2025年湖南省常德市芷蘭實驗學校高三第一次檢測試題數(shù)學試題(慢班)含解析_第1頁
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文檔簡介

2025年湖南省常德市芷蘭實驗學校高三第一次檢測試題數(shù)學試題(慢班)注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚,將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.在區(qū)間上隨機取一個數(shù),使直線與圓相交的概率為()A. B. C. D.2.若,則函數(shù)在區(qū)間內單調遞增的概率是()A.B.C.D.3.已知為非零向量,“”為“”的()A.充分不必要條件 B.充分必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件4.已知命題:任意,都有;命題:,則有.則下列命題為真命題的是()A. B. C. D.5.已知等差數(shù)列滿足,公差,且成等比數(shù)列,則A.1 B.2 C.3 D.46.若,滿足約束條件,則的最大值是()A. B. C.13 D.7.已知雙曲線的一條漸近線的傾斜角為,且,則該雙曲線的離心率為()A. B. C.2 D.48.若復數(shù)(為虛數(shù)單位),則的共軛復數(shù)的模為()A. B.4 C.2 D.9.中國的國旗和國徽上都有五角星,正五角星與黃金分割有著密切的聯(lián)系,在如圖所示的正五角星中,以、、、、為頂點的多邊形為正五邊形,且,則()A. B. C. D.10.已知實數(shù),滿足約束條件,則的取值范圍是()A. B. C. D.11.數(shù)學中的數(shù)形結合,也可以組成世間萬物的絢麗畫面.一些優(yōu)美的曲線是數(shù)學形象美、對稱美、和諧美的結合產物,曲線恰好是四葉玫瑰線.給出下列結論:①曲線C經過5個整點(即橫、縱坐標均為整數(shù)的點);②曲線C上任意一點到坐標原點O的距離都不超過2;③曲線C圍成區(qū)域的面積大于;④方程表示的曲線C在第二象限和第四象限其中正確結論的序號是()A.①③ B.②④ C.①②③ D.②③④12.a為正實數(shù),i為虛數(shù)單位,,則a=()A.2 B. C. D.1二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在《九章算術》中,將底面為矩形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬.如圖,若四棱錐為陽馬,側棱底面,且,,設該陽馬的外接球半徑為,內切球半徑為,則__________.14.已知,則__________.15.在邊長為的菱形中,點在菱形所在的平面內.若,則_____.16.設是公差不為0的等差數(shù)列的前n項和,且,則______.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)記為數(shù)列的前項和,已知,等比數(shù)列滿足,.(1)求的通項公式;(2)求的前項和.18.(12分)如圖,設A是由個實數(shù)組成的n行n列的數(shù)表,其中aij(i,j=1,2,3,…,n)表示位于第i行第j列的實數(shù),且aij{1,-1}.記S(n,n)為所有這樣的數(shù)表構成的集合.對于,記ri(A)為A的第i行各數(shù)之積,cj(A)為A的第j列各數(shù)之積.令a11a12…a1na21a22a2n…………an1an2…ann(Ⅰ)請寫出一個AS(4,4),使得l(A)=0;(Ⅱ)是否存在AS(9,9),使得l(A)=0?說明理由;(Ⅲ)給定正整數(shù)n,對于所有的AS(n,n),求l(A)的取值集合.19.(12分)設函數(shù).(1)若,求函數(shù)的值域;(2)設為的三個內角,若,求的值;20.(12分)已知函數(shù),其中.(1)當時,求在的切線方程;(2)求證:的極大值恒大于0.21.(12分)已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的極值;(2)記關于的方程的兩根分別為,求證:.22.(10分)定義:若數(shù)列滿足所有的項均由構成且其中有個,有個,則稱為“﹣數(shù)列”.(1)為“﹣數(shù)列”中的任意三項,則使得的取法有多少種?(2)為“﹣數(shù)列”中的任意三項,則存在多少正整數(shù)對使得且的概率為.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.C【解析】

根據(jù)直線與圓相交,可求出k的取值范圍,根據(jù)幾何概型可求出相交的概率.【詳解】因為圓心,半徑,直線與圓相交,所以,解得所以相交的概率,故選C.本題主要考查了直線與圓的位置關系,幾何概型,屬于中檔題.2.B【解析】函數(shù)在區(qū)間內單調遞增,,在恒成立,在恒成立,,函數(shù)在區(qū)間內單調遞增的概率是,故選B.3.B【解析】

由數(shù)量積的定義可得,為實數(shù),則由可得,根據(jù)共線的性質,可判斷;再根據(jù)判斷,由等價法即可判斷兩命題的關系.【詳解】若成立,則,則向量與的方向相同,且,從而,所以;若,則向量與的方向相同,且,從而,所以.所以“”為“”的充分必要條件.故選:B本題考查充分條件和必要條件的判定,考查相等向量的判定,考查向量的模、數(shù)量積的應用.4.B【解析】

先分別判斷命題真假,再由復合命題的真假性,即可得出結論.【詳解】為真命題;命題是假命題,比如當,或時,則不成立.則,,均為假.故選:B本題考查復合命題的真假性,判斷簡單命題的真假是解題的關鍵,屬于基礎題.5.D【解析】

先用公差表示出,結合等比數(shù)列求出.【詳解】,因為成等比數(shù)列,所以,解得.本題主要考查等差數(shù)列的通項公式.屬于簡單題,化歸基本量,尋求等量關系是求解的關鍵.6.C【解析】

由已知畫出可行域,利用目標函數(shù)的幾何意義求最大值.【詳解】解:表示可行域內的點到坐標原點的距離的平方,畫出不等式組表示的可行域,如圖,由解得即點到坐標原點的距離最大,即.故選:.本題考查線性規(guī)劃問題,考查數(shù)形結合的數(shù)學思想以及運算求解能力,屬于基礎題.7.A【解析】

由傾斜角的余弦值,求出正切值,即的關系,求出雙曲線的離心率.【詳解】解:設雙曲線的半個焦距為,由題意又,則,,,所以離心率,故選:A.本題考查雙曲線的簡單幾何性質,屬于基礎題8.D【解析】

由復數(shù)的綜合運算求出,再寫出其共軛復數(shù),然后由模的定義計算模.【詳解】,.故選:D.本題考查復數(shù)的運算,考查共軛復數(shù)與模的定義,屬于基礎題.9.A【解析】

利用平面向量的概念、平面向量的加法、減法、數(shù)乘運算的幾何意義,便可解決問題.【詳解】解:.故選:A本題以正五角星為載體,考查平面向量的概念及運算法則等基礎知識,考查運算求解能力,考查化歸與轉化思想,屬于基礎題.10.B【解析】

畫出可行域,根據(jù)可行域上的點到原點距離,求得的取值范圍.【詳解】由約束條件作出可行域是由,,三點所圍成的三角形及其內部,如圖中陰影部分,而可理解為可行域內的點到原點距離的平方,顯然原點到所在的直線的距離是可行域內的點到原點距離的最小值,此時,點到原點的距離是可行域內的點到原點距離的最大值,此時.所以的取值范圍是.故選:B本小題考查線性規(guī)劃,兩點間距離公式等基礎知識;考查運算求解能力,數(shù)形結合思想,應用意識.11.B【解析】

利用基本不等式得,可判斷②;和聯(lián)立解得可判斷①③;由圖可判斷④.【詳解】,解得(當且僅當時取等號),則②正確;將和聯(lián)立,解得,即圓與曲線C相切于點,,,,則①和③都錯誤;由,得④正確.故選:B.本題考查曲線與方程的應用,根據(jù)方程,判斷曲線的性質及結論,考查學生邏輯推理能力,是一道有一定難度的題.12.B【解析】

,選B.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】

該陽馬補形所得到的長方體的對角線為外接球的直徑,由此能求出,內切球在側面內的正視圖是的內切圓,從而內切球半徑為,由此能求出.【詳解】四棱錐為陽馬,側棱底面,且,,設該陽馬的外接球半徑為,該陽馬補形所得到的長方體的對角線為外接球的直徑,,,側棱底面,且底面為正方形,內切球在側面內的正視圖是的內切圓,內切球半徑為,故.故答案為.本題考查了幾何體外接球和內切球的相關問題,補形法的運用,以及數(shù)學文化,考查了空間想象能力,是中檔題.解決球與其他幾何體的切、接問題,關鍵是能夠確定球心位置,以及選擇恰當?shù)慕嵌茸龀鼋孛?球心位置的確定的方法有很多,主要有兩種:(1)補形法(構造法),通過補形為長方體(正方體),球心位置即為體對角線的中點;(2)外心垂線法,先找出幾何體中不共線三點構成的三角形的外心,再找出過外心且與不共線三點確定的平面垂直的垂線,則球心一定在垂線上.14.【解析】解:由題意可知:.15.【解析】

以菱形的中心為坐標原點建立平面直角坐標系,再設,根據(jù)求出的坐標,進而求得即可.【詳解】解:連接設交于點以點為原點,分別以直線為軸,建立如圖所示的平面直角坐標系,則:設得,解得,,或,顯然得出的是定值,取則,.故答案為:.本題主要考查了建立平面直角坐標系求解向量數(shù)量積的有關問題,屬于中檔題.16.18【解析】

將已知已知轉化為的形式,化簡后求得,利用等差數(shù)列前公式化簡,由此求得表達式的值.【詳解】因為,所以.故填:.本題考查等差數(shù)列基本量的計算,考查等差數(shù)列的性質以及求和,考查運算求解能力,屬于基礎題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)(2)當時,;當時,.【解析】

(1)利用數(shù)列與的關系,求得;(2)由(1)可得:,,算出公比,利用等比數(shù)列的前項和公式求出.【詳解】(1)當時,,當時,,因為適合上式,所以.(2)由(1)得,,設等比數(shù)列的公比為,則,解得,當時,,當時,.本題主要考查數(shù)列與的關系、等比數(shù)列的通項公式、前項和公式等基礎知識,考查運算求解能力..18.(Ⅰ)答案見解析;(Ⅱ)不存在,理由見解析;(Ⅲ)【解析】

(Ⅰ)可取第一行都為-1,其余的都取1,即滿足題意;(Ⅱ)用反證法證明:假設存在,得出矛盾,從而證明結論;(Ⅲ)通過分析正確得出l(A)的表達式,以及從A0如何得到A1,A2……,以此類推可得到Ak.【詳解】(Ⅰ)答案不唯一,如圖所示數(shù)表符合要求.(Ⅱ)不存在AS(9,9),使得l(A)=0,證明如下:假如存在,使得.因為,,所以,,...,,,,...,這18個數(shù)中有9個1,9個-1.令.一方面,由于這18個數(shù)中有9個1,9個-1,從而①,另一方面,表示數(shù)表中所有元素之積(記這81個實數(shù)之積為m);也表示m,從而②,①,②相矛盾,從而不存在,使得.(Ⅲ)記這個實數(shù)之積為p.一方面,從“行”的角度看,有;另一方面,從“列”的角度看,有;從而有③,注意到,,下面考慮,,...,,,,...,中-1的個數(shù),由③知,上述2n個實數(shù)中,-1的個數(shù)一定為偶數(shù),該偶數(shù)記為,則1的個數(shù)為2n-2k,所以,對數(shù)表,顯然.將數(shù)表中的由1變?yōu)?1,得到數(shù)表,顯然,將數(shù)表中的由1變?yōu)?1,得到數(shù)表,顯然,依此類推,將數(shù)表中的由1變?yōu)?1,得到數(shù)表,即數(shù)表滿足:,其余,所以,,所以,由k的任意性知,l(A)的取值集合為.本題為數(shù)列的創(chuàng)新應用題,考查數(shù)學分析與思考能力及推理求解能力,解題關鍵是讀懂題意,根據(jù)引入的概念與性質進行推理求解,屬于較難題.19.(1)(2)【解析】

(1)將,利用三角恒等變換轉化為:,,再根據(jù)正弦函數(shù)的性質求解,(2)根據(jù),得,又為的內角,得到,再根據(jù),利用兩角和與差的余弦公式求解,【詳解】(1),,,,即的值域為;(2)由,得,又為的內角,所以,又因為在中,,所以,所以.本題主要考查三角恒等變換和三角函數(shù)的性質,還考查了運算求解的能力,屬于中檔題,20.(1)(2)證明見解析【解析】

(1)求導,代入,求出在處的導數(shù)值及函數(shù)值,由此即可求得切線方程;(2)分類討論得出極大值即可判斷.【詳解】(1),當時,,,則在的切線方程為;(2)證明:令,解得或,①當時,恒成立,此時函數(shù)在上單調遞減,∴函數(shù)無極值;②當時,令,解得,令,解得或,∴函數(shù)在上單調遞增,在,上單調遞減,∴;③當時,令,解得,令,解得或,∴函數(shù)在上單調遞增,在,上單調遞減,∴,綜上,函數(shù)的極大值恒大于0.本小題主要考查利用導數(shù)求切線方程,考查利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,考查分類討論的數(shù)學思想方法,屬于中檔題.21.(1)見解析;(2)見解析【解析】

(1)對函數(shù)求導,對參數(shù)討論,得函數(shù)單調區(qū)間,進而求出極值;(2)是方程的兩根,代入方程,化簡換元,構造新函數(shù)利用函數(shù)單調性求最值可解.【詳解】(1)依題意,;若,則,則函數(shù)在上單調遞增,此時函數(shù)既無極大值,也無極小值;若,則,令,解得,故當時,,單調遞增;當時,,單調遞減,此時函數(shù)有極大值,無極小值;若,則,令,解得,故當時,,單調遞增;當時,,單調遞減,此時函數(shù)有極大值,無極小值;(2)依題意,,則,,故,;要證:,即證,即證:,即證,設,只需證:,設,則,故在上單調遞增,故,即,故.本題考查函數(shù)極值及利用導數(shù)證明二元不等式.證明二元不等式常用方法是轉化為證明一元不等式,再轉化為函數(shù)最值問題.利用導數(shù)證明不等式的基本方法:(1)若與的最值易求出,可直接轉化為證明;(2)若與的最值不易求出,可構造函數(shù),然后根據(jù)函數(shù)的單調性或最值,證明.22.(1)16;(2)115.【解析】

(1)易得使得的情況只有“”,“”兩種,再根據(jù)組合的方法求解兩種情況分別的情況數(shù)再求和即可.(2)易得“”共有種,“”共有種.再根據(jù)古典概型的方法可知,利用組合數(shù)的計算公式可得,當時根據(jù)題意有,共個;當時求得,再根據(jù)換元根據(jù)整除的方法求解滿足的正整數(shù)對即可.【詳解】解:(1)三個數(shù)乘積為有兩種情況:“”,“”,其中

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