吉林省白城市2024-2025學年高二數學下學期期末考試試題理含解析

…………○…………外…………○…………裝…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內※※答※※題※※…………○…………內…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………PAGEPAGE20吉林省白城市2024-2025學年高二數學下學期期末考試試題理（含解析）一、單選題(本大題共12小題，每小題5分，共60分)1.已知(3+2i)z=2+iA.

第一象限

B.

其次象限

C.

第三象限

D.

第四象限2.為比較相關變量的線性相關程度，5位同學各自探討一組數據，并計算出變量間的相關系數r如下表所示：同學甲同學乙同學丙同學丁同學戊相關系數r0.45-0.690.74-0.980.82則由表可知（

）A.

乙探討的那組數據線性相關程度最低，戊探討的那組數據線性相關程度最高

B.

甲探討的那組數據線性相關程度最低，丁探討的那組數據線性相關程度最高

C.

乙探討的那組數據線性相關程度最低，丁探討的那組數據線性相關程度最高

D.

甲探討的那組數據線性相關程度最低，丙探討的那組數據線性相關程度最高3.函數f(x)=xlnx的圖象在A.

2x?y?e=0

B.

x?2y+e=0

C.

2x+y?3e=0

D.

x+2y?3e=04.三個班分別從六個風景點中選擇一處巡游，不同選法的種數是（

）A.

729

B.

18

C.

216

D.

815.(2+1A.

12

B.

8

C.

-8

D.

-126.已知定義在R上的函數f(x)恰有3個極值點，則f(x)的導函數的圖象可能為（

）A.

B.

C.

D.

7.現有下面四個命題：①若z=2?3i，則②若X~N(1,4)，P(1<X<3)=m，則P(X<?1)=0.5?m；③假如今日是2024年6月22日（星期二），那么兩百天后是星期六；④若數列{an}滿意a1=3其中全部真命題的序號是（

）A.

②④

B.

②③④

C.

②③

D.

①③8.設0<a<1，則隨機變量X的分布列是：X0a1P111則當a在(0,1)內增大時（

）A.

D(X)增大

B.

D(X)減小

C.

D(X)先增大后減小

D.

D(X)先減小后增大9.設(1?x3)A.

-36

B.

6

C.

-29

D.

-2710.已知z的共軛復數z=1+3i，且|zA.

5+17

B.

17?5

C.

217

11.某電影院的一個放映室前3排的位置如圖所示，甲和乙各自買了一張同一個場次的電影票，已知他們買的票的座位都在前3排，則他們觀影時座位不相鄰（相鄰包括左右相鄰和前后相鄰）的概率約為（）A.

0.87

B.

0.89

C.

0.91

D.

0.9212.我國南宋數學家楊輝1261年所著的（詳解九章算法）一書里出現了如圖所示的圖，即楊輝三角，這是數學史上的一個宏大成就．在“楊輝三角”中，已知第n行的全部數字之和為2n?1A.

1040

B.

1014

C.

1004

D.

1024二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)13.(4?3i14.某種旅行箱的密碼鎖由三個數字組成（每個位置上的數字可從0~9這10個數字中任選一個）．小張購買一個旅行箱后，準備設置密碼，自上而下第一個位置的數字設置為質數，其次個位置的數字設置為奇數，第三個位置的數字設置為偶數，則他可選擇的不同密碼的個數為________．15.某一部件由三個電子元件按如圖方式連接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，則部件正常工作．元件1，元件2，元件3正常工作的概率分別為14，13，16.(3x?y)n綻開式中的二項式系數和為64，則n=________，綻開式中x三、解答題(本大題共70分)17.在直角坐標系中，曲線C的方程為x2+y2=9，曲線C上全部點的橫坐標不變，縱坐標縮小到原來的13，得到曲線C'．以原點為極點，x軸非負半軸為極軸，建立極坐標系，射線l的極坐標方程為θ=π6(ρ≥0)，（1）求曲線C'（2）求|AB|的值．18.某企業(yè)研制出一款疫苗后，招募了100名志愿者進行先期接種試驗，其中50歲以下50人，50歲及以上50人．第一次接種后10天，該企業(yè)又對志愿者是否產生抗體進行檢測，共發(fā)覺75名志愿者產生了抗體，其中50歲以下的有45人產生了抗體．50歲以下50歲以上合計有抗體沒有抗體合計填寫上面的2×2列聯表，并推斷能否有99.9%的把握認為該款疫苗是否產生抗體與接種者年齡有關．參考公式：K2=nP（K2≥k0）0.150.100.0500.0100.001k02.0722.7063.8416.63510.82819.已知函數f(x)=2x（1）求f(x)的單調區(qū)間；（2）求f(x)在[0,3]上的最值．20.現有6位老師（含甲、乙）隨意排成一排拍照留念．（1）求甲、乙不相鄰的概率；（2）設甲、乙之間所隔人數為X，例如，當甲、乙相鄰時，X=0，求X的數學期望．21.某車間生產一批零件，現從中隨機抽取10個零件，測量其內徑的數據如下（單位：cm）：87

87

88

92

95

97

98

99

103

104設這10個數據的平均值為μ，標準差為σ．（1）求μ與σ．（2）假設這批零件的內徑Z（單位：cm）聽從正態(tài)分布N(μ,σ①從這批零件中隨機抽取5個，設這5個零件中內徑大于107cm的個數為X，求D(2X+1)②若該車間又新購一臺新設備，安裝調試后，試生產了5個零件，測量其內徑分別為76，85，93，99，108（單位：cm），以原設備生產性能為標準，試問這臺設備是否須要進一步調試，說明你的理由．參考數據：若X~N(μ,σ2)，則P(μ?2σ<X≤μ+2σ)=0.954，P(μ?3σ<X≤μ+3σ)=0.99722.已知函數f(x)=(x?a)ln（1）若f(x)存在極值，求a的取值范圍．（2）當a=2時，證明：f(x)>?9

答案解析部分吉林省白城市2024-2025學年高二下學期理數期末考試試卷一、單選題1.已知(3+2i)z=2+iA.

第一象限

B.

其次象限

C.

第三象限

D.

第四象限【答案】D【考點】復數的代數表示法及其幾何意義，復數代數形式的乘除運算【解析】【解答】因為z=2+所以復數z在復平面內對應的點(4故答案為：D

【分析】利用復數的乘除法運算法則求出復數z，再利用復數z的幾何意義求出對應的點的坐標，再利用點的坐標確定復數z在復平面內對應的點所在的象限。2.為比較相關變量的線性相關程度，5位同學各自探討一組數據，并計算出變量間的相關系數r如下表所示：同學甲同學乙同學丙同學丁同學戊相關系數r0.45-0.690.74-0.980.82則由表可知（

）A.

乙探討的那組數據線性相關程度最低，戊探討的那組數據線性相關程度最高

B.

甲探討的那組數據線性相關程度最低，丁探討的那組數據線性相關程度最高

C.

乙探討的那組數據線性相關程度最低，丁探討的那組數據線性相關程度最高

D.

甲探討的那組數據線性相關程度最低，丙探討的那組數據線性相關程度最高【答案】B【考點】相關系數【解析】【解答】由題意知：|0.45|<|?0.69|<|0.74|<|0.82|<|?0.98|，又因為|r|越接近于1，數據的線性相關程度越高，|r|越接近于0，數據的線性相關程度越低．所以甲探討的那組數據線性相關程度最低，丁探討的那組數據線性相關程度最高。故答案為：B.

【分析】利用已知條件得出|0.45|<|?0.69|<|0.74|<|0.82|<|?0.98|，又因為|r|越接近于1，數據的線性相關程度越高，|r|越接近于0，數據的線性相關程度越低，則利用相關系數推斷線性相關程度凹凸的方法，所以甲探討的那組數據線性相關程度最低，丁探討的那組數據線性相關程度最高，從而選出正確的答案。3.函數f(x)=xlnx的圖象在A.

2x?y?e=0

B.

x?2y+e=0

C.

2x+y?3e=0

D.

x+2y?3e=0【答案】A【考點】利用導數探討曲線上某點切線方程【解析】【解答】∵f(x)=xlnx，則f'因為f(e)=e，因此，函數f(x)=xlnx的圖象在x=e處的切線方程為即2x?y?e=0。故答案為：A.

【分析】利用求導的方法求出函數在切點處的切線的斜率，再利用切點的橫坐標結合代入法求出切點的縱坐標，進而求出切點的坐標，再結合點斜式求出函數f(x)=xlnx的圖象在4.三個班分別從六個風景點中選擇一處巡游，不同選法的種數是（

）A.

729

B.

18

C.

216

D.

81【答案】C【考點】分步乘法計數原理【解析】【解答】第一步，從六個風景點中選一個給第一個班，有6種選法；其次步，從六個風景點中選一個給其次個班，有6種選法；第三步，從六個風景點中選一個給第三個班，有6種選法．依據分步乘法計數原理，不同的選法種數是6故答案為：C.

【分析】利用已知條件結合分步乘法計數原理，從而求出三個班分別從六個風景點中選擇一處巡游，不同選法的種數。5.(2+1A.

12

B.

8

C.

-8

D.

-12【答案】C【考點】二項式定理的應用【解析】【解答】(1?x)10的綻開式的通項公式為T所以(2+1x)故答案為：C

【分析】利用二項式定理求出綻開式中的通項公式，再利用通項公式求出綻開式中的常數項。6.已知定義在R上的函數f(x)恰有3個極值點，則f(x)的導函數的圖象可能為（

）A.

B.

C.

D.

【答案】D【考點】函數的圖象，函數在某點取得極值的條件【解析】【解答】依據函數極值點的定義可知，函數的極值點要滿意兩個條件，一個是該點的導數為0，另一個是該點左、右兩邊的導數值異號，A與C對應的函數f(x)只有2個極值點，B對應的函數f(x)有4個極值點，D對應的函數f(x)有3個極值點。故答案為：D.

【分析】依據函數極值點的定義可知，函數的極值點要滿意兩個條件，一個是該點的導數為0，另一個是該點左、右兩邊的導數值異號，再結合已知條件定義在R上的函數f(x)恰有3個極值點，再利用函數f(x)的導函數的圖象，從而選出正確的選項。7.現有下面四個命題：①若z=2?3i，則②若X~N(1,4)，P(1<X<3)=m，則P(X<?1)=0.5?m；③假如今日是2024年6月22日（星期二），那么兩百天后是星期六；④若數列{an}滿意a1=3其中全部真命題的序號是（

）A.

②④

B.

②③④

C.

②③

D.

①③【答案】B【考點】命題的真假推斷與應用，函數的周期性，復數的基本概念，復數求模，正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義，概率的應用，數學歸納法【解析】【解答】若z=2?3i，則z=2+3i若X~N(1,4)，P(1<X<3)=m，則P(X<?1)=P(X>3)=0.5?m，故②是真命題．因為200=28×7+4，所以③是真命題．因為a1=3，an+1+n假設當n=k時，ak=k即當n=k+1時，an故答案為：B．

【分析】利用復數與共軛復數的關系結合已知條件，從而求出復數z，再利用復數的加法運算法則結合復數求模公式，從而求出|z+i|=25；利用隨機變量X聽從正態(tài)分布結合對應的函數的圖像的對稱性，從而結合已知條件求出P(X<?1)=0.5?m；利用數列的周期性，從而得出200=28×7+48.設0<a<1，則隨機變量X的分布列是：X0a1P111則當a在(0,1)內增大時（

）A.

D(X)增大

B.

D(X)減小

C.

D(X)先增大后減小

D.

D(X)先減小后增大【答案】D【考點】離散型隨機變量及其分布列，離散型隨機變量的期望與方差【解析】【解答】方法一：由分布列得：E(X)=1+a則D(X)=(∴當a在(0,1)內增大時，D(X)先減小后增大。方法二：由分布列得：E(X)=1+a3，則D(X)=E(X∴當a在(0,1)內增大時，D(X)先減小后增大。故答案為：D.

【分析】利用兩種方法求解。方法一：利用隨機變量X的分布列結合數學期望公式和方差公式，得出D(X)=29(a?12)2+16，再結合實數a的取值范圍結合二次函數的圖像的單調性，從而推出當a在(0,1)內增大時，D(X)先減小后增大。方法二：利用隨機變量X的分布列結合數學期望公式得出E(X)=1+a9.設(1?x3)A.

-36

B.

6

C.

-29

D.

-27【答案】C【考點】二項式系數的性質【解析】【解答】令x=1，得a0令x=0，得a0因為a4=C故答案為：C.

【分析】利用賦值法得出，令x=1，得出a0+a1+???+a10=0，令10.已知z的共軛復數z=1+3i，且|zA.

5+17

B.

17?5

C.

217

【答案】A【考點】圓方程的綜合應用【解析】【解答】因為z=1+3i，所以則z?i=1?4iz1?所以|z0?(2?所以|(x?2)+(y+1)i則復數z0在復平面內對應的點P(x,y)以C(2,?1)為圓心，r=17為半徑的圓，設O(0,0)故|z0|=故答案為：A.

【分析】利用復數與共軛復數的關系，從而求出復數z，再利用復數的混合運算法則結合求模公式和已知條件，從而得出|(x?2)+(y+1)i|=17，則復數z0在復平面內對應的點P(x,y)的軌跡為以C(2,?1)為圓心，r=1711.某電影院的一個放映室前3排的位置如圖所示，甲和乙各自買了一張同一個場次的電影票，已知他們買的票的座位都在前3排，則他們觀影時座位不相鄰（相鄰包括左右相鄰和前后相鄰）的概率約為（）A.

0.87

B.

0.89

C.

0.91

D.

0.92【答案】D【考點】互斥事務與對立事務，古典概型及其概率計算公式【解析】【解答】解：若他們的座位左右相鄰，則有13×3×2=78種可能；若他們的座位前后相鄰，則有14×2×2=56種可能，故他們觀影時座位不相鄰的概率P=1?78+56故答案為：D.

【分析】利用分類加法計數原理結合對立事務求概率公式和古典概型求概率公式，從而求出他們觀影時座位不相鄰的概率。12.我國南宋數學家楊輝1261年所著的（詳解九章算法）一書里出現了如圖所示的圖，即楊輝三角，這是數學史上的一個宏大成就．在“楊輝三角”中，已知第n行的全部數字之和為2n?1A.

1040

B.

1014

C.

1004

D.

1024【答案】B【考點】等差數列的前n項和，等比數列的前n項和，數列的求和【解析】【解答】沒有去掉“1”之前，第1行的和為20，第2行的和為21，第3行的和為以此類推，即每一行數字和為首項為1，公比為2的等比數列，則前n項和為Sn可以看成構成一個首項為1，公差為1的等差數列，則前n項總個數為Tn當n=10時，T10=55，去掉兩端“1”，可得則去掉兩端“1”后此數列的前36項和為S10所以第37項為第11行去掉“1”后的第一個數，第一個數為10，所以該數列的前37項和為1004+10=1014。故答案為：B

【分析】利用類比推理的方法結合已知條件，再利用等比數列和等差數列的定義，從而結合等差數列前n項和公式和等比數列前n項和公式，再利用分類探討的方法，從而求出此數列的前37項和。二、填空題13.(4?3i【答案】-1【考點】復數的基本概念，復數代數形式的乘除運算【解析】【解答】解：(4?3i所以虛部為-1。故答案為：-1。

【分析】利用復數乘法運算法則求出所求復數，再利用復數的虛部的定義求出所求復數的虛部。14.某種旅行箱的密碼鎖由三個數字組成（每個位置上的數字可從0~9這10個數字中任選一個）．小張購買一個旅行箱后，準備設置密碼，自上而下第一個位置的數字設置為質數，其次個位置的數字設置為奇數，第三個位置的數字設置為偶數，則他可選擇的不同密碼的個數為________．【答案】100【考點】分步乘法計數原理【解析】【解答】因為0~9中的質數為2，3，5，7，共有4個數字；0~9中奇數為1，3，5，7，9，共有5個數字；0~9中偶數為0，2，4，6，8，共有5個數字；故由分步乘法計數原理可知，他可選擇的不同密碼的個數為4×5×5=100。故答案為：100

【分析】利用已知條件結合分步乘法計數原理，從而求出他可選擇的不同密碼的個數。15.某一部件由三個電子元件按如圖方式連接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，則部件正常工作．元件1，元件2，元件3正常工作的概率分別為14，13，【答案】1【考點】互斥事務與對立事務，相互獨立事務的概率乘法公式【解析】【解答】由題意，元件1，元件2，元件3正常工作的概率分別為14，13，所以這個部件正常工作的概率為P=(1?3故答案為：14

【分析】利用已知條件得出元件1，元件2，元件3正常工作的概率分別為14，13，16.(3x?y)n綻開式中的二項式系數和為64，則n=________，綻開式中x【答案】6；-540【考點】二項式系數的性質，二項式定理的應用【解析】【解答】二項式綻開式中的二項式系數和2n=64，則(3x?y)6綻開式的通項為T由r=3，可得(3x?y)6綻開式中x3y故答案為：6；-540。

【分析】二項式綻開式中的二項式系數和的公式結合已知條件(3x?y)n綻開式中的二項式系數和為64，得出2n=64三、解答題17.在直角坐標系中，曲線C的方程為x2+y2=9，曲線C上全部點的橫坐標不變，縱坐標縮小到原來的13，得到曲線C'．以原點為極點，x軸非負半軸為極軸，建立極坐標系，射線l的極坐標方程為θ=π6(ρ≥0)，（1）求曲線C'（2）求|AB|的值．【答案】（1）解：將曲線C上全部點的橫坐標不變，縱坐標縮小到原來的13得到曲線C':x把{x=ρcosθy=ρsin

（2）設A(ρA,π6)，則ρA=3，所以|AB|=|ρ【考點】兩點間的距離公式，平面直角坐標軸中的伸縮變換，點的極坐標和直角坐標的互化【解析】【分析】（1）利用已知條件結合圖象的伸縮變換，得出曲線C'的直角坐標方程為x29+y2=1，再利用極坐標與直角坐標的互化公式，從而求出曲線C'的極坐標方程。

（2）利用已知條件結合直線l與曲線C，

18.某企業(yè)研制出一款疫苗后，招募了100名志愿者進行先期接種試驗，其中50歲以下50人，50歲及以上50人．第一次接種后10天，該企業(yè)又對志愿者是否產生抗體進行檢測，共發(fā)覺75名志愿者產生了抗體，其中50歲以下的有45人產生了抗體．50歲以下50歲以上合計有抗體沒有抗體合計填寫上面的2×2列聯表，并推斷能否有99.9%的把握認為該款疫苗是否產生抗體與接種者年齡有關．參考公式：K2=nP（K2≥k0）0.150.100.0500.0100.001k02.0722.7063.8416.63510.828【答案】解：50歲以下50歲以上合計有抗體453075沒有抗體52025合計5050100因為K2所以有99.9%的把握認為該款疫苗是否產生抗體與接種者年齡有關．【考點】獨立性檢驗的應用【解析】【分析】利用已知條件填寫2×2列聯表，再利用列聯表中的數據結合獨立性檢驗的方法，從而推斷出有99.9%的把握認為該款疫苗是否產生抗體與接種者年齡有關。19.已知函數f(x)=2x（1）求f(x)的單調區(qū)間；（2）求f(x)在[0,3]上的最值．【答案】（1）由題意，函數f(x)=2x3+3且f'令f'(x)>0，即(x+2)(x?1)>0，解得x<?2或令f'(x)<0，即(x+2)(x?1)<0，解得所以f(x)的單調遞增區(qū)間為(?∞,?2)，(1,+∞)，單調遞減區(qū)間為(?2,1).

（2）由（1），令f'(x)=0，即(x+2)(x?1)=0，解得x=?2或因為x∈[0,3]，所以x=?2舍去，即x=1，又因為f(0)=0，f(1)=?7，f(3)=45，所以f(x)在[0,3]上的最大值為f(3)=45，最小值為f(1)=?7．【考點】利用導數探討函數的單調性，利用導數求閉區(qū)間上函數的最值【解析】【分析】（1）利用已知條件結合求導的方法推斷函數的單調性，進而求出函數的單調區(qū)間。

（2）利用已知條件結合求導的方法推斷函數的單調性，進而求出函數再給定區(qū)間的最值。20.現有6位老師（含甲、乙）隨意排成一排拍照留念．（1）求甲、乙不相鄰的概率；（2）設甲、乙之間所隔人數為X，例如，當甲、乙相鄰時，X=0，求X的數學期望．【答案】（1）先將除去甲乙兩人之外的4位老師，進行全排列，共有A4在將甲乙兩位老師，利用插空法插入5個空隙中的兩個位置，共有A5所以甲乙不相鄰的排法共有24×20=480中排法，則甲、乙不相鄰的概率為P=480

（2）由題意，隨機變量X的可能取值為0，1，2，3，4，可得P(X=0)=1?23=13P(X=3)=C43所以數學期望為EX=0×1【考點】古典概型及其概率計算公式，離散型隨機變量的期望與方差，排列、組合及簡潔計數問題【解析】【分析】（1）利用已知條件結合排列數公式和插空法，再利用古典概型求概率公式，從而求出甲、乙不相鄰的概率。

（2）由題意可知隨機變量X的可能取值為0，1，2，3，4，再利用組合數公式和排列數公式，再結合古典概型求概率公式，從而求出隨機變量X的分布列，再利用隨機變量X的分布列結合數學期望公式，從而求出隨機變量X的數學期望。21.某車間生產一批零件，現從中隨機抽取10個零件，測量其內徑的數據如下（單位：cm）：87

87

88

92

95

97

98

99

103

104設這10個數據的平均值為μ，標準差為σ．（1）求μ與σ．（2）假設這批零件的內徑Z（單位：cm）聽從正態(tài)分布N(μ,σ①從這批零件中隨機抽取5個，設這5個零件中內徑大于107cm的個數為X，求D(2X+1)②若該車間又新購一臺新設備，安裝調試后，試生產了5個零件，測量其內徑分別為76，85，93，99，108（單位：cm），以原設備生產性能為標準，試問這臺設備是否須要進一步調試，說明你的理由．參考數據：若X~N(μ,σ2)，則P(μ?2σ<X≤μ+2σ)=0.954，P(μ?3σ<X≤μ+3σ)=0.997【答案】（1）解：μ=1σ2則σ=6．

（2）①因為Z~N(95,6所以P(Z>107)=P(Z>μ+2σ)=0.5?0.954則X~B(5,0.023)，所以D(X)=5×0.023×(1?0.023)=0.112355，故D(2X+1)=4D(X)=0.44942．②因為P(μ?3σ<X