2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大題題型歸納：數(shù)列中的恒成立和存在性問(wèn)題（原卷版）

第06講數(shù)列中的恒成立和存在性問(wèn)題

考法呈現(xiàn)

恒成立與裂項(xiàng)相消求和

恒成立和分組求和

恒成立與數(shù)列的函數(shù)特性

恒成立與裂項(xiàng)相消求和

數(shù)列中的存在性問(wèn)題

弘考法一：數(shù)列中的恒成立問(wèn)題

滿(mǎn)分秘籍

數(shù)列的“存在性和恒成立問(wèn)題”的本質(zhì)是不等式的問(wèn)題，是高考中的熱點(diǎn)問(wèn)題。在出題上.

經(jīng)常巧妙的植入數(shù)列的求和中。因此數(shù)列的恒成立問(wèn)題可以采用不等式的方法來(lái)求解，比如

可以進(jìn)行“參變分離”后等價(jià)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題進(jìn)行求解。

例題分析

【例1-1］恒成立與分組求和

己知數(shù)列｛冊(cè)｝的前n項(xiàng)和為Sn，點(diǎn)(n,Sn)在曲線(xiàn)/一2x+y=0上.

(1)證明：數(shù)列｛冊(cè)｝為等差數(shù)列；

(2)若勾=(-1產(chǎn)期，數(shù)列｛b｝的前九項(xiàng)和幾滿(mǎn)足機(jī)%-2<對(duì)一切正整數(shù)ri恒成立，求實(shí)數(shù)m的值.

【例1-2］恒成立與裂項(xiàng)相消求和

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛an｝滿(mǎn)足2后=an+1,其中％是數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和.

(1)求數(shù)列｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式；

⑵若對(duì)任意neN+，且當(dāng)2時(shí)，總有點(diǎn)+六+與+…+古(％恒成立，求實(shí)數(shù)4的取值范圍.

4sl52-1S3—1

【例1-3］恒成立與錯(cuò)位相減求和

n+1

己知數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和為Sn,%=1,Sn+1=2Sn+2,neN*.

⑴求數(shù)列｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)與=1，｛%｝的前幾項(xiàng)和為7\，若對(duì)任意的正整數(shù)加不等式7\＞巴等恒成立，求實(shí)數(shù)小的取值范圍.

【例1-4］恒成立與數(shù)列的函數(shù)特性

在①Sn=26n-1,②-4bn=2),③%=*_i+2(n22),這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面

問(wèn)題中，若問(wèn)題中的后存在，求出后的值；若左不存在，說(shuō)明理由.

已知數(shù)列同｝為等比數(shù)列，的=|,a3=ara2,數(shù)列｛、｝的首項(xiàng)九=1,其前力項(xiàng)和為Sn,,是否存在

/cGN*,使得對(duì)任意n€N*,即"三縱瓦恒成立？

變式訓(xùn)練

【變式1-11在①2Sn=3an-3；②的=3,log3an+i=log3an+1這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題

中，并解答問(wèn)題.

設(shè)數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為％,滿(mǎn)足，bn=—,neN\

%l+l

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)若存在正整數(shù)沏，使得以020對(duì)VTIeN*恒成立，求劭的值.

【變式1-2］在數(shù)列｛%｝中，=1,Cln+l-1-t>n--1-，其中TieN*.

4anZG^—1

(1)證明數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，并寫(xiě)出證明過(guò)程;

(2)設(shè)％=到，數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和為〃，求〃；

(3)對(duì)VneN*,使得與W5+3)4恒成立，求實(shí)數(shù)2的最小值.

【變式1-3］已知數(shù)列｛冊(cè)｝的前n項(xiàng)和為Sn，的=3,部=與魯，nGN,.

bn3-1

(1)求S2,S3及｛an｝的通項(xiàng)公式;

斯+1

(2)設(shè)"=,數(shù)列｛勾｝的前幾項(xiàng)和為〃，若7\W4(an—1)對(duì)任意的neN*恒成立，求4的最小值.

(an—l)(an+i—1)

1

【變式1-4］已知數(shù)列｛%｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和Sn滿(mǎn)足2同;=%+1,數(shù)列也｝滿(mǎn)足bn=

(an+l)(an+i+l)

(1)求｛an｝的通項(xiàng)公式;

(2)設(shè)數(shù)列｛%｝的前幾項(xiàng)和為rn,若等<Tn<5nl對(duì)一切neN*恒成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

【變式1-5］圖中的數(shù)陣滿(mǎn)足：每一行從左到右成等差數(shù)列，每一列從上到下成等比數(shù)列，且公比均為實(shí)數(shù)

aaa

ql,l>°，l,3=5,a2i2――6,0^2—7,5?

al,lal,2al,3…Ql,n

a2,la2,2a2,3^2,n

aaa

3,l3f23,3…^3,n

。九,1Q九,2QTI,3,,.^n,n

(1)設(shè)4=?n,n，求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式;

(2)設(shè)Sn=ai,i+a2,i+-“+an」,是否存在實(shí)數(shù)九使冊(cè)」三芯八恒成立，若存在，求出4的所有值，若不存在,

請(qǐng)說(shuō)明理由.

弘考法二：數(shù)列中的存在性問(wèn)題

例題分析

【例2】已知：正整數(shù)列｛冊(cè)｝各項(xiàng)均不相同，new*,數(shù)列｛7/的通項(xiàng)公式〃=喏片?

(1)若75=3,寫(xiě)出一個(gè)滿(mǎn)足題意的正整數(shù)列｛%｝的前5項(xiàng)：

⑵若的=l,a2=2,Tn=與求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(3)證明若Vk€N*,都有恁Wn,是否存在不同的正整數(shù)i,力使得%,7y為大于1的整數(shù)，其中

滿(mǎn)分秘籍

數(shù)列的“存在性和恒成立問(wèn)題”的本質(zhì)是不等式的問(wèn)題，是高考中的熱點(diǎn)問(wèn)題。在出題上.

經(jīng)常巧妙的植入數(shù)列的求和中。因此數(shù)列的恒成立問(wèn)題可以采用不等式的方法來(lái)求解，比如

可以進(jìn)行“參變分離”后等價(jià)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題進(jìn)行求解。

變式訓(xùn)練

【變式2-1】記Sn為正數(shù)列｛冊(cè)｝的前n項(xiàng)和，已知｛Sn—是等差數(shù)歹

⑴求。

a100

(2)求最小的正整數(shù)小，使得存在數(shù)列｛冊(cè)｝,Sm-a今＞2.

2Q,71是偶數(shù)

【變式2-2］已知數(shù)列｛冊(cè)｝滿(mǎn)足的=3,且2+1=n

CLn~1,72是奇數(shù)

(l)^n=a2n+a2n_1,證明：｛“一3｝是等比數(shù)列;

(2)設(shè)數(shù)列｛冊(cè)｝的前n項(xiàng)和為S“，求使得不等式Sn>2022成立的n的最小值.

【變式2-3】已知數(shù)列伯。｝是正項(xiàng)等差數(shù)列，其中且。2、。4、。計(jì)2成等比數(shù)列；數(shù)列｛bn｝的前〃項(xiàng)

和為Sn，滿(mǎn)足2Sn+bn=l.

(1)求數(shù)列｛an｝、｛bn｝的通項(xiàng)公式；

(2)如果Cn=anbn,設(shè)數(shù)列｛』｝的前"項(xiàng)和為T(mén)n,是否存在正整數(shù)"，使得Tn>Sn成立，若存在，求出〃的最

小值，若不存在，說(shuō)明理由.

2

【變式2-4]已知數(shù)列｛%｝滿(mǎn)足的=2an+i+an=3,數(shù)列｛，J滿(mǎn)足瓦=1，nbn+1-(n+=n+n.

(1)數(shù)列｛%J，｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)若c”=(bn+1-bn)ctn，求使[q]+[c2]+[c2]+…+[cn]<2021成立([%]表示不超過(guò)4的最大整數(shù))

的最大整數(shù)"的值.

用真題專(zhuān)練

1.在公差不為零的等差數(shù)列｛冊(cè)｝中，Qi=L且。1，的，的3成等比數(shù)歹數(shù)列｛"J的前幾項(xiàng)和%滿(mǎn)足S九=2bn-2.

(1)求數(shù)列｛冊(cè)｝和｛g｝的通項(xiàng)公式；

2

(2)設(shè)％=bn-Q九，數(shù)列｛cn｝的前幾項(xiàng)和「九，若不等式7九+n-n>log2(l-a)對(duì)任意幾GN*恒成立，求實(shí)數(shù)

a的取值范圍.

2.已知數(shù)列｛冊(cè)｝的前"項(xiàng)和為%,的=一等且5%+i+Sn+16=0.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)；

(2)設(shè)數(shù)列｛勾｝滿(mǎn)足4bn+(n-5)冊(cè)=0(nGN*),記出“｝的前n項(xiàng)和為7n,若7n<4垢對(duì)任意幾GN*恒成立,

求實(shí)數(shù)2的取值范圍.

3.已知數(shù)列｛即｝的前n項(xiàng)和為%,當(dāng)nN2時(shí),S?(Sn-an+1)=S^.

(1)證明：數(shù)列長(zhǎng)｝是等差數(shù)列；

2

⑵若%=p數(shù)列停｝的前n項(xiàng)和為T(mén)n,若<(n+16)-2"】恒成立，求正整數(shù)6的最大值.

4.在數(shù)列｛冊(cè)｝中，ar2an=-2n-2(n>2).

(1)證明：數(shù)列｛冊(cè)+2幾｝是等比數(shù)列；

(2)記數(shù)列5(冊(cè)+2幾)｝的前n項(xiàng)和為7\,若關(guān)于九的不等式n(2-TJ<鬻斗亙成立，求實(shí)數(shù)2的取值范圍.

5.已知等比數(shù)列｛冊(cè)｝的前n項(xiàng)和為Sn,an+i=Sn+2(neN*).

(1)求數(shù)列｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式；

(2)在冊(cè)與冊(cè)+i之間插入幾個(gè)數(shù)，使這n+2個(gè)數(shù)組成一個(gè)等差數(shù)列，記插入的這幾個(gè)數(shù)之和為如，若不等式(-

l)nA<2-患對(duì)一切九6N*恒成立，求實(shí)數(shù)泄取值范圍；

(3)記力=白，求證：等+空+-.+^±1〈夜SEN*).

10g2底#1J垣'7

6.已知函數(shù)f(x)=a%+$+2-2。(a>0)的圖像在點(diǎn)(1/(1))處的切線(xiàn)與直線(xiàn)%+2y+1=0垂直.

(l)a,b滿(mǎn)足的關(guān)系式；

(2)若/(%)>21n%在［1,+8)上恒成立，求a的取值范圍;

c_^\k+l>ln2I(neNf)

⑶證明：Xk=1^-i-

2

7.已知數(shù)列｛an｝中，的=2,nan+1-(n+l)an=2(n+n)(nG7+)

(1)證明：數(shù)列fj｝是等差數(shù)列，并求數(shù)列｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)%=及比，數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和為7\,若Tn<g(>eN+)恒成立，試求實(shí)數(shù)2的取值范圍.

anan+l九+1

8.已知數(shù)列｛a｝的前〃項(xiàng)和為S,且、Sn=2T—

nno4

(1)求數(shù)列｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式；

n+1

(2)記"=-~*一數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和為T(mén)n,若不等式2(2-l)Tn<A+成對(duì)任意n6N*恒成立,

求實(shí)數(shù)2的取值范圍.

9.已知數(shù)列｛冊(cè)｝是首項(xiàng)的=p公比q=)的等比數(shù)列，設(shè)"+2=310ggi(九eN*),數(shù)歹U｛cn｝滿(mǎn)足％=anbn.

444

(1)證明：數(shù)列｛%｝成等差數(shù)列.

(2)若c九<|m2+m-1對(duì)一切正整數(shù)ri恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

10.已知數(shù)列｛an｝的前〃項(xiàng)和為Sn，且Sn=7l-0n.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)數(shù)列｛勾｝的前n項(xiàng)和為T(mén)n,且2bn=(n-2)(an-1),若7n>4》對(duì)于neN*恒成立，求4的取值范圍.

11.若無(wú)窮數(shù)列｛%｝滿(mǎn)足如下兩個(gè)條件，則稱(chēng)｛冊(cè)｝為無(wú)界數(shù)列：

①斯>0(?=1,2,3...)

②對(duì)任意的正數(shù)6,都存在正整數(shù)N,使得心N,都有時(shí)>6.

(1)若0n=2n+l,bn=2+cos(n)(n=l,2,3……),判斷數(shù)列｛an｝,｛bn｝是否是無(wú)界數(shù)列;

(2)若即=2幾+1,是否存在正整數(shù)后，使得對(duì)于一切都有以+&+…—1成立？若存在,

。2。3dn+1

求出左的范圍；若不存在說(shuō)明理由；

⑶若數(shù)列｛七｝是單調(diào)遞增的無(wú)界數(shù)列，求證：存在正整數(shù)機(jī)，使得也+&+…+旦<m-1.

02。3%n+l

12.已知數(shù)列｛冊(cè)｝和｛%｝滿(mǎn)足即=1，an+1=2an+l,且%=*+景+…+'扁5eN*).

(1)求數(shù)列｛冊(cè)｝和｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)數(shù)列｛須“｝的前"項(xiàng)和為T(mén)n，求滿(mǎn)足rn22(即+1)(%-1)-1的正整數(shù)n的值.

13.已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列｛冊(cè)｝滿(mǎn)足：a2+a3+ai-28,且(13+2是a2,(14的等差中項(xiàng).

(1)求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；

n+1

(2)若6n=anlogia;l,Sn-b1+b2H---Fbn,求使S.+n-2>50成立的正整數(shù)n的最小值.

14.已知數(shù)列｛冊(cè)｝的前？1項(xiàng)和為S“，的=1,a2=2,公比為2的等比數(shù)列｛b“｝的前n項(xiàng)和為7\,并且滿(mǎn)足

%+11唯(7\+1)=2Sn.

(I)求數(shù)列｛an｝,｛%｝的通項(xiàng)公式；

2

(II)已知7=號(hào)三+1，規(guī)定劭=0,若存在n€N*使不等式Q++C3+…+%<1-乙成立，求實(shí)數(shù)4

1nln+1n

的取值范圍.

15.已知數(shù)列｛an｝的前兀項(xiàng)和為%,且%=2an-1.

(1)求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；

(2)記集合M=(n\n(n+1)>Aan,n6N*),若M中有3個(gè)元素，求2的取值范圍；

n+1

(3)是否存在等差數(shù)列｛九｝,使得a$n+a2k+a3k+-+*=2-n-2對(duì)一切neN*都成立？

若存在，求出"；若不存在，說(shuō)明理由.

16.已知等差數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)的=一1,公差d>1.記｛冊(cè)｝的前n項(xiàng)和為SnOeN*).

⑴若S4-2a2a3+6=0,求％;

(2)若對(duì)于每個(gè)nGN