1的線束稱為調(diào)和線束，點(diǎn)列稱為調(diào)和點(diǎn)列.一般地,

^fAC=ACB

右］初=—加

（1>0且抄1,則四點(diǎn)構(gòu)成“調(diào)和點(diǎn)列”;

①叫做“基點(diǎn)。叫做“（內(nèi)、外）分點(diǎn)”.

根據(jù)定義可得:如果點(diǎn)。內(nèi)分線段點(diǎn)。外分線段且/=蔡，那么稱點(diǎn)C,。調(diào)和分割

075UID

線段亦稱為調(diào)和點(diǎn)列.線段端點(diǎn)和內(nèi)外分點(diǎn)，依次構(gòu)成調(diào)和點(diǎn)列.

即：調(diào)和點(diǎn)列o內(nèi)分比=外分比.

ABCD

②也可以以。，。為基點(diǎn)，則四點(diǎn)0,8,。,人仍構(gòu)成調(diào)和點(diǎn)列，故稱48與C,。調(diào)和共輾.

③如圖，若AC,構(gòu)成調(diào)和點(diǎn)列，。為直線AB外任意一點(diǎn)，則四直線。4,00,080。為調(diào)和

線束；若另一直線截此調(diào)和線束，則截得的四點(diǎn)4,。',仍構(gòu)成調(diào)和點(diǎn)列（由定理1可知）.

定理2調(diào)和點(diǎn)列的性質(zhì):若AC,盡。為調(diào)和點(diǎn)列，即熹1=d則

GJDJ-JID

⑴調(diào)和性：智+看=旖

。川=Q川=|￡）B|一|。川=|。川一|AB|

力,\CB\一\DB\\CA\一\DA\\CA\一\DA\

」也.I,也+四=2=，+，=^

\CA\\DA\\CA\\DA\\AC\\AD\\AB\

（2）共趣性:

若AC,構(gòu)成調(diào)和點(diǎn)列，則人也構(gòu)成調(diào)和點(diǎn)列.

即:若點(diǎn)+高r合成立，則高+血=島也成立;

(3)等比性：

|CA|=\DA\=

°\CB\~\DB\~

②記線段AB的中點(diǎn)為M則有|AM|2=|MB|2=\MC\-\MD\.

③記線段CD的中點(diǎn)為N,則有\(zhòng)NC\2=\ND\2=\NA\-\NB\.(同2可證)

,\CA\_\DA\\MA\+\MC\_\MD\+\MA\\MA\+\MC\_\MA\-\MC\

1月：\CB\一\DB\n\MA\-\MC\~\MD\-\MA\=\MD\+\MA\-\MD\-\MA\

由竺比性居用知.(|M4|+|MC|)+(|M4|一=(|M4|+|W(M4Hg)

寸7(|MD|+|M4|)+(|A^D|-|M4|)(|MD|+|AM|)-(|MD|-\MA\)

=半斗=軍斗二|M4|2=|MB|2=\MC\-\MD\

2\MD\21AMi11111111

同理可得\NC\2=\ND\2=\NA\?\NB\.

定理3斜率分別為甌自,總的三條直線。4,服交于t軸外的點(diǎn)2過(guò)P作/軸的垂線蝎則瓦%2,%3成

等差數(shù)列的充要條件為人小成調(diào)和線束.

分析:不妨設(shè)自、自、底均為正數(shù)，其它情況同理可證.

【證明】如圖，設(shè)。，小建。與c軸分別交于4瓦。,。四點(diǎn)，則

2e=自+治。磊="不+為0器=第0A,B,C,D成調(diào)和點(diǎn)列oIM?，4成調(diào)和線束.

定理4已知F為橢圓的焦點(diǎn)」為R相應(yīng)的準(zhǔn)線，過(guò)斤任作一直線交橢圓于兩點(diǎn)，交I于點(diǎn)、M,

則48,尸,M成調(diào)和點(diǎn)列.

（說(shuō)明：此處圖像應(yīng)修正：B點(diǎn)在橢圓上，BB.虛線應(yīng)往上移一點(diǎn)）

【證明】如圖，分別過(guò)作，的垂線，垂足為4,5，則由橢圓的第二定義及平行線的性質(zhì)可得:

AF_AAi_AM

故ABF,Al成調(diào)和點(diǎn)列.

~BF~BBX~BM

定義3阿波羅尼斯Apollonius圓：到兩定點(diǎn)4口距離之比為定值/c（k>0且kW1）的點(diǎn)的軌跡為

圓，稱為4>?！ā３蒛S圓（簡(jiǎn)稱阿氏圓），為古希臘數(shù)學(xué)家ApoZZonlas最先提出并解決.

【證明】如圖，由=則在AB直線上有兩點(diǎn)C、。滿足⑶=倒=需，故PC、PD

\oc\\OP\

分別為/4PB的內(nèi)外角平分線，則CPLDP,即P的軌跡為以CD為直徑的圓（圓心。為線段

CD的中點(diǎn)）.

由￡7=*，可知，圖中4CBD為調(diào)和點(diǎn)列?

盧。I1^1

定義4完全四邊形:我們把兩兩相交，且沒(méi)有三線共點(diǎn)的四條直線及它們的六個(gè)交點(diǎn)所構(gòu)成的圖形,

叫做完全四邊形.如圖，凸四邊形ABCD各邊延長(zhǎng)交成的圖形稱為完全四邊形ABCDEF,AC.BD、

EF稱為其對(duì)角線.

定理5完全四邊形對(duì)角線所在直線互相調(diào)和分割.即AGCH'BG。/、初47分別構(gòu)成調(diào)和點(diǎn)列.

【證明】HEIF_S^AECS^BDF_S叢AECS^ACDS^BDFS^BEF_ECADDCAF_1

9

'HF'!E~S^AFC*S^DE~S^ACDS^AFC,S^BEF,sAB^~~CD'~KF'~EC'~KD~

即第=2，所以為調(diào)和點(diǎn)列.其余的可由線束的交比不變性得到.

rLrlr

（二）極點(diǎn)和極線的概念

1.極點(diǎn)和極線的幾何定義

如圖，尸為不在圓錐曲線r上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P引兩條割線依次交圓錐曲線于四點(diǎn)E,F,G,a連接EH

，尸G交于N,連接交于河，我們稱點(diǎn)P為直線AW關(guān)于圓錐曲線「的極點(diǎn)，稱直線MN為

點(diǎn)P關(guān)于圓錐曲線F的極線.直線MN交圓錐曲線「于兩點(diǎn)，則R4,PB為圓錐曲線「的兩條

切線.若P在圓錐曲線r上，則過(guò)點(diǎn)P的切線即為極線.

(1)自極三角形:極點(diǎn)P——極線MN；極點(diǎn)河一一極線PN；極點(diǎn)N——極線用尸；即△PMN中,

三個(gè)頂點(diǎn)和對(duì)邊分別為一對(duì)極點(diǎn)和極線，稱△PMN為“自極三角形”.

(2)極點(diǎn)和極線的兩種特殊情況

⑴當(dāng)四邊形變成三角形時(shí)：曲線上的點(diǎn)E(F,M,N)對(duì)應(yīng)的極線，就是切線PE;

(2)當(dāng)四邊有一組對(duì)邊平行時(shí)，如：當(dāng)尸H〃EG時(shí)，EG和的交點(diǎn)M落在無(wú)窮遠(yuǎn)處；點(diǎn)P的極線

NM2和點(diǎn)N的極線PM,滿足：FH〃NM2//EG//PM,.

2.極點(diǎn)和極線的代數(shù)定義

對(duì)于定點(diǎn)P(3,彷)與非退化二次曲線r：Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0,過(guò)點(diǎn)P作動(dòng)直線與曲線「

交于點(diǎn)4與點(diǎn)B,那么點(diǎn)尸關(guān)于線段的調(diào)和點(diǎn)Q的軌跡是什么？

可以證明：點(diǎn)Q在一條定直線/：Ae心+。防沙+。土尸+E/%+尸=。上，如下圖.我們稱點(diǎn)

P為直線Z關(guān)于曲線「的極點(diǎn)；相應(yīng)地，稱直線，為點(diǎn)P關(guān)于曲線F的極線.

一般地，對(duì)于圓錐曲線「：4/2+口磔/+32+。r+坳+尸=0,設(shè)極點(diǎn)尸(如比),則對(duì)應(yīng)的極線為

LAgc+B幽產(chǎn)+3僅+。寧+E中+尸=0

【注】替換規(guī)則為：/一工如y2-yy0,XgT型中巴T空魯,n.中工

（1）橢圓與+/=l（a>b>0）的三類極點(diǎn)極線

ab

⑴若極點(diǎn)P（g,僅）在橢圓外，過(guò)點(diǎn)P作桶圓的兩條功線，切點(diǎn)為48,則極線為切點(diǎn)弦所在直線

xxyy

AB:—o廠+Q1；

azbz

（2）若極點(diǎn)P（g,彷）在橢圓上，過(guò)點(diǎn)P作橢圓的切線Z,則極線為切線等+猾=1;

ab

（3）若極點(diǎn)尸（g,渙）在桶圓內(nèi)，過(guò)點(diǎn)P作橢圓的弦AB,分別過(guò)作橢圓切線，則切線交點(diǎn)軌跡為

極

a2b2

由此可得橢圓極線的幾何作法：

22

（2）對(duì)于雙曲線與一（=1,極點(diǎn)P（g,加）對(duì)應(yīng)的極線為考一萼=1;

abab

⑶對(duì)于拋物線g2=2pi,極點(diǎn)P（g,g（））對(duì)應(yīng)的極線為g=0（g+%）.

3.極點(diǎn)和極線的性質(zhì)

22

（1）引理：已知橢圓方程為馬+冬=i（a〉b>o）,直線/的方程為呼+喈=i,點(diǎn)不

aoab

與原點(diǎn)重合.過(guò)點(diǎn)P作直線交橢圓于43兩點(diǎn)，河點(diǎn)在直線上，則''點(diǎn)在直線I上"的充要條

件是"P,"調(diào)和分割A(yù),B'\即點(diǎn)=勰.

rJD1V1JD

【證明】先證必要性.設(shè)“點(diǎn)的坐標(biāo)為（g,%）,則有挈+爺=1.設(shè)直線的參數(shù)方程為

'XQ+tXi

力=十

1匕+**為參數(shù)）

y0+ty!

與橢圓方程聯(lián)立，得《+4-巾+2（等+曙-頊+（A患T）=。，

即(1+,—1^+(1+/—1)=°，該方程有兩個(gè)不等實(shí)根，設(shè)為也風(fēng)則￡1+益=0.

即P,河調(diào)和分割A(yù)且也即得=*.

rr>JVIJD

將以上證明過(guò)程反向推導(dǎo)，即得充分性成立.

設(shè)p是圓錐曲線r的一個(gè)極點(diǎn)，它對(duì)應(yīng)的極線為2,過(guò)P任意引一條直線，交r于點(diǎn)4B,交/于點(diǎn)

Q,若點(diǎn)4是位于P,Q間的點(diǎn)，結(jié)合引理可得如下極點(diǎn)和極線的三個(gè)調(diào)和性質(zhì)：

(1)調(diào)和性

⑵共軌性

B,Q,AP四點(diǎn)也構(gòu)成“調(diào)和點(diǎn)列”，即/+=備.

⑶等比性

(1)點(diǎn)Q、P是線段的內(nèi)、外分點(diǎn),甯=管=用

K-D|\Q^\

(2)若「為橢圓或雙曲線，當(dāng)直線AB經(jīng)過(guò)曲線中心。時(shí)，QP|?\OQ\=|OA|2=|OB|2.

4.配極原則

若P點(diǎn)關(guān)于圓錐曲線「的極線通過(guò)另一點(diǎn)Q,則Q點(diǎn)的極線也通過(guò)P,稱P、Q關(guān)于「調(diào)和共輾.

【證明】設(shè)點(diǎn)F(xp.yp),則相應(yīng)的極線為?。合?爺=1,點(diǎn)Q(XQ,Q,相應(yīng)的極線為Q：等+

"嚕=1.因?yàn)樾∵^(guò)點(diǎn)Q,Q坐標(biāo)滿足方程+=1,即F：+=1；則P點(diǎn)坐標(biāo)滿足方

baba"詈b。

程管+繁=1,這也說(shuō)明，也就是Q過(guò)點(diǎn)P.

配極原則說(shuō)明：2尸過(guò)點(diǎn)QoQ過(guò)點(diǎn)P,由此可得下面推論：

推論1：共線點(diǎn)的極線必然共點(diǎn)(4、G、O、E四點(diǎn)共線，它們的極線a、g,d、e共交點(diǎn)F);共點(diǎn)線的

極點(diǎn)必然共線(直線a、g,d、e共交點(diǎn)F,它們的極點(diǎn)A、G,D、E四點(diǎn)共線).

推論2：如下圖，過(guò)極點(diǎn)P作兩條直線，與梆圓分別交于點(diǎn)48和C,。，則直線的交點(diǎn)T必

在極線上.

5.橢19的極點(diǎn)與極線的常用性質(zhì)

對(duì)于橢圓，+1=1,極點(diǎn)P(g,%)(不是原點(diǎn))對(duì)應(yīng)的極線為等+竿=1,有如下性質(zhì):

性質(zhì)1："類焦點(diǎn)”與“類準(zhǔn)線”

當(dāng)極點(diǎn)P(nz,0)(m￥0)在/軸上時(shí)，對(duì)應(yīng)的極線c=宗平行于沙軸，當(dāng)極點(diǎn)P(0,TI)(n￥0)在“軸

上時(shí)對(duì)應(yīng)的極線y=W平行于/軸；特別地，當(dāng)極點(diǎn)尸為橢圓的焦點(diǎn)時(shí)，極線為相應(yīng)的準(zhǔn)線.

性質(zhì)2：平方模型

如下圖，射線OP與橢圓交于點(diǎn)D,與點(diǎn)P的極線交于點(diǎn)C,則?\OC\=\OD\2-,當(dāng)點(diǎn)P在

x軸上時(shí)，|OPb|OC|=a2;當(dāng)點(diǎn)P在沙軸上時(shí)，?\OC\=b2.

性廉3：共朝方向

設(shè)極點(diǎn)P（g,彷）不在坐標(biāo)軸上，則直線OP的斜率為kOP=—,極線八等+萼=1的斜率k

gab

b2x,,y（b2x\b2

="則0mil…0西0尸丁

【注】性質(zhì)3表明：橢圓內(nèi)一點(diǎn)P的極線方向與以極點(diǎn)P為中點(diǎn)的弦的方向相同，稱OP與極線

方向共軌.當(dāng)極點(diǎn)P（x0,y0）在橢圓內(nèi)時(shí)，極線I平行于以P為中點(diǎn)的弦所在直線EF（用點(diǎn)差法

易證）.設(shè)直線OP與橢圓相交于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D作橢圓的切線心則以P為中點(diǎn)的弦所在直線

EF、過(guò)點(diǎn)D的切線h、極點(diǎn)P的極線I,三線互相平行，如下圖.

性質(zhì)4:平行

如下圖，設(shè)四邊形ABCD為橢圓的內(nèi)接梯形，AC//BD,AD^BC=Q,則點(diǎn)P的極線過(guò)Q,且與

直線AC.BD平行.特別地，若3C〃AO〃v軸時(shí)，點(diǎn)P的極線平行y軸，且與工軸的交點(diǎn)R

也是AC.BD交點(diǎn)，有。冏?|OP|=|OF|2=a2.

性質(zhì)5:垂直

設(shè)圓錐曲線r的一個(gè)焦點(diǎn)為F,與F相應(yīng)的準(zhǔn)線為I,若過(guò)點(diǎn)F的直線與圓雉曲線r相交于M

,N兩點(diǎn)，則r在M,N兩點(diǎn)處的切線的交點(diǎn)Q在準(zhǔn)線I上，且FQ.LMN.

【證明】以橢圓為例證明，雙曲線與拋物線類似處理.

設(shè)P（g,彷），則P（如彷）對(duì)應(yīng)的極線為7W：考+萼=1,由F（c,O）在直線MN上得空=

aba

1,所以此=￡■,故Q在準(zhǔn)線l：x=-^-_h.由易證kMN-kQF=—1,所以FQ±MN.

性質(zhì)6：等角定理

如下圖，A,B是橢圓「的一條對(duì)稱軸I上的兩點(diǎn)（不在「上），若A,B關(guān)于「調(diào)和共輾，過(guò)A

任作「的一條割線，交:T于P,Q兩點(diǎn)，則ZPBA=AQBA.

證明：因「關(guān)于直線I對(duì)稱，故在「上存在P,Q的對(duì)稱點(diǎn)P',Q'.若P與Q重合，則Q'與P

也重合，此時(shí)P,Q關(guān)于I對(duì)稱，有APAB=AQAB-,若P與Q不重合，則Q'與P也不重合,

由于A,B關(guān)于r調(diào)和共輾，故為「上完全四點(diǎn)形PQ'QP'的對(duì)邊交點(diǎn)，即Q'在P'A上

也在PB上，故BP,BQ關(guān)于直線I對(duì)稱，也有APBA=AQBA.

【注】事實(shí)上，性質(zhì)6對(duì)于圓錐曲線都成立.我們還可以得到下列結(jié)論：

⑴直線PB與橢圓的另一交點(diǎn)為則Q'與Q關(guān)于，對(duì)稱；

（2）ZPAO=ZQAB=AQ'AB-,

=

⑶k^p+kAQ>0.

類型1:判斷位置關(guān)系

【例1】已知點(diǎn)M（a,b）在圓。:/+"=1外，則直線姐+她=1與圓O的位置關(guān)系是（）

A.相切B.相交