平面向量的概念及線性運算（六大題型）（講義）（解析版）-2025高考數(shù)學一輪復習（含2024年高考試題+回歸教材）

第01講平面向量的概念及線性運算

目錄

01考情透視目標導航............................................................2

02知識導圖思維引航............................................................3

03考點突破題型探究............................................................4

知識點1：向量的有關(guān)概念........................................................4

知識點2：向量的線性運算........................................................4

知識點3：平面向量基本定理和性質(zhì)................................................5

知識點4：平面向量的坐標表示及坐標運算..........................................7

解題方法總結(jié)...................................................................8

題型一：平面向量的基本概念.....................................................9

題型二：平面向量的線性運算及求參數(shù)問題.........................................10

題型三：共線定理及其應用.......................................................14

題型四：平面向量基本定理、交叉分解定理及應用...................................19

題型五：平面向量的直角坐標運算................................................26

題型六：向量共線的坐標表示....................................................30

04真題練習?命題洞見...........................................................31

05課本典例高考素材...........................................................33

06易錯分析答題模板...........................................................35

易錯點：忽視平面向量基本定理的使用條件........................................35

答題模板：用基底表示向量......................................................36

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考點要求考題統(tǒng)計考情分析

(1)向量的有關(guān)概念

2024年I卷第3題，5分

(2)向量的線性運算和

2024年甲卷(理)第9題，5分通過對近5年高考試題分析可知，高考在

向量共線定理

2023年北京卷第3題，5分本節(jié)以考查基礎(chǔ)題為主，考查形式也較穩(wěn)定，

(3)平面向量基本定理

2022年I卷第3題，5分考查內(nèi)容一般為平面向量基本定理與坐標運

和性質(zhì)

2021年乙卷(文)第13題，5分算，預計后面幾年的高考也不會有大的變化.

(4)平面向量的坐標表

2022年乙卷(文)第3題，5分

示及坐標運算

復習目標：

(1)理解平面向量的意義、幾何表示及向量相等的含義.

(2)掌握向量的加法'減法運算，并理解其幾何意義及向量共線的含義.

(3)了解平面向量基本定理及其意義

(4)會用坐標表示平面向量的加法'減法與數(shù)乘運算

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㈤2

〃皿SM圖?里維己［骯

共線向量［如果1=超0￡/),則1〃不反之,一

平面向量的概念及線性運算基本定理'如果3〃引|_后6,則一定存在唯一的實數(shù)入，使￡=入尻

如果4和.是同一個平面內(nèi)的兩個不共線向量，

那么對丁該平面內(nèi)的任一向量入都存在唯一的一對實數(shù)%,

平面向里

使得公=入￡+入￡,我們把不共線向量百，4叫做

基本定理

表示這一平面內(nèi)所有向址的一組基底，記為｛￡0｝,

入￡+入工叫做向量法丁基底｛￡司的分解式.

平面向量基本定理和性質(zhì)

在△中，若點是邊上的點，W￡D=IDC

線段定比分點ABCDBC(Z*-l),

則向皿空空

的向量表達式

平面內(nèi)三點d,B,C共線的充要條件是：

三點共線定理

存在實數(shù)1小，使亦=九麗+|1彷，其中1+p=l,。為平面內(nèi)一點.

在ZVLBC中，若點。是邊5c的中點，則中線向量近

平面向量的坐標表示及坐標運算

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考占室硒?題刊摩宓」

知識固本

知識點1:向量的有關(guān)概念

(1)定義：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長度(或模).

(2)向量的模：向量方的大小，也就是向量方的長度，記作

(3)特殊向量：

①零向量：長度為0的向量，其方向是任意的.

②單位向量：長度等于1個單位的向量.

③平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共線向量.規(guī)定：0與任一向量平行.

④相等向量：長度相等且方向相同的向量.

⑤相反向量：長度相等且方向相反的向量.

【診斷自測】下列命題中，正確的是()

A.若?卜慟，貝H=BB.若W>W，貝匹

c.若￡=則D.若Z〃斕//1,則Z//Z

【答案】C

【解析】對于A：若同=W，則Z］只是大小相同，并不能說方向相同，A錯誤；

對于B：向量不能比較大小，只能相同，B錯誤；

對于C：若ZB,貝Ual方向相同，C正確；

對于D：若￡/不》/不，如果B為零向量，則不能推出工工平行，D錯誤.

故選：C.

知識點2：向量的線性運算

(1)向量的線性運算

運算定義法則(或幾何意義)運算律

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.①交換律

求兩個向量和的kya+b=b+a

加法

運算??l②結(jié)合律

三角形法則平行四邊形法則(5+6)+c=a+(b+c)

求1與B的相反

向量的和的

減法a—b=a+(—b)

運算叫做萬與很■

的差三角形法則

(1)|251=|2||3|

2(/z5)=(2//)5

求實數(shù)2與向量(2)當力>0時，2之與之的方向相同；當

數(shù)乘(2+4)萬=Aa+jua

a的積的運算4<0時，4萬與萬的方向相同；

k(a+b)=Aa+Ab

當2=0時，25=0

【注意】

(1)向量表達式中的零向量寫成0,而不能寫成0.

(2)兩個向量共線要區(qū)別與兩條直線共線，兩個向量共線滿足的條件是：兩個向量所在直線平行或

重合，而在直線中，兩條直線重合與平行是兩種不同的關(guān)系.

(3)要注意三角形法則和平行四邊形法則適用的條件，運用平行四邊形法則時兩個向量的起點必須

重合，和向量與差向量分別是平行四邊形的兩條對角線所對應的向量；運用三角形法則時兩個向量必須首

尾相接，否則就要把向量進行平移，使之符合條件.

(4)向量加法和減法幾何運算應該更廣泛、靈活如：OA-OB=BA,AM-AN=NM,

OA=OB+CA^OA-OB=CA^BA-CA=BA+AC=BC.

【診斷自測】MP+PQ-MN=()

A.QNB.NQC.~PMD.MP

【答案】A

【解析】MP+PQ-MN=NP+PQ=NQ,

故選：A.

知識點3：平面向量基本定理和性質(zhì)

1、共線向量基本定理

如果)=痛(彳€處,則1/區(qū)；反之，如果3/區(qū)且b看0,則一定存在唯一的實數(shù);I,使,=4.(口

訣：數(shù)乘即得平行，平行必有數(shù)乘).

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2、平面向量基本定理

如果［和1是同一個平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于該平面內(nèi)的任一向量都存在唯一的一對

實數(shù)4,4,使得)=41+4最，我們把不共線向量I，晟叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底，記

為｛烏0｝,4烏+22e2叫做向量方關(guān)于基底｛q?｝的分解式.

注意：由平面向量基本定理可知：只要向量I與最不共線，平面內(nèi)的任一向量,都可以分解成形如

a=+的形式，并且這樣的分解是唯一的.+叫做I，1的一個線性組合.平面向量基本

定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理論依據(jù)，也是向量的坐標表示的基礎(chǔ).

推論1：若/=+々ez，則4=4,否=4.

推論2：若3=46+402=0,則4=%=o.

3、線段定比分點的向量表達式

如圖所示，在4ABC中，若點。是邊5c上的點，且詼=ADC(2^-1),貝！1向量

+

AD=ABAAC.在向量線性表示(運算)有關(guān)的問題中，若能熟練利用此結(jié)論，往往能有“化腐朽為神

1+A

奇”之功效，建議熟練掌握.

4、三點共線定理

平面內(nèi)三點/,B,C夬線的充要條件是：存在實數(shù)，使反=2/i+〃礪，其中2+〃=1,。為

平面內(nèi)一點.此定理在向量問題中經(jīng)常用到，應熟練掌握.

A,B、C三點共線

o存在唯一的實數(shù)X,使得=4萬；

=存在唯一的實數(shù)X,使得反=力+2萬；

o存在唯一的實數(shù)X,使得權(quán)?=(1-2)0+2礪；

=存在4+〃=1,使得OC=AOA+juOB.

5、中線向量定理

如圖所示，在△/BC中，若點。整邊3C的中點，則中線向量，5=3(115+/)，反之亦正確.

A

B

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【診斷自測】在“3c中，已知。是2C邊上靠近點2的三等分點，E是/C的中點，且無=2而+〃就,

貝！|4+〃=()

A.—B.—1C.gD.1

22

【答案】A

【解析】因為。是8C邊上靠近點3的三等分點，E是NC的中點，

所以瓦=皮+屋二一瑟——AC

32

=-(AC-AB)--AC

32

2—?1—?

=——AB+-AC,

36

因為瓦=44+〃正，

21211

所以a=,"=一,所以％+"=F—=.

36362

故選：A

知識點4：平面向量的坐標表示及坐標運算

(1)平面向量的坐標表示.

在平面直角坐標中，分別取與X軸，V軸正半軸方向相同的兩個單位向量作為基底，那么由平面

向量基本定理可知，對于平面內(nèi)的一個向量值，有且只有一對實數(shù)使5=/+行，我們把有序?qū)崝?shù)對

(x,y)叫做向量值的坐標,記作方=(x,y).

(2)向量的坐標表示和以坐標原點為起點的向量是一一對應的，即有

向量(x,y)、.二對座-、向量方點/(x,y).

(3)設(shè)■=(石,%),b=(x2,y2),貝!|a+(=(%i+%2，%+%)，a-b=(xx-x2,y1-y2),即兩個向量的和

與差的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和與差.

若方=(%/),%為實數(shù)，則42=(4%,力V)，即實數(shù)與向量的積的坐標，等于用該實數(shù)乘原來向量的相

應坐標.

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（4）設(shè)4（芯,必），B（x2,y2）,則45=05-。4=（再-必一歹2）,即一個向量的坐標等于該向量的有

向線段的終點的坐標減去始點坐標.

（5）平面向量的直角坐標運算

①已知點A（x1，必），B（X2,y2）,則45=（%-項，%-%），|力51=J（%2—再）2+（%—%A

②已知方=（%],%），b=（x2,y2）,則萬±B=（M±工2，必±>2），.萬=（4%,％必），

a-b=xxx2+y{y2,\a\=y/xf+yf.

a//boX1%一工2弘=0，a-L5<=>x1x2+yvy2=0

【診斷自測】已知點42,3）,5（1,4）,且N"2兩,則點尸的坐標是—.

【答案】（0,5）

【解析】如圖，連接』尸,。45尸，

設(shè)。為坐標原點，建立平面直角坐標系，OP=OA+AP=OA-2PB=OA-2（OB-OP）,

整理得無=2礪-53=（2,8）-（2,3）=（0,5）?

故答案為：（0,5）

解題方法總結(jié)

（1）向量的三角形法則適用于任意兩個向量的加法，并且可以推廣到兩個以上的非零向量相加，稱

為多邊形法則.一般地，首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量起點指向最后一個向量終點的向

量.

即市+"+…+4_/“=N.

（2）MH到4m±1國引+4|,當且僅當落B至少有一個為0時，向量不等式的等號成立.

（3）特別地：||叫-向國@±向或阿±3國初+向當且僅當口B至少有一個為6時或者兩向量共線時，

向量不等式的等號成立.

（4）減法公式：AB-AC=CB,常用于向量式的化簡.

（5）A>P、8三點共線o赤=（1-。刀+/礪（feR）,這是直線的向量式方程.

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題型一：平面向量的基本概念

【典例1-1】（2024?高三?福建廈門?開學考試）下列命題不正確的是（）

A.零向量是唯一沒有方向的向量

B.零向量的長度等于0

ab-

c.若Z,B都為非零向量，則使口+由=°成立的條件是［與B反向共線

H\b\

D.若°=3，務=c，則a=c

【答案】A

【解析】A選項，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A錯誤；

B選項，由零向量的定義知，零向量的長度為0,故B正確；

ababab-

C選項，因為尸［與司都是單位向量，所以只有當尸［與同是相反向量，即1與否是反向共線時尸1+目=°

H\b\H\b\H樹

才成立，故C正確；

D選項，由向量相等的定義知D正確.

故選：A

【典例1-2］給出下列命題：①兩個具有公共終點的向量，一定是共線向量；②兩個向量不能比較大小,

但它們的模能比較大??；③若蘇=0（2為實數(shù)），貝以必為零；④已知九〃為實數(shù)，若花=而，則?與3

共線.其中錯誤命題的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】①錯誤.兩向量共線要看其方向而不是起點與終點.

②正確.因為向量既有大小，又有方向，故它們不能比較大小，但它們的模均為實數(shù)，故可以比較大小.

③錯誤.因為Xa=6，所以4=0或a=6.

④錯誤.當』=〃=0時，Aa=jub,此時，Z與B可以是任意向量.

所以錯誤命題有3個.

故選：C.

【方法技巧］

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準確理解平面向量的基本概念是解決向量題目的關(guān)鍵.共線向量即為平行向量，非零向量平行具有傳

遞性，兩個向量方向相同或相反就是共線向量，與向量長度無關(guān)，兩個向量方向相同且長度相等，就是相

等向量.共線向量或相等向量均與向量起點無關(guān).

【變式1-1]下列說法中，正確的是（）

A.若[0|>向,則

B.若向=歷|,則H

C.若°=3，則Q〃6

D.若ZwB，貝上與3不是共線向量

【答案】C

【解析】對于A,向量的模為非負數(shù)，它們可以比較大小，但向量不可以比較大小，故A錯誤.

對于B,兩個向量的模相等，但方向可以不同，故B錯誤.

對于C,若Z=貝工,否必定共線，故，疝，故C成立.

對于D,當￡工刃時，它們可以模長不相等，但可以同向或反向，

故々與否可以為共線向量，故D錯誤.

故選：C

【變式1-2】設(shè)￡是非零向量，力是非零實數(shù)，下列結(jié)論中正確的是（）

A.Z與彳￡的方向相反B.Z與萬2的方向相同

C.>|a|D.|-2a|>\^\a

【答案】B

【解析】對于A,當2>0時，Z與2%的方向相同，當/<0時，Z與彳￡的方向相反，故A不正確；對于B,

顯然萬>0，即B正確；

對于c,卜花|=川同，由于H與1的大小不確定，故卜花|與口的大小關(guān)系不確定，故c不正確；

對于D,㈤之是向量，而卜彳可表示長度，兩者不能比較大小，故D不正確.

故選：B

題型二：平面向量的線性運算及求參數(shù)問題

【典例2-1]若網(wǎng)=7,|四=4,貝”蜀的取值范圍是（）

A.[3,7]B.（3,7）C.[3,11]D.(3,11)

【答案】C

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【解析】由題意知網(wǎng)=7,|就卜4,且因=|就一國，

當同向時，忖］取得最小值，Bq=|/C-/B|=||/C|-3B||=|4-7|=3；

當反向時，wq取得最大值，Bq=|/C-/B|=|MC|+|/5||=|4+7|=11；

_________|UUUf|__________________.____.

當就，下不共線時，忖q取得最小值，3=||I-1A8||<|BC|<||I+1AB||=11,

故Wq的取值范圍是

故選：C

【典例2-2】在平行四邊形48CD中，￡為50的中點，F(xiàn)為BC上一點,則赤+石一2方=()

A.2FEB.2EFC.FED.2CF

【答案】A

【解析】因為E為8。的中點，則益+N萬=2萬，

所以石+Z5-2AF=2AE-2AF=2FE-

故選：A.

【方法技巧】

(1)兩向量共線問題用向量的加法和減法運算轉(zhuǎn)化為需要選擇的目標向量即可，而此類問題又以“爪

子型”為幾何背景命題居多，故熟練掌握“爪子型”公式更有利于快速解題.

(2)進行向量運算時，要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，選用從同一頂點出發(fā)的基本向量或

首尾相接的向量，運用向量加、減法運算及數(shù)乘運算來求解.

(3)除了充分利用相等向量、相反向量和線段的比例關(guān)系外，有時還需要利用三角形中位線、相似

三角形對應邊成比例等平面幾何的性質(zhì)，把未知向量轉(zhuǎn)化為與已知向量有直接關(guān)系的向量來求解.

【變式2-1］如圖，在平行四邊形/BCD中，方=￡,7萬=3,點E滿足麗=；就，則麗=().

D.-a+-b

33333333

【答案】A

—?1—?——?2——?

【解析】由題意知，點￡滿足=可得45=彳4。，

33

—?—?—?2___.—??—?—?—?2―1-

故選：A.

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【變式2-2］（2024?寧夏吳忠?模擬預測）如圖所示，平行四邊形43。的對角線相交于點O,E為NO的

【答案】D

->——1->—1f3—

【解析】由題意知。E=DA+AE=-AD+-AC=-AD+-(AB+AD)=~AB一一AD,

4444

因為。￡=2/8+〃eR)，所以2=],〃=一彳'4+〃=一5,

故選：D.

【變式2-3】已知矩形/BCD的對角線交于點。，E為/。的中點,^DE=AAB+JUA15(2,〃為實數(shù)),

則22-//2=()

3-2V21+收

-2~,2

【答案】A

【解析】如圖

DO=^(DA+DC),

在AD4O中，

DE=^(DA+Ddy

13

/.Z=一，〃=一一

44

12/37

故選：A.

【變式2-4](2024?高三?安徽?開學考試)古希臘數(shù)學家特埃特圖斯(Theaetetus)利用如圖所示的直角三角

形來構(gòu)造無理數(shù).已知/5=5。=。。=1,/5,5。,/。，。。,力。與5。交于點。，若詼=九萬十口就，貝!J

4+〃=()

A

DC

A.V2-1B.1-V2C.V2+1D.-72-1

【答案】A

【解析】以C為坐標原點，CD,C4所在直線分別為'J軸建立如圖所示的坐標系，

由題意得4C=夜,

則4（0,行），81中,呼］,0（0,0）,9=日，一號］,AC=（0,-42）.

k227（22）

因為。5=CO=1,NDCB=900+45°=135°，故Z_BDC=22.5°,

因為tan45。=2tanj25力,所以tan22.5"=亞-1（負值舍去）,

1-tan222.5°

所以O(shè)C=ZXLtan22.5°=逝一1，

故。(0,0-1).又。(TO),則方5=(1,拒T，

1=-----X

2

因為麗=入方+|1衣，所以，

V2—1=—j4—V2//

13/37

解得*S所以4+〃=拒—I,

〔〃=-1

故選：A.

題型三：共線定理及其應用

【典例3-1】已知平面向量0,3不共線，AB=4a+66>BC=-a+3^?CD=a+3b>則（）

A.A,B,。三點共線B.A,B,C三點共線

C.B,C,。三點共線D.A,C,。三點共線

【答案】D

【解析】因為平面向量Z,B不共線，所以Z,B可以作為平面內(nèi)的一組基底，

V.AB=Aa+6b>BC=-a+36>CD=a+3b>

^^BD=BC+CD=a+3b-a+3b=6b>AC=AB+BC=-a+3b+4a+6b=3a+9b,

對于A:因為與=4）+65，BD=6b,顯然不存在實數(shù)/使得羽=/而，

所以A,B,。三點不共線，故A錯誤；

對于B:因為方=4）+6坂，AC=3a+9b,不存在實數(shù)"使得與="衣，

所以A,B,C三點不共線，故B錯誤；

對于C：因為芯=-"+35，CD=a+3b>不存在實數(shù)小使得前=加麗，

所以B,C,。三點不共線，故C錯誤；

對于D：因為就=3%+/，麗=￡+3石，所以k=3而，

所以就〃而，故A,C,。三點共線，故D正確.

故選：D

【典例3-2］如圖，在448c中，衣=3不，尸是BN上的一點，若不=1+￡|通+:就，則實數(shù)加的值

為（）

【答案】D

____1―，

【解析】由題意可知，AN=-NC,所以/C=3/N，

2

14/37

又不=［加+:1萬+;衣,即萬=1加刀+;亦.

因為&尸、N三點共線，所以(加+j+；=l,解得優(yōu)=；.

故選：D.

【方法技巧】

要證明/,B,。三點共線，只需證明在與前共線，即證方=力瑟(2e7?).若已知N,B,C=

點共線，則必有與與而共線，從而存在實數(shù)2,使得方=2瑟.

--2—

【變式3-1］如圖，“3C中，點〃■是8c的中點，點N滿足=與CN交于點D,

AD=AAM，貝！M=()

【答案】C

_____1____1_________?2__.2__?

【解析】在。8c中，點用■是3C的中點，AMk=-ABk+-ACk,貝!］而==—萬+—公，

2222

__2—uuw32uuir;uun3224

又AN=^AB,于是得=+因點C,D,N共線，則有二+乙=1,解得2=2,

342425

所以拄4;

故選：C

【變式3-2］(2024?重慶?模擬預測)已知點G是的重心，點M是線段/C的中點，若

GM=^AB+!dAC,貝iJ%+〃=()

15/37

【答案】C

【解析】曲=:兩=;網(wǎng)一萬就-方］=_g方+g就

所以/=一：,〃=:,2+〃=.

36o

故選：C

【變式3-3］已知90是兩個不共線的單位向量，a=ex-e2,b=-2ex+ke2,若之與B共線，則左=___.

【答案】2

【解析】因為萬=%—6與6=—2q+左6共線，所以6=府，

即-21+左］=2（1-最），又不共線，所以［二］，所以左=2.

IK——/L

故答案為：2

【變式3-4】已知的重心為G,經(jīng)過點G的直線交45于。，交AC于E,若比=幾關(guān),~AE=piAC,

【答案】3

—.2一?1/—?-UUT1UUUT-.1―?

如圖，設(shè)尸為5c的中點，貝!j4G=+4C）,又4B=/AD,AC=—AE,

則43=0力。+「4￡,又G,D,E三點共線，???二+丁=1,即1+—=3.

3Z34343"九〃

故答案為:3.

【變式3-5］如圖，點G為A45C的重心，過點G的直線分別交直線45,4c點、D,￡兩點,

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AB=3mAD(m>0),AC=3nAE(n>0),貝+；若〃>%>0,則'+二一的最小值為

mn-m

【答案】13+2拒

【解析】因為點G為A48C的重心，

UULT1ULHT1UULT

所以4G=—45+—4C,

33

因為45=3冽/。（加>0）,AC=3nAE（n>0）,

所以刀二加15+〃衣，

因為RG,石三點共線，

所以加+〃=1,

則〃=1一加〉加，則0〈加〈工，代入」------得」-H------——,0<m<—

2mn-mmI—2m2

令/（加）=，H------——,0<m<—,

m1-2m2

=—■+----——

IJ/（i_2加/

-2m*2+4m-1

m2（l-2m）2

令/'（機）=0,則加=*交或2±也（舍）

22

（9-5、

且當機e0,—時，/'（機）<0,/（%）遞減

12）

<2-5

當me---時，f'（m）>0,/（加）遞增

（22）

所以當加=三包時，/（加）有極小值，即最小值，

口f（加）■-----尸H------（------=3+2A/2

且I2—行l(wèi)-（2-V2）

故答案為:1；3+272.

17/37

【變式3-6】如圖，在“5C中，彳5=,商,京=,就,C。與BE交于點尸,4^=2,AC=\APBC=1,

23

則戰(zhàn)?淺的值為;過點尸的直線/分別交48,4。于點機N,設(shè)方？=加方,~AN=nAC(m>0,?>0),

則加+2〃的最小值為.

Q

【答案】41

【解析】設(shè)方=x^+y充，令翡=1,就=3,

因為而=!方，荏=!衣，所以9=2詬，衣=3次，

23

所以萬=2x25+y就=%益+3入1瓦

f2x+y=121

又昆P,E與C,P,。分別共線，所以/「解得1=；歹=]

[x+3y=l55

因為萬?都=(|7+：5},_1)=1,

所以切一心1-7+5=0,即8-5石-9+5=0,

解得>5=4，即通.就=4.

因為寂=%分，萬=〃/,

_.2―?1—?2?1——?

所以/尸=—4B+—4。=——AM+—AN,

555m5n

21

因為M,尸,N共線，所以三+；=1,

5m5〃

m【、ic/_xf21、44〃m4.

所以加+2〃=（加+2〃）---1----=—H---------1>—+2.

\5m5n）55m5n5

當且僅當冽=]4,〃=；?時，等號成立，

18/37

o

所以加+2〃的最小值為十

Q

故答案為：4；—.

題型四：平面向量基本定理、交叉分解定理及應用

【典例4-1］（2024?上海浦東新?三模）給定平面上的一組向量［、則以下四組向量中不能構(gòu)成平面向

量的基底的是（）

A.2q+e2和q-e?B.q+3e2和e2+3令

C.3q-e2和2e?-6qD.q和q+e2

【答案】C

【解析】對A：不存在實數(shù)2,使得+￡=

故2,和,-?2不共線，可作基底；

對B：不存在實數(shù)4,使得,+3?2=幾?+3,）,

故,+3%和4+3,不共線，可作基底；

對C：對31-瑟和2屆-61,因為^是不共線的兩個非零向量，

且存在實數(shù)-2,使得2￡-61=-2（31-E）,

故3,和24-6。共線，不可作基底；

對D：不存在實數(shù)％,使得1=兄,+屆），故［和［+最不共線，可作基底.

故選：C.

【典例4-2］如圖，在A/BC中，點D,D,￡分別為8C和胡的三等分點,點?？拷c3,AD交CE于

點尸，設(shè)瑟=1，BA^b.貝1麗=（

24一

C.-a+-bD.-a+-b

7777

【答案】B

19/37

【解析】設(shè)后=215，麗=〃反，

所以品=萬-萬=兒25-萬=”前-網(wǎng)-在，

——?1——?—?2——?/、一?

又BD=g