黑龍江省大慶市鐵人中學2025屆高三數學上學期期中試題文含解析

PAGE19-黑龍江省大慶市鐵人中學2025屆高三數學上學期期中試題文（含解析）一、選擇題（每小題只有一個選項正確，每小題5分，共60分）1.已知集合，則中元素的個數為（）A.9 B.8 C.7 D.6【答案】D【解析】【分析】依據知這個是一個圓,再依據找到圓內滿意條件的點即可.【詳解】解：,表示平面內圓心為,半徑的圓,又因為,依題意畫圖,可得集合中元素的個數為．故選：D【點睛】本題考查集合元素的個數,要知道集合是一個點集.2.若a,b∈R，則a＞b＞0是a2＞b2的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【詳解】依據不等式的性質，由a＞b＞0可推出a2＞b2；但，由a2＞b2無法推出a＞b＞0，如a=-2,b=1，即a＞b＞0是a2＞b2的充分不必要條件，故選A.3.設（是虛數單位），則（）A.0 B. C.1 D.【答案】C【解析】【分析】先進行復數的商的運算,再進行加法運算,最終用求模公式求解.【詳解】解：復數故選:C【點睛】本題考查復數的模的求法,考查計算實力.4.在平面直角坐標系中，向量，，，若，，則＝（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出向量的坐標表示,再求出,的坐標表示,再依據向量平行、垂直運算性質進行運算求出即可.【詳解】解：,,,又因為,,則解得：故選：C【點睛】本題考查向量平行、垂直的坐標運算,屬于基礎題.5.已知數列滿意：，，為數列的前項和，則（）A.3 B.4. C.1 D.0【答案】B【解析】【分析】依據遞推公式列舉出到,得出數列的周期為6,所以可以求出.【詳解】解：,依據遞推公式有：所以數列的周期為6.故.故選：B【點睛】本題考查數列遞推公式的應用以及周期數列的前項和.6.為了得到函數的圖像,可以將函數的圖像（）A.向右平移個單位長度B.向右平移個單位長度C.向左平移個單位長度D.向左平移個單位長度【答案】A【解析】試題分析：依據題意，令，解得，由圖像平移知，須要將函數的圖像向右平移個單位，得到函數的圖像；故答案為A.考點：函數圖像平移法則的應用.7.函數在區(qū)間的簡圖是A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】將代入到函數解析式中得，可解除C，D;將x=π代入到函數解析式中求出函數值為負數，可解除B，故選A．8.已知函數，對都有成立，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意函數對都有,可以分別出函數中的參數,轉化為,只需即可,所以轉化為導數的極值來解題.【詳解】解：函數,對都有,當時,即,即為可化為令,則當時,,單調遞減.因此所以故實數的取值范圍是故選：B【點睛】對于不等式恒成立問題中求參數的取值范圍,先分別出參數,轉化為求函數的導數,用導數推斷出最值,求出最大值與最小值即可求出參數的范圍.9.已知函數，則A.的最小正周期為，最大值為B.最小正周期為，最大值為C.的最小正周期為，最大值為D.的最小正周期為，最大值為【答案】B【解析】【分析】首先利用余弦的倍角公式，對函數解析式進行化簡，將解析式化簡為，之后應用余弦型函數的性質得到相關的量，從而得到正確選項.【詳解】依據題意有，所以函數的最小正周期為，且最大值，故選B.【點睛】該題考查的是有關化簡三角函數解析式，并且通過余弦型函數的相關性質得到函數的性質，在解題的過程中，要留意應用余弦倍角公式將式子降次升角，得到最簡結果.10.已知函數，若對都有成立，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依題意可得,都有的圖象在的上方,將題目轉化為函數圖象來解決.【詳解】解：因為,都有,則可都有圖象在的上方.依題意畫圖要使的圖象恒在的上方,則斜率,或者,實數的取值范圍是.故選：B【點睛】本題考查函數不等式恒成立問題,可轉化為轉化為一個圖像恒在另一個圖像的上方而轉為為斜率問題來求解,這類題型考查學生數形結合實力.11.已知函數，假如對隨意的n∈N*，定義，那么（）A.0 B.1 C.2 D.2024【答案】C【解析】【分析】利用分段函數的性質,先代入,然后得出數值之后代入,得出規(guī)律,則可求出.【詳解】解：,故選：C【點睛】本題考查函數值的求法,是基礎題,解題時要留意分段函數的性質和函數值的規(guī)律.12.已知定義在上的奇函數滿意，且在區(qū)間上是增函數，則A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由，得到函數的周期是8，然后利用函數的奇偶性和單調性之間的關系進行推斷大小.【詳解】因為滿意，所以，所以函數是以8為周期的周期函數，則.由是定義在上的奇函數，且滿意，得.因為在區(qū)間上是增函數，是定義在上的奇函數，所以在區(qū)間上是增函數，所以，即.【點睛】在比較，，，的大小時，首先應當依據函數的奇偶性與周期性將，，，通過等值變形將自變量置于同一個單調區(qū)間，然后依據單調性比較大?。?、填空題（每小題5分，共20分）13.若，且為第三象限角，則_______.【答案】【解析】試題分析：依據同角三角函數的關系算出再利用兩角和的正弦公式，即可算出的值；是第三象限的角，.考點：兩角和與差的正弦函數；同角三角函數間的基本關系14.，則的最大值為________．【答案】6【解析】【分析】作出不等式組對應的平面區(qū)域,利用目標函數的幾何意義,結合數形結合進行求解即可.【詳解】解：作出不等式組對應的平面區(qū)域,如圖：（陰影部分）由得,平移直線經過點時,直線的截距最大,此時最大.由,解得,即將的坐標帶入目標函數,得,即的最大值為.故答案為：【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃的基本應用,利用目標函數的幾何意義是解決問題的關鍵,利用數形結合是解決問題的基本方法.15.函數f(x)＝3x－7＋lnx的零點位于區(qū)間(n，n＋1)(n∈N)內，則n＝________.【答案】2【解析】求函數f(x)＝3x－7＋lnx的零點，可以大致估算兩個相鄰自然數的函數值，如f(2)＝－1＋ln2，由于ln2<lne＝1，所以f(2)<0，f(3)＝2＋ln3，由于ln3>1，所以f(3)>0，所以函數f(x)的零點位于區(qū)間(2,3)內，故n＝2．16.已知命題，使；命題，都有.給出下列結論：①命題是真命題；②命題是假命題；③命題是真命題；④命題是假命題，其中正確的是________(把全部正確結論的序號都填上)．【答案】②③【解析】【分析】先推斷命題和命題的真假,再推斷,的真假,最終依據真值表可得出結論.【詳解】解：,所以是假命題.又,所以是真命題.是真命題,是假命題,故依據真值表可得②③正確.故答案為：②③【點睛】本題考查含簡潔邏輯連接詞的命題的真假性的推斷問題.步驟為：①推斷和的真假,②依據真值表推斷復合命題的真假.三、解答題（17小題10分，18--22小題每小題12分，共70分）17.已知為等差數列，其前項和為，是首項為2且單調遞增的等比數列，其前項和為，，，.(1)求數列和的通項公式；(2)設，，求數列的前項和．【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）設等差數列的公差為,等比數列的公比為,將條件帶入通項公式,解方程即可求出.（2）將、的通項公式代入、中,得到的通項公式為,用裂項相消求和.【詳解】(1)設等差數列的公差為,等比數列的公比為,由已知得,得,而,所以又因為,解得,所以由,可得,由,可得解得,由此可得所以數列的通項公式為,數列的通項公式為（2）由（1）得,,所以所以【點睛】本題考查求等差等比數列的通項公式,設首項和公差、公比,代入已知條件中即可求解.還考查用裂項相消求數列前項和,須要熟記公式,敏捷求解.18.的內角的對邊分別為，.(1)求角；(2)若，的面積.求.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)依據正弦定理的邊化角公式和三角形內角和等于,將已知條件化簡為：,約分之后再用降冪公式即可求出的值.（2）由三角形面積公式可求得,帶入余弦定理即可求得.【詳解】（1）因為,,由已知和正弦定理得：,又因為,所以,,,（2）由面積公式得,由余弦定理,得【點睛】本題考查了正弦定理、余弦定理、三角形面積計算公式、和差公式,考查了推理實力與計算實力,屬于中檔題.19.已知四面體中面，，垂足為，，為中點，,（1）求證：面；（2）求點到面的距離．【答案】（1）見解析；（2）【解析】【分析】（1）證明線面平行,需先證明線線平行,可從三角形的中位線定理證明線線平行,從而再證線面平行.（2）求點到面的距離用等體積法,由,分別算出、,建立體積等式關系即可求到面的距離．【詳解】、（1）因為,所以為中點,又因為是中點,所以,而面,面,所以面.（2）由已知得,,,所以三角形為直角三角形其面積,三角形的面積設點到面的距離為,因為,即解得,所以點到面的距離為.【點睛】（1）線面平行的判定定理是：若平面外的一條直線與平面內的一條直線平行,那么這條直線與這個平面平行,即.（2）用等體積法求點到平面的距離主要是一個轉換的思想,先用簡潔的方法求出四面體的體積,然后計算出底面三角形的面積,再依據四面體體積公式V=-Sh求出點到平面的距離.20.某班隨機抽查了20名學生的數學成果，分數制成如圖的莖葉圖，其中A組學生每天學習數學時間不足1個小時，B組學生每天學習數學時間達到一個小時。學校規(guī)定90分及90分以上記為優(yōu)秀，75分及75分以上記為達標，75分以下記為未達標．（1）分別求出A、B兩組學生的平均分、并估計全班的數學平均分；（2）現在從成果優(yōu)秀的學生中隨意抽取2人，求這兩人恰好都來自B組的概率；（3）依據成果得到如下列聯表：①干脆寫出表中的值；②推斷是否有的把握認為“數學成果達標與否”與“每天學習數學時間能否達到一小時”有關．參考公式與臨界值表：K2＝.【答案】（1），，；（2）P（E）=；（3）①a=6、b=4、c=9、d=1；②沒有95%的把握認為“數學成果達標與否”與“每天學習數學時間能否達到一小時”有關【解析】【分析】(1)依據平均分公式分別算出A、B兩組的平均分,再依據兩組的平均分估算20人的總分,估算出的平均分即為估算的班級的平均分.(2)A組優(yōu)秀人數有2人,B組優(yōu)秀人數有3人.列出全部可能的基本狀況,利用古典概型,即可求出結果.(3)把數據填入表格中,利用公式求得,與臨界值比較即可得出結論.【詳解】（1）A組學生的平均分B兩組學生的平均分估計全班的數學平均分（2）設這兩人恰好都來自B組為事務,由題意該概型符合古典概型,成果優(yōu)秀共計5人,A組2人設為,B組3人設為,從5人中抽取兩人有如下狀況：共計包含基本領件10個,事務E包含基本領件3個兩人恰好都來自B組的概率為（3）①通過莖葉圖知；②由公式=,而所以沒有的把握認為“數學成果達標與否”與“每天學習數學時間能否達到一小時”有關.【點睛】本題考查幾何概型、獨立性檢驗學問,考查學生的計算實力和分析解決問題實力.21.已知拋物線的焦點恰好是橢圓的右焦點.（1）求實數的值及拋物線的準線方程；（2）過點任作兩條相互垂直的直線分別交拋物線于、和、點，求兩條弦的弦長之和的最小值．【答案】（1），；（2）最小值為【解析】【分析】（1）依據橢圓方程C:求出右焦點,即為拋物線的焦點,依據拋物線的焦點坐標與的關系式即可求出,最終得拋物線的準線方程.（2）依據題意設、的直線方程,將直線代入拋物線中,消得,依據韋達韋達定理求得,同理求得,將+用基本不等式不等式即可求出最小值.【詳解】（1）由已知橢圓C整理得,所以焦點F的坐標為,所以所以拋物線E的準線方程為：（2）由題意知兩條直線的斜率存在且不為零設直線的斜率為,方程為,則的斜率為,方程為設、,由得因為,所以,,所以同理得,所以當且僅當即時取“等號”,所以兩條弦的弦長之和的最小值為【點睛】本題考查拋物線及其標準方程的求法和拋物線的幾何性質中的定點定值問題,依據垂直問題設斜率可以削減變量,從而便利求極值.22.已知函數.（1）當時，求f(x)的單調區(qū)間；（2）若對，使成立，求實數的取值范圍(其中是自然對數的底數)．【答案】（1）遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為；（2）【解析】【分析】（1）將代入原函數,求函數的定義域,再對函數求導,最終依據單調遞增,單