高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型與專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系（題型戰(zhàn)法）

第八章平面解析幾何

8.5.1直線與圓錐曲線的位置關(guān)系（題型戰(zhàn)法）

知識(shí)梳理

一直線與橢圓的位置關(guān)系

..片h<m.

直線與橢圓\+g=l（a>6>0）的位置關(guān)系的判斷方法：聯(lián)立丁J

消去了得到一個(gè)關(guān)于X的一元二次方程.

/>0=有兩個(gè)公共點(diǎn)；』=0=有一個(gè)公共點(diǎn)；/<0=有o個(gè)公共點(diǎn).

二直線與雙曲線的位置關(guān)系

設(shè)直線/：y=kx+m（加加），①雙曲線C：0W=1（。>0,6>0）,②

222222

把①代入②得（所-次左2）x-2amkx-am-ab=0.

（1）當(dāng)層〃左2=0,即仁/時(shí)，直線/與雙曲線。的漸近線平行，直線與雙曲線，相交于一點(diǎn).

（1

（2）當(dāng)加-層儲(chǔ)加，即劃土立時(shí)，/=（-2〃加左）2_4（〃一〃2廬）（_〃2加2_/62）.

fj

/>0今有兩個(gè)公共點(diǎn)；』=0今有一個(gè)公共點(diǎn)；』<0今有0個(gè)公共點(diǎn).

三直線與拋物線的位置關(guān)系

直線>=區(qū)+6與拋物線產(chǎn)=28。>0）的交點(diǎn)個(gè)數(shù)決定于關(guān)于X的方程組‘"解的個(gè)數(shù)，即二

lr=2px

次方程左2（+2（劭-p）x+b2=0解的個(gè)數(shù).

當(dāng)厚0時(shí)，若/>0,則直線與拋物線有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)；若/=0,直線與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)；

若/<0,直線與拋物線沒(méi)有公共點(diǎn).

當(dāng)左=0時(shí)，直線與拋物線的軸平行或重合，此時(shí)直線與拋物線有1個(gè)公共點(diǎn).

四弦長(zhǎng)公式

若斜率為H后0）的直線與圓錐曲線相交于N（xi,以）,8（x2,/）兩點(diǎn)，則口|=>"福而

題型戰(zhàn)法

題型戰(zhàn)法一直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

22

典例1.直線y=2x-i與橢圓士+匕=1的位置關(guān)系是（）

94

A.相交B.相切C.相離D.不確定

22

變式1-1.直線y=x+2與橢圓L+匕=1有兩個(gè)公共點(diǎn)，則m的取值范圍是（）

m3

A.（-oo,0）u（l,+oo）B.（0,3）u（3,+oo）C.（1,3）u（3,+oo）D.

變式1-2.過(guò)尸（0,2）且與雙曲線2f-y2=l有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有（）

A.1條B.2條C.3條D.4條

22

變式1-3.若直線y=依與雙曲線土-匕=1相交，則左的取值范圍是

94

A?［端B.1C.口.（1,+-

變式1-4.過(guò)點(diǎn)（0,2）與拋物線y2=8%只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有（）

A.1條B.2條C.3條D.無(wú)數(shù)條

題型戰(zhàn)法二圓錐曲線中的弦長(zhǎng)、焦點(diǎn)弦問(wèn)題

典例2.已知橢圓C:三+上=1的左、右焦點(diǎn)分別為耳、過(guò)乙且斜率為1的直線/交橢圓c于/、

43

8兩點(diǎn)，則|明等于（）

D,也

A2412「1272

ABR-7

-T77

變式2-1.直線＞=x+冽與橢圓］+產(chǎn)=1交于/,8兩點(diǎn)，若弦長(zhǎng)|,則實(shí)數(shù)m的值為（）

A.土!B.±1

D.±2

2C-

變式22直線x-y=O與雙曲線2f-/=2有兩個(gè)交點(diǎn)為A,B,則|的=（）

A.2B.272C.4D.472

變式2-3.已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為尸，過(guò)點(diǎn)尸且傾斜角為45的直線/與拋物線分別交于A3兩

點(diǎn)，則|明=（）

A.1B.3C.6D.8

22

變式24過(guò)雙曲線]-《=1（穌0）的右焦點(diǎn)尸作直線/與雙曲線交于A,8兩點(diǎn)，使得|AB|=6,

若這樣的直線有且只有兩條，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.（0,l]u（3,+?）B.（0,1）（3,同

C.（0,1）D.（3,+8）

題型戰(zhàn)法三圓錐曲線的中點(diǎn)弦問(wèn)題

22

典例3.如果橢圓a+方=1的弦被點(diǎn)（4,2）平分，則這條弦所在的直線方程是（）

A.x-2y=0B.x+2y-4=0

C.2x+3y—14=0D.%+2y-8=0

22

變式3-1.已知雙曲線c：,左=i（“>o力>o）與斜率為1的直線交于/,8兩點(diǎn)，若線段N8的中點(diǎn)

為（4,1）,則。的離心率e=（）

A.V2B.—C.&D.6

32

變式3-2.已知雙曲線。的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，其中一個(gè)焦點(diǎn)為尸（-2,0）,過(guò)尸的直線/與雙曲線C

交于2、8兩點(diǎn)，且Z8的中點(diǎn)為N（-3,-1）,則。的離心率為（）

A.V2B.—C.好D.73

32

2

變式3-3.已知雙曲線C:Y年=1（6>0）的離心率為2,過(guò)點(diǎn)“3）的直線與雙曲線。交于4,B

兩點(diǎn)，且點(diǎn)尸恰好是弦A3的中點(diǎn)，則直線AB的方程為（）

A.2x-y-3=0B.2x+y-9=0C.3x-y-6=0D.%+y-6=0

變式3-4.已知拋物線C：J=6y,直線/與。交于48兩點(diǎn)，若弦A2的中點(diǎn)為（1,4）,則直線/

的斜率為（）

A.——B.3C.-D.一3

33

題型戰(zhàn)法四圓錐曲線中的向量問(wèn)題

典例4.已知尸為橢圓C：￡+V=i的右焦點(diǎn)，尸，。為橢圓C上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足"2,則外.。戶(hù)

4

的最小值為（）

A.V3B.2C.7-4括D.2-y/3

變式4-1.橢圓9+產(chǎn)=1的焦點(diǎn)為耳，外，點(diǎn)M在橢圓上，且町?Mg=0,則M到y(tǒng)軸距離為（）

A.3B.242C.—D.—

33

變式42已知橢圓C:/]=l,若直線/經(jīng)過(guò)河（0,1）,與橢圓交于A、8兩點(diǎn)，且--輛，

則直線/的方程為（）

112

A.y=±-x+lB.y=±-x+lC.y=±x+lD.y=±-x+l

2

變式4-3.經(jīng)過(guò)雙曲線/一（=1的右焦點(diǎn)作傾斜角為45。的直線/,交雙曲線于A,5兩點(diǎn)，設(shè)。為

坐標(biāo)原點(diǎn)，則。05等于（）

A.-1B.1C.2D.-2

22

變式4-4.已知雙曲線C：*■-齊=1(。>0,6>0)的右焦點(diǎn)為尸，B是虛軸的一個(gè)端點(diǎn)，線段即與C

的右支交于點(diǎn)若BM=3MF,則C的漸近線的斜率為()

A.±2B.C.土逅D.土巫

333

題型戰(zhàn)法五圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值、定直線

典例5.已知橢圓C：/■+/=l(a>b>0)的右頂點(diǎn)是M(2,0),離心率為

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2)過(guò)點(diǎn)7(4,0)作直線/與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)48,點(diǎn)8關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為。，問(wèn)直線

是否過(guò)定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

22

變式5-1.已知橢圓E*+方=1(“>6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為耳、工，”是橢圓的上頂點(diǎn)，且△叫入

是面積為1的等腰直角三角形.

(1)求橢圓E的方程；

(2)已知直線/:x-0y+l=O與橢圓E交于45兩點(diǎn)，判斷橢圓E上是否存在點(diǎn)P,使得四邊形

O/P8恰好為平行四邊形，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

變式5-2.已知橢圓C￡+g=1(。>6>0)的長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為A(-2,0),3(2,0)離心率為3.

ab2

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)"為橢圓C上除8外任意一點(diǎn)，直線40交直線X=4于點(diǎn)N,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。且

與直線8N垂直的直線記為/,直線交了軸于點(diǎn)P,交直線/干點(diǎn)0,求證：畏j為定值.

22

變式5-3.已知雙曲線C：方=1(“>°，"°)的右焦點(diǎn)為P，左頂點(diǎn)為/，且照=2+卮P到

。的漸近線的距離為1,過(guò)點(diǎn)3(4,0)的直線/與雙曲線。的右支交于P,0兩點(diǎn)，直線NP,與〉

軸分別交于"，N兩點(diǎn).

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2)若直線M3,N5的斜率分別為勺，k2,判斷左他是否為定值.若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)

明理由.

變式54已知橢圓Cj+A(a>“。)的離心率為冬且過(guò)點(diǎn)心

(1)求橢圓C的方程；

(2)點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)。的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)B,與直線AB平行的直線/與C交于點(diǎn)M,N,直線A"與3N交于

點(diǎn)尸，點(diǎn)尸是否在定直線上？若在，求出該直線方程；若不在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

題型戰(zhàn)法六圓錐曲線中的最值、范圍

典例6.已知橢圓C：5+/l(a>b>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)"其右焦點(diǎn)為46。).

(1)求橢圓C的離心率；

(2)若點(diǎn)尸，。在橢圓C上，右頂點(diǎn)為A,且滿(mǎn)足直線AP與A。的斜率之積為5.求4尸。面積的最大

值.

變式6-1.已知橢圓￡+]=1的左右焦點(diǎn)分別為耳，尸2,離心率為巫，尸是橢圓上一點(diǎn)，且APG與

ab2

面積的最大值為1.

(1)求橢圓的方程；

(2)過(guò)F?的直線交橢圓于M,N兩點(diǎn)，求的取值范圍.

變式6-2.設(shè)雙曲線C:]-產(chǎn)=1,其右焦點(diǎn)為尸，過(guò)尸的直線/與雙曲線。的右支交于5兩點(diǎn).

(1)求直線I傾斜角。的取值范圍；

(2)直線N。(O為坐標(biāo)原點(diǎn))與曲線C的另一個(gè)交點(diǎn)為。，求面積的最小值，并求此時(shí)/

的方程.

變式6-3.已知雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，中心在原點(diǎn)，離心率為竽，且過(guò)點(diǎn)(通,1).

(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)雙曲線的左右頂點(diǎn)為A,3,且動(dòng)點(diǎn)C(〃[,〃)，。(租,-〃)在雙曲線上，直線2C與直線AD交于點(diǎn)P,

貝-也0),7V(A/2,O),求俞.樂(lè)的取值范圍.

變式6-4.已知拋物線C：f=2py(p>0)的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2,直線/：y=履+2交拋物線于

4(%，%)，雙9，％)兩點(diǎn).

(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過(guò)點(diǎn)A,8分別作拋物線C的切線乙，4，點(diǎn)？為直線4,4的交點(diǎn).

(i)求證：點(diǎn)尸在一條定直線上；

(ii)求面積的取值范圍.

第八章平面解析幾何

8.5.1直線與圓錐曲線的位置關(guān)系（題型戰(zhàn)法）

知識(shí)梳理

一直線與橢圓的位置關(guān)系

「尸=紅+而

直線〉=區(qū)+加與橢圓工+白=1伍乂>0）的位置關(guān)系的判斷方法：聯(lián)立Jr

"6尸=L

消去了得到一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程.

/>0=有兩個(gè)公共點(diǎn)；/=0n有一個(gè)公共點(diǎn)；/<0n有。個(gè)公共點(diǎn).

二直線與雙曲線的位置關(guān)系

設(shè)直線/：y=kx+m（加用），①雙曲線C：=￡=1（a>0,b>0）,②

er-hr-

才巴①代入②得（加-層爐）x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0.

（1）當(dāng)〃-次嚴(yán)=0,即上土S時(shí)，直線/與雙曲線。的漸近線平行，直線與雙曲線，

fl

相交于一點(diǎn).

（2）當(dāng)〃-次左2加，即厚時(shí),/=（-2層加左）2-4（反-）（_〃2加2_〃2力2）.

/>0o有兩個(gè)公共點(diǎn)；/=0o有一個(gè)公共點(diǎn)；/<0今有。個(gè)公共點(diǎn).

三直線與拋物線的位置關(guān)系

直線〉=任+6與拋物線V=2Q；S>0）的交點(diǎn)個(gè)數(shù)決定于關(guān)于X的方程組："’解

Lr=2Ax

的個(gè)數(shù)，即二次方程左2/+2（姑一Mx+〃=0解的個(gè)數(shù).

當(dāng)好0時(shí)，若/>0,則直線與拋物線有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)；若』=0,直線與拋物線

有一個(gè)公共點(diǎn)；若/<0,直線與拋物線沒(méi)有公共點(diǎn).

當(dāng)左=0時(shí)，直線與拋物線的軸平行或重合，此時(shí)直線與拋物線有1個(gè)公共點(diǎn).

四弦長(zhǎng)公式

若斜率為左（導(dǎo)0）的直線與圓錐曲線相交于“（xi,yi）,B（X2,>2）兩點(diǎn)，則|“用=

\/(l+FM(jfi+x2)2-4jrR].

題型戰(zhàn)法

題型戰(zhàn)法一直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

22

典例1.直線y=2x-i與橢圓一+。=1的位置關(guān)系是()

94

A.相交B.相切C.相離D.不確定

【答案】A

【分析】根據(jù)直線恒過(guò)且(0,-1)在橢圓內(nèi)可直接得到結(jié)論.

八2i21

【詳解】在橢圓內(nèi)，

22

.~=2%-1恒過(guò)點(diǎn)(0,—1),???直線y=2x-l與橢圓土+?=1相交.

故選：A.

變式1-1.直線丫=尤+2與橢圓工+￡=1有兩個(gè)公共點(diǎn)，則m的取值范圍是()

m3

A.(-oo,0)o(l,+oo)B.(0,3)u(3,+oo)C.(l,3)u(3,+oo)D.(L+oo)

【答案】C

【解析】聯(lián)立直線和橢圓方程得［：丁+22得力＞1或機(jī)＜0,又因?yàn)闄C(jī)＞0,m23,

綜合即得解.

【詳解】聯(lián)立直線和橢圓方程得I；："：々，

+my=3m

所以(3+m)x2+4mx+m=0,

所以A=16/-4皿加+3)＞0,

所以機(jī)＞1或m＜0,

因?yàn)闄C(jī)＞0,mw3

所以機(jī)＞1且加。3.

故選：C

【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，意在考查學(xué)

生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.

變式1-2.過(guò)P(0,2)且與雙曲線2/_V=1有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有()

A.1條B.2條C.3條D.4條

【答案】D

【分析】設(shè)出直線的方程，與雙曲線的方程聯(lián)立，結(jié)合方程解的情況進(jìn)行求解.

【詳解】當(dāng)斜率不存在時(shí)，過(guò)P的直線與雙曲線沒(méi)有公共點(diǎn)；

當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線為、=丘+2,聯(lián)立,；；：：：］，得（2-公卜2一45=0①.

當(dāng)2-斤=o，即左=±忘時(shí)，①式只有一個(gè)解；

當(dāng)2—左2/0時(shí)，貝l1A=16左2+20（2—左2）=0,解得4=土國(guó)；

綜上可知過(guò)網(wǎng)0,2）且與雙曲線2/=1有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有4條.

故選：D.

22

變式1-3.若直線＞=近與雙曲線土-工=1相交，則上的取值范圍是

94

【答案】C

【分析】聯(lián)立直線和雙曲線的方程得到無(wú)2=丁之＞0,即得上的取值范圍.

4-9k

【詳解】聯(lián)立直線和雙曲線的方程得4x2-9k2x2=36,.-.（4-9/）/=36,

2

當(dāng)4-9/=0,即/=±（時(shí)，直線和雙曲線的漸近線重合，

所以直線與雙曲線沒(méi)有公共點(diǎn).

2

當(dāng)4-9rw0,即左w±|?時(shí)，%=2＞0,

34-9k

22

解之得

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查直線和雙曲線的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握

水平和分析推理能力.

變式1-4.過(guò)點(diǎn)（。，2）與拋物線y2=8x只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有（）

A.1條B.2條C.3條D.無(wú)數(shù)條

【答案】C

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)（0⑵在拋物線外面，與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線有2條切線，1

條和對(duì)稱(chēng)軸平行，故3條.

題型戰(zhàn)法二圓錐曲線中的弦長(zhǎng)、焦點(diǎn)弦問(wèn)題

22

典例2.已知橢圓C:三+上=1的左、右焦點(diǎn)分別為耳、F,過(guò)工且斜率為1的直線

432

/交橢圓C于/、5兩點(diǎn)，則|AB|等于（）

A.胃B.上C.區(qū)D.處

【答案】A

【分析】利用弦長(zhǎng)公式求解即可.

22

【詳解】設(shè)直線方程為，="1,聯(lián)立橢圓方程工+匕=i

43

整理可得：7爐—8%-8=0,設(shè)尤2，%），

則%+%='!，根據(jù)弦長(zhǎng)公式有：

A5=J1+左?,J（X]+X2）2—4玉?九2二亍?故B,C,D錯(cuò)誤.

故選：A.

變式2-L直線y=x+加與橢圓]+丁=1交于4,2兩點(diǎn)，若弦長(zhǎng)出洌=乎，則實(shí)

數(shù)m的值為（）

A.+-B.±1C.±-D.±2

22

【答案】B

【分析】聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，化簡(jiǎn)寫(xiě)出根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合|胴|求得加的

值.

y=x+m

【詳解】設(shè)4（xi,yi）,B（%2,"）,聯(lián)立＜f,整理可得：3x2+4mx+2m2-2

——+y=1

12

4m2m2-2

=n0,貝UXl+X2=---,X1X2=------,

33

所以弦長(zhǎng)MB尸W.河ww=J1W_4wn;后卜普,

由題意可得：21=半=在白子,解得：m=±l.

故選：B

變式2-2.直線％-y=0與雙曲線2f_y2=2有兩個(gè)交點(diǎn)為A,B,則|他|=（）

A.2B.2應(yīng)C.4D.4垃

【答案】C

【解析】直線方程與雙曲線方程聯(lián)立方程組，直接解得交點(diǎn)坐標(biāo)，再計(jì)算兩點(diǎn)間距

離.

2尤2_,2=2大1=6X2=_A/2

【詳解】由,得

x-y=O卜=6%=一也

■■\AB\=J僅0”(2鬲=4.

故選：C.

變式2-3.已知拋物線丁=4尤的焦點(diǎn)為歹，過(guò)點(diǎn)歹且傾斜角為45的直線/與拋物線

分別交于A3兩點(diǎn)，則|4?|=（）

A.1B.3C.6D.8

【答案】D

【分析】由題意可得直線/與的方程為>=x-l,代入拋物線方程得Y一6x+l=0,根

據(jù)韋達(dá)定理與焦半徑的公式即可求出|鈣|的值.

【詳解】解：由題意可知尸（1,0）,所以直線/與的方程為y=x-i,

聯(lián)立直線方程和拋物線方程[丁丁，可得x2-6x+l=0,

U=4x

設(shè)4%,、1）,8（孫為），

則占+%=6,XjX2=6,

所以|他|=|4尸|+|3尸|=芯+尤2+夕=6+2=8.

故選：D.

22

變式2-4.過(guò)雙曲線1r-q=1（°>0）的右焦點(diǎn)尸作直線/與雙曲線交于A,8兩點(diǎn),

使得|AB|=6,若這樣的直線有且只有兩條，則實(shí)數(shù)”的取值范圍是（）

A.（0,1]U（3,+OD）B.（0,1）（3,問(wèn)

C.（0,1）D.（3,+8）

【答案】B

【分析】分別求解A,8在同一支上和不在同一支上IABI*,結(jié)合這樣的直線有且

2a>62a<6

只有兩條，列出不等式組6/或6即得解

—<6—>6

[a

【詳解】若A,B在同一支上，當(dāng)IABL,時(shí)鈣為雙曲線的通經(jīng)，即有|48京=也=9;

aa

若A,B不在同一支上，則1483=20.

\2a>62a<6

因?yàn)?與2“不可能同時(shí)等于6,所以6,或〈6,

CL—<O—>6

、a

解得a>3或。<。<1

故選：B

題型戰(zhàn)法三圓錐曲線的中點(diǎn)弦問(wèn)題

22

典例3.如果橢圓好］=1的弦被點(diǎn)（4,2）平分，則這條弦所在的直線方程是（）

A.x-2y=0B.%+2丁-4=0

C.2%+3y—14=0D.x+2y—8=0

【答案】D

R4

【分析】設(shè)點(diǎn)代入方程，兩式相減得到白+?左=0,得到直線斜率，解得直線方程.

Jo9

2222

【詳解】設(shè)交點(diǎn)分別為A（/X）,B（x2,y2）,則［+今=1,今+*=1,

369369

兩式相減得到E+%）Ef）+5+>2）（X乃）=0,即5+卜=0,解得上=_：.

3693692

故直線方程為：y=-；（x-4）+2,即x+2y-8=0.

故選：D.

22

變式3-1.已知雙曲線c：*-3=im>o/>0）與斜率為1的直線交于4,3兩點(diǎn)，若線

ab

段N8的中點(diǎn)為（4,1）,則。的離心率e=（）

A.V2B.—C.更D.V3

32

【答案】C

【分析】中點(diǎn)弦問(wèn)題利用點(diǎn)差法處理.

2222

【詳解】法一：設(shè)4G，乂），3（孫％）,則其-普=1,與-普=1,

abab

所以伍+%）仆—）一（%+%）,2f）=0,又的中點(diǎn)為（4,1）,

ab

所以玉+々=8,%+%=2,所以上工=弊，由題意知上耳=1,

x2-xla4—玉

所以3=1,即則C的離心率e=\"5=@?故A,B,D錯(cuò)誤.

故選：C.

法二：直線過(guò)點(diǎn)（4』），斜率為1,所以其方程為A1="4,即y=x-3,

22

代入鼻-2=1并整理得9?-/+6/x_媛-a2b2=0,

cib

因?yàn)椋?,1）為線段N8的中點(diǎn)，所以-^^=2x4,整理得"=仍2,

b-a

所以C的離心率e=Jl+「=與故A,

B,D錯(cuò)誤.

故選：C.

變式3-2.已知雙曲線C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，其中一個(gè)焦點(diǎn)為b（-2,0）,過(guò)戶(hù)的直線

/與雙曲線C交于幺、3兩點(diǎn)，且48的中點(diǎn)為N（-3,-1）,則。的離心率為（）

A.V2B.2C.&D.V3

32

【答案】B

【分析】利用點(diǎn)差法即可.

【詳解】由尸、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)得直線/的斜率上=1.

???雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)為（-2,0）,“=2.

22

設(shè)雙曲線C的方程為宏母=l（a>0,b>0）,則〃+/=4.

設(shè)A（XQI）,3（%，%），則占+%=-6,y,+y2=-2,彳二

由￥-/=1,4爺=1得（尤］+%）（占一%）（弘+必）（弘一%）

=0,

a2b2

-62

1222

即+^7=0,/.a—3b,易得〃?=3,Z?=1,c=4f

???雙曲線C的離心率e，=3叵.

a3

故選：B.

2

變式3-3.已知雙曲線C:/-與=l（b>0）的離心率為2,過(guò)點(diǎn)P（3,3）的直線與雙曲線

b

。交于45兩點(diǎn)，且點(diǎn)尸恰好是弦A3的中點(diǎn)，則直線AB的方程為（）

A.2x-y-3=0B.2x+y-9=0C.3x-y-6=oD.x+y-6=0

【答案】C

【分析】運(yùn)用點(diǎn)差法即可求解

【詳解】由已知得/=1,又e=9=2,c2=a2+b2,可得從=3.

a

則雙曲線。的方程為/-9=1.設(shè)A&,yJ,B（x2,y2）,

x2_y,T

玉丁一L22

則2兩式相減得儲(chǔ)-考）-江&=。，

卜-9，

即（%+%）-3+%!>/％）=0

又因?yàn)辄c(diǎn)尸恰好是弦A3的中點(diǎn)，所以%+尤2=6,yt+y2=6,

所以直線A3的斜率為上二&=史必=3,

%一迎必+必

所以直線A3的方程為y-3=3（x-3）,即3x-y-6=0.

經(jīng)檢驗(yàn)滿(mǎn)足題意

故選：C

變式3-4.已知拋物線C：V=6y,直線/與C交于兩點(diǎn)，若弦A3的中點(diǎn)為（1,4）,

則直線/的斜率為（）

A.——B.3C.—D.一3

【答案】C

【分析】利用點(diǎn)差法計(jì)算可得；

【詳解】解：設(shè)AQ，%）,g，%），則卜V”所以X-%-6%，整理得

g=6%

X-3=4+/

xx-x26*

因?yàn)橄褹3的中點(diǎn)為（L4）,所以*二匹=笠三=!=；,即直線/的斜率為

Aj--%2O03J

故選：C

題型戰(zhàn)法四圓錐曲線中的向量問(wèn)題

典例4.已知產(chǎn)為橢圓C：—+y2=l的右焦點(diǎn)，P,Q為橢圓C上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足

4'

FPLFQ，則嚴(yán).0月的最小值為()

A.>/3B.2C.7-4若D.2-6

【答案】C

【分析】根據(jù)平面垂直向量的數(shù)量積表示可得"1。=0,利用平面向量的線性運(yùn)算

將EPQP變形為網(wǎng)\設(shè)尸(x,y)(-2WxW2),利用兩點(diǎn)坐標(biāo)求出，尸『，結(jié)合二次函

數(shù)的性質(zhì)即可求出最小值.

【詳解】由題意得，由尸尸尸2,得尸尸?尸Q=0,

則".。尸=尸尸，(尸「一尸0)=叮~FPFQ=FP=\FP\,

設(shè)P(x,y)(-2WxW2),由F(g,O),得FP=(x-4,y),

則加尸『=(X-A/3)2+y2=(%-A/3)2+(1-—)=-(^x-4)2,

又-2WxW2,由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，

(卜尸卜皿=%有x2-4y=7-4有，

所以EP?QP的最小值為7s

故選：C.

變式4-1.橢圓寧+；/=1的焦點(diǎn)為《，鳥(niǎo)，點(diǎn)M在橢圓上，且町小=0,則M

到y(tǒng)軸距離為()

A.3B.2&C.—D.—

33

【答案】C

【解析】設(shè)〃(不，為)，代入橢圓方程；根據(jù)町.磔=0及向量垂直的坐標(biāo)關(guān)系，可

得療+為2=3,解方程組即可求得飛的值，進(jìn)而可得M到J7軸的距離.

【詳解】設(shè)〃(X。，幾)，點(diǎn)M在橢圓;+>2=1上，

所以4婷=1,①

橢圓片+>2=1的焦點(diǎn)為K，F(xiàn)2,

4

則耳f。）,乙（3o）,

所以加耳=（—0―％,一%）,MF。=（6-x°,-y。）,

由MF；?瓶=0,

可得（一代―無(wú)o,-%）-（8-%,一%）=0,

化簡(jiǎn)可得嫣+%2=3,②

聯(lián)立①②可解得勺=±孚,

故M到y(tǒng)軸的距離為平,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系，平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)

22

變式42已知橢圓（?（+?=1,若直線/經(jīng)過(guò)M（0』），與橢圓交于A、B兩點(diǎn),

且叱=-,8,則直線/的方程為（）

A.y=±-x+1B.y=±—x+1C.y=±x+lD.y=±—x+1

233

【答案】B

【分析】設(shè)直線/的方程為風(fēng)yT）=x,A（XJ）,B（x2,y2）.聯(lián)立直線與橢圓方程,

消元，由=可得y「i=_|(y2_i).再利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得出.

【詳解】解：設(shè)直線/的方程為機(jī)(y-D=x,A(%,%),B(x2,y2).

m(y-I)=x

聯(lián)立%22,化為(9+5機(jī)2)y2_10機(jī)2y+5機(jī)2-45=0,

——+—=1

I95

10m25m2-45

22

MA=--MB,.?.y1-l=--(>2-l),聯(lián)立解得利=±3.

則直線/的方程為y=土;x+1.

故選：B.

2

變式4-3.經(jīng)過(guò)雙曲線/-q=1的右焦點(diǎn)作傾斜角為45。的直線/,交雙曲線于A,B

兩點(diǎn)，設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則等于()

A.-1B.1C.2D.-2

【答案】B

【解析】先依題意寫(xiě)出直線/的方程，聯(lián)立直線與雙曲線方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)

合向量的數(shù)量積運(yùn)算計(jì)算即得結(jié)果.

【詳解】由雙曲線的方程爐-!=1可知，右焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0),

.?./的直線方程可設(shè)為y=x-2,

設(shè)4(和乂),3(孫％)，則應(yīng)?加=］巧+%為，

f上=1

聯(lián)立3一可得2/+4x-7=0,

j=x-2

7c

玉%2=——f玉+/=—2,

79

=(-^-2)(x2-2)=-2(^+x2)+4=-—+4+4=—,

79

:.OAOB=——+-=1.

22

故選：B.

22

變式4-4.已知雙曲線C：十方=l(a>0,6>0)的右焦點(diǎn)為F,B是虛軸的一個(gè)端

點(diǎn)，線段即與C的右支交于點(diǎn)"，若則C的漸近線的斜率為()

A.±2B.±|C.土逅D.±-

333

【答案】D

【分析】設(shè)”(x，y),根據(jù)BM=34屈，表示出點(diǎn)M的坐標(biāo)，再由點(diǎn)河在雙曲線上,

代入雙曲線方程求解.

【詳解】設(shè)"(")，

因?yàn)殡p曲線的右焦點(diǎn)為尸，8是虛軸的一個(gè)端點(diǎn),

貝1|年,0),以0,6),所以5M=(x,y-b),MF=(c-xi-y),

因?yàn)?M=3跖?

3

x=-c

x=3(c-x)4

所以解得

y—b=—3yb

y=l

因?yàn)辄c(diǎn)M在雙曲線上,

解得提=?,

所以漸近線的斜率為±2=±EZ=+F3=±述,

aA\a2Va3

故選：D

題型戰(zhàn)法五圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值、定直線

典例5.已知橢圓C：/+}=l(a>6>0)的右頂點(diǎn)是"(2,0),離心率為，

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2)過(guò)點(diǎn)7(4,0)作直線/與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)N,B,點(diǎn)5關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)

為。，問(wèn)直線是否過(guò)定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

22

【答案】⑴+1=1

(2)是，定點(diǎn)(1,0)

【分析】(1)由離心率的值和右頂點(diǎn)坐標(biāo)，得出橢圓C的方程；

(2)顯然直線A2的斜率存在，設(shè)直線A3的方程為：>=%(尤-4),與橢圓方程聯(lián)立，

設(shè)A(±,y,),B?,%),-%),利用韋達(dá)定理求出直線AT>的方程，得到與x軸

交點(diǎn)為定值，從而得出直線AD過(guò)定點(diǎn).

(1)

由右頂點(diǎn)是M(2,0),得a=2,又離心率e=；，，所以c=l,

2a

22

所以〃=/一。2=3,所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為工+工=1.

43

(2)

設(shè)人,為),3(孫％),顯然直線/的斜率存在.

y=左(無(wú)一4),

直線/的方程為，=左（》-4）,聯(lián)立方程組

3尤2+4/=12

消去y得(4左2+3卜2—32人,x+64左2—12=。，由△>(),――<k<—,

32kl64左2-12

所以%+3=4獷+3'="43+3

因?yàn)辄c(diǎn)所以直線/。的方程為產(chǎn)"21"-無(wú)J+M%「4）.

—X?

又%+%=左（玉+々—8）,

244Ax（%,+x9-8）+左（3—4）（%2一芯）

所以直線功的方程可化為+3廣'；々一芯

_24-_______24k_24左：、

即》（%2—%）（4左2+3）（尤2—%）（4左2+3）（%2—再）（4左2+3），

所以直線恒過(guò)點(diǎn)（1,0）.

（方法二）設(shè)A（%，x）,以々，%），直線/的方程為x=2y+4,

聯(lián)立方程組13X7^=12消去X得（3蘇+4）寸+24沖+36=0,

6

由A>0,得〃?>2或根<一2，所以％+%=一°",%%=。J,

3m+43m+4

因?yàn)辄c(diǎn)。（程-%），則直線AD的方程為y=乂土匹（x-xj+%.

X,一A9

又玉―/=7財(cái)+4_7佻_4=〃2（%—%）,

所以直線的方程可化為

Y「（X+%）（x⑺_4Uy.1+%m（X+%）（，孫+4）+%M%—%）

m

y~（\y\十%一/十/\

機(jī)（%—y）機(jī)（必一%）機(jī)（必一%）

”+>2x?2初％必+4(3+%)24

制%f)制%-M)im2+4)(

此時(shí)直線幺。恒過(guò)點(diǎn)（1,0）,

當(dāng)直線/的斜率為0時(shí)，直線/的方程為了=0,也過(guò)點(diǎn)（1,0）.

綜上，直線/D恒過(guò)點(diǎn)（1,0）.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：借助韋達(dá)定理表示直線4D的方程，是確定定點(diǎn)的關(guān)鍵.

22

變式5-1.已知橢圓E：a+}=l（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為6、K,M是橢圓的上

頂點(diǎn)，且△加不入是面積為1的等腰直角三角形.

（1）求橢圓E的方程；

⑵已知直線/“-0>1=0與橢圓￡交于48兩點(diǎn)，判斷橢圓￡上是否存在點(diǎn)尸,

使得四邊形04必恰好為平行四邊形，若存在，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)

明理由.

【答案】⑴]+9=1

（2）存在，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為卜

【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形可得匕=C=1M=0，然后寫(xiě)出橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

，2?

--Fy=1

（2）由題意可設(shè)35,%）,聯(lián)立j2-，根據(jù)韋達(dá)定理和四邊形0AP3

x=y/2y-1

恰好為平行四邊形可得點(diǎn)P的坐標(biāo).

⑴

由已知得耳（一。，0），鳥(niǎo)（。，0）,設(shè)M（0,6）.

△嗎工是面積為1的等腰直角三角形，

Z?—c--1,62—

.??橢圓E的方程為:+y2=i

⑵

由題意可設(shè)&（%，%）,為）.

，2一

--by-1.—

聯(lián)立<2整理得4y2-26y—1=0,則△=8+16>0.

x=6y一\

X+%=f

根據(jù)韋達(dá)定理得

1

假設(shè)存在點(diǎn)尸滿(mǎn)足四邊形。恰好為平行四邊形，所以O(shè)P=Q4+O8.

所以力=%+丫2=乎，

Xp=Xl-\-X2=0弘_1+應(yīng)y2T=0(%+%)_2=T，

點(diǎn)尸［t，中］代入橢圓C方程，所以〈+：=1，所以點(diǎn)尸在橢圓C上.

所以點(diǎn)尸的坐標(biāo)為11，三.

22

變式52已知橢圓C：下方=l(a>b>0)的長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為4(-2,0),3(2,0)離

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵〃為橢圓。上除3外任意一點(diǎn)，直線AM交直線x=4于點(diǎn)N,點(diǎn)。為坐標(biāo)原

點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。且與直線BN垂直的直線記為I,直線交了軸于點(diǎn)P,交直線I干點(diǎn)Q,

求證：微j為定值?

【答案】⑴:+9=1

(2)證明見(jiàn)解析.

【分析】(1)由頂點(diǎn)坐標(biāo)求得“，由離心率求得。，再求出b得橢圓方程；

(2)設(shè)寫(xiě)出直線A"方程求得N