高考數學專題講座 第1講 選擇題解法探討

【備戰(zhàn)高考數學專題講座】第1講：選擇題解法探討選擇題的題型構思精巧，形式靈活，知識容量大，覆蓋面廣，一般不拘泥于具體的知識點，而是將數學知識、方法等原理融于一體，突出對數學思想方法的考查，可以比較全面地考察學生的基礎知識和基本技能，還能考查學生的思維敏捷性，是高考數學中的一種重要題型。近年來，高考數學試題推出了一些思路開闊、情景新穎脫俗的選擇題，解決這類問題主要注意三個方面：一是提高總體能力；二是要跳出傳統(tǒng)思維定式，學會數學的合情推理；三是要熟練地進行數學圖形、符號、文字三種語言的轉換。在全國各地高考數學試卷中，選擇題約占總分的30％～40％，因此掌握選擇題的解法，快速、準確地解答好選擇題是奪取高分的關鍵之一。選擇題由題干和選項兩部分組成，題干可以是由一個問句或一個半陳述句構成，選項中有四個答案，至少有一個正確的答案，這個正確的答案可叫優(yōu)支，而不正確的答案可叫干擾支或惑支。目前在高考數學試卷中，如果沒有特別說明，都是“四選一”的選擇題，即單項選擇題。選擇題要求解題者從若干個選項中選出正確答案，并按題目的要求，把正確答案的字母代號填入指定位置。筆者將選擇題的解法歸納為應用概念法、由因導果法、執(zhí)果索因法、代入檢驗法、特殊元素法、篩選排除法、圖象解析法、待定系數法、分類討論法、探索規(guī)律法十種，下面通過年全國各地高考的實例探討這十種方法。一、應用概念法：應用概念法是解選擇題的一種常用方法，也是一種基本方法。根據選擇題的題設條件，通過應用定義、公理、定理等概念直接得出正確的結論。使用應用概念法解題，要求學生熟記相關定義、公理、定理等基本概念，準確應用。典型例題：例1：（年全國課標卷理5分）如圖，網格紙上小正方形的邊長為，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為【】 【答案】?！究键c】由三視圖判斷幾何體?！窘馕觥坑扇晥D可知，該幾何體是三棱錐，底面是俯視圖，高為。因此此幾何體的體積為：。故選。例2：（年全國課標卷文5分）在一組樣本數據（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）（n≥2，x1,x2,…,xn不全相等）的散點圖中，若所有樣本點（xi，yi）(i=1,2,…,n)都在直線y=eq\f(1,2)x+1上，則這組樣本數據的樣本相關系數為【】（A）－1（B）0（C）eq\f(1,2)（D）1【答案】D?！究键c】樣本相關系數?！窘馕觥扛鶕颖鞠嚓P系數的概念，因為所有樣本點（xi，yi）(i=1,2,…,n)都在直線y=eq\f(1,2)x+1上，即兩變量為完全線性相關，且完全正相關，因此這組樣本數據的樣本相關系數為1。故選D。例3：（年廣東省理5分）設集合U={1,2,3,4,5,6}，M={1,2,4}則【】A．UB．{1,3,5}C．{3,5,6}D．{2,4,6}【答案】C。【考點】補集的運算。【解析】∵集合U={1,2,3,4,5,6}，M={1,2,4}，∴{3,5,6}。故選C。例4：（年北京市理5分）如圖.∠ACB=90o。CD⊥AB于點D，以BD為直徑的圓與BC交于點E.則【】A.CE·CB=AD·DBB.CE·CB=AD·ABC.AD·AB=CD2D.CE·EB=CD2【答案】C。【考點】射影定理。【解析】由射影定理可得AD·AB=CD2。故選C。例5：（年安徽省理5分）設平面與平面相交于直線，直線在平面內，直線在平面內，且，則“”是“”的【】 充分不必要條件必要不充分條件充要條件 即不充分不必要條件【答案】。【考點】充分和必要條件，兩直線垂直的判定和性質?！窘馕觥俊?，∴“”是“”的充分條件?！呷绻?，則與條件相同，∴“”是“”的不必要條件。故選。例6：（年安徽省文5分）要得到函數的圖象，只要將函數的圖象【】向左平移1個單位向右平移1個單位向左平移個單位向右平移個單位【答案】?！究键c】函數圖象平移的性質?！窘馕觥俊?，∴只要將函數的圖象向左平移個單位即可得到函數的圖象。故選。例7：（年北京市理5分）設a，b∈R.“a=0”是‘復數a+bi是純虛數”的【】A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【答案】B。【考點】復數的概念，純虛數的定義，充分必要條件的判定?！窘馕觥繌蛿礱+bi是純虛數必須滿足a=0，b≠0同時成立。當a=0時，如果b=0，此時a+bi是實數，不是純虛數，因此不是充分條件：而如果a+bi已經為純虛數，由定義實部為零，虛部不為零可以得到a=0。因此，.“a=0”是‘復數a+bi是純虛數”的必要而不充分條件。故選B。例8：（年湖南省理5分）命題“若，則”的逆否命題是【】A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】C?！究键c】四種命題?！窘馕觥恳驗椤叭簦瑒t”的逆否命題為“若，則”，所以“若，則”的逆否命題是“若，則”。故選C。例9：（年遼寧省理5分）已知命題p：x1，x2R，(f(x2)f(x1))(x2x1)≥0，則p是【】(A)x1，x2R，(f(x2)f(x1))(x2x1)≤0(B)x1，x2R，(f(x2)f(x1))(x2x1)≤0(C)x1，x2R，(f(x2)f(x1))(x2x1)<0(D)x1，x2R，(f(x2)f(x1))(x2x1)<0【答案】C。【考點】含有量詞的命題的否定。【解析】命題p為全稱命題，所以其否定p應是特稱命題，所以(f(x2)f(x1))(x2x1)≥0否定為(f(x2)f(x1))(x2x1)<0。故選C。二、由因導果法：由因導果法，又稱綜合法，直接推演法，是解選擇題的一種常用方法，也是一種基本方法。它的解題方法是根據選擇題的題設條件，通過應用定義、公理、公式、定理等經過計算、推理或判斷，得出正確的結論，再從四個選項中選出與已得結論一致的正確答案。由因導果法解題自然，不受選項的影響，運用數學知識，通過綜合法，直接得出正確答案。典型例題：例1：（年全國課標卷理5分）已知集合；,則中所含元素的個數為【】 【答案】。【考點】集合的運算?！窘馕觥坑桑茫?；；；，所以中所含元素的個數為。故選。例2：（年全國課標卷理5分）設是橢圓的左、右焦點，為直線上一點，是底角為的等腰三角形，則的離心率為【】 【答案】?！究键c】橢圓的性質，等腰三角形的性質，銳角三角函數定義?！窘馕觥俊呤菣E圓的左、右焦點，∴?！呤堑捉菫榈牡妊切危?。∵為直線上一點，∴?！?。又∵，即?！唷９蔬x。例3：（年全國課標卷文5分）平面α截球O的球面所得圓的半徑為1，球心O到平面α的距離為eq\r(2)，則此球的體積為【】（A）eq\r(6)π（B）4eq\r(3)π（C）4eq\r(6)π（D）6eq\r(3)π【答案】B?！究键c】點到平面的距離，勾股定理，球的體積公式?！窘馕觥坑晒垂啥ɡ砜傻们虻陌霃綖閑q\r(3)，從而根據球的體積公式可求得該球的體積為：。故選B。例4：（年全國大綱卷理5分）已知為雙曲線的左右焦點，點在上，，則【】A．B．C．D．【答案】C?！究键c】雙曲線的定義和性質的運用，余弦定理的運用?！窘馕觥渴紫冗\用定義得到兩個焦半徑的值，然后結合三角形中的余弦定理求解即可。由可知，，∴?！唷ＴO，則?！喔鶕p曲線的定義，得?！?。在中，應用用余弦定理得。故選C。例5：（年全國大綱卷文5分））已知正四棱柱中，為的中點，則直線與平面的距離為【】A．2B．C．D．1【答案】D?！究键c】正四棱柱的性質，點到面的距離，線面平行的距離，勾股定理?！窘馕觥窟B接，和交于點，則在中，∵是正方形，∴，又∵為的中點，∴?！鄤t點到平面的距離等于到平面的距離。過點作于點，則即為所求?！呤钦叫?，，∴根據勾股定理，得?！邽榈闹悬c，，∴?！?。在中，利用等面積法得，即。∴。故選D。例6：（年安徽省文5分）【】【答案】?！究键c】對數的計算?！窘馕觥俊９蔬x。例7：（年廣東省理5分）設i為虛數單位，則復數=【】A．B．C．D．【答案】D?！究键c】復數的計算。【解析】。故選D。三、執(zhí)果索因法：執(zhí)果索因法，又稱分析法，它與由因導果法的解題思路相反。它的解題方法是從要求解的結論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，根據定義、公理、定理等，把要求解的結論歸結為判定一個明顯成立的條件——四個選項之一。典型例題：例1：（年北京市理5分）某棵果樹前n年的總產量S與n之間的關系如圖所示.從目前記錄的結果看，前m年的年平均產量最高。m值為【】A.5B.7C【答案】C?！究键c】直線斜率的幾何意義?！窘馕觥繐D像識別看出變化趨勢，利用變化速度可以用導數來解，但圖像不連續(xù)，所以只能是廣義上的。實際上，前n年的年平均產量就是前n年的總產量S與n的商：，在圖象上體現為這一點的縱坐標與橫坐標之比。因此，要使前m年的年平均產量最高就是要這一點的縱坐標與橫坐標之比最大，即這一點與坐標原點連線的傾斜角最大。圖中可見。當n=9時，傾斜角最大。從而m值為9。故選C。例2：（年北京市文5分）函數的零點個數為【】A.0B.1C【答案】B?！究键c】冪函數和指數函數的圖象。【解析】函數的零點個數就是（即）解的個數，即函數和的交點個數。如圖，作出圖象，即可得到二者交點是1個。所以函數的零點個數為1。故選B。例3：（年湖北省文5分）過點的直線，將圓形區(qū)域分兩部分，使得這兩部分的面積之差最大，則該直線的方程為【】A.B.C.D.【答案】A?！究键c】分析法的應用，垂徑定理，兩直線垂直的性質，由點斜式求直線方程。【解析】要使直線將圓形區(qū)域分成兩部分的面積之差最大，必須使過點的圓的弦長達到最小，所以需該直線與直線垂直即可。又已知點，則。故所求直線的斜率為-1。又所求直線過點，故由點斜式得，所求直線的方程為，即。故選A。例4：（年四川省理5分）設、都是非零向量，下列四個條件中，使成立的充分條件是【】A、B、C、D、且【答案】C。【考點】充分條件?！窘馕觥咳羰钩闪ⅲ匆?、共線且方向相同，即要。所以使成立的充分條件是。故選C。四、代入檢驗法：代入檢驗法的解題方法是將四個選項分別代入題設中或將題設代入選項中檢驗，從而確定答案。當遇到定量命題時，常用此法。典型例題：例1：（年全國大綱卷理5分）已知集合，則【】A．0或B．0或3C．1或D．1或3【答案】B?！究键c】集合的概念和并集運算，集合的關系的運用，元素與集合的關系的綜合運用?！窘馕觥慨?時，；當時，；當3時，?！嗷?。故選B。例2：（年安徽省理5分）下列函數中，不滿足：的是【】 【答案】。【考點】求函數值。【解析】分別求出各函數的值，與比較，即可得出結果：對于有，結論成立；對于有，結論成立；對于有，∴，結論不成立；對于有，結論成立。因此，不滿足的是，故選。例3：（年廣東省理5分）下列函數中，在區(qū)間（0，+∞）上為增函數的是【】A．B．C．y=D．【答案】A?！究键c】函數的圖象和性質。【解析】利用對數函數的圖象和性質可判斷A正確；利用冪函數的圖象和性質可判斷B錯誤；利用指數函數的圖象和性質可判斷C正確；利用“對勾”函數的圖象和性質可判斷D的單調性：A.在（-2，+∞）上為增函數，故在（0，+∞）上為增函數，A正確；B.在[-1，+∞）上為減函數，排除B；C.y=在R上為減函數；排除C；D.在（0，1）上為減函數，在（1，+∞）上為增函數，排除D。故選A。例4：（年陜西省理5分）已知圓，過點的直線，則【】A.與相交B.與相切C.與相離D.以上三個選項均有可能【答案】A?！究键c】直線與圓的位置關系?！窘馕觥俊?，∴點在圓C內部。故選A。例5：（年湖北省理5分）定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函數，如果對于任意給定的等比數列，仍是等比數列，則稱為“保等比數列函數”?，F有定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的如下函數：①；②；③；④。則其中是“保等比數列函數”的的序號為【】A.①②B.③④C.①③D.②④【答案】C?！究键c】等比數列的判定，新定義?！窘馕觥恐鹨粰z驗：令等比數列的公比為，①對，∵，∴是等比數列；②對，∵不一定是常數，∴不一定是等比數列；③對，∵，∴是等比數列；④對，舉個特例，令是等差數列不是等比數列。從而是“保等比數列函數”的的序號為①③，故選C。例6：（年湖北省理5分）我國古代數學名著《九章算術》中“開立圓術”曰：置積尺數，以十六乘之，九而一，所得開立方除之，即立圓徑，“開立圓術”相當于給出了已知球的體積V，求其直徑d的一個近似公式。人們還用過一些類似的近似公式。根據=3.14159…..判斷，下列近似公式中最精確的一個是【】A.B.C.D.【答案】D?！究键c】球的體積公式以及估算?！窘馕觥坑汕虻捏w積公式得，由此得。對選項逐一驗證：對于A.有，即；對于B.有，即；對于C.有，即；對于D.有，即；∴中的數值最接近。故選D。例7：（年遼寧省文5分）將圓平分的直線是【】（A）（B）（C）（D）【答案】C。【考點】直線和圓的方程，曲線上點的坐標與方程的關系?！窘馕觥俊撸鄨A的圓心坐標為（1，2）?！邔A平分的直線必經過圓心，∴逐一檢驗，得過（1，2）。故選C。例8：（年福建省文5分）函數f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))的圖象的一條對稱軸是【】A．x＝eq\f(π,4)B．x＝eq\f(π,2)C．x＝－eq\f(π,4)D．x＝－eq\f(π,2)【答案】C?！究键c】三角函數的圖象和性質?！窘馕觥恳驗槿呛瘮祱D象的對稱軸經過最高點或最低點，所以可以把四個選項代入驗證，知只有當x＝－eq\f(π,4)時，函數feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)－\f(π,4)))＝－1取得最值。故選C。五、特殊元素法：特殊元素法的解題方法是在有些選擇題所涉及的數學命題與字母的取值范圍有關，在解決這類解答題，可以考慮從取值范圍內選取某一個特殊的值，代入原命題進行驗證，從而確定答案。典型例題：例1：（年湖北省文5分）已知定義在區(qū)間（0.2）上的函數的圖像如圖所示，則的圖像為【】【答案】B?！究键c】特殊值法的應用，求函數值?！窘馕觥咳√厥庵担寒敃r，；當時，。符合以上結果的只有選項B。故選B。例2：（年陜西省理5分）如圖，在空間直角坐標系中有直三棱柱，，則直線與直線夾角的余弦值為【】A.B.C.D.【答案】A?！究键c】異面直線間的角的求法，特殊元素法的應用?！窘馕觥吭O，則，∴。又∵直線與直線夾角為銳角，∴余弦值為。選A。例3：（年全國課標卷理5分）已知函數；則的圖像大致為【】【答案】?！究键c】函數的圖象?！窘馕觥慨敃r，；當時，。因此排除。故選。例4：（年福建省理5分）下列命題中，真命題是【】A．?x0∈，≤0B．?x∈，2x＞x2C．a＋b＝0的充要條件是eq\f(a,b)＝－1D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分條件【答案】D。【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷，全稱命題，特稱命題，命題的真假判斷與應用?！窘馕觥繉τ贏，根據指數函數的性質不存在x0，使得≤0，因此A是假命題。對于B，當x＝2時，2x＝x2，因此B是假命題。對于C，當a＋b＝0時，eq\f(a,b)不存在，因此C是假命題。對于D，a＞1，b＞1時ab＞1，所以a＞1，b＞1是ab＞1的充分條件，因此C是真命題。故選D。例5：（年山東省理5分）設函數，若的圖像與圖像有且僅有兩個不同的公共點A（x1，y1）,B(x2，y2),則下列判斷正確的是【】A.當a<0時，x1＋x2<0，y1＋y2>0B.當a<0時，x1＋x2>0，y1＋y2<0C.當a>0時，x1＋x2<0，y1＋y2<0D.當a>0時，x1＋x2>0，y1＋y2>0【答案】B。【考點】導數的應用?！窘馕觥苛?，則。設，。令，則要使的圖像與圖像有且僅有兩個不同的公共點必須：，整理得。取值討論：可取來研究。當時，，解得，此時，此時；當時，，解得，此時，此時。故選B。例6：（年浙江省理5分）把函數的圖像上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），然后向左平移1個單位長度，再向下平移1個單位長度，得到的圖像是【】【答案】A。【考點】函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換。【解析】把函數y＝cos2x＋1的圖像上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)得：y1＝cosx＋1，向左平移1個單位長度得：y2＝cos(x＋1)＋1，再向下平移1個單位長度得：y3＝cos(x＋1)。取特殊值進行判斷：令x＝0，得：y3＞0；x＝，得：y3＝0。比對所給選項即得答案。故選A。例7：（年浙江省理5分）設是公差為（）的無窮等差數列的前項和，則下列命題錯誤的是【】A．若，則數列有最大項B．若數列有最大項，則C．若數列是遞增數列，則對任意，均有D．若對任意，均有，則數列是遞增數列【答案】C?！究键c】命題的真假判斷與應用，數列的函數特性。【解析】選項C顯然是錯的，舉出反例：—1，0，1，2，3，…，滿足數列{Sn}是遞增數列，但是Sn＞0不成立。故選C。例8：（年江西省理5分）下列命題中，假命題為【】A．存在四邊相等的四邊形不是正方形B．為實數的充分必要條件是互為共軛復數C．若，且則至少有一個大于D．對于任意都是偶數【答案】B。【考點】真假命題的判定，特稱命題和全稱命題，充要條件，共軛復數，不等式的基本性質，二項式定理?！窘馕觥繉τ贏項，通過特例判斷：例如菱形，滿足四邊相等的四邊形不是正方形，所以A為真命題；對于B項，通過特例判斷：令,顯然，但不互為共軛復數，所以B為假命題；對于C項，通過不等式的基本性質判斷：顯然正確（可用它的逆否命題證明），所以C為真命題；對于D項，通過二項式定理系數的特例判斷：根據二項式定理，對于任意有為偶數，所以D為真命題。綜上所述，假命題為B項。故選B。例9：（年江西省理5分）在直角三角形中，點是斜邊的中點，點為線段的中點，則【】A．2B．4C．5D．10【答案】D?！究键c】兩點間的距離公式?！窘馕觥繉τ诜翘厥獾囊话銏D形求解長度問題，由于是選擇題，不妨將圖形特殊化，用特殊元素法以方便求解各長度：不妨令，則，，，。∴。故選D。六、篩選排除法：篩選排除法是解選擇題的一種常用方法，使用排除法的前提條件是答案唯一，它的解題方法是根據題設條件，結合選項，通過觀察、比較、猜想推理和計算，進行排查，從四個選項中把不正確的答案一一淘汰，最后得出正確答案的方法。篩選排除法可通過觀察、比較、分析和判斷，進行簡單的推理和計算選出正確的答案，特別對用由因導果法解之較困難而答案又模棱兩可者更有用。典型例題：例1：（年北京市文5分）已知為等比數列，下面結論中正確的是【】A.B.C.若a1=a3，則a1=a2D.若a3＞a1，則a4＞a2【答案】B。【考點】等比數列的基本概念，均值不等式?！窘馕觥勘绢}易用排除法求解：設等比數列的公比為，則A，當時，，此時，選項錯誤。B.根據均值不等式，有，選項正確。C.當時，a1=a3，但a1=a2，選項錯誤。D.當時，，選項錯誤。故選B。例2：（年天津市文5分）下列函數中，既是偶函數，又在區(qū)間（1,2）內是增函數的為【】（A）（B），且≠0（C）（D）【答案】B?！究键c】函數奇偶性的判斷，函數單調性的判斷。【分析】利用函數奇偶性的定義可排除C，D，再由“在區(qū)間（1，2）內是增函數”可排除A，從而可得答案：對于A，令，則，∴函數為偶函數。而在上單調遞減，在上單調遞增，（1，2）中，所以在區(qū)間（1，2）內不全是增函數，故排除A。對于B，函數為偶函數，且當時，函數為增函數，所以在上也為增函數，故B滿足題意。對于C，令，則，∴函數為偶函數為奇函數，故可排除C對于D，為非奇非偶函數，可排除D。故選B。例3：（年全國課標卷理5分）已知，函數在上單調遞減。則的取值范圍是【】 【答案】?！究键c】三角函數的性質?！窘馕觥扛鶕呛瘮档男再|利用排它法逐項判斷：∵時，，不合題意，∴排除?！邥r，，合題意，∴排除。故選。例4：（年浙江省理5分）設，是兩個非零向量【】A．若，則B．若，則C．若，則存在實數，使得D．若存在實數，使得，則【答案】C。【考點】平面向量的綜合題。【解析】利用排除法可得選項C是正確的：∵|a＋b|＝|a|－|b|，則a，b共線，即存在實數λ，使得a＝λb，∴選項A：|a＋b|＝|a|－|b|時，a，b可為異向的共線向量，不正確；選項B：若a⊥b，由正方形得|a＋b|＝|a|－|b|，不正確；選項D：若存在實數λ，使得a＝λb，a，b可為同向的共線向量，此時顯然|a＋b|＝|a|－|b|，不正確。故選C。例5：（年湖南省理5分）某幾何體的正視圖和側視圖均如圖所示，則該幾何體的俯視圖不可能是【】【答案】D?！究键c】組合體的三視圖。【解析】由幾何體的正視圖和側視圖均如圖所示知，原圖下面圖為圓柱或直四棱柱，上面是圓柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，Ａ，Ｂ，Ｃ都可能是該幾何體的俯視圖，Ｄ不可能是該幾何體的俯視圖，因為它的正視圖上面應為如圖的矩形。故選D。例6：（年江西省理5分）下列函數中，與函數定義域相同的函數為【】A．B.C.D.【答案】D?！究键c】函數的定義域?！窘馕觥壳蠛瘮档亩x域的依據就是要使函數的解析式有意義的自變量的取值范圍。其求解根據一般有:(1)分式中，分母不為零;(2)偶次根式中，被開方數非負；(3)對數的真數大于0：（4）實際問題還需要考慮使題目本身有意義。由函數的意義可求得其定義域為，于是對各選項逐一判斷即可得答案：對于A，的其定義域為，故A不滿足；對于B，的定義域為，故B不滿足；對于C，的定義域為，故C不滿足；對于D，的定義域為，故D滿足。綜上所述，與函數定義域相同的函數為：。故選D。例7：（年四川省理5分）下列命題正確的是【】A、若兩條直線和同一個平面所成的角相等，則這兩條直線平行B、若一個平面內有三個點到另一個平面的距離相等，則這兩個平面平行C、若一條直線平行于兩個相交平面，則這條直線與這兩個平面的交線平行D、若兩個平面都垂直于第三個平面，則這兩個平面平行【答案】C?！究键c】立體幾何的線、面位置關系及線面的判定和性質?！窘馕觥坎捎门懦ǎ喝魞蓷l直線和同一平面所成角相等，這兩條直線可能平行，也可能為異面直線，也可能相交，所以A錯；一個平面不在同一條直線的三點到另一個平面的距離相等，則這兩個平面平行，故B錯；若兩個平面垂直同一個平面兩平面可以平行，也可以垂直；故D錯；故選項C正確。故選C。例8：（年四川省理5分）函數的圖象可能是【】A、B、C、D、【答案】D?！究键c】函數圖像?！窘馕觥坎捎门懦ǎ汉瘮岛氵^（－1,0），選項只有D符合，故選D。例9：（年江西省理5分）如下圖，已知正四棱錐所有棱長都為1，點是側棱上一動點，過點垂直于的截面將正四棱錐分成上、下兩部分，記截面下面部分的體積為則函數的圖像大致為【】【答案】A?！究键c】棱錐的體積公式，線面垂直，函數的思想。【解析】對于函數圖象的識別問題，若函數的圖象對應的解析式不好求時，作為選擇題，可采用定性排它法：觀察圖形可知，當時，隨著的增大，單調遞減，且遞減的速度越來越快，不是的線性函數，可排除C，D。當時，隨著的增大，單調遞減，且遞減的速度越來越慢，可排除B。只有A圖象符合。故選A。如求解具體的解析式，方法繁瑣，而且計算復雜，很容易出現某一步的計算錯誤而造成前功盡棄，并且作為選擇題也沒有太多的時間去解答。我們也解答如下：連接AC，BD，二者交于點O，連接SO，過點E作底面的垂線EH。當E為SC中點時，∵SB＝SD＝BC＝CD，∴SE⊥BE，SE⊥DE?！郤E⊥面BDE。∴當時，截面為三角形EBD，截面下面部分錐體的底為BCD。又∵SA＝SC＝1，AC＝eq\r(,2)，SO＝eq\f(\r(,2),2)。此時?！唷．敃r，截面與AD和AB相交，分別交于點F、D，設FG與AC相交于點I，則易得。由EH∥SO，得，即。由EI∥SA，得，即。易知是等腰直角三角形，即?！??！唷．敃r，截面與DC和BC相交，分別交于點M、N，設MN與AC相交于點J，則易得。由EH∥SO，得，即。由EJ∥SA，得，即。易知是等腰直角三角形，即?！??！?。綜上所述，。結合微積分知識，可判定A正確。例10：（年江西省文5分）如下圖，OA=2（單位：m）,OB=1(單位：m),OA與OB的夾角為，以A為圓心，AB為半徑作圓弧與線段OA延長線交與點C.甲。乙兩質點同時從點O出發(fā)，甲先以速度1（單位:ms）沿線段OB行至點B，再以速度3（單位：m/s）沿圓弧行至點C后停止，乙以速率2（單位：m/s）沿線段OA行至A點后停止。設t時刻甲、乙所到的兩點連線與它們經過的路徑所圍成圖形的面積為，則函數的圖像大致是【】A.B.C.D.【答案】A?！究键c】函數的圖象?！窘馕觥坑深}設知，OA=2（單位：m）,OB=1(單位：m)，兩者行一秒后，甲行到B停止，乙此時行到A，故在第一秒內，甲、乙所到的兩點連線與它們經過的路徑所圍成圖形的面積為的值增加得越來越快，一秒鐘后，隨著甲的運動，所圍成的面積增加值是扇形中AB所掃過的面積，由于點B是勻速運動，故一秒鐘后，面積的增加是勻速的，且當甲行走到C后，即B與C重合后，面積不再隨著時間的增加而改變，故函數隨著時間t的增加先是增加得越來越快，然后轉化成勻速增加，然后面積不再變化，考察四個選項，只有A符合題意。故選A。七、圖象解析法：圖象解析法的解題方法解選擇題的一種常用方法，它是根據數形結合的原理,先畫出示意圖,再觀察圖象的特征作出選擇的方法。對于一些具有幾何背景的數學題，如能構造出與之相應的圖形進行分析，則能在數形結合，以形助數中獲得形象直觀的解法。典型例題：例1：（年全國課標卷文5分）已知正三角形ABC的頂點A(1,1)，B(1,3)，頂點C在第一象限，若點（x，y）在△ABC內部，則z=－x+y的取值范圍是【】（A）(1－eq\r(3)，2)（B）(0，2)（C）(eq\r(3)－1，2)（D）(0，1+eq\r(3))【答案】A?！究键c】簡單線性規(guī)劃，等邊三角形的性質，勾股定理?！窘馕觥壳髗=－x+y的取值范圍，則求出z=－x+y在正三角形ABC邊際及內的區(qū)域的最大值和最小值即可。由A(1,1)，B(1,3)，根據正三角形的性質可求C在第一象限的坐標為（1+eq\r(3)，2）。作圖，可知約束條件對應正三角形ABC內的區(qū)域：A(1,1)，B(1,3)，C（1+eq\r(3)，2）。當x=1，y=3時，z=－x+y取得最大值2；當1+eq\r(3)，y=2時，z=－x+y取得最小值1－eq\r(3)?！鄗=－x+y的取值范圍為(1－eq\r(3)，2)。故選A。例2：（年全國課標卷文5分）當時，，則a的取值范圍是【】（A）(0，eq\f(\r(2),2))（B）(eq\f(\r(2),2)，1)（C）(1，eq\r(2))（D）(eq\r(2)，2)【答案】B?！究键c】指數函數和對數函數的性質?！窘馕觥吭O,作圖?！弋敃r，,∴在時,的圖象在的圖象上方。根據對數函數的性質，?！鄦握{遞減?！嘤蓵r，得，解得?！嘁箷r，，必須。∴a的取值范圍是(eq\f(\r(2),2)，1)。故選B。例3：（年全國大綱卷理5分）已知函數的圖像與軸恰有兩個公共點，則【】A．或2B．或3C．或1D．或1【答案】A【考點】導數的應用。【解析】若函數圖像與軸有兩個不同的交點，則需要滿足其中一個為零即可。因為三次函數的圖像與軸恰有兩個公共點，結合該函數的圖像，可知只有在極大值點或者極小值點有一點在軸時滿足要求（如圖所示）?！撸??！喈敃r，函數取得極值。由或可得或，即。故選A。例4：（年北京市理5分）設不等式組表示的平面區(qū)域為D，在區(qū)域D內隨機取一個點。則此點到坐標原點的距離大于2的概率是【】A.B.C.D.【答案】D。【考點】幾何概率?！窘馕觥坎坏仁浇M表示的平面區(qū)域D是一個邊長為2的正方形，如畫圖可知，區(qū)域內到坐標原點的距離大于2的點為紅色區(qū)域，它的面積為正方形的面積減四分之一圓的面積：?！啻它c到坐標原點的距離大于2的概率是。故選D。例5：（年全國大綱卷理5分）正方形的邊長為1，點在邊上，點在邊上，，動點從出發(fā)沿直線向運動，每當碰到正方形的邊時反彈，反彈時反射角等于入射角。當點第一次碰到時，與正方形的邊碰撞的次數為【】A．16B．14C【答案】A。【考點】反射原理，正方形的性質，三角形相似的判定和性質?！窘馕觥拷Y合已知中的點,的位置，進行作圖，推理可知，在反射的過程中，直線是平行的，那么利用平行關系，作圖，可以得到回到點時，需要碰撞14次即可。也可以通過三角形相似的相似比求解：如圖，為便是于計算，將正方形的邊長擴大7倍，這樣邊長為7，，?！噙@些三角形相似的兩邊長之比?！?；；；；；?！嘟涍^7次碰撞，到達與點成軸對稱的點處，根據正方形的對稱性，再經過7次碰撞，到達點，共14次碰撞。故選A。例6：（年湖南省理5分）已知兩條直線：和：，與函數的圖像從左至右相交于點A，B，與函數的圖像從左至右相交于C,D.記線段AC和BD在X軸上的投影長度分別為,,當m變化時，的最小值為【】A．B.C.D.【答案】B?！究键c】數形結合，函數的圖象，基本不等式的應用?！窘馕觥咳鐖D，在同一坐標系中作出，，圖像，由，得，由，得。根據題意得?！?，∴。故選B。例7：（年江西省理5分）某農戶計劃種植黃瓜和韭菜，種植面積不超過50計，投入資金不超過54萬元，假設種植黃瓜和韭菜的產量、成本和售價如下表年產量/畝年種植成本/畝每噸售價黃瓜4噸1.2萬元0.55萬元韭菜6噸0.9萬元0.3萬元為使一年的種植總利潤（總利潤=總銷售收入總種植成本）最大，那么黃瓜和韭菜的種植面積（單位：畝）分別為【】A．50，0B．30，20C．20，30D．0，50【答案】B?！究键c】建模的思想方法，線性規(guī)劃知識在實際問題中的應用。【解析】設黃瓜和韭菜的種植面積分別為x,y畝,總利潤為z萬元，則目標函數為.線性約束條件為

，即。如圖，作出不等式組表示的可行域,易求得點。平移直線，可知當直線經過點,即時,z取得最大值,且（萬元）。故選B。八、待定系數法：待定系數法是一種常用的數學方法，對于某些數學問題，如果已知所求結果具有某種確定的形式，則可引進一些尚待確定的系數來表示這種結果，通過已知條件建立起給定的算式和結果之間的恒等式，得到以待定系數為元的方程（組）或不等式（組），解之即得待定的系數。對于待定系數法方法的使用，筆者將另文詳細解析。典型例題：例1：（年全國課標卷理5分）等軸雙曲線的中心在原點，焦點在軸上，與拋物線的準線交于兩點，；則的實軸長為【】 【答案】?！究键c】雙曲線和拋物線的性質?！窘馕觥康臏示€?！吲c拋物線的準線交于兩點，，∴，。設，則，得，。故選。例2：（年全國大綱卷理5分）已知等差數列的前項和為，則數列的前100項和為【】A．B．C．D．【答案】A。【考點】等差數列的通項公式和前項和公式的運用，裂項求和的綜合運用?！窘馕觥客ㄟ^已知，列式求解，得到公差與首項，從而得的通項公式，進一步裂項求和：設等差數列的公差為，則由可得?！??！?。故選A。例3：（年湖北省理5分）已知二次函數的圖像如圖所示，則它與軸所圍圖形的面積為【】A.B.C.D.【答案】B?！究键c】待定系數法求函數解析式，定積分在求面積中的應用?！窘馕觥肯雀鶕瘮档膱D象用待定系數法求出函數的解析式，然后利用定積分表示所求面積，最后根據定積分運算法則求出所求：根據函數的圖象可知二次函數圖象過點（－1，0），（1，0），（0，1），用待定系數法可求得二次函數解析式為。設二次函數的圖像與軸所圍圖形的面積為，則。故選B。例4：（年湖北省理5分）設是正數，且，則【】A.B.C.D.【答案】C?！究键c】柯西不等式不等式的應用，待定系數法的應用。【解析】由柯西不等式知，而此時恰好滿足取等條件。令，則。代入到中得，再將代入得?！撸??！?。故選C。例5：（年四川省文5分）已知拋物線關于軸對稱，它的頂點在坐標原點，并且經過點。若點到該拋物線焦點的距離為，則【】A、B、C、D、【答案】B?！究键c】拋物線的定義?！窘馕觥吭O拋物線方程為,則焦點坐標為（），準線方程為。∵點在該拋物線上，∴點到該拋物線焦點的距離等于到準線的距離，即，解得，?！唷！唷９蔬xB。九、分類討論法：在解答某些問題時，有時會遇到多種情況，需要對各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合得解，這就是分類討論法。分類討論是一種邏輯方法，是一種重要的數學思想，同時也是一種重要的解題策略，它體現了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法。有關分類討論思想的數學問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓練人的思維條理性和概括性。解答分類討論問題時，我們的基本方法和步驟是：首先要確定討論對象以及所討論對象的全體的范圍；其次確定分類標準，正確進行合理分類，即標準統(tǒng)一、不漏不重、分類互斥（沒有重復）；再對所分類逐步進行討論，分級進行，獲取階段性結果；最后進行歸納，綜合得出結論。對于分類討論法方法的使用，筆者將另文詳細解析。典型例題：例1：（年全國課標卷理5分）已知為等比數列，，，則【】 【答案】?！究键c】等比數列。【解析】∵為等比數列，，，∴或。由得，即；由得，即。故選。例2：（年全國課標卷文5分）數列滿足，則的前60項和為【】（A）3690（B）3660（C）1845（D）1830【答案】D?！究键c】分類歸納（數字的變化類），數列?！窘馕觥壳蟪龅耐棧河傻?，當時，；當時，；當時，；當時，；當時，；當時，；當時，；當時，；······當時，；當時，；當時，；當時，（）?！?，∴的四項之和為（）。設（）。則的前項和等于的前15項和，而是首項為10，公差為16的等差數列，∴的前項和=的前15項和=。故選D。例3：（年全國大綱卷文5分）6位選手依次演講，其中選手甲不在第一個也不在最后一個演講，則不同的演講次序共有【】A.240種B.360種C.480種D.720種【答案】C?！究键c】排列組合的應用?！窘馕觥扛鶕厥庠貎?yōu)先的原則，選手甲不在第一個也不在最后一個演講，在其余4個次序演講有種組合，則其余5位選手進行全排列。因此，不同的演講次序共有種。故選C。例4：（年北京市理5分）從0，2中選一個數字，從1，3，5中選兩個數字，組成無重復數字的三位數.其中奇數的個數為【】A.24B.18C.12D.6【答案】B?！究键c】排列組合問題?！窘馕觥坑捎陬}目要求是奇數，那么對于此三位數可以分成兩種情況：奇偶奇；偶奇奇。如果是第一種奇偶奇的情況，可以從個位開始分析（3種情況），之后十位（2種情況），最后百位（2種情況），共12種；如果是第二種情況偶奇奇：個位（3種情況），十位（2種情況），百位（不能是O，一種倩況），共6種。因此總共有12+6=18種情況。故選B。例5：（年重慶市理5分）設函數在上可導，其導函數為，且函數的圖像如題圖所示，則下列結論中一定成立的是【】（A）函數有極大值和極小值（B）函數有極大值和極小值（C）函數有極大值和極小值（D）函數有極大值和極小值【答案】D?！究键c】函數在某點取得極值的條件，函數的圖象。【分析】由圖象知，與軸有三個交點，－2，1，2，∴。由此得到，，，和在上的情況：－212＋0－0＋0－＋＋＋0－－－＋0－－－0＋↗極大值↘非極值↘極小值↗∴的極大值為，的極小值為。故選D。例6：（年浙江省理5分）若從1，2，3，…，9這9個整數中同時取4個不同的數，其和為偶數，則不同的取法共有【】A．60種B．63種C．65種D．66種【答案】D。【考點】分類討論，計數原理的應用