2024-2025學年人教版八年級數(shù)學上冊幾何綜合探究題壓軸題突破

幾何綜合探究題壓軸題專題突破

專題一設(shè)參處理與導角策略

01.如圖1,4D||BC,DE平分.乙ADB,乙BDC=KBCD.

(1)求證：乙DEC+乙ECD=90°;

(2)如圖2,BF平分「ABD交CD的延長線于點F,若乙ABC=100。,求NF的大??；

(3)如圖3,若H是BC上一動點，K是BA延長線上一點，KH交BD于點M,交AD于點O,KG平分乙BKH,,

交DE于點N,交BC于點G,當點H在線段BC上運動時(不與點B重合)，求筆泮的值.

乙DNG

B

G

專題二角平分線與對稱型全等

01.情境觀察:如圖1,在A28C中,AB=AC,ABAC=45°,CD1AB,AE1BC?垂足分別為D,E,CD與AE交于

點F.

①寫出圖1中所有的全等三角形；

②線段AF與線段CE的數(shù)量關(guān)系是_______________.

問題探究：如圖2,在△ABC中，^BAC=45。,AB=5C.AD平分^BAC,AD1CD,垂足為D,AD與BC交

于點E.求證：AE=2CD.

拓展延伸：如圖3,在△力BC中，ABAC=45°,AB=BC,點D在AC上，4EDC=^BAC,DE回CE,垂足為E,

DE與BC交于點F.求證：DF=2CE.

AAA

AAA

BECDCEC

圖1圖2圖3

專題三三垂直的構(gòu)造與應(yīng)用

01.(1)如圖1,AABC與ACDE中,ZB=ZE=ZACD=90°,AC=CD,B,C,E三點在同一直線上,AB=3,ED=4,貝!]B

E=；

(2)如圖2,在RtAABC中，ZABC=90°,BC=4,過點C作CD_LAC,且CD=AC,求△BCD的面積；

(3)如圖3,四邊形ABCD中，ZABC=ZCAB=ZADC=45°,△ACD面積為12且CD的長為6,求△BCD的面

積.

專題四手拉手與婆羅摩笈多

01.(1)問題背景：如圖1,在△ABC和△力DE中，Z.DAE=ABAC,AD=AE.AB=4C,連接BD,CE,直接寫出線

段BD和線段CE的數(shù)量關(guān)系.

(2)問題探究：如圖2,在AABC^Q,^DAE=^.BAC.AD=AE,AB=AC,,*E在.△4BC內(nèi),延

長DE交BC于點F,當點F是線段BC中點時，求證：“DB=90°;

(3)延伸拓展：如圖3,在AABC和A力DE中,LDAE=ABAC=90°,AD=AE,AB=AC,,連接BE,CD,過點

A作，AM1CD于點M,反向延長AM交BE于點N,求證:(CD=2AN.

圖1圖2圖3

專題五夾半角與截長補短

01.(1)已知△OBC中,AB=AC,ABAC=120°.

①如圖1,點M,N均在邊BC上,.4ANB=45°,AMAN=/.NAD=60°,AD=4M,連接ND,CD；請直接

寫出BM與CN的數(shù)量關(guān)系

②如圖2,點M在邊BC上，點N在BC的上方，且Z-MBN=4MAN=60。,求證：MC=BN+MN;

(2)如圖3,在四邊形ABCD中，NG4B=a.BD平分.N4BC,若N4DC與N4BD互余，貝NZMC的大小為

(用含a的式子表示).

專題六尋找條件構(gòu)全等

01.已知點A,C分別是NB的兩條邊上的點，點D,E分別是直線BA,BC上的點，直線AE,CD相交于點P.

(1)點D,E分別在線段BA,BC±.

①若AB=60。(如圖1),且,AD=BE,BD=CE,則/APD的度數(shù)為」

②若乙B=90。(如圖2),且AD=BC,BD=CE,求乙4PD的度數(shù);

(2)如圖3,點D,E分別在線段AB,BC的延長線上,若/.ABC=90°,AD=BC/APD=45。,求證:BD=

CE.

圖1圖2

專題七一線兩等角與全等構(gòu)造

方法：一線兩角等，直接給出兩邊相等時，可構(gòu)造一線三等角型全等；沒有直接給出兩邊相等時，可截長得等腰

三角形構(gòu)造補角型全等，也可構(gòu)造手拉手型全等

01.如圖，已知.AC=BC點D是BC上一點，^ADE=ZC.

(1)如圖1,若NC=90°,/.DBE=135°,,求證：@ZEDB=ZCAD;②DA=DE;

(2)如圖2,若“=40°,DA=DE,求②BE的度數(shù)；

⑶如圖3,請直接寫出.乙DBE與NC之間滿足什么數(shù)量關(guān)系時，總有DA=DE成立.

圖1圖2圖3

專題八內(nèi)角平分線定理的推導與應(yīng)用

01.已知△ABC,AD是一條角平分線.

【探究發(fā)現(xiàn)】如圖1,若AD是/BAC的角平分線,可得到結(jié)論：桀=箕

小紅的解法如下：

過點D作DELAB于點E,DFXAC于點F.過點A作.AG1BC于點G,VAD是/B

AC的角平分線，且DEJ_AB,DF1AC,A.

,SABD^ABXDE_SABD^BDXAG_BD.

??i—.36?1—■??.

S

ADC-ACXDF-SADC-CDXAGCD-

【類比探究】如圖2,若AD是.NB4C的外角平分線，AD與BC的延長線交于點D.求證：桀=篝

【拓展應(yīng)用】如圖3,在AABC中，ZBAC=60°,BF,CE分別是乙48C,乙4cB的角平分線且相交于點D,若

器=|,直接寫出器的值是__________.

專題九角平分線與導角、全等構(gòu)造

01.如圖，已知R3ABC中，ZA=90°,BD,CD分別平分NABC和/ACB.

(1)如圖1,求/BDC的度數(shù)；

⑵如圖2,延長BD交AC于E,作EG,BE交CD于G,作GFLAC交BE的延長線于F,垂足為H,求證：EF

=BD;

⑶如圖3,若AB=AC=1,Q是邊BC所在直線上一點分別關(guān)于BD,CD作Q的對稱點M,N,它們到直線BC

的距離分別記作m和n.

①若點Q在邊BC上，直接寫出mn的最大值；

②若點Q在BC的延長線上，取十個特殊的Q點，使十個對應(yīng)的n值依次為%=1,膽=2,…，n10=10

這十個自然數(shù)，對應(yīng)的m的值分別記作mi機1，62,…,租10?直接寫出二一+二一+■■?+—-—的和.

7n?I'M]TTI2TI2771^Q71.^Q

BB

圖1圖2圖3

專題十手拉手與倍長

01.AABC^W△?!￡?￡1共頂點.A^BAE<180。),AB=AC,AD=AE.

(1)如圖1,^BAC=ND4E,求證：BD=CE;

(2)如圖2,ABAC=Z.DAE=a?F,G分別為BD,CE的中點，則ZGFA=。.度(用a表示);

(3)如圖3,連接BE,若M為BE的中點，且/.DAC=4ABE+zHEB,求證：DC=2AM.

圖1圖2圖3

02.點P為等邊三角形△ABC所在平面內(nèi)一點，目乙BPC=120°.

(1)如圖1,點P在△4BC夕卜部，若BP=2,CP=3,求AP的長；

(2)P點在A4BC內(nèi)部，連接AP.

①如圖2,若力P1BP,求證BP=2CP;

②如圖3,D為BC邊中點，連接PD,求證：乙4PC+Z.BPD=180°.

專題十——線三等角與倍長、手拉手

01.如圖，在等邊△ABC中，D,E分另u為AB,BC邊上的點，DE=EF/DEF=60°.

(1)如圖1,若點F在AC邊上.求證：AD=CF;

(2)如圖2,連CF,若.乙FCB=30°,求證：AD=2BE;

(3)如圖3,O是BC的中點，點H在△4BC內(nèi)，乙BHC=120。,點M,N分別在CH,BH上，MO1N。若

^CAM=a,直接寫出NBAN的度數(shù)(用含有a的式子表示).

專題十二手拉手與最值問題

01.在等邊△4BC中，點D和點E分別在邊AB,BC上，以DE為邊向右作等邊△DEF,連接CF.

(1)如圖1,當點D和點A重合時，求乙4CF的大?。?/p>

⑵如圖2,點D是邊AB的中點.

①求證：乙FCE=4FEC;

②如圖3,連接AF,當AF最小時，直接寫出.案的值.

DC

圖1圖2圖3

專題十三導角處理與一邊一角構(gòu)全等

01.已知.△ABC,AB=ACfZ-BAC=2a.

(1)如圖1,^ABG=貝［］乙G=.(用a表示)

(2)如圖2,點E,M分別為BC,AC上的點，AE交BM于點F,連接CF若乙BFE=2乙CFE=2a,求醇的值；

^ACF

(3)如圖3,CD為AB邊上的高，乙4CD的平分線CP交AB于P,過P作.，8c于H,PH與CD交于點Q,

連接BQ.若PD=a,BD=b,,請直接用含有a,b的代數(shù)式表示，△BQC的面積為.

圖1圖2圖3

專題十四導角處理與等邊三角形中的斜弦圖

0L在等腰△ABC中，AB=AC=nBC,點、D和點E分別為AC和BC邊上