高考數(shù)學(xué)（題型預(yù)測(cè)+范例選講）綜合能力題選講 第04講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（含詳解）

三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)題型預(yù)測(cè)我們?cè)谥袑W(xué)階段所學(xué)習(xí)的函數(shù)的各種性質(zhì)，如單調(diào)性、奇偶性、周期性等，在三角函數(shù)中都可以得到充分的體現(xiàn)，而且，不僅僅如此，三角函數(shù)還具有對(duì)稱、有界等其他性質(zhì)．因此，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)就成為研究函數(shù)性質(zhì)時(shí)的典型例證．從這樣一個(gè)角度出發(fā)，熟練掌握和運(yùn)用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，不僅是本章的要求，而且有助于我們對(duì)函數(shù)綜合問(wèn)題有進(jìn)一步的理解．范例選講已知函數(shù)（，且均為常數(shù)），（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）若在區(qū)間上單調(diào)遞增，且恰好能夠取到的最小值2，試求的值．講解：研究三角函數(shù)的性質(zhì)（如周期、最值、單調(diào)性、奇偶性等）時(shí)，首先應(yīng)該對(duì)所給的函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行化簡(jiǎn)，最好化為一個(gè)角（形如）、一種三角函數(shù)的形式．（1） （其中由下面的兩式所確定：） 所以，函數(shù)的最小正周期為． （2）由（1）可知：的最小值為，所以，． 另外，由在區(qū)間上單調(diào)遞增，可知：在區(qū)間上的最小值為，所以，=． 解之得：點(diǎn)評(píng)：三角函數(shù)的單調(diào)性、周期是本章考察的重點(diǎn)．三角函數(shù)的值域經(jīng)常與二次函數(shù)等其它問(wèn)題綜合，考察函數(shù)在確定區(qū)間上的最值．設(shè)，試比較=與=的大小關(guān)系．講解 觀察所給的兩個(gè)函數(shù)，它們均是兩個(gè)三角函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，因此，我們不難想到：它們可能仍然具備三角函數(shù)的某些性質(zhì)，如單調(diào)性、周期性、奇偶性等．初步判斷便可以確定：、都是周期函數(shù)，且最小正周期分別為、．所以，只需考慮的情形．另外，由于為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，所以，很自然的可以聯(lián)想到：能否把需考慮的的范圍繼續(xù)縮??？事實(shí)上，當(dāng)時(shí)，>0，恒成立，此時(shí)，>．下面，我們只需考慮的情形．如果我們把看作是關(guān)于的余弦函數(shù)，把看作是關(guān)于的正弦函數(shù)，那么這兩個(gè)函數(shù)既不同名，自變量也不相同，為了能進(jìn)行比較，我們可以作如下恒等變換，使之成為同名函數(shù)，以期利用三角函數(shù)的單調(diào)性．至此為止，可以看出：由于和同屬于余弦函數(shù)的一個(gè)單調(diào)區(qū)間，（即，），所以，只需比較與的大小即可．事實(shí)上，（）—=—=所以，利用余弦函數(shù)在上單調(diào)遞減，可得：<．也即<綜上，<．點(diǎn)評(píng) 本題好在充分地運(yùn)用了正余弦函數(shù)的值域、周期性、奇偶性、單調(diào)性等性質(zhì)，對(duì)于訓(xùn)練學(xué)生思維、加