江蘇省無錫市江陰市澄要片2023-2024學(xué)年八年級上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷

2023-2024學(xué)年江蘇省無錫市江陰市澄要片八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題所給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是正確的，請用2B鉛筆把答題卡上相應(yīng)的選項(xiàng)標(biāo)號涂黑）1．（3分）第19屆亞運(yùn)會于9月23日至10月8日在杭州成功舉辦，下列圖形中是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（3分）如圖，已知∠DAB＝∠CAB，添加下列條件不能判定△DAB≌△CAB的是（）A．∠DBE＝∠CBE B．∠D＝∠C C．DA＝CA D．DB＝CB3．（3分）等腰三角形的周長為13cm，其中一邊長為3cm，則該等腰三角形的底邊為（）A．7cm B．3cm C．7cm或3cm D．8cm4．（3分）到三角形的三邊距離相等的點(diǎn)是（）A．三角形三條高的交點(diǎn) B．三角形三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn) C．三角形三條中線的交點(diǎn) D．三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)5．（3分）如圖，P是等邊△ABC的邊AC的中點(diǎn)，E為BC邊延長線上一點(diǎn)，PE＝PB，則∠CPE的度數(shù)為（）A．20° B．25° C．30° D．35°6．（3分）下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（）A．0.3，0.4，0.5 B．10，15，18 C．，， D．6，8，107．（3分）如圖，點(diǎn)P是∠BAC平分線AD上的一點(diǎn)，AC＝9，AB＝5，PB＝3，則PC的長可能是（）A．6 B．7 C．8 D．98．（3分）如圖“三等分角”大約是在公元前五世紀(jì)由古希臘人提出來的，借助如圖所示的“三等分角儀”能三等分任一角．這個三等分角儀由兩根有槽的棒PB，PD組成，兩根棒在P點(diǎn)相連并可繞P轉(zhuǎn)動，C點(diǎn)固定，CP＝OC＝OA，點(diǎn)O，A可在槽中滑動，若∠AOB＝72°，則∠COA的度數(shù)是（）A．63° B．65° C．75° D．84°9．（3分）已知如圖，在6×5的網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B在格點(diǎn)上，點(diǎn)C也在格點(diǎn)上，且△ABC是等腰三角形，則符合條件的C點(diǎn)的個數(shù)為（）A．6 B．7 C．8 D．910．（3分）如圖，將△ABC沿AC翻折得到△ADC，BD交AC于點(diǎn)E，F(xiàn)為CD中點(diǎn)，連接AF并延長交BC的延長線于點(diǎn)G，連接EF，若AB＝15，AE＝9，△ADF的面積為42，則△DEF的面積為（）A．26 B．24 C．21 D．15二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，只需把答案直接填寫在答題卡上相應(yīng)的位置）11．（3分）如圖，已知點(diǎn)B、C、F、E在同一直線上，∠1＝∠2，BC＝EF，要使△ABC≌△DEF，還需添加一個條件，這個條件可以是．（只需寫出一個）12．（3分）若直角三角形斜邊長為6cm，則斜邊上的中線長為cm．13．（3分）頂角為50°的等腰三角形的底角的度數(shù)為°．14．（3分）若一個三角形的三邊長分別為5、12、13，則此三角形的面積為．15．（3分）如圖，OC是∠AOB的平分線，點(diǎn)P為OC上一點(diǎn)，且PD⊥OA，E為OB上一點(diǎn)，若PD＝2，則PE的最小值為．16．（3分）《九章算術(shù)》中提出了如下問題：今有戶不知高、廣，竿不知長短，橫之不出四尺，從之不出二尺，邪之適出，問戶高、廣、邪各幾何？這段話的意思是：今有門不知其高寬；有竿，不知其長短，橫放，竿比門寬長出4尺；豎放，竿比門高長出2尺；斜放，竿與門對角線恰好相等．問門高、寬和對角線的長各是多少？則該問題中的門高是尺．17．（3分）如圖，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，△ABC各頂點(diǎn)均在網(wǎng)格的格點(diǎn)上，BD⊥AC于點(diǎn)D，則BD的長為．18．（3分）如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，則AB＝；若D為AB上一點(diǎn)，作DE⊥BC，恰有AD＝DE，此時BD的值為．三、解答題（本大題共8小題，共66分．請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19．（6分）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)在BC上，AB＝DC，AF＝DE，∠A＝∠D．（1）證明：△ABF≌△DCE；（2）若BC＝15，EF＝7，求BE的長．20．（8分）等腰三角形的周長為21cm．（1）若已知腰長是底邊長的3倍，求各邊長；（2）若已知一邊長為6cm，求其他兩邊長．21．（8分）作圖：如圖，△ABC中，∠A＝110°（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）．（1）試求作一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到B、C兩點(diǎn)的距離相等，并且到∠ABC兩邊的距離相等；（2）在（1）的條件下，連接CP，若∠ACP＝40°，則∠PBC的度數(shù)為°．（如需畫草圖，請?jiān)趥溆脠D上作答）22．（8分）如果直角三角形的三邊的長都是正整數(shù)，這樣的三個正整數(shù)叫做勾股數(shù)組．我國清代數(shù)學(xué)家羅士琳對勾股數(shù)組進(jìn)行了深入研究，提出了各種有關(guān)公式400多個．他提出：當(dāng)m，n為正整數(shù)，且m＞n時，m2﹣n2，2mn，m2+n2為一組勾股數(shù)組，直到現(xiàn)在，人們都普遍采用他的這一公式．（1）除勾股數(shù)3，4，5外，請?jiān)賹懗鰞山M勾股數(shù)組，；（2）若令x＝m2﹣n2，y＝2mn，z＝m2+n2，請你證明x，y，z為一組勾股數(shù)．23．（8分）如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝100°，D是AB邊上一點(diǎn)（不與A，B重合），以CD為邊作等腰△CDE，CD＝CE，且∠DCE＝100°，CB與DE交于點(diǎn)F，連接BE．（1）求證：△ACD≌△BCE；（2）當(dāng)AD＝BF時，求∠BFE．24．（8分）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE∥AB交AC于點(diǎn)E，連接DE．（1）求AD的長；（2）求DE的長．25．（10分）如圖，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿A﹣B﹣C的方向以1個單位長度/秒的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動，設(shè)P的運(yùn)動時間為t秒．（1）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動7秒時，求△APC的面積；（2）當(dāng)△APC為等腰三角形時，求t的值；（3）若沿著過點(diǎn)P的直線，能將CA折疊到CB上，直接寫出此時BP的長為．26．（10分）已知如圖，長方形ABCD中，AB＝5，P為BC上一個動點(diǎn)，BP＝m，點(diǎn)B關(guān)于直線AP的對稱點(diǎn)是點(diǎn)E．（1）當(dāng)m＝2時，若直線PE恰好經(jīng)過點(diǎn)D，求此時AD的長；（2）若AD足夠長，當(dāng)點(diǎn)E到直線AD的距離不超過3時，求m的取值范圍．

2023-2024學(xué)年江蘇省無錫市江陰市澄要片八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題所給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是正確的，請用2B鉛筆把答題卡上相應(yīng)的選項(xiàng)標(biāo)號涂黑）1．（3分）第19屆亞運(yùn)會于9月23日至10月8日在杭州成功舉辦，下列圖形中是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)軸對稱圖形的定義逐項(xiàng)判斷即可．【解答】解：A、圖形不是軸對稱圖形，不符合題意；B、圖形是軸對稱圖形，符合題意；C、圖形不是軸對稱圖形，不符合題意；D、圖形不是軸對稱圖形，不符合題意．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查軸對稱圖形的識別，解題的關(guān)鍵是掌握軸對稱圖形的定義．如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸．2．（3分）如圖，已知∠DAB＝∠CAB，添加下列條件不能判定△DAB≌△CAB的是（）A．∠DBE＝∠CBE B．∠D＝∠C C．DA＝CA D．DB＝CB【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法（SSS、SAS、AAS、ASA）解決此題．【解答】解：A．添加∠DBE＝∠CBE，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，得∠D＝∠DBE﹣∠DAB，∠C＝∠EBC﹣∠CAB，那么∠D＝∠C，從而根據(jù)AAS判定△DAB≌△CAB，故A不符合題意．B．添加∠D＝∠C，根據(jù)AAS判定△DAB≌△CAB，故B不符合題意．C．添加DA＝CA，根據(jù)SAS判定△DAB≌△CAB，故C不符合題意．D．添加DB＝CB，無法判定△DAB≌△CAB，故D符合題意．故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定方法是解決本題的關(guān)鍵．3．（3分）等腰三角形的周長為13cm，其中一邊長為3cm，則該等腰三角形的底邊為（）A．7cm B．3cm C．7cm或3cm D．8cm【分析】已知的邊可能是腰，也可能是底邊，應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論．【解答】解：當(dāng)腰是3cm時，則另兩邊是3cm，7cm．而3+3＜7，不滿足三邊關(guān)系定理，因而應(yīng)舍去．當(dāng)?shù)走吺?cm時，另兩邊長是5cm，5cm．則該等腰三角形的底邊為3cm．故選：B．【點(diǎn)評】本題從邊的方面考查三角形，涉及分類討論的思想方法．4．（3分）到三角形的三邊距離相等的點(diǎn)是（）A．三角形三條高的交點(diǎn) B．三角形三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn) C．三角形三條中線的交點(diǎn) D．三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)【分析】根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等解答．【解答】解：到三角形的三邊距離相等的點(diǎn)是：三角形三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（3分）如圖，P是等邊△ABC的邊AC的中點(diǎn)，E為BC邊延長線上一點(diǎn)，PE＝PB，則∠CPE的度數(shù)為（）A．20° B．25° C．30° D．35°【分析】根據(jù)“三線合一”可得BP平分∠ABC，可得∠PBC＝30°，根據(jù)∠CPE＝∠ACB﹣∠E即可作答．【解答】解：∵P是等邊△ABC的邊AC的中點(diǎn)，∴BP平分∠ABC，∠ABC＝60°＝∠ACB，∴∠PBC＝30°，∵PE＝PB，∴∠PBC＝∠E＝30°，∴∠CPE＝∠ACB﹣∠E＝30°，故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，“三線合一”以及三角形外角的定義和性質(zhì)等知識，掌握“三線合一”是解答本題的關(guān)鍵．6．（3分）下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（）A．0.3，0.4，0.5 B．10，15，18 C．，， D．6，8，10【分析】利用勾股數(shù)定義進(jìn)行分析即可．【解答】解：A、0.3，0.4，0.5不是正整數(shù)，不是勾股數(shù)，故此選項(xiàng)不合題意；B、102+152≠182，不是勾股數(shù)，故此選項(xiàng)不合題意；C、，，不是正整數(shù)，不是勾股數(shù)，故此選項(xiàng)不合題意；D、62+82＝102，且都是正整數(shù)，是勾股數(shù)，故此選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)評】此題主要考查了勾股數(shù)，關(guān)鍵是掌握滿足a2+b2＝c2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．注意：①三個數(shù)必須是正整數(shù)，例如：2.5、6、6.5滿足a2+b2＝c2，但是它們不是正整數(shù)，所以它們不是勾股數(shù)．②一組勾股數(shù)擴(kuò)大相同的整數(shù)倍得到的三個數(shù)仍是一組勾股數(shù)．③記住常用的勾股數(shù)再做題可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…7．（3分）如圖，點(diǎn)P是∠BAC平分線AD上的一點(diǎn)，AC＝9，AB＝5，PB＝3，則PC的長可能是（）A．6 B．7 C．8 D．9【分析】在AC上取AE＝AB＝5，然后證明△AEP﹣ABP，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等得到PE＝PB＝3，再根據(jù)三角形的任意兩邊之差小于第三邊即可求解．【解答】解：在AC上截取AE＝AB＝5，連接PE，∵AC＝9，∴CE＝AC﹣AE＝9﹣5＝4，∵點(diǎn)P是∠BAC平分線AD上的一點(diǎn)，∴∠CAD＝∠BAD，在△APE和△APB中，，∴△APE≌△APB（SAS），∴PE＝PB＝3，∵4﹣3＜PC＜4+3，解得1＜PC＜7，∴PC取6，故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系；通過作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵﹒8．（3分）如圖“三等分角”大約是在公元前五世紀(jì)由古希臘人提出來的，借助如圖所示的“三等分角儀”能三等分任一角．這個三等分角儀由兩根有槽的棒PB，PD組成，兩根棒在P點(diǎn)相連并可繞P轉(zhuǎn)動，C點(diǎn)固定，CP＝OC＝OA，點(diǎn)O，A可在槽中滑動，若∠AOB＝72°，則∠COA的度數(shù)是（）A．63° B．65° C．75° D．84°【分析】根據(jù)CP＝OC＝OA，可得∠P＝∠POC，∠OCA＝∠OAC，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可知∠ACO＝∠P+∠POC＝2∠POC，進(jìn)一步根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可知3∠POC＝∠AOB＝72°，即可求出∠POC的度數(shù)，進(jìn)而求出∠COA的度數(shù)．【解答】解：∵CP＝OC＝OA，∴∠P＝∠POC，∠OCA＝∠OAC，∴∠ACO＝∠P+∠POC＝2∠POC，∵∠P+∠PAO＝3∠POC＝∠AOB＝72°，∴∠POC＝24°，∴∠COA＝180°﹣∠POC﹣∠AOB＝84°．故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)以及三角形的外角性質(zhì)，理清各個角之間的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．9．（3分）已知如圖，在6×5的網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B在格點(diǎn)上，點(diǎn)C也在格點(diǎn)上，且△ABC是等腰三角形，則符合條件的C點(diǎn)的個數(shù)為（）A．6 B．7 C．8 D．9【分析】分三種情況：當(dāng)BA＝BC時；當(dāng)AB＝AC時；當(dāng)CA＝CB時，即可解答．【解答】解：如圖：分三種情況：當(dāng)BA＝BC時，以點(diǎn)B為圓心，以BA長為半徑作圓，交正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)于點(diǎn)C1，C2；當(dāng)AB＝AC時，以點(diǎn)A為圓心，以AB長為半徑作圓，交正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)于點(diǎn)C3；當(dāng)CA＝CB時，作AB的垂直平分線，交正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)于點(diǎn)C4，C5，C6，C7，C8；綜上所述：△ABC是等腰三角形，則符合條件的C點(diǎn)的個數(shù)為8，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的判定，分三種情況討論是解題的關(guān)鍵．10．（3分）如圖，將△ABC沿AC翻折得到△ADC，BD交AC于點(diǎn)E，F(xiàn)為CD中點(diǎn)，連接AF并延長交BC的延長線于點(diǎn)G，連接EF，若AB＝15，AE＝9，△ADF的面積為42，則△DEF的面積為（）A．26 B．24 C．21 D．15【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得到AC⊥BD，BE＝DE，根據(jù)勾股定理得到BE＝DE＝＝12，根據(jù)三角形的面積公式得到AC＝14，求得CE＝AC﹣AE＝5，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【解答】解：∵將△ABC沿AC翻折得到△ADC，∴AC⊥BD，BE＝DE，∵AB＝15，AE＝9，∴BE＝DE＝＝12，∵△ADF的面積為42，F(xiàn)為CD中點(diǎn)，∴△ACD的面積＝2×42＝84，∴，∴AC＝14，∴CE＝AC﹣AE＝5，∴S△CDE＝＝＝30，∴△DEF的面積＝S△CDE＝15，故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了翻折變換（折疊問題）勾股定理，三角形的面積的計(jì)算，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，只需把答案直接填寫在答題卡上相應(yīng)的位置）11．（3分）如圖，已知點(diǎn)B、C、F、E在同一直線上，∠1＝∠2，BC＝EF，要使△ABC≌△DEF，還需添加一個條件，這個條件可以是CA＝FD．（只需寫出一個）【分析】可選擇添加條件后，能用SAS進(jìn)行全等的判定，也可以選擇AAS進(jìn)行添加．【解答】解：添加CA＝FD，可利用SAS判斷△ABC≌△DEF．故答案可為CA＝FD．【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定，解答本題關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定定理，本題答案不唯一．12．（3分）若直角三角形斜邊長為6cm，則斜邊上的中線長為3cm．【分析】根據(jù)直角三三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可求得答案．【解答】解：∵直角三角形斜邊長為6cm，∴斜邊上的中線長＝×6＝3（cm），故答案為：3．【點(diǎn)評】本題主要考查直角三角形的性質(zhì)，掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．13．（3分）頂角為50°的等腰三角形的底角的度數(shù)為65°．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，以及三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：頂角為50°的等腰三角形的底角的度數(shù)＝＝65°，故答案為：65．【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．（3分）若一個三角形的三邊長分別為5、12、13，則此三角形的面積為30．【分析】先根據(jù)勾股定理的逆定理判定三角形是直角三角形，再利用面積公式求得面積．【解答】解：∵52+122＝132，∴三邊長分別為5、12、13的三角形構(gòu)成直角三角形，其中的直角邊是5、12，∴此三角形的面積為×5×12＝30．【點(diǎn)評】本題考查勾股定理的逆定理的應(yīng)用．判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可．15．（3分）如圖，OC是∠AOB的平分線，點(diǎn)P為OC上一點(diǎn)，且PD⊥OA，E為OB上一點(diǎn)，若PD＝2，則PE的最小值為2．【分析】根據(jù)垂線的性質(zhì)：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段最短，過點(diǎn)P作PE⊥OB，利用角平分線的性質(zhì)，求出PE，就是PE的最小值．【解答】解：根據(jù)垂線的性質(zhì)可知，當(dāng)PE⊥OB時，PE的值最小，如圖所示：過點(diǎn)P作PE⊥OB，∵OC是∠AOB的平分線，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE，∵PD＝2，∴PE＝PD＝2，故答案為：2．【點(diǎn)評】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是理解PE的最小值就是點(diǎn)P到OB的垂線段的長度．16．（3分）《九章算術(shù)》中提出了如下問題：今有戶不知高、廣，竿不知長短，橫之不出四尺，從之不出二尺，邪之適出，問戶高、廣、邪各幾何？這段話的意思是：今有門不知其高寬；有竿，不知其長短，橫放，竿比門寬長出4尺；豎放，竿比門高長出2尺；斜放，竿與門對角線恰好相等．問門高、寬和對角線的長各是多少？則該問題中的門高是8尺．【分析】利用勾股定理建立方程，解方程得出門高即可．【解答】解：設(shè)竿長為x尺，則門寬為（x﹣4）尺，門高（x﹣2）尺，門對角線是x尺，根據(jù)勾股定理可得：x2＝（x﹣4）2+（x﹣2）2，整理得：x2﹣12x+20＝0，解得x＝2（舍去）或x＝10．則門高：10﹣2＝8．故答案為：8．【點(diǎn)評】本題考查勾股定理的應(yīng)用，設(shè)未知數(shù)建立關(guān)于未知數(shù)的方程是解題的關(guān)鍵．17．（3分）如圖，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，△ABC各頂點(diǎn)均在網(wǎng)格的格點(diǎn)上，BD⊥AC于點(diǎn)D，則BD的長為1．【分析】根據(jù)圖形和三角形的面積公式求出△ABC的面積，根據(jù)勾股定理求出AC，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可．【解答】解：如圖所示：AC＝＝5．∵S△ABC＝AC?BD，S△ABC＝4×3﹣×1×2﹣﹣×1×3﹣1＝，∵×5×BD＝，∴BD＝1．故答案為：1．【點(diǎn)評】本題主要考查了三角形的面積和勾股定理的知識，解題的關(guān)鍵是利用勾股定理求出AC的長，此題難度一般．18．（3分）如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，則AB＝5；若D為AB上一點(diǎn)，作DE⊥BC，恰有AD＝DE，此時BD的值為．【分析】直接由勾股定理求出AB的長，過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，連接CD，利用等面積法求出CE的長，設(shè)BD＝x，則AD＝DE＝5﹣x，再根據(jù)等面積法即可求出BD的長．【解答】解：由勾股定理得，AB＝；過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，連接CD，則CE＝，設(shè)BD＝x，則AD＝DE＝5﹣x，∵，∴，解得x＝，∴BD＝，故答案為：5；．【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理，三角形的面積公式，正確作出輔助線，利用等面積法求解是解題的關(guān)鍵．三、解答題（本大題共8小題，共66分．請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19．（6分）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)在BC上，AB＝DC，AF＝DE，∠A＝∠D．（1）證明：△ABF≌△DCE；（2）若BC＝15，EF＝7，求BE的長．【分析】（1）由“SAS”可證△ABF≌△DCE；（2）由全等三角形的性質(zhì)可得BF＝CE，即可求解．【解答】（1）證明：在△ABF和△DCE中，，∴△ABF≌△DCE（SAS）；（2）解：∵△ABF≌△DCE，∴BF＝CE，∴BE＝CF，∵BC＝15，EF＝7，∴2BE＝8，∴BE＝4．【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．20．（8分）等腰三角形的周長為21cm．（1）若已知腰長是底邊長的3倍，求各邊長；（2）若已知一邊長為6cm，求其他兩邊長．【分析】（1）設(shè)底邊BC＝acm，則AC＝AB＝3acm，代入求出即可；（2）分類討論，然后根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理判斷求出的結(jié)果是否符合題意．【解答】解：（1）如圖，設(shè)底邊BC＝acm，則AC＝AB＝3acm，∵等腰三角形的周長是21cm，∴3a+3a+a＝21，∴a＝3，∴3a＝9，∴等腰三角形的三邊長是3cm，9cm，9cm；（2）①當(dāng)?shù)妊切蔚牡走呴L為6cm時，腰長＝（21﹣6）÷2＝7.5（cm）；則等腰三角形的三邊長為6cm、7.5cm、7.5cm，能構(gòu)成三角形；②當(dāng)?shù)妊切蔚难L為6cm時，底邊長＝21﹣2×6＝9；則等腰三角形的三邊長為6cm，6cm、9cm，能構(gòu)成三角形．故等腰三角形其他兩邊的長為7.5cm，7.5cm或6cm、9cm．【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形的三邊關(guān)系，對于底和腰不等的等腰三角形，若條件中沒有明確哪邊是底哪邊是腰時，應(yīng)在符合三角形三邊關(guān)系的前提下分類討論．21．（8分）作圖：如圖，△ABC中，∠A＝110°（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）．（1）試求作一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到B、C兩點(diǎn)的距離相等，并且到∠ABC兩邊的距離相等；（2）在（1）的條件下，連接CP，若∠ACP＝40°，則∠PBC的度數(shù)為10°．（如需畫草圖，請?jiān)趥溆脠D上作答）【分析】（1）分別作線段BC的垂直平分線以及∠ABC的平分線，交點(diǎn)即為點(diǎn)P．（2）由角平分線的定義可得∠ABP＝∠CBP，由PB＝PC可得∠PBC＝∠PCB，則∠PBC＝∠PCB＝∠ABP，進(jìn)而可得3∠PBC+40°+110°＝180°，即可得出答案．【解答】解：（1）如圖，點(diǎn)P即為所求．（2）∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠CBP，∵PB＝PC，∴∠PBC＝∠PCB，∴∠PBC＝∠PCB＝∠ABP，∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，∴∠ABP+∠PBC+∠PCB+∠ACP+∠A＝180°，即3∠PBC+40°+110°＝180°，∴∠PBC＝10°．故答案為：10．【點(diǎn)評】本題考查作圖﹣復(fù)雜作圖、角平分線的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．22．（8分）如果直角三角形的三邊的長都是正整數(shù)，這樣的三個正整數(shù)叫做勾股數(shù)組．我國清代數(shù)學(xué)家羅士琳對勾股數(shù)組進(jìn)行了深入研究，提出了各種有關(guān)公式400多個．他提出：當(dāng)m，n為正整數(shù)，且m＞n時，m2﹣n2，2mn，m2+n2為一組勾股數(shù)組，直到現(xiàn)在，人們都普遍采用他的這一公式．（1）除勾股數(shù)3，4，5外，請?jiān)賹懗鰞山M勾股數(shù)組6，8，10，5，12，13；（2）若令x＝m2﹣n2，y＝2mn，z＝m2+n2，請你證明x，y，z為一組勾股數(shù)．【分析】（1）根據(jù)常見勾股數(shù)解答即可．（2）先求出x2，y2，z2的值，再根據(jù)勾股定理的逆定理進(jìn)行判斷即可．【解答】解：（1）勾股數(shù)有6，8，10或5，12，13；故答案為：6，8，10；5，12，13；（2）∵x＝m2﹣n2，y＝2mn，z＝m2+n2，∴x2＝（m2﹣n2）2＝m4+n4﹣2m2n2，y2＝4m2n2，z2＝（m2+n2）2＝m4+n4+2m2n2，∴x2+y2＝（m4+n4﹣2m2n2）+4m2n2＝m4+n4+2m2n2＝z2，∴x、y、z是一組勾股數(shù)．【點(diǎn)評】本題考查的是勾股數(shù)，熟知滿足a2+b2＝c2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)是解答此題的關(guān)鍵．23．（8分）如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝100°，D是AB邊上一點(diǎn)（不與A，B重合），以CD為邊作等腰△CDE，CD＝CE，且∠DCE＝100°，CB與DE交于點(diǎn)F，連接BE．（1）求證：△ACD≌△BCE；（2）當(dāng)AD＝BF時，求∠BFE．【分析】（1）由AC＝BC，∠ACD＝∠BCE＝100°﹣∠DCB，CD＝CE，根據(jù)全等三角形的判定定理“SAS”證明△ACD≌△BCE；（2）由△ACD≌△BCE，得AD＝BE，∠A＝∠CBE＝40°，而AD＝BF，則BE＝BF，所以∠BFE＝∠BEF＝70°．【解答】（1）證明：∵AC＝BC，∠ACB＝100°，∴∠A＝∠CBA＝×（180°﹣100°）＝40°，∵∠DCE＝100°，∴∠ACD＝∠BCE＝100°﹣∠DCB，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）．（2）解：∵△ACD≌△BCE，∴AD＝BE，∠A＝∠CBE＝40°，∵AD＝BF，∴BE＝BF，∴∠BFE＝∠BEF，∵∠BFE+∠BEF+∠CBE＝180°，∴2∠BFE+40°＝180°，∴∠BFE＝70°．【點(diǎn)評】此題重點(diǎn)考查等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識，證明∠ACD＝∠BCE進(jìn)而證明△ACD≌△BCE是解題的關(guān)鍵．24．（8分）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE∥AB交AC于點(diǎn)E，連接DE．（1）求AD的長；（2）求DE的長．【分析】（1）由等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出∠ADB＝90°，BD＝，在Rt△ABD中，由勾股定理得出AD的長；（2）由平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義得出DE＝AE，再由∠CAD+∠C＝∠ADE+∠EDC＝90°，推出DE＝CE，即可推出結(jié)果．【解答】解：（1）∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD垂直平分BC，∴∠ADB＝90°，BD＝，在Rt△ABD中，由勾股定理得，AD＝＝＝8；（2）∵DE∥AB，∴∠BAD＝∠ADE，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠CAD＝∠ADE，∴DE＝AE，∵∠CAD+∠C＝∠ADE+∠EDC＝90°，∴∠EDC＝∠C，∴DE＝CE，∴DE＝AE＝CE，∴DE＝．【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理以及等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．25．（10分）如圖，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿A﹣B﹣C的方向以1個單位長度/秒的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動，設(shè)P的運(yùn)動時間為t秒．（1）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動7秒時，求△APC的面積；（2）當(dāng)△APC為等腰三角形時，求t的值；（3）若沿著過點(diǎn)P的直線，能將CA折疊到CB上，直接寫出此時BP的長為．【分析】（1）求出PC長，由三角形面積公式即可求解；（2）分情況討論，即可求解；（3）由相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理推出PB：PA＝BC：AC，即可求解．【解答】解：（1）∵∠C＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，∵AC＝3，AB＝5∴BC＝4，當(dāng)t＝7時，點(diǎn)P在BC上且BP＝2，∴CP＝2，∴△APC的面積為×2×3＝3；（2）當(dāng)P在AB上