2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大題題型歸納：構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)的六種方法（原卷）

第07講構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)的六種方法

弘考法一：an+i=pan+q（p/^,1,夕和）

"例題分析

【例1】

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛冊(cè)｝滿足的=1,即=2a,i-i+3（正整數(shù)n>2）

（1）求證：數(shù)列｛霰+3｝是等比數(shù)列；

⑵求數(shù)列｛總的前〃項(xiàng)和Sn.

滿分秘籍

遇到an+i=pan+q（p，0,1,q，0）的形式

第一步構(gòu)造出：an+i+t=p（an+t）的形式；

第二步利用待定系數(shù)求出t的值。

則數(shù)列｛an+t1為公比為p的等比數(shù)列。一

變式訓(xùn)練

【變式1-11已知數(shù)列｛%｝滿足冊(cè)+i=2an-+小=的?

(1)求｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式；

a

(2)若0=2n-1,數(shù)列｛%｝滿足c4A3=b2n-VQn-2=2n-lfQn-1=?2n>Qn=力2”，求｛c九｝的前4n+1項(xiàng)和

^4n+l,

【變式1-2］已知數(shù)列｛a［滿足的=1,an=30n_i+2(n>2,nGN*).

(1)求證：數(shù)列｛冊(cè)+1｝是等比數(shù)列；

(2)若%=(2n+1)(冊(cè)+1-％)，S”為數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，求Sn.

【變式1-3］在數(shù)列｛%｝中，的=』4%+i=3a-

□n□

(1)求｛an｝的通項(xiàng)公式；

⑵求數(shù)列｛|叫｝的前n項(xiàng)和S%

策考法二：an+i=pan+qn+c(p^0,l,夕#0)

-Lit例題分析

【例2】已知：4=1,九之2時(shí)，。九=g冊(cè)_1+2九一1,求｛斯｝的通項(xiàng)公式.

滿分秘籍

先構(gòu)造出a。+An+B=pla—+Afn-1)+B]_.然后利用待定系數(shù)法求出A和B的值.

即可判斷出數(shù)利也「士An+B1為公？匕為p的等比數(shù)列。—

【敏變式訓(xùn)練

【變式2-1】已知數(shù)列｛an｝滿足:%=1,an+1=2an+n-1.

(1)證明：數(shù)列｛%+m是等比數(shù)列并求數(shù)列｛冊(cè)｝的前n項(xiàng)和為端.

(2)設(shè)bn=(2n-1)?(a“+n),求數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和7\.

nn+1

①一②得：一Tn=2+2x22+2x23+…+2x2—(2n—1)?2

=2x(2+22+?-?+2n)-2-(2n-1)-2n+1

=-(2n-3)-2n+1-6

所以7n=(2U一3)?2葉1+6.

【變式2-2］設(shè)數(shù)列｛%｝滿足的=2,an-2斯_1=2-n(n€N*).

⑴求證：｛與-嗚為等比數(shù)列，并求｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式；

⑵若“=(an-n)-n,求數(shù)列也｝的前幾項(xiàng)和7\.

【變式2-3]已知數(shù)列｛an｝中，ar=1,滿足“+i=2an+2n-l(nGN*),設(shè)%為數(shù)列｛an｝的前幾項(xiàng)和.

(1)證明：數(shù)列｛an+2n+l｝是等比數(shù)列；

n

(2)若不等式4-2+Sn+4>0對(duì)任意正整數(shù)n恒成立，求實(shí)數(shù)4的取值范圍.

弘考法三：a〃+i=pa〃+r夕”

薄例題分析

【例3-1]p=q

已知數(shù)列｛冊(cè)｝的首項(xiàng)的=p滿足冊(cè)+i=+0(nEN*).

⑴求數(shù)列小｝的通項(xiàng)公式;

n

(2)設(shè)“=2an,將數(shù)列｛bn｝分組：(瓦)，(①,生),(與氏也)，(.b7,b8,bg,b10),■■■,記第n組的和為cn.

(i)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式;

⑺證明力?..?+X

【例3-2]p利

n-1

已知數(shù)列｛a九｝滿足即+i=2c1n+4x3,=1,求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式.

滿分秘籍

當(dāng)P=q時(shí).等式兩邊同時(shí)除以P,即可構(gòu)造出一個(gè)等差數(shù)列。

當(dāng)時(shí)，可設(shè)+X-&三&但口430),利用待定系數(shù)求出參數(shù)的值，即可構(gòu)

造出等比數(shù)列。

變式訓(xùn)練

n+1

［變式3-1］已知數(shù)歹支。,｝中,ci］=2,an+1-4an=2,nGN*.

(1)求證:｛冊(cè)+2日是等比數(shù)列，并求｛an｝的通項(xiàng)公式;

(2)設(shè)0=43冬：，求數(shù)列｛時(shí)｝的前n項(xiàng)的和7八

46Zn—Z+Z

n-1

【變式3-2］若數(shù)列｛an｝滿足國=2,0n+i-2an=3.

(1)證明:5+1-3an｝是等比數(shù)列；

(2)設(shè)｛%｝的前n項(xiàng)和為％,求滿足％<2023的n的最大值.

考法四：dn+2pOn+1\qtln

例題分析

【例4】已知數(shù)列｛an｝中，的=1,%=2,冊(cè)+2=|冊(cè)+1+g%i，求｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式.

滿分秘籍

設(shè)出a；i+2-sa“+i=t(a“+i-sa?).利用待定系數(shù)求出s和t的值.則可等到數(shù)列￡匈+1-

為公比拓的一不至比數(shù)或—-

變式訓(xùn)練

【變式4-1］已知數(shù)列｛an｝滿足方=3,。2=6,。九+2=2a九+]+3a九,

a

【變式4-2］已知數(shù)列｛冊(cè)｝滿足臼=1,。2=5，n+2=5冊(cè)+1—6c1n.

(1)證明：｛%+1-2%｝是等比數(shù)列；

(2)證明：存在兩個(gè)等比數(shù)列｛b｝,｛cn｝,使得冊(cè)=勾+4成立.

【變式4-3］已知數(shù)列｛冊(cè)｝滿足%=5,a2=13,且an+2=50n+i—6an(nGN*).

(1)求證：數(shù)列｛%+i-2an｝是等比數(shù)列，并求｛%｝的通項(xiàng)公式;

⑵若“-2">A(3n+1)(-1尸-1對(duì)任意的7ieN*恒成立，求實(shí)數(shù)4的取值范圍.

弘考法五：an+i=——

pan+q

F忠.例題分析

【例5］已知數(shù)列｛an｝滿足：的=2,冊(cè)=「"T,(n>2),求通項(xiàng)a”.

zan-i+l

滿分秘籍

等式兩邊同時(shí)取倒數(shù)，即可得到一個(gè)新的等比數(shù)列。

變式訓(xùn)練

【變式5-1］在數(shù)列｛an｝中,%=l,an+i=言^求

2

a=

【變式5-2］已知數(shù)列｛an｝中，ran+1=-^-.

OL一（Ln

(1)求數(shù)列｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式；

(2)求證：數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和Sn<1.

【變式5-3］已知數(shù)列｛時(shí)｝的首項(xiàng)的=|,且滿足an+i=12.

(1)求證：數(shù)列｛2-2｝為等比數(shù)列：

(2)若工+工+工+…+工<101,求滿足條件的最大整數(shù)幾

的a2a3an

考法7^：pa/

，黑，例題分析

【例6】設(shè)正項(xiàng)數(shù)列｛冊(cè)｝滿足a〕=1,an=2a^_1(n>2),求數(shù)列｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式.

滿分秘籍

兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，可以構(gòu)造出一個(gè)等比數(shù)列。.

變式訓(xùn)練

2

【變式6-1］數(shù)列｛冊(cè)｝中，的=2,an+1=an,求數(shù)列｛即｝的通項(xiàng)公式.

23.已知數(shù)列｛%J,a±=100,an+1=a^(neN*).

(1)求數(shù)列｛時(shí)｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)8n=(九+l)lgan,求數(shù)列｛bn｝的前幾項(xiàng)和7rl.

24.已知數(shù)列｛an｝滿足的=3,an+1=a^-2an+2.

(1)證明數(shù)列｛In(冊(cè)-1)｝是等比數(shù)列，并求數(shù)列｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式;

(2)若bn=L~l——r,數(shù)列｛b九｝的前n項(xiàng)和Sn,求證：Sn<2.

UJIa九一z

團(tuán)真題專練

1.已知數(shù)列｛an｝,a】=1,冗2期+1=2(n+1)2%,且6n=gan+i-

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和7n.

2.已知數(shù)列｛an｝滿足即=1,冊(cè)+1=公五，nGN*.

(1)證明：數(shù)列｛搟｝是等差數(shù)列，并求數(shù)列｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)6n=/，數(shù)列協(xié)小的前n項(xiàng)和為Sn,求使不等式Sn</c對(duì)一切neN*恒成立的實(shí)數(shù)k的范圍.

3.已知正項(xiàng)數(shù)列｛冊(cè)｝滿足3an-2an-冊(cè)一1一an_i=0(n>2)且的=

(1)求證：數(shù)列｛=-1｝為等比數(shù)列，并求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)證明：數(shù)列｛冊(cè)｝的前n項(xiàng)和S相<*

4.已知數(shù)列｛勾｝是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，數(shù)列5｝滿足an+i-30n-1=0,且①+1=。2,刖=1.

(1)求數(shù)列｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式；

(2)令7=(1n,bn,求數(shù)列｛cn｝的前一項(xiàng)和7n.

5.已知數(shù)列｛a九｝滿足％=1,且%+i=2a九+3(九￡N*).

(1)設(shè)"=a九+3(九6N*),求證｛bn｝是等比數(shù)列;

(2)求數(shù)列｛冊(cè)｝的前幾項(xiàng)和S九.

6.設(shè)數(shù)列｛a九｝滿足的=0,--------—=1

l-a葭+il-an

(1)求｛an｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)b=上需亙，記%=2：G匕H證明：S九＜1.

7.已知數(shù)列｛%J,｛匕九｝滿足2a-a=16aa,b=—~16.證明｛g｝為等比數(shù)列，并求｛“｝

18n+1nn+1nn%i

的通項(xiàng)公式；

n

8.在數(shù)列｛aj中,。=1,an+1=2an+2.

(1)設(shè)"=令，證明：數(shù)列｛0｝是等差數(shù)列；

(2)求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式即.

2

9.已知數(shù)列｛。九｝和也｝滿足：的=an+1=2an+1,數(shù)列也｝的前幾項(xiàng)和為S九=n+n.

(1)求數(shù)列｛冊(cè)｝和｛bn｝的通項(xiàng)公式：

(2)設(shè)數(shù)列7=an-bn,求數(shù)列｛cn｝的前幾項(xiàng)和7\.

10.已知數(shù)列｛冊(cè)｝滿足的=1,(n—l)an—nan-r=0(n>2).

⑴求數(shù)列｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式；

n

(2)若8n=2-an,求數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和Sn.

11.已知數(shù)列｛冊(cè)｝中，的=2,n(0n+i-a中=%+1.

(1)求證：數(shù)列｛巴乎｝是常數(shù)數(shù)列；

n

(2)令g=(—l)an,Sn為數(shù)列｛勾｝的前幾項(xiàng)和，求使得snW-99的n的最小值.

12.已知數(shù)列｛an｝滿足的=1,a2=6,且“+i=4an-4冊(cè)_1，(n22,neN*).

(1)證明數(shù)列｛冊(cè)+i-2an｝是等比數(shù)列，并求數(shù)列｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列｛冊(cè)｝的前n項(xiàng)和Sn.

13.已知數(shù)列｛冊(cè)｝中，的=5且an=2an_i+2"—ri€N*),bn-

⑴求證：數(shù)列仍，是等比數(shù)列；

(2)從條件①｛"+%｝,②｛n-6“｝中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面的問題中并給出解答.

求數(shù)列的前n項(xiàng)和7n.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

14.已知數(shù)列｛an｝滿足的=|,2(n-1)GI?-nan_x-0,(n>2).

⑴求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)當(dāng)％=an+i-an+n時(shí),求數(shù)列｛cj的前n項(xiàng)和為7n.

15.在數(shù)列｛冊(cè)｝中，%=5,且冊(cè)+i=2冊(cè)—1(九EN*).

(1)證明：｛冊(cè)