雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（原卷版）2

3.的標(biāo)準(zhǔn)方程【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一：雙曲線的定義1．定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于非零常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡．2．定義的集合表示：{M|||MF1|－|MF2||＝2a，0<2a<|F1F2|}．3．焦點(diǎn)：兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2.4．焦距：兩焦點(diǎn)間的距離，表示為|F1F2|.考點(diǎn)二：雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)焦點(diǎn)(－c，0)，(c，0)(0，－c)，(0，c)a，b，c的關(guān)系c2＝a2＋b2重難點(diǎn)技巧：（1）,,表示雙曲線；（2）,,表示兩條射線；（3）,表示雙曲線的一支；（4）,表示一條射線.【題型歸納】題型一：雙曲線的定義1．（2023秋·江蘇常州·高二江蘇省奔牛高級中學(xué)?？计谀╇p曲線上的點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離為，則到右焦點(diǎn)的距離為（

）A． B． C．或 D．【答案】A2．（2023秋·江蘇鹽城·高二江蘇省射陽中學(xué)校考階段練習(xí)）與圓及圓都外切的圓P的圓心在（

）A．一個(gè)橢圓上 B．一個(gè)圓上C．一條直線上 D．雙曲線的一支上3．（2022·江蘇·高二期中）已知，是雙曲線的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線C上的動點(diǎn)，過點(diǎn)作的平分線的垂線，垂足為Q，則點(diǎn)Q的軌跡是（

）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線題型二：利用雙曲線的定義求軌跡方程4．（2021秋·江蘇鎮(zhèn)江·高二江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)校考期中）動圓M與圓：，圓：，都外切，則動圓圓心M的軌跡方程為（

）A． B． C． D．5．（2022秋·江蘇鹽城·高二鹽城中學(xué)?？计谥校┮阎菆A上的一動點(diǎn)，點(diǎn)，線段的垂直平分線交直線于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B．C． D．6．（2022·江蘇·高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)，動圓C與直線相切于點(diǎn)B，過M，N與圓C相切的兩直線相交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡方程為（

）A． B．C． D．題型三：雙曲線中的焦點(diǎn)三角形問題7．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）雙曲線的兩焦點(diǎn)為、，點(diǎn)P在雙曲線上，直線、傾斜角之差為，則面積為（

）A． B． C．32 D．428．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知為雙曲線的左焦點(diǎn)，為雙曲線同一支上的兩點(diǎn)．若，點(diǎn)在線段上，則的周長為（

）A． B． C． D．9．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知，分別是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線上一點(diǎn)，若，且的最小內(nèi)角為，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．題型四：雙曲線的參數(shù)問題10．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知，則“”是“方程表示雙曲線”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件11．（2022秋·江蘇宿遷·高二?？计谥校┤舴匠瘫硎倦p曲線，則m的取值范圍為（

）A． B． C． D．12．（2021·江蘇·高二專題練習(xí)）若方程表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B． C． D．題型五：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法13．（2021·江蘇·高二專題練習(xí)）已知雙曲線的上、下焦點(diǎn)分別為，，P是雙曲線上一點(diǎn)且，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．14．（2022·江蘇·高二專題練習(xí)）已知雙曲線的實(shí)軸的一個(gè)端點(diǎn)為，虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為，且，則雙曲線方程為（

）A． B．C． D．15．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點(diǎn)且離心率為的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為A． B． C． D．題型六：雙曲線中的最值問題16．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線是其，點(diǎn)P為雙曲線C右支上的動點(diǎn)，點(diǎn)Q為圓E上的動點(diǎn)，則的最小值是（

）A． B． C．7 D．817．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線右支上任一點(diǎn)，則的最小值為（

）A．19 B．25 C．37 D．8518．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，過雙曲線右焦點(diǎn)的直線與雙曲線相交于，兩點(diǎn)，弦的中點(diǎn)為，點(diǎn)是雙曲線右支上的動點(diǎn)，點(diǎn)是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上的動點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的動點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．題型七：雙曲線方程的綜合問題19．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)，經(jīng)過點(diǎn)；(2)與雙曲線1有相同的焦點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)；(3)過點(diǎn)P，Q且焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上．20．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）求下列動圓的圓心的軌跡方程：(1)與圓和圓都內(nèi)切；(2)與圓內(nèi)切，且與圓外切；(3)在中，，，直線，的斜率之積為，求頂點(diǎn)的軌跡方程.21．（2023秋·江蘇鹽城·高二江蘇省射陽中學(xué)?？茧A段練習(xí)）經(jīng)過雙曲線的左焦點(diǎn)作斜率為2的弦AB，求：(1)線段的長；(2)設(shè)點(diǎn)為右焦點(diǎn)，求的周長.【雙基達(dá)標(biāo)】單選題22．（2023春·江蘇南京·高二南京航空航天大學(xué)附屬高級中學(xué)校考期中）已知圓的圓心為，過點(diǎn)的直線交圓于、兩點(diǎn)，過點(diǎn)作的平行線，交直線于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡為（

）A．拋物線 B．雙曲線 C．橢圓 D．雙曲線一支23．（2023秋·江蘇鹽城·高二江蘇省射陽中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知等軸雙曲線的焦距為8，左、右焦點(diǎn)在軸上，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，為雙曲線右支上一動點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B． C． D．24．（2022秋·江蘇徐州·高二?？计谥校┤舴匠趟硎镜那€是雙曲線，則它的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．25．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線的焦點(diǎn)為，，且該雙曲線過點(diǎn)．(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過左焦點(diǎn)作斜率為的弦AB，求AB的長；(3)在（2）的基礎(chǔ)上，求的周長．26．（2023秋·江蘇南通·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線的實(shí)軸長為2，右焦點(diǎn)到的距離為.(1)求雙曲線的方程；(2)若直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，求的面積.【高分突破】一、單選題27．（2022·江蘇·高二專題練習(xí)）已知雙曲線與斜率為1的直線交于A，B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)為，則C的離心率（

）A． B． C． D．28．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）南非雙曲線大教堂由倫敦著名的建筑事務(wù)所完成．若將如圖所示的雙曲線大教堂外形弧線的一段近似看成雙曲線（，）下支的一部分，且此雙曲線過點(diǎn)，離心率為，則此雙曲線的方程為（

）A． B． C． D．29．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）過橢圓右焦點(diǎn)F的圓與圓外切，該圓直徑的端點(diǎn)Q的軌跡記為曲線C，若P為曲線C上的一動點(diǎn)，則長度最小值為（

）A．0 B． C．1 D．230．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線的左焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在雙曲線C的右支上，，當(dāng)?shù)闹荛L最小時(shí)，的面積為（

）A．2 B．4 C．8 D．1231．（2021秋·江蘇鎮(zhèn)江·高二江蘇省丹陽高級中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)雙曲線：的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別是，，點(diǎn)是右支上的一點(diǎn)，則的最小值為（

）A．5 B．6 C．7 D．832．（2022秋·高二單元測試）已知雙曲線，過雙曲線的上焦點(diǎn)作圓的一條切線，切點(diǎn)為M，交雙曲線的下支于點(diǎn)N，T為的中點(diǎn)，則的外接圓的周長為（

）A． B． C． D．33．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在雙曲線的右支上，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，是中點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．34．（2021·高二單元測試）已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，動點(diǎn)M在雙曲線的左支上，過點(diǎn)M作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為N，若當(dāng)取到最小值為10時(shí)，則（

）A．面積的最大值為 B．面積的最小值為C．面積的最大值為25 D．面積的最小值為25二、多選題35．（2022秋·江蘇連云港·高二期末）已知方程，下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．當(dāng)時(shí)，此方程表示橢圓 B．此方程不可能表示圓C．若此方程表示雙曲線，則 D．當(dāng)時(shí)，此方程表示雙曲線36．（2022秋·江蘇徐州·高二?？茧A段練習(xí)）設(shè)為雙曲線上一點(diǎn)，，分別為雙曲線的左，右焦點(diǎn)，若，則等于（

）A． B． C． D．37．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線的左、右兩個(gè)頂點(diǎn)分別是，左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別是，是雙曲線上異于的任意一點(diǎn)，給出下列結(jié)論，其中正確的是（

）A．B．直線，的斜率之積等于定值C．使得為等腰三角形的點(diǎn)P有且僅有四個(gè)D．若，則38．（2021·高二單元測試）已知橢圓C：與雙曲線：共焦點(diǎn)，過橢圓C上一點(diǎn)P的切線l與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)為橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)又O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，下列說法正確的是（

）A．B．C．直線OP的斜率與切線l的斜率之積為定值D．的平分線長為39．（2021·高二單元測試）已知點(diǎn)P是雙曲線E：的右支上一點(diǎn)，，為雙曲線E的左、右焦點(diǎn)，的面積為20，則下列說法正確的是（

）A．點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為 B．的周長為C．小于 D．的內(nèi)切圓半徑為三、填空題40．（2023秋·江蘇無錫·高二輔仁高中?？茧A段練習(xí)）若方程所表示的曲線是雙曲線，則它的焦點(diǎn)坐標(biāo)是.41．（2023春·江蘇泰州·高二靖江高級中學(xué)校考階段練習(xí)）已知橢圓C與雙曲線E：有相同的焦點(diǎn)，，點(diǎn)M是橢圓C與雙曲線E的一個(gè)公共點(diǎn)，若，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．42．（2023秋·江蘇南京·高二南京外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線方程為，焦距為8，左?右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，P為雙曲線右支上一動點(diǎn)，則的最小值為.43．（2022秋·江蘇鹽城·高二鹽城中學(xué)?？计谥校┓▏鴶?shù)學(xué)家蒙日發(fā)現(xiàn)：雙曲線的兩條互相垂直切線的交點(diǎn)的軌跡方程為：對應(yīng)的蒙日圓方程為，則.44．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)為，過的直線交雙曲線右支于，若，且，則.四、解答題45．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知，當(dāng)為何值時(shí)：(1)方程表示雙曲線；(2)