初中數(shù)學(xué)與高中數(shù)學(xué)教材銜接知識(shí)

初中數(shù)學(xué)與高中數(shù)學(xué)教材銜接匯總

現(xiàn)有初高中數(shù)學(xué)教材存在以下“脫節(jié)”：

1、絕對(duì)值型方程和不等式，初中沒(méi)有講，高中沒(méi)有專門的內(nèi)容卻在使用；

2、立方和與差的公式在初中己經(jīng)刪去不講，而高中還在使用；

3、因式分解中，初中主要是限于二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式的分解，對(duì)系數(shù)不為1

的涉及不多，甚至沒(méi)有，而且對(duì)三次或高次多項(xiàng)式的分解幾乎不作要求；高中教材中許多化

簡(jiǎn)求值都要用到它，如解方程、不等式等；

4、二次根式中對(duì)分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中數(shù)學(xué)中

函數(shù)、不等式常用的解題技巧；

5初中教材對(duì)二次函數(shù)的要求較低，學(xué)生處于了解水平。而高中則是貫穿整個(gè)數(shù)學(xué)教材

的始終的重要內(nèi)容；配方、作簡(jiǎn)圖、求值域(取值范圍)、解二次不等式、判斷單調(diào)區(qū)間、

求最大最小值、研究閉區(qū)間上的函數(shù)最值等等是高中數(shù)學(xué)所必須掌握的基本題型和常用方法;

6、二次函數(shù)、二次不等式與二次方程之間的聯(lián)系，根與系數(shù)的關(guān)系(韋達(dá)定理)初中

不作要求，此類題目?jī)H限于簡(jiǎn)單的常規(guī)運(yùn)算，和難度不大的應(yīng)用題，而在高中數(shù)學(xué)中，它們

的相互轉(zhuǎn)化屢屢頻繁，且教材沒(méi)有專門講授，因此也脫節(jié)；

7、圖像的對(duì)稱、平移變換初中只作簡(jiǎn)單介紹，而在高中講授函數(shù)時(shí)，則作為必備的基

本知識(shí)要領(lǐng)；

8、三角函數(shù)中，只簡(jiǎn)單學(xué)習(xí)了直角三角形的銳角與邊的關(guān)系中的正弦、余弦、正切。

對(duì)于其性質(zhì)已刪去。斜三角形，正、余弦定理早刪除了。而高中卻要大量的運(yùn)用。

9、含有參數(shù)的函數(shù)、方程、不等式初中只是定量介紹了解，高中則作為重點(diǎn)，并無(wú)專

題內(nèi)容在教材中出現(xiàn)，是高考必須考的綜合題型之一；

10、平面上任意兩點(diǎn)間距離公式初中沒(méi)有也不再訓(xùn)練，但高中是工具。

11、幾何中很多概念(如三角形的五心：重心、內(nèi)心、外心、垂心)和定理(平行線等

分線段定理、平行線分線段成比例定理、射影定理、相交弦定理等(圓累定理))初中早就

已經(jīng)刪除，大都沒(méi)有去學(xué)習(xí)；

12、圓中四點(diǎn)共圓的性質(zhì)和判定初中沒(méi)有學(xué)習(xí)。高中則在使用。

另外，象配方法、換元法、待定系數(shù)法、十字相乘法、雙十字相乘法分解因式等等初中

大大淡化，甚至老師根本沒(méi)有去補(bǔ)講，更談不上延伸挖掘，很不利于高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)。

13、平行線等分線段、平行線分線段成比例定理也不再有。

新的課程改革，難免會(huì)導(dǎo)致很多知識(shí)的脫節(jié)和漏洞。下面我就具體談?wù)劤醺咧袛?shù)學(xué)的脫

節(jié)與補(bǔ)救，僅個(gè)人看法，不當(dāng)之處請(qǐng)指正。

一、教材內(nèi)容銜接脫鉤與補(bǔ)救

(―)絕對(duì)值

a,a>0,

(1)絕對(duì)值的代數(shù)意義：正數(shù)的絕對(duì)值是它的本身，|。|=0,。=0,

-a,a<0.

負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，零的絕對(duì)值仍是零.即

(2)絕對(duì)值的幾何意義：一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，是數(shù)軸上表示它的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離.

(沒(méi)講)(3)兩個(gè)數(shù)的差的絕對(duì)值的幾何意義：-4表示在數(shù)軸上，數(shù)。和數(shù)6之間的距離.

(4)兩個(gè)絕對(duì)值不等式：|x|<a(a>0)o

I%|<a(a>0)o

銜接：

(簡(jiǎn)單)(1)若忖=5,則產(chǎn)；若N=|—4|,則尸.

(難)⑵如果向+網(wǎng)=5,且。=一1,則b=；若|1一c|=2,則c=.

3.化簡(jiǎn):|^-5|-|2%-13|(x>5).(用數(shù)軸)

(沒(méi)得)4、(1)|%—1|>3；(2),+31+,一2|<7；(3)|x—1|+|%+1|>6.

(-)乘法公式

在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)了下列一些乘法公式:

(1)平方差公式(a+b)(a—b)—tz2-b；

(2)完全平方公式(a土6)2-a2+2ab+b2.

未學(xué)的乘法公式：

(1)立方和公式(a+b)(a2—cib+b?)—/+b，；

(2)立方差公式(a_b)(a-+cib+b~)—cr—；

(3)三數(shù)和平方公式(a+Z?+c)~—a2+O2+c~+2(ab+be+ac)；

(4)兩數(shù)和立方公式(a+bp=/+3a/+3cib^+b，；

(5)兩數(shù)差立方公式(a-/?)3-a3-3a2b+3ab2-b3.

初中書(shū)上有(楊輝三角可助推或用多項(xiàng)式乘法推導(dǎo))

銜接：計(jì)算：(1)(3+2y)(9-6y+4y2)；(2)(2xT)(4x2+2x+l)

(3)計(jì)算：(x+l)(x-1)(%2-x+l)(x2+x+1).

(4)已知a+Z?+c=4,ab+bc+ac=4,求a?+片+c?的值.

(5)已知x+y=l,求丁+,3+3孫的值.

(三)次根式的概念與運(yùn)算：一般地，形如&(a20)的代數(shù)式叫做二次根式.

a,a>0,

-a,a<0.

無(wú)理式、分母(子)有理化.有理化因式的概念.、最簡(jiǎn)二次根式、同類二次根式.

銜接:將下列式子化為最簡(jiǎn)二次根式：(1)J再；(2)V^(tz>0);(3)j4V>(x<0).

沒(méi)有(4)計(jì)算：73^(3-73).

(5)化簡(jiǎn)：(1)5/9—4-^5；(2)、卜~T---2(0<x<1).

f

(6)已矢口x=V3+V2，y-V3-V2求3代-5孫+3V的值.

（四）分式

分式的意義、基本性質(zhì)、運(yùn)算

AAA

形如白■的式子，若6中含有字母，且BwO,則稱白?為分式.當(dāng)此。時(shí)，分式公具有下

BBB

AAxMAA—M

列性質(zhì)：三上；三=二巴.上述性質(zhì)被稱為分式的基本性質(zhì).

BBxMBB+M

分式的約分；①.分式的通分；②.分式的乘除；③分式的加減④分式的混合運(yùn)算；

⑤零指數(shù)，負(fù)整數(shù)，整數(shù)，整數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算。

a）零指數(shù)a0=l（"0）,

b）負(fù)整數(shù)指數(shù)a-。=工（4/0,0為正整數(shù)）.，

ap

「a?a?n=a?m+n,

c）注意正整數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)J曖+優(yōu)=。*"（“片0）,可以推廣到整數(shù)指數(shù)幕，也就是上述

］（amy=am",

（ab）"=a"b"

等式中的m、n可以是0或負(fù)整數(shù).

a

繁分式：像逆一，一:“+.這樣,分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式.

c+d2m

n+p

（五）分解因式：有理數(shù)范圍分解因式，無(wú)理數(shù)范圍分解

因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分組分解法，另外還應(yīng)了

解求根法及待定系數(shù)法.

學(xué)過(guò)的，用平方差和完全平方公式即公式法在有理數(shù)范圍分解因式：無(wú)理數(shù)范圍分解

未學(xué)的：十字相乘法、提取公因式法、分組分解法，求根法及待定系數(shù)法.

技巧：添項(xiàng)、拆項(xiàng)法

銜接：1、分解因式：（1）V—3x+2；（平方系數(shù)為1的）(2)V+4X—12；

(3)x2-(?+b)xy+aby2；(4)xy-l+x-y.

圖1.2-1

說(shuō)明：今后在分解與本例類似的二次三項(xiàng)式時(shí)，可以直接將圖1.2-1中的兩個(gè)x用1來(lái)表

示(如圖1.2—2所示).

2.提取公因式法與分組分解法

(1)%3+9+3X2+3x；(2)2f+xy——4x+5y—6.

解：(1)x3+9+3x2+3x=(x3+3x2)+(3x+9)=x2(x+3)+3(%+3)=(x+3)(x2+3).

或％3+9+3x2+3%=(x3+3x2+3x+l)+8=(x+1)3+8=(x+1)3+23

=[(x+l)+2][(x+1)2-(X+1)X2+22]=(X+3)(X2+3).

(2)2%2+肛一＞2-4x+5y-6=2x2+(y-4-)x-y2+5y-6

=2/+(y—4)九一(y—2)(y—3)

=(2x-y+2)(x+y-3)

3.關(guān)于x的二次三項(xiàng)式蘇+3c(aW0)的因式分解.

若關(guān)于x的方程依2+云+。=0(〃。0)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是七、的,則二次三項(xiàng)式

ax2+bx+c(aw0)就可分解為〃(無(wú)一王)(九一馬).

銜接：1、把下列關(guān)于x的二次多項(xiàng)式分解因式：

(1)%2+2x—1；(2)x2+4xy—4y2.

解：(1)令f+2%—1=0,則解得石=—l+J^,々=—1一

.?.f+2x—l=[x-(-1+回][x-(-1_偽卜(戈+1-衣(x+1+揚(yáng).

(2)令X?+4孫一4丁=o,貝U解得玉=(―2+=(—2—2-\/2)_y,

x2+4xy-4y2=[%+2(1A/2)y][%+2(1+^2)y].

2.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解：

(1)X2-5X+3；(2)尤2一2岳—3；

(3)3x~+4xy—y~；(4)(%2—2x)2—7(x"—2x)+12.

(六)根的判別式

我們知道，對(duì)于一元二次方程af+Zu，+c=0(aWO),用配方法可以將其變形為

因?yàn)閍#0,所以，4a2>0.于是

（1）當(dāng)4ac>0時(shí)，方程①的右端是一個(gè)正數(shù)，因此，原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

-b￡b~-4ac

Xi,2=--------------

2a

⑵當(dāng)犬一4ac=0時(shí)，方程①的右端為零，因此，原方程有兩個(gè)等的實(shí)數(shù)根為=丫2=—上；

2a

A

(3)當(dāng)爐一4ac<0時(shí)，方程①的右端是一個(gè)負(fù)數(shù)，而方程①的左邊(x+—A—定大于或

2a

等于零，因此，原方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.

由此可知，一元二次方程aV+6x+c=0(aWO)的根的情況可以由來(lái)判定，我們

把作一4ac叫做一元二次方程a/+6x+c=0(aWO)的根的判別式，通常用符號(hào)“A”來(lái)

表不.

綜上所述，對(duì)于一元二次方程ax'+Ar+cuO(aWO),有

(1)當(dāng)△>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根刈2=——--------

2a

(2)當(dāng)A=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根xi=x?=一2

2a

(3)當(dāng)A<0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.

銜接1、不解方程判定下列一元二次方程根的情況。

(1)x2-x-6=0b~-4-ac=

(2)x2-2x—lb1-4-ac=￡

22

(3)x—2x+2=0b-4ac=X]

2、判定下列關(guān)于x的方程的根的情況(其中a為常數(shù))，如果方程有實(shí)數(shù)根，寫(xiě)出方程的實(shí)

數(shù)根.

(1)x—3x+3=0；(2)x—ax—1=0；(3)x—ax+(a—1)=0；(4)x—2x+a=0.

(七)根與系數(shù)的關(guān)系(韋達(dá)定理)

探究根與系數(shù)關(guān)系

一元二次方程若一元二次方程aV+6x+c=0(aWO)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根

_-Z?+“2-4〃c-b-A//?2-4ac_b2-(Z?2-4ac)_4ac_c

122a2a4a24a2a

所以，一元二次方程的根與系數(shù)之間存在下列關(guān)系：

b「

如果3/+Z?x+c=O(HWO)的兩根分別是不，X2,那么不+苞=——，xi?X2=—.這一關(guān)

aa

系也被稱為韋達(dá)定理.

特別地，對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程/+內(nèi)+q=0,若X1,￡2是其兩根，由韋達(dá)定

理可知

Xi+x2=—p,Xi?X2=q,即0=一(矛1+至)，q=Xi?x2,

所以，方程f+px+q=O可化為(xi+*2)x+xi?入2=0,由于矛1,也是一元二次方程

3+夕X+。=0的兩根，所以，Xi,用也是一元二次方程第一(xi+x2)x+xi?至=0.因此有

以兩個(gè)數(shù)的，至為根的一元二次方程(二次項(xiàng)系數(shù)為1)是(不+至)x+x-X2=0.

6Z(X-X1)(X-X2)=0

銜接：(少)1、已知方程5/+6—6=0的一個(gè)根是2,求它的另一個(gè)根及人的值.

(無(wú))2、已知關(guān)于X的方程f+2(必一2)x+/2+4=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，并且這兩個(gè)實(shí)

數(shù)根的平方和比兩個(gè)根的積大21,求〃的值.

3、已知兩個(gè)數(shù)的和為4,積為一12,求這兩個(gè)數(shù).

4、若xi和歪分別是一元二次方程2x?+5x—3=0的兩根.

(1)求|布一用|的值；(2)求」了+」號(hào)的值；(3)x^+x2.

再入2

一元二次方程的兩根之差的絕對(duì)值

—h+xl/72—

設(shè)用和生分別是一元二次方程^+bx+c=O(aWO),則石=——---------，

2a

-b-y/b2-4ac

x二--------------------------------,

22a

1

—b+yjb1-4ac-b-yjb-4ac\2ylb2-4ac_yjb2-4ac_A/A

2a2a2a\a\\a\

于是有下面的結(jié)論:若M和田分別是一元二次方程af+"+c=O(a#O),則|x-x2\=—

\a\

(其中A=Z>2—4ac).

今后，在求一元二次方程的兩根之差的絕對(duì)值時(shí)，可以直接利用上面的結(jié)論.

(A)二次函數(shù)

(1)二次函數(shù)/=&為2+法+。的圖像和性質(zhì)

函數(shù)y=ax,二次函數(shù)了=//(@￥0)的圖象可以由尸V的圖象各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的a倍

得到.在二次函數(shù)y=af(a#O)中，二次項(xiàng)系數(shù)a決定了圖象的開(kāi)口方向和在同一個(gè)坐標(biāo)系

中的開(kāi)口的大小.

二次函數(shù)y=a(x+/y+ASWO)中，a決定了二次函數(shù)圖象的開(kāi)口大小及方向；7?決定了

二次函數(shù)圖象的左右平移，而且“右正左移，力負(fù)右移”；次決定了二次函數(shù)圖象的上下平

移，而且“左正上移，次負(fù)下移”.

(2)畫(huà)二次函數(shù)y=ax2+6x+c(a=0)的圖象的方法：

b

由于y=ax+bx+c=a(/+—x)+c

a

=a(H3+")+cb2

a4-a"4-a

.b.,b2-4ac

a(x+——)+--------

2a4a

所以，y=a/+6x+c(aW0)的圖象可以看作是將函數(shù)y=af的圖象作左右平移、上下平移

得到的，于是，二次函數(shù)/=@/+版+。殳。0)具有下列性質(zhì)：

①當(dāng)3>0時(shí),函數(shù)y=ax+bx+c圖象開(kāi)口②當(dāng)5<o時(shí)，函數(shù)y=ax+bx-\-c圖象開(kāi)口

向上；向下；

頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-4,),頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,oc〃),

2a4a2a4a

bb

對(duì)稱軸為直線X=---,對(duì)稱軸為直線x=一二；

2ala

bb

當(dāng)xV——時(shí)，p隨著x的增大而減小；當(dāng)2時(shí)，y隨著x的增大而增大;

2a2a

bb

當(dāng)x>—二時(shí)，y隨著x的增大而增大；當(dāng)x>——時(shí)，y隨著x的增大而減?。?/p>

2a2a

bb

當(dāng)￡=----時(shí)，函數(shù)取最小值當(dāng)牙=一一時(shí)，函數(shù)取最大值

2a2a

4ac-b24ac-b2

了4a,74a,

(閉區(qū)間上的求最值沒(méi)有學(xué)。)(區(qū)間與集合的關(guān)系)

銜接：1、求二次函數(shù)尸-3/-6^+1圖象的開(kāi)口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、最大值(或

最小值)，并指出當(dāng)x取何值時(shí)，y隨x的增大而增大(或減小)？求當(dāng)一時(shí)，函數(shù)

的最值。并畫(huà)出該函數(shù)的圖象.

2、己知函數(shù)尸寸，一2W后a,其中a>—2,求該函數(shù)的最大值與最小值，并求出函

數(shù)取最大值和最小值時(shí)所對(duì)應(yīng)的自變量X的值.

本例中函數(shù)自變量的范圍是一個(gè)變化的范圍，需要對(duì)a的取值進(jìn)行討論.

解：①當(dāng)a=-2時(shí)，函數(shù)的圖象僅僅對(duì)應(yīng)著一個(gè)點(diǎn)(一2,4),所以，函數(shù)的最大值

和最小值都是4,此時(shí)x=-2；

②當(dāng)一2<a<0時(shí)，由圖2.2—6①可知，當(dāng)x=-2時(shí)，函數(shù)取最大值y=4；當(dāng)x=a

時(shí)，函數(shù)取最小值y=a-,

③當(dāng)0Wa<2時(shí)，由圖2.2—6②可知，當(dāng)x=-2時(shí)，函數(shù)取最大值y=4；當(dāng)x=0時(shí)，

函數(shù)取最小值y=0；

④當(dāng)a22時(shí)，由圖2.2—6③可知，當(dāng)x=a時(shí)，函數(shù)取最大值y=a?；當(dāng)x=0時(shí)，函

數(shù)取最小值7=0.

說(shuō)明：在本例中，利用了分類討論的方法，對(duì)a的所有可能情形進(jìn)行討論.此外，本例中所

研究的二次函數(shù)的自變量的取值不是取任意的實(shí)數(shù)，而是取部分實(shí)數(shù)來(lái)研究，在解決這一類

問(wèn)題時(shí)，通常需要借助于函數(shù)圖象來(lái)直觀地解決問(wèn)題.

(3)二次函數(shù)的三種表示方式

1.一般式：y=ax+bx-\-0)；

2.頂點(diǎn)式：y=a(x+/i)2+k(aWO),其中頂點(diǎn)坐標(biāo)是(一方，電.

3.交點(diǎn)式或兩根式：y=a(x—荀)(x—加(aWO),其中E,苞是二次函數(shù)圖象與x軸

交點(diǎn)的橫坐標(biāo).(課本沒(méi)要求，)

銜接：第三種形式的得出可如下：

我們先來(lái)研究二次函數(shù)y=aV+6x+c(aW0)的圖象與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù).

當(dāng)拋物線y=aV+6x+c(a=0)與x軸相交時(shí)，其函數(shù)值為零，于是有al+^x+cu。.①

并且方程①的解就是拋物線尸af+fcr+cGWO)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)(縱坐標(biāo)為零)，于

是，不難發(fā)現(xiàn)，拋物線y=ax2+6x+c(a=0)與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)與方程①的解的個(gè)數(shù)有關(guān)，而

方程①的解的個(gè)數(shù)又與方程①的根的判別式A=62—4ac有關(guān)，由此可知，拋物線y=af

+6x+c(a#0)與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)與根的判別式A=匠—4ac存在下列關(guān)系：

(1)當(dāng)A>0時(shí)，拋物線y=af+￡x+c(aWO)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；反過(guò)來(lái)，若拋物線y=

ax'+^x+cQ/O)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則△>0也成立.

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（2）當(dāng)A=0時(shí)，拋物線/=蘇+6匠+0（收0）與x軸有一個(gè)交點(diǎn)（拋物線的頂點(diǎn)）；反過(guò)

來(lái)，若拋物線夕=&^+6*+。（己/0）與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，則△=0也成立.

（3）當(dāng)AV0時(shí)，拋物線y=〃x2+6x+c（aW0）與x軸沒(méi)有交點(diǎn)；反過(guò)來(lái)，若拋物線

+法+c（aW0）與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，則AV0也成立.

于是，若拋物線尸與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)/（xi,0）,8（期0）,則xi,也是

bcbc

方程a^+6x+c=0的兩根，所以為+苞=---,xix=—,即一=—（XI+E）,—=xxx.

a2aaa2

bc

以，y=ax+bx~\~c=a（xH—xH—）=a[x~-（xi+x2）x+X1X2]~a（x-xj（x-X2）.

aa

由上面的推導(dǎo)過(guò)程可以得到下面結(jié)論:若拋物線y=a/+6x+c（aW0）與x軸交于/（為,0）,

8（劉，0）兩點(diǎn)，則其函數(shù)關(guān)系式可以表示為尸a（x—不）（x—為）（aNO）.這樣，也就得到

了表示二次函數(shù)的第三種方法：

銜接1、已知二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)（一1,0）,（0,-3）,（2,0）,求此二次函數(shù)的表達(dá)式.

（設(shè)三種形式該可）

頂點(diǎn)式研究其頂點(diǎn)的位置即可.

銜接：求把二次函數(shù)y=V—4x+3的圖象經(jīng)過(guò)下列平移變換后得到的圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解

析式：

（1）向右平移2個(gè)單位，向下平移1個(gè)單位；（2）向上平移3個(gè)單位，向左平移2個(gè)單位.

銜接如圖9—2所示，在邊長(zhǎng)為2的正方形26切的邊上有一個(gè)

動(dòng)點(diǎn)、P,從點(diǎn)/出發(fā)沿折線/式》移動(dòng)一周后，回到4點(diǎn).設(shè)點(diǎn)

A移動(dòng)的路程為x，△*C的面積為y.

（1）求函數(shù)y的解析式；（2）畫(huà)出函數(shù)y的圖像；（3）求函數(shù)y的取值

范圍.

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%,0<%<2,

4—x,2<x<4,

函數(shù)『（X）的解析式為_(kāi)

r44<x<6,

8-x,6<x<8.

（九）方程與不等式

1、二元二次方程組解法

學(xué)生已具備的：

1）知道“代入消元法、加減消元法”的基本思想和一般步驟；

2）已掌握由“代入法、消元法”解由兩個(gè)二元一次方程組成的方程組；

3）通過(guò)對(duì)二元一次方程組解法的學(xué)習(xí)，已滲透了“消元”、“降次”的數(shù)學(xué)思想方法.

通過(guò)銜接學(xué)生可體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，養(yǎng)成深入觀察、分析的良好習(xí)慣

銜接：方程x?+2孫+/+1+丁+6=0

（生自己能得出后面概念）是一個(gè)含有兩個(gè)未知數(shù),并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是2的

整式方程，這樣的方程叫做二元二次方程.其中一,2孫，丁叫做這個(gè)方程的二次項(xiàng)，X,y

叫做一次項(xiàng),6叫做常數(shù)項(xiàng).

我們看下面的兩個(gè)方程組：

例1解方程組\+4y-4=0,x+y=7,

x-2y-2=0.xy=12.

x2-4y2+尤+3y-1=0,x2+/=20,

<

2x-y-l=0;x2-5孫+6y2=0.

2、一元二次不等式解法（符號(hào)解決）

理解一元二次方程、一元二次不等式和二次函數(shù)之間的關(guān)系.

銜接：一元二次不等式的解法：二次項(xiàng)系數(shù)a>0的一元二次不等式的解法，其關(guān)鍵是抓住

相應(yīng)二次函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)。二次函數(shù)y=x2—x—6的對(duì)應(yīng)值表與圖象如下：

x—3—2—101234

y60-4-6-61406

由對(duì)應(yīng)值表及函數(shù)圖象（如圖2.3—1）可知

當(dāng)萬(wàn)=-2或x=3時(shí)，y=0,即x=6=0；

當(dāng)xV—2或x>3時(shí)，y>0,即x—6>0；

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當(dāng)一2cx<3時(shí)，y<0,即/一為一6<0.

這就是說(shuō)，

如果拋物線產(chǎn)x—6與x軸的交點(diǎn)是(一2,0)、(3,0),

那么一■元二次方程6=0的解就是Xi=~2,苞=3；

同樣，結(jié)合拋物線與x軸的相關(guān)位置，可以得到

一元二次不等式/一x—6>0的解是x<—2或x>3；

一元二次不等式6<0的解是一2<x<3.

上例表明：由拋物線與x軸的交點(diǎn)可以確定對(duì)應(yīng)的一元二次方程的解和對(duì)應(yīng)的一元二次不等

式的解集.那么，怎樣解一元二次不等式af+bx+cXKaWO)呢？

我們可以用類似于上面例子的方法,借助于二次函數(shù)y=a/+te+C(a#0)的圖象來(lái)解一元

二次不等式ax+bx-\-c>0(2^0).

為了方便起見(jiàn)，我們先來(lái)研究二次項(xiàng)系數(shù)a>0時(shí)的一元二次不等式的解.

我們知道，對(duì)于一元二次方程af+6x+c=0(a>0),設(shè)△=犬-4ac,它的解的情形按照△

>0,△=(),△<()分別為下列三種情況一一

有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解、有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解和沒(méi)有實(shí)數(shù)解，

相應(yīng)地，拋物線y=aV+6x+c(a>0)與x軸分別有兩個(gè)公共點(diǎn)、一個(gè)公共點(diǎn)和沒(méi)有公共

點(diǎn)(如圖2.3—2所示)，因此，我們可以分下列三種情況討論對(duì)應(yīng)

的一元二次不等式ax'+^x+c>。(a>0)與aY+bx+cCO(a>

0)的解.

(1)當(dāng)△>()時(shí)，拋物線y=ax'+6x+c(a>0)與x軸有兩個(gè)

公共點(diǎn)(不，0)和(如0),方程af+6x+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)

數(shù)根xi和苞(xiCxJ,由圖2.3—2①可知

不等式。/+5尤+。>0的解為無(wú)<xi,或無(wú)>尤2；

不等式ax'+^x+cVO的解為/<彳<彳2.

(1)當(dāng)A=0時(shí)，拋物線丫=癥+匕尤+c(a>0)與x軸有且僅

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有一個(gè)公共點(diǎn),

_b，一,

方程依2+6尤+c=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根無(wú)1=忿=—五，由圖2.3—2②可知

b

不等式辦2+6x+c>0的解為洋一在i；

不等式af+bx+cVO無(wú)解.

(2)如果△<(),拋物線y=a/+6x+c(a>0)與x軸沒(méi)有公共點(diǎn)，

方程aV+6x+c=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，由圖2.3—2③

可知不等式a/+6x+c>0的解為一切實(shí)數(shù)；

不等式a/+6x+c<0無(wú)解.

今后，我們?cè)诮庖辉尾坏仁綍r(shí),如果二次項(xiàng)系數(shù)大于零，可以利用上面的結(jié)論直接求解；

如果二次項(xiàng)系數(shù)小于零，則可以先在不等式兩邊同乘以一1,將不等式變成二次項(xiàng)系數(shù)大于

零的形式，再利用上面的結(jié)論去解不等式.

練習(xí)：

解不等式：(1)/+2A—3<0；(2)x—V+6<0；(3)4x+4x+l>0；

(4)Y—6JT+9<0；(5)—4+^r—y<0.

(十)平行線分線段成比例定理

銜接1、網(wǎng)格圖中，由全等三角形很容易證得平行線等分線段定理。|||||????

銜接2：在一張方格紙上，我們作平行線4，&4(如圖-1)，

直線。交/i，!于點(diǎn)A,比C，AB=2,BC—3,

4'R'4R9

另作直線6交/1,4,4于點(diǎn)4,3'，。'，不難發(fā)現(xiàn)力匚=——=-

B'C'BC3

我們將這個(gè)結(jié)論一般化，歸納出平行線分線段成比例定理：

三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.

如圖-2,/]///7//Z3,有空_=匹當(dāng)然,也可以得出這=%.在運(yùn)用該定理解決問(wèn)題的過(guò)程中，我

BCEFACDF

們一定要注意線段之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，是“對(duì)應(yīng)”線段成比例.

練習(xí)：1、如圖2,/J〃2〃/3,且AB=2,5。=3,。尸=4,求。E,防.

7Qq19W____________

DE=------DF=—,EF=——DF=—.丁

2+352+35

2、在ABC中，為邊上的點(diǎn)，DE//BC,求證：—=—=—.

ABACBC

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證明（1）DE//BC,ZADE=ZABC,ZAED=ZACB,

cl.ADAEDE

.^AtDEs_-----------------

ABACBC

證明（2）如圖3,過(guò)A作直線〃/BC,

U/DEHBC,

.ADAE

,AB-AC'

過(guò)E作EF〃AB交AB于。，得「BDEF,

因而。石=6匠

EF//AB,?.更=里=吧.

ACBCBC

AD_AE_DE

一AB—AC~BC'

從上例可以得出如下結(jié)論：（相似只只考角角）

平行于三角形的一邊的直線截其它兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.

平行于三角形的一邊，并且和其它兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角

形的三邊對(duì)應(yīng)成比例.

3、已知/ABC,。在AC上，AO：r）C=2:l,能否在A5上找到一點(diǎn)瓦使得線段EC

的中點(diǎn)在5。上.

解假設(shè)能找到，如圖，設(shè)EC交3。于p，則p為EC的中點(diǎn)，作EG〃AC交于G.

我們?cè)谔剿饕恍┐嬖谛詥?wèn)題時(shí)，常常先假設(shè)其存在，再解之，有解則存在，無(wú)解或矛盾

則不存在.

4、在/ABC中，AD為/ABC的平分線，求證：—=—.

ACDC

角平分線性質(zhì)定理，可敘述為角平分線分對(duì)邊成比例（等于該角的兩邊之比）.

5.在/ABC中，/ABC的外角平分線A。交8C的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，求證：—=—.（H

ACDC

角形外角平分線定理）

（十一）三角形的“四心”

三角形是最重要的基本平面圖形，很多較復(fù)雜的圖形問(wèn)題可以化歸為三角形的問(wèn)題.

,題型歸納

銜接：如圖，在三角形AABC中，有三條邊A53CCA,三個(gè)頂點(diǎn)A,3,C,在三角

形中，角平分線、中線、高是三角形中的三種重要線段.

1、三角形的三條中線相交于一點(diǎn)，這個(gè)交點(diǎn)稱為三角形的重心.三角形的重心在三角形的

內(nèi)部，恰好是每條中線的三等分點(diǎn).

求證:，三角形的三條中線交于一點(diǎn)，且被該交點(diǎn)分成的兩段長(zhǎng)度之比為2：1.

已知D、E、尸分別為AABC三邊BC、CA、的中點(diǎn)，

求證AD、BE、C尸交于一點(diǎn)，且都被該點(diǎn)分成2：1.

證明連結(jié)DE,設(shè)AD.BE交于點(diǎn)G,

D、E分別為BC、AE的中點(diǎn)，則。且

2

/GDEs/GAB,且相似比為1：2,

AG=2GD,BG=2GE.

設(shè)AD、CP交于點(diǎn)G',同理可得，AG'=2GD,CG=2

則G與G'重合，

AD,BE、b交于一點(diǎn)，且都被該點(diǎn)分成2：1.

2、三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，是三角形的內(nèi)心.(提及)

三角形的內(nèi)心在三角形的內(nèi)部，它到三角形的三邊的距離相等.

B-

已知/ABC的三邊長(zhǎng)分別為3C=a,AC=c,I為/

ABC的內(nèi)心，且I在/ABC的邊6C、AC,A3上的射影分別為口E、F,求

……b+c-a

AE=AF=-----------.

2

證明作/ABC的內(nèi)切圓，則口E、歹分別為內(nèi)切圓在三邊上的切點(diǎn)，

AE,Ab為圓的從同一點(diǎn)作的兩條切線，'AE=AF,

同理，BD=BF,CD=CE.

\b+c-a=AF+BF+AE+CE-BD-CD

=AF+AE=2AF=2AE

口n……b+c-a

即AE=AF=----------

2

3、三角形的三條高所在直線相交于一點(diǎn)，該點(diǎn)稱為三角形的垂心.銳角三角形的垂心一定

在三角形的內(nèi)部，直角三角形的垂心為他的直角頂點(diǎn)，鈍角三角形的垂心在三角形的外部.

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求證：三角形的三條高交于一點(diǎn).

已知/ABC中，AD_LBC于D,BE_LAC于EA。與BE交于反點(diǎn).

求證CH±AB.

證明以S為直徑作圓，

ADXB,BEXAC,ZHDC=ZHEC=90°

D、E在以Ca為直徑的圓上，

ZFCB=ZDEH

同理，E、D在以AB為直徑的圓上，可得

ZBED=ZBAD.ZBCH=ZBAD

又力ABD與/CBF有公共角ZB,

ZCFB=ZADB=90°即CHXAB..

4、過(guò)不共線的三點(diǎn)A、B、C有且只有一個(gè)圓，該圓是三角形ABC的外接圓，圓心。為三

角形的外心(提及).三角形的外心到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，是各邊的垂直平分線的交點(diǎn).

(十二)三角函數(shù)

1、直角三角形的四個(gè)銳角三角函數(shù)的概念；

1正弦、余弦、正切、余切2、特殊角的三角函數(shù)值(30°45°60°)沒(méi)有0和

90

2、直角三角形的邊角公式：平方和關(guān)系、商的關(guān)系、倒數(shù)關(guān)系(沒(méi)運(yùn)用)

.22rsinacosa,

sina+cosa=ltga=-----ctga=----tg2a?ctg2a=l

cosasma

銜接：分別寫(xiě)出變形式：_______________________________________________

3、銳角三角函數(shù).(A為銳角)

sinA=sin(180°-A)cosA=-cos(1800-A)

cotA=-cot(180°-A)catA=-cat(180°-A)

可順勢(shì)在坐標(biāo)系中將銳角改為鈍角看看結(jié)果怎樣？

畫(huà)圖像舉例說(shuō)明：正弦值為“+”，其余為“-”

(十三)正弦定理和余弦定理

正弦定理三角形各邊的長(zhǎng)度與其對(duì)角的正弦值的比相等，且等于它的外接圓的直徑

證明(傳統(tǒng)證法)在任意斜AABC當(dāng)中：

—absinC=—acs\nB=—bcsvaA

?！鳁?22

兩邊同除以Lq期得:

2sinAsin8sinC

余弦定理三角形任何一邊的平方等于其它兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余

弦的積的兩倍。

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a2=b2+c2-2bccosA變形式：_________________________________________

b2=c2+a2-2accosB變形式：________________________________________

c2=a2+b2-2abcosC變形式：__________________________________________

練習(xí)：1、在aABC中，已知a=3,c=3小,NA=30°,求NC及b

分析已知兩邊及一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角，用正弦定理.注意已知兩邊和一邊的

對(duì)角所對(duì)應(yīng)的三角形是不確定的，所以要討論.

解VZA=30°,a<c,c?sinA—3yVa,工此題有兩解.

csinA「

sinC==Z^C=60°,或NC=120°.

aJz0

.?.當(dāng)NC=60°時(shí)，ZB=90°,b=^/a2+b2=6.

當(dāng)NC=120°時(shí)，ZB=30°,b=a=3.

點(diǎn)評(píng)已知兩邊和一邊的對(duì)角的三角形是不確定的，解答時(shí)要注意討論.

2、在aABC中，已知acosA=bcosB,判斷AABC的形狀.

分析欲判斷AABC的形狀，需將已知式變形.式中既含有邊也含有角，直接變形難以進(jìn)

行，若將三角函數(shù)換成邊，則可進(jìn)行代數(shù)變形，或?qū)⑦厯Q成三角函數(shù)，則可進(jìn)行三角變換.

RI一分

2,C22a2_i_c2_u2

解方法一：由余弦定理，得a?(9.)=b?(.),

.'.a2c2—a4—b2c2+b4=0.

(a2—b2)(c2—a2—b2)=0.

a2—b2=0,BS,c2—a2—b2=0.

a=b,c2=a2+b2.

/.△ABC是等腰三角形或直角三角形.

方法二：由acosA=bcosB,得2RsinAcosA=2RsinBcosB.

sin2A=sin2B.2A=2B,或2A=180°—2B.

；.A=B,或A+B=90°.

/.△ABC為等腰三角形或直角三角形.

點(diǎn)評(píng)若已知式中既含有邊又含有角，往往運(yùn)用余弦定理或正弦定理，將角換成邊或?qū)?/p>

邊換成角，然后進(jìn)行代數(shù)或三角恒等變換.

(十五)圓塞定理及其應(yīng)用

銜接：1、用相似三角形可證相交弦定理、切割線定理、割線定理的內(nèi)容.

2.然后提出問(wèn)題.相交弦定理、切割線定理及其推論這三者之間是否有聯(lián)系？

提出問(wèn)題讓學(xué)生思考，在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上，教師用電腦或投影演示圖形的變化過(guò)程,

從相交弦定理出發(fā)，用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來(lái)統(tǒng)一認(rèn)識(shí)定理.

(1)如圖，。。的兩條弦AB,CD相交于點(diǎn)P,則PA-PB=PC-PD.這便是我們學(xué)過(guò)的相交

弦定理.對(duì)于這個(gè)定理有兩個(gè)特例：

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一是如果圓內(nèi)的兩條弦交于圓心0,則有PA=PB=PC=PD=/的半徑R,此時(shí)AB,CD

是直徑，相交弦定理當(dāng)然成立.（如圖）

二是當(dāng)P點(diǎn)逐漸遠(yuǎn)離圓心0,運(yùn)動(dòng)到圓上時(shí)，點(diǎn)P和B,D重合，這時(shí)PB=PD=0,仍然

有PA-PB=PC-PD=0,相交弦定理仍然成立.（圖）

⑵點(diǎn)P繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到圓外時(shí)，兩弦的延長(zhǎng)線交于圓外一點(diǎn)P,成為兩條割線，則有PA-PB

=PC-PD,這就是我們學(xué)過(guò)的切割線定理的推論（割線定理）.（圖）

（3）在圖中，如果將割線PDC按箭頭所示方向繞P點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使C,D兩點(diǎn)在圓上逐漸靠

近，以至合為一點(diǎn)C,割線PCD變成