平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用-2025年高考數(shù)學(xué)備考復(fù)習(xí)

第六章平面向量、復(fù)數(shù)

第3講平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用

課標(biāo)要求命題點五年考情命題分析預(yù)測

1.理解平面向量數(shù)量積2023全國卷乙T6；2022全

的概念及其物理意平面向量國卷乙T3；2022全國卷甲

義，會計算平面向量的數(shù)量積T13；2021新高考卷

的數(shù)量積.運算IIT15；2020北京T13；

本講每年必考，主要

2.了解平面向量投影的2019全國卷IIT3

考查向量的數(shù)量積運

概念以及投影向量的2023新高考卷IT3；2023新

算、向量的夾角、模

意義.高考卷UT13；2023全國卷

長、垂直問題，一般

3.會用數(shù)量積判斷兩個甲T4；2022全國卷乙

以客觀題形式出現(xiàn)，

平面向量的垂直關(guān)系.T3；2022新高考卷IIT4；

難度不大.預(yù)計2025

4.能用坐標(biāo)表示平面向平面向量2022天津T14；2021新高

年高考命題穩(wěn)定，常

量的數(shù)量積，會表示數(shù)量積的考卷IT10；2021全國卷甲

規(guī)備考的同時要關(guān)注

兩個平面向量的夾角.應(yīng)用T14；2021全國卷甲T14；

向量與三角、解析幾

5.會用向量方法解決簡2021全國卷乙T14；2020

何等的綜合以及坐標(biāo)

單的平面幾何問題、全國卷IT14；2020全國卷

法在解題中的應(yīng)用.

力學(xué)問題以及其他實IIT13；2020新高考卷

際問題，體會向量在IT7；2019全國卷。7

解決數(shù)學(xué)和實際問題平面向量2023全國卷乙T12；2020

中的應(yīng)用.的應(yīng)用天津T15

6學(xué)生用書P117

1.向量的夾角

定義圖示范圍共線與垂直

已知兩個非零向量”，b,O是平面設(shè)。是。與6的0=0或兀Q③—

上的任意一點.作方="，7)B—b,夾角,則。的取a//b,

則①NAOB叫做向量。與6的/a7值范圍是②—?0=1

夾角，記作<a,b>.[0,兀].a-Lb.

注意確定向量的夾角時應(yīng)注意“共起點

思維拓展

1.兩個向量夾角的范圍為［0,n］,兩條直線夾角的范圍為［0,

2.(1)兩個向量a,6的夾角為銳角力>0且向量a,5不共線；

(2)兩個向量a,分的夾角為鈍角力<0且向量a,b不共線.

2.平面向量的數(shù)量積

已知兩個非零向量a與b的夾角為仇我們把數(shù)量⑤lai161cos。叫做向量。與b的

數(shù)量積，記作⑥crb.

注意零向量與任一向量的數(shù)量積為0.

3.投影與投影向量

如圖，過屈的起點/和終點2,分別作向量而所在直線的垂線，垂足分別為1

4,Bi,得到出瓦，我們稱上述變換為向量。向向量6⑦投影，兀瓦叫

做向量。在向量"上的⑧投影向量.2"C

設(shè)與b方向相同的單位向量為e,a與6的夾角為0,則1a|cos0e.

4.向量數(shù)量積的運算律

對于向量a,6,c和實數(shù)人有

(1)ab=ba；

(2)(Aa)b=X(a力)=a(A6)；

(3)(a+6)c=ac-\-bc.

注意(1)向量數(shù)量積的運算不滿足乘法結(jié)合律，即(a力)/不一定等于優(yōu)(>c),這

是由于(crb)表示一個與c共線的向量，a(b-c')表示一個與。共線的向量，而c與。

不一定共線.

(2)ab=ac(a#0)~^b=c,等式兩邊不能約去同一個向量.

(3)平方差公式、完全平方公式仍適用.

5.平面向量數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論

已知非零向量a=(xi，yi),b=(X2,>2)，。與6的夾角為。.

幾何表示坐標(biāo)表示

數(shù)量積ab=Ia11bIcos0.ab=(9)X1X2+.V1V2.

模1a1=y/aa.1aI=?_

夾角cos.

-1a||b「-J/+必?1/+媯

a-Lb的充要條件ab=0.?X1X2+"V2=O.

的充要條件a=Xb(4￡R).?砂2-X2"=0.

1ab|與1a61<1?11bI(當(dāng)且僅當(dāng)1xvxi+yxyi1<

1a1lb1的關(guān)a〃b時等號成立).

((+無)3+%).

系1

1.以下說法正確的是(A)

A.兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，向量的加法、減法、數(shù)乘運算的運算結(jié)果是向量

B.由ab—0可得a=0或b—0

C.(.ab)c=a(be)

D.已知兩個非零向量。與A的夾角為仇若“力>0,貝!為銳角

2.［教材改編］已知向量。=(1+x,x-3),b=(1-x,2),。力=-4,則。+25與A的

夾角為(B)

A.-B.-C.—D.—

3434

解析因為〃力=—4,所以(1+x)(1—x)+2(%—3)=—4,得x=l.所以〃=(2,

-2),b=(0,2),所以a+26=(2,2),Ia+2b\=^22+22=2V2,IftI=2,

所以cos<o+2b,b>=：a+2b>必=^^=也.又<“+2①z，>e［0,兀］,所以a+2b與b的

Ia+2b\\bI2V2x22

夾角為工.故選B.

4

3.［2022全國卷甲］已知向量”=(m,3),b=(1,m+1).若<z_Lb,則m=—；

解析aXA,?*.ab=m-\-3(m+1)=4冽+3=0,解得加=-

4

4.已知點/(-1,1),8(1,2),C(-2,-1),D(3,4),則荏在前方向上的投

影向量為弓｝.

解析依題意，得前=(5,5),則與而同向的單位向量6=丁新=仔，爭，AB=

(2,1),則四在加方向上的投影向量為誓「要喙?fàn)?誓呼，爭=

5.［易錯題］已知平面內(nèi)三個向量〃，b,c兩兩夾角相等，且I〃I=I〃I=1,IcI=3,

則Ia~\~b~\~cI=2或5.

解析當(dāng)a,b,c共線時，Ia+fi+cl=l〃l+l〃l+lcl—5;當(dāng)a,b,c兩兩夾角

為g時，ab=—^fac=bc=—^.Ia+b+cI=

I222I

JIaI+IZJI+IcI+2ab+2a.e+2b.e=Jl+1+9—1—3—3=2.

6學(xué)生用書P119

命題點1平面向量的數(shù)量積運算

例1(1)［2023全國卷乙］正方形的邊長是2,E是的中點，則前?前=

(B)

A.V5B.3C.2V5D.5

解析解法一由題意知，EC=lB+BC=^AB+AD,ED=EA+AD=~^AB+AD,所以

EC~ED=(,-AB+AD)-(一工荏+而)=IADI2一!|ABI\由題意知I與I=

224

IABI=2,所以前?彷=4-1=3,故選B.

解法二以點N為坐標(biāo)原點，AB,前的方向分別為x,y軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)

系，則E(1,0),C(2,2),。(0,2),則前=(1,2),前=(-1,2),

FC-ED=-l+4=3,故選B.

(2)［2022全國卷甲］設(shè)向量a,b的夾角的余弦值為點且IaI=1,I6I=3,貝!］(2a+

b)b=11.

解析(2?+Z>)b=2ab+b2=2\aIIbIcos<?,b>+IbI2=2xW^+32=ll.

方法技巧

求非零向量a,6的數(shù)量積的方法

1.定義法：ab=IaII6Icos0.

2.基底法：選取合適的一組基底，利用平面向量基本定理將待求數(shù)量積的兩個向量分別表

示出來，進(jìn)而根據(jù)數(shù)量積的運算律和定義求解.

3.坐標(biāo)法：已知條件中有(或隱含)正交基底，優(yōu)先考慮建立平面直角坐標(biāo)系，利用。力=

XIM+JH/求解.

訓(xùn)練1(1)［2022全國卷乙］已知向量a,b滿足IaI=1,IbI=V3,I”-26I=3,則

ab=(C)

A.-2B.-lC.lD.2

解析由|a—2bI=3,可得Ia-2bI2=?2-4?/>+462=9.

又IaI=1,IbI=V3,所以a力=1,故選C.

(2)［全國卷II］已知方=(2,3),AC=(3,f),IBC\=1,則通?就=(C)

A.l3B.—2C.2D.3

解析因為前=前一四=(1,Z-3),所以IBCI=J1+(t-3)2=1,解得/=3,

所以由=(1,0),所以樂?麗=2xl+3x0=2,故選C.

命題點2平面向量數(shù)量積的應(yīng)用

角度1向量的模問題

例2(1)［2022全國卷乙］已知向量0=(2,1),b=(-2,4),則I“一8I=

(D)

A.2B.3C.4D.5

解析由題意知〃一〃=(2,1)—(—2,4)=(4,—3),所以Ia~bI=

,+(-3)2=5.故選D.

(2)［2023新高考卷n］已知向量a,b滿足Ia-bI=V3,Ia+b\=I2a-bI,貝！］

IbI=_V3_.

解析由|a-bI=V3,得〃2—2a，〃+〃2=3,即2ab=a1-\-b2—3①.由Ia-\~bI=

I2a—bI,得/+2〃力+〃2=4〃2一而力+小，整理得，a2=2ab,結(jié)合①，得〃2=層+〃2

-3,整理得，肥=3,所以IbI=V3.

方法技巧

求平面向量模的兩種方法

利用如下公式轉(zhuǎn)化求解.

?a1=a'a=1aIIaI=，aa；

公式法②|a±b1=J(a±ft)2=Ja2±2ab+b2；

③若a=(x,y),貝11輟1=Jx2+y2.

利用向量的幾何意義，即利用向量加、減法的平行四邊形法則或三角形法則作出

幾何法

向量，再利用余弦定理等求解.

角度2向量的夾角問題

例3⑴［2023全國卷甲］已知向量a,b,c滿足\a\=\b\=1,IcI=V2,且〃+〃

+c=0,則cosVa-c,b-c>=(D)

解析?.,a+〃+c=0,c=—a—b,等式兩邊同時平方得2=a2+〃2+2q.〃=i+i+2〃.〃,

:.ab=0.

角軍法一,：a—c—a—(—a—b)=2a+從b-c=b—(—a-b)=a+2b,(a—

22

c),。-c)=(2a+b)?(a+2b)=2a+5a-b+2b=4f且Ia-cI=I2a+bI=

J(2a+6)2=V4+1=V5,Ib—cI=Ia+2bI=J(a+2b)2=C1+4=正,

..cos<a—c,b—c>=-----：~：----故選D.

Ia—cI-Ib-cI5

解法二如圖，令市=a,~OB=b,則沅=c,：.CA=a~c,CB=b-

c,\AB\=&,\AC\^\BC\=V5,在△48C中，由余弦定

理得cos<a—c,/>—c>=cos<G4,CB>—cosZACB=S+=-,故

'2V^5xV155'

選D.

解法三如圖，令向量〃，〃的起點均為0,終點分別為4,B,以65,南的方向分別為

%,>軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，則〃=(1,0),b=(0,1),c=—a—b=

(—1,—1),所以〃一c=(2,1),b—c=(1,2),則cos<〃一c,b—c>=

(a-c)?(b—c)2+24“、江「

==

Ia-cI-Ift-CIVWg?故選D,

(2)［2022新高考卷n］已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb,若<a,c>=

<b,c>,則餐(C)

A.-6B.-5C.5D.6

解析解法一由題意，得。=〃+加=(3+/，4),所以〃，c=3x(3+0+4x4=25+

3t,"c=lx(3+力+0x4=3+/.因為V〃，c>=<b,c>,所以cosVa,c>=cos<bf

c>,即一^=-^，即誓=3+7,解得f=5.故選C.

Ia\\cIIb\\cI5

解法二因為<〃，c>=<b,c>,且。=〃+必，所以由向量加法的平行四邊形法則得|

a\=t\b\,易知IaI=5,IbI=1,所以t=5.

方法技巧

求平面向量夾角問題的三種方法

定義法當(dāng)a,。是非坐標(biāo)形式時，由COS6=TT求解.

1a\\b\

若〃=(X1,yO,b=(X2,丁2),貝ICOS<4,分〉,

^+用心+必<ab>

坐標(biāo)法

￡［0,兀］.

解三角可以把所求兩向量的夾角放到三角形中進(jìn)行求解.注意向量夾角與三角形內(nèi)角的關(guān)

形法系.

角度3向量的垂直問題

例4(1)［2023新高考卷I］已知向量〃=(1,1),b=(1,-1).若(〃+勸)±(〃+

油)，則(D)

A.A+/z=1B.2+〃=—1

C.4〃=lD.%〃=—1

解析因為〃=(1,1),b=(1,—1),所以〃+勸=(1+2,1—2),a+曲=(1+

1—〃),因為(〃+勸),L(〃+〃〃),所以(〃+勸),(〃+〃〃)=0,所以(1+2)

(1+/z)+(1—2)(1—=0,整理得加=—1.故選D.

(2)［全國卷H］已知單位向量〃，〃的夾角為60。，則在下列向量中，與〃垂直的是

(D)

A.a+2〃B.2a+bC.a~2bD.2a-b

解析解法一由題意，得(rb=IaIIbIcos60c)='|.對于A,(a+26)-b—ab-\-2b2—

g+2=|#),故A不符合題意；對于B,力=2a力+加=1+1=2￥0,故B不符合

題意；對于C,(a—2b)b=ab—2/>2=^—2=—|■加，故C不符合題意；對于D,(2a—

b)力=2"力一小=1-1=0,所以(2a-b)Lb,符合題意.故選D.

解法二根據(jù)條件，分別作出向量b與A,B,C,D四個選項對應(yīng)的向量的位置關(guān)系，如

圖所示.

ABCD

由圖易知，只有選項D滿足題意.故選D.

解法三不妨設(shè)。=y),b=(1,0),則a+2b=(|,爭，2a+b=(2,

V3),a~2b=(-|,y),2a~b=(0,再)，易知，只有(2aT)b=0,即(2?一

b)_U.故選D.

方法技巧

1.證明兩個向量垂直的解題策略

先計算出這兩個向量的坐標(biāo)或表示出兩個向量，然后根據(jù)數(shù)量積的運算公式，計算出這兩

個向量的數(shù)量積為0即可.

2.已知兩個向量的垂直關(guān)系，求解相關(guān)參數(shù)的值

根據(jù)兩個向量垂直的充要條件，列出相應(yīng)的關(guān)系式，進(jìn)而求解參數(shù).

訓(xùn)練2(1)[2023廣州市二檢]已知兩個非零向量0,4滿足IaI=3I*I,(a+Z?)

_L6,則cos(?,b)—D)

1111

A.-B.--C.-D.--

2233

解析因為(?+/>).Lb,所以(a+b)b=0,即。力=一〃，所以IaI-IbIcos(a,

b)=-II2,即3I萬I,I/(Icos{a,b)=~\b\2,則cos(?,b)=一(.故選口.

(2)[2021全國卷甲]若向量a,滿足IaI=3,Ia-bI=5,ab=l,貝！JII=—

3V2.

解析由Ia~bI=5得(a-b)2=25,即/—2a力+加=25,結(jié)合IaI=3,ab=\,

得32-2x1+|bI2=25,所以IbI=3V2.

命題點3平面向量的應(yīng)用

例5在日常生活中，我們會看到兩人共提一個行李包的情況(如圖).假金圖

設(shè)行李包所受重力為G,所受的兩個拉力分別為尸1,尸2.若IEI=胎媼制

IF2I,歷與歷的夾角為。，則下列結(jié)論不正確的是(D)取改現(xiàn)

A.IFiI的最小值為gIGI

B.當(dāng)。時，|Fi|=|GI

C.當(dāng)。=］時，IFiI=yIGI

D.當(dāng)6=爭寸，B在尸2方向上的投影數(shù)量為號

解析由題意知，IGI=IFX+F2I,且IGI為定值，因為II=I入I,所以

2222

IGI=IFiI+IF2I+2IFiIIF2I-cos6?=2IFiI(l+cos0),所以IEI』

IGI2

2(l+cos0)?

當(dāng)Oe(0,兀)時，y=cos。單調(diào)遞減，

所以關(guān)于9的函數(shù)y=IFi|2=單調(diào)遞增,

2(l+cos0)

即。越大越費力，。越小越省力.

當(dāng)0=0時，IBI.=|IGI;

當(dāng)。=］時，IFiI=~ICI;

當(dāng)。=爭寸，|戶1|=|GI.故A,B,C正確.

對于D選項，當(dāng)。=爭寸，E在尸2方向上的投影數(shù)量為IFlICOSy=IGICOSy=

一故D不正確.故選D.

方法技巧

用向量方法解決實際問題的步驟

訓(xùn)練3一條東西方向的河流兩岸平行，河寬250bm,河水的速度為正東3km/h.一艘小貨

船準(zhǔn)備從河流南岸碼頭P處出發(fā)，航行到河流對岸對應(yīng)點0(尸。與河流的方向垂直)的正

西方向并且與Q相距250m的碼頭M處卸貨，若水流的速度與小貨船航行的速度的合速度

的大小為5km/h,則當(dāng)小貨船的航程最短時，小貨船航行速度的大小為(C)

A.3A/3km/hB.6km/h

C.7km/hD.3A/6km/h

解析連接尸由題意得，當(dāng)小貨船的航程最短時，其航線為線段尸"

設(shè)小貨船航行的速度為%水流的速度為四，水流的速度與小貨船航行的速度

的合速度為電，作出示意圖，如圖所示.一，,、

___

尸0=250百m,QM=250m.

在RtAPQW中，(根據(jù)“尸0與河流的方向垂直”得到△尸〃。的形狀)

tanZPMQ=^=^-=V3,由題意NPMQe(0,]),

所以/尸兒@=gZMPQ=^,<vi,也>=畀合當(dāng)，

易知y=V2-Vl,IVlI=3,IV2I=5,

2

所以|vI=J(v2~v1)2=JIv2I+IViI2-2%.172=[52+32-2x5x3cosm=

7,

所以小貨船航行速度的大小為7km/h,故選C.

a學(xué)生用書P120

極化恒等式

例6(1)[2022北京高考]在△/8C中，/C=3,2C=4,/。=90。7為△43C所在平面內(nèi)

的動點，且PC=1,則萬?麗的取值范圍是(D)

A.[—5,3]B,[—3,5]C.[—6,4]D,[—4,6]

解析解法一(極化恒等式)設(shè)的中點為M,而與而的夾角為0,由極化恒等式得

方?麗=麗2一工通2=(CM-CP)2-^=c^2+cp2_2CM-CPcos6*-—=—+1-5C0Se

4444

2c---->>

-q=l-5cos。，因為cos6*e[—l,1],所以PAPBe[—4,6].

4

解法二以C為坐標(biāo)原點，CA,C2所在直線分別為X軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則

A(3,0),B(0,4),設(shè)尸(x,y),則工2+產(chǎn)=],對=(3-x)一口，麗=

(~x,4~y),所以P4PB=x2—3x+f—4y=(x—|)2+(y~2)2~又(x-|)2+

(y-2)2表示圓/+儼=1上一點到點eg,2)距離的平方，圓心(0,0)到點(|,2)

的距離為去所以麗?麗G[(|-1)2-y,(|+1)2-$],即麗?麗G[-4,6],故選D.

解法三以C為坐標(biāo)原點，CA,C3所在直線分別為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則

A(3,0),B(0,4),因為尸C=l,所以尸在以(0,0)為圓心，1為半徑的圓上，所

以設(shè)點P坐標(biāo)為(cosa,sina),則P4-PB=(3—cosa,—sina)■(—cosa,4—sina)

—1—3cosa—4sina—1—5sin(a+9)(其中tanp=；).因為sin(a+9)￡[—1,1],所

4

以麗?麗引一4,6],

(2)[全國卷II]已知△48C是邊長為2的等邊三角形，尸為平面/8C內(nèi)一點，則麗?(麗

+PC)的最小值是(B)

34

A.一2B.--C.--D.-1

23

解析解法一如圖，取8C的中點。，則麗+玩=2而，則而?(而十

PC)=2萬?麗.在中，取ND的中點。，則2且『方=2\P0\2~

BDC

|II』2IP0I2-1

由于點尸在平面內(nèi)是任意的，因此當(dāng)且僅當(dāng)點尸，。重合時，I而I取得最小值，即

2方?訪取得最小值一|.故選B.

解法二如圖，以等邊三角形/2C的底邊的中點O為坐標(biāo)原點，BC,|

所在直線為x軸，8c的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則/卡7/

(0,V3),B(-1,0),C(1,0)..

-B~~qc；

設(shè)尸(x,y),則同=(-X,V3-J),而=(-1-X,一y)，PC=

(1-x,-y),所以而?(PB+PC)=(—x,V3-y)?(-2x,-2y)=2x2+2(y-

3

-易知當(dāng)>=手時，PA-(,PB+PC)取得最小值，最小值為一|.故選

VT32x=0,B.

方法技巧

極化恒等式：〃力=；［(〃+辦)2—(〃一膽2］.

幾何意義：向量明力的數(shù)量積等于以這組向量所對應(yīng)的線段為鄰邊的平行四邊形的“和對

角線長''與"差對角線長”的平方差的

4

應(yīng)用：(1)在048CD中，0為AC,BD的交點、,則有屈?通=工(4I

4

AOI2-4|OB|2)=|Z0|2-IOBI2.A\

(2)如圖，在△48C中，若〃是2c的中點，則萬?前=前2一；近2.._

訓(xùn)練4［2023山東青島二中5月模擬］如圖，在四邊形48CD中，NB=60。,AB=3,BC=

6,且而=4近，ADAB=-l，則實數(shù)泄值為若M,N是線段8C上的動點，且

IMNI=1,則詢?麗的最小值為—技

IXDI=得I而I=1,因此彳=粵工=：.取MV的中點￡,連接則麗+

22|BCI6

~DN=2DE,DM-~DN=-\(,'DM+DN')2-(麗一麗)？］=朝2-2而2=尻2_,注意到線

4LJ44

段MN在線段上運動時，DE的最小值等于點。到直線3c的距離，AB-sinB=~,

因此屁2一工的最小值為(延)2_工=蘭，即麗.麗的最小值為蘭.

42422

■思維幫?提升思維快速解題

三角形“四心”的向量表示與運用

角度1垂心的向量表示與運用

例7[2023山西朔州模擬]已知H為的垂心，若屈=1標(biāo)+|而，貝I]sin/8/C=_

V6

T—■

解析如圖，連接BH,CH,因為用=1荏+]就，所以麗=瓦?+毋=

一|南+|尼，麗=%?+而=3同一3前.由//為4/2。的垂心，得麗次

=0,即(一|京+：正)AC=Q,可次口(IAC|2=|\AC\-\AB\

cosABAC,即cos/B/C=?^①，同理有由?屈=0,即(-XF-|^C)AB=0,可

S\AB\35

^\AB\2=|\AC\\AB\cosZBAC,即cosZBAC=-1②，①x②得cos'ZBAC

359I24cI

=1,得sin2/8/C=l—cos2/BNC=l-,=a又sin/3/C>0,所以sinN3/C=[.

方法技巧

1.垂心的定義：三角形三條高的交點稱為該三角形的垂心.

2.垂心的性質(zhì)：設(shè)。是△/8C的垂心，尸為△48。所在平面內(nèi)任意一點，則有⑴瓦??布

^OBOC=OCOA；

(2)\OA\2+\BC\2=\OB\2+\CA\2=\OC\2+\AB\2；

(3)動點P滿足族=2(,-AB----+*c----)或荏=市+%(,—0----+

IABICOS/.ABCIACIcos^ACBIABIcos^ABC

,'C----),4eR時，動點尸的軌跡經(jīng)過△48C的垂心.

IACIcosZ-ACB

角度2重心的向量表示與運用

例8[2023廣州一中診斷]如圖，已知點G是△43。的重心，過G作直線與

AB,NC分別交于M,N兩點，AM^xAB,AN^yAC,則？=—工

x+y37

解析由峪G,N三點共線得，存在實數(shù)力使得前+(1—2)AN=xAAB+y(1一

4AC,AO<A<1.

因為G是△43C的重心，所以方=工(屈+前)，所以I3,則

3[y(IT)=1,

1

故xy—————,x+y=———~,則3.A(1T)=?

v=-------J9A(1-A)'/32(1-2)'x-ry9A(1-2)

J3(1-A)

方法技巧

1.重心的定義：三角形三條中線的交點稱為該三角形的重心.

2.重心的性質(zhì)：設(shè)。是△/BC的重心，尸為平面內(nèi)任意一點，則有(1)市+方+方=

0；(2)PO=|(PA+PB+PC)；(3)動點尸滿足萬=九CAB+AC)或加=。1+

入CAB+AC),Ae[0,+oo)時，動點尸的軌跡經(jīng)過△/3C的重心.

角度3外心的向量表示與運用

例9[2023湖北荊門模擬]已知點。為△/BC所在平面內(nèi)一點，在△N8C中，滿足2卷?布

\AB\2,2前?布=\AC\2,則點O為該三角形的(B)

A.內(nèi)心B.外心C.垂心D.重心

解析因為2通?而=2IABIIAOIcosZOAB=\AB\2,所以IAOIcosZOAB=

|IABI,則向量而在向量方上的投影向量的長度為IABI的一半，所以點。在邊的

中垂線上，同理，點。在邊/C的中垂線上，所以點。為該三角形的外心，故選B.

方法技巧

1.外心的定義：三角形三邊垂直平分線的交點稱為該三角形的外心.

2.外心的性質(zhì)：若。是△4BC的外心,則有(1)\OA\=\OB\=\OC\；

(2)(.OA+OB)AB=(OA+OC)-AC=(OB+OC)BC=0.

角度4內(nèi)心的向量表示與運用

例10[2023四川南充階段測試]已知。是△N3C所在平面內(nèi)一點，且點。滿足市?(濯丁

=0C-=0,則點。為△/BC的

IACI\BA\\BC\\CA\\CB\

(C)

A.外心B.重心C.內(nèi)心D.垂心

解析解法一,仔丁分別是與荏，尼方向相同的單位向量，可令德7=而，

-^-=AE,連接即，則△/￡>￡為腰長是1的等腰三角形，點一一麗，所以

OAED=Q,所以NO為/C/3的平分線，同理80為/N8C的平分線，CO為//C3的平

分線，所以。為△/BC的內(nèi)心.故選C.

解法二0A-(措:―/7)=°，即市?不駕=力:.苫不，即?市??粵%°s(兀一

IABI\AC\IABI\AC\IABI

AOAB}=\0A\-^^-cos(.71-ZOAO,所以NO/B=/O/C,即NO是NB/C的平

IAC>I

分線，同理可得8。為//8C的平分線，CO為/NC3的平分線，所以。為△N8C的內(nèi)心.

方法技巧

1.內(nèi)心的定義：三角形三條內(nèi)角平分線的交點稱為該三角形的內(nèi)心.

2.內(nèi)心的性質(zhì)：若。是的內(nèi)心，尸為平面內(nèi)任意一點，則有(1)aOA+bOB+cOC

=0(a,b,c分別是△ABC的三邊5C,AC,45的長)；(2)動點尸滿足AP=7(-4S-

IABI

或而=市+九(點一+41),2e［0,+00)時，動點尸的軌跡經(jīng)過△N8C的

IACI\AB\MCI

內(nèi)心.

訓(xùn)練5(1)［2023長春模擬］點。是平面a上一定點，點尸是平面a上一動點，A,B,C是

平面a上△NBC的三個頂點(點。，P,A,B,C均不重合)，以下命題正確的是—

①②③④.

①動點P滿足費=瓦?+而+而，則△N8C的重心一定在滿足條件的尸點的集合中；

②動點p滿足加=瓦5+4(/一+/？)a>°)，則△48C的內(nèi)心一定在滿足條件的

IABIIACI

P點的集合中；

③動點p滿足費=瓦?+%(，《￡.0+I」：/a>o),則△48。的重心一定在滿足條

IABIsinFIACIsinC

件的p點的集合中；

④動點P滿足費=瓦5十%(.JB+,-/.c')

IABIcosBIACIcosC

aeR),則△/Be的垂心一定在滿足條件的p點的集合中.

解析對于①，OP=OA+PB+PC,移項得一市+而=”=而+而，即方+而+玩=

0,則點P是△/BC的重心，故①正確.

對于②，因為動點尸滿足而=瓦<+4(T^+T-)a>o),移項得而=力(菩丁+

潦p)Q>0),所以標(biāo)與/8/C的平分線對應(yīng)的向量共線，所以尸在NA4c的平分線

上，所以△/BC的內(nèi)心在滿足條件的尸點的集合中，②正確.

對于③，OP=OA+A(―—+-^—)Q>0),即存=%(―—+-^—),

IABIsinBIACIsinfIABIsinBIACIsinC

過點N作/D_L3C,垂足為。，貝II南Isin5=IACIsinC=AD,AP=^CAB+AC},

設(shè)M為3c的中點，則屈+左=2前，則而=言前，所以尸在5c的中線上，所以

△/2C的重心一定在滿足條件的P點的集合中，③正確.

對于④，OP=OA+2.(-^—+-=^—)QeR),即9(―—+

'IABIcosBIACIcosC'IABIcosB

—),所以萬?近=/l(竺BC+竺BC)=/t(_|BC|+|BC|)=0,所以

IACIcosCIABIcosBIACIcosC

AP1.BC,所以尸在邊BC上的高所在的直線上，所以△/8C的垂心一定在滿足條件的尸點

的集合中，④正確.故正確的命題是①②③④.

(2)［多選/2023安徽淮北師大附中模擬］數(shù)學(xué)家歐拉在1765年發(fā)表的《三角形的幾何學(xué)》

一書中有這樣一個定理：三角形的重心、垂心和外心共線.這條線就是三角形的歐拉線.在

△/BC中，0,H,G分別是外心、垂心和重心，。為3c邊的中點，則下列四個選項中正

確的是(ABD)

K.GH=2OGB^GA+GB+GC=O

C.AH=ODD.S"BG=SMCG=S"CG

解析根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示.

對于B,連接G。，由重心的性質(zhì)可得G為40的三等分點，且方=一2旗，

又。為3c的中點，所以林+就:=2而，所以g5+冠+屈=-2話+2而=

xfft

0,故B正確.

對于A,C,因為O為△48C的外心，。為2C的中點，所以O(shè)n_L3C,所以AH〃OD,所

AJJAf

以△AHGS4DOG,所以迫=竺=絲=2,即G//=2OG,AH=2OD,故A正確，C不正

0GODDG

確.

對于D,延長47交3C于N,過點G作G￡_L5C,垂足為￡,則△?？?△。,，所以煞

nr,-1-11111

=第=3所以SdGC=rBCxGE=TBCx3xAN=$“BC,同理‘S墳GC=S“GB=+SAABC,所

以S"BG=sABCG=s"CG,故D正確.故選ABD.

1.［命題點2/多選］已知為，及是單位向量，且《19=熱若向量〃滿足《1"=2,則下列選項

正確的是(ABD)

A.Ie\—eiI=1

Be在e2上的投影向量的模為g

C.ei與e「e2的夾角為工

D.a在ei上的投影向量為2ei

解析ICL%I2=皆一2?廠。2+登=1,故Ie\—e2I=1,故A正確.

因為C1在《2上的投影向量為“殳。2=：?2,所以ei在%上的投影向量的模為3故B正確.

Ie2I22

因為Cl，(?L&)=lxlxCOS<ei,為一《2>=國一所以<C1,CL?2>=今故C

錯誤.

設(shè)g與〃的夾角為。，因為eva=2=IaIcos0,所以a在d上的投影向量為

(laicosO')?i=2?i,故D正確.

2.［命題點2/2022天津高考］在△49C中，CA=a,CB=b,AC=2DC,CB=2BE,用a,8

表示向量歷，則反=_那一生；若同，歷，則N/C2的最大值為

zz6

解析由題意知而=1且=),又而=2族，所以而=|荏=|。，則麗=屈-方=*一

—1a.

2

因為刀屁，AB^CB~~CA=b~a,

所以荏?麗=(b-a)-=0,化簡整理，得3戶+/—4=0,則3IbI2