人教版九上數(shù)學(xué)22.2二次函數(shù)和一元二次方程課件

22.2二次函數(shù)與一元二次方程九年級(jí)上人教版學(xué)習(xí)目標(biāo)新課引入新知學(xué)習(xí)課堂小結(jié)12341.知道二次函數(shù)與一元二次方程之間的聯(lián)系.2.能用二次函數(shù)及其圖象、性質(zhì)確定方程的解或不等式的解集.3.會(huì)利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似根.難點(diǎn)重點(diǎn)學(xué)習(xí)目標(biāo)已知一次函數(shù)y=2x+2.(1)求一次函數(shù)與x軸和y軸的交點(diǎn).(2)當(dāng)y≤-8時(shí)，求x的取值范圍.新課引入解：當(dāng)x=0時(shí)，y=1，所以一次函數(shù)與y軸的交點(diǎn)為(0,2)

當(dāng)y=0時(shí)，x=-1，所以一次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)為(-1,0)解：當(dāng)y≤-8時(shí)，則2x+2≤-8，所以解得x≤-5.

通過上題我們復(fù)習(xí)了一次函數(shù)與二元一次方程以及不等式的關(guān)系，那么請(qǐng)思考二次函數(shù)與二元一次方程有什么關(guān)系？怎么求二次函數(shù)與x軸和y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)呢？接下來就讓我們一起學(xué)習(xí)本節(jié)課的內(nèi)容.

如圖，以40m/s的速度將小球沿與地面成30°角的方向擊出時(shí)，球的飛行路線將是一條拋物線，如果不考慮空氣的阻力，小球的飛行高度

h(單位：m)與飛行時(shí)間t(單位：s)之間具有關(guān)系：

h=20t-5t2，考慮以下問題：一、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系新知學(xué)習(xí)(1)球的飛行高度能否達(dá)到15m？如果能，需要多少飛行時(shí)間？圖中代表最高的點(diǎn)距地面是否大于或等于15m二次函數(shù)最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)是否大于或等于15思路點(diǎn)撥：高度為15m，即在函數(shù)h=20t-5t2中，令h=15Oht1513你能指出為什么在兩個(gè)時(shí)間(交點(diǎn)處)小球的高度為15m嗎？∴當(dāng)球飛行1s或3s時(shí)，它的高度為15m.①解：解方程15=20t-5t2，

t2-4t+3=0,

t1=1，t2=3.②我們也可以利用函數(shù)圖象來思考，認(rèn)為是在求直線h=15和h=20t-5t2的交點(diǎn)問題，將直線h=15畫出來，即可得出t.如圖所示，運(yùn)動(dòng)軌跡先上后下只要最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)大于或等于15，那么必會(huì)產(chǎn)生2個(gè)交點(diǎn)，也就是在兩個(gè)時(shí)間（交點(diǎn)處）小球的高度為15m.(2)球的飛行高度能否達(dá)到20m？如果能，需要多少飛行時(shí)間？①解：解方程20=20t-5t2,t2-4t+4=0,t1=t2=2.當(dāng)球飛行2s時(shí)，它的高度為20m.思路點(diǎn)撥：高度為20m，即函數(shù)h=20t-5t2中，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值h=20(2)球的飛行高度能否達(dá)到20m？如果能，需要多少飛行時(shí)間？Oht202

你能結(jié)合圖指出為什么只在一個(gè)時(shí)間小球

的高度為20m嗎？②我們也可以利用函數(shù)圖象來思考，認(rèn)為是在求直線h=20和h=20t-5t2的交點(diǎn)問題，將直線h=20畫出來，即可得出t.如圖所示，最高點(diǎn)縱坐標(biāo)正好為20，那么直線h=20和二次函數(shù)h=20t-5t2只有1個(gè)交點(diǎn)，因?yàn)樾∏蝻w行軌跡在2S(頂點(diǎn)橫坐標(biāo))時(shí)，達(dá)到最大高度(最大值)也就是只在一個(gè)時(shí)間小球的高度為20m.(3)球的飛行高度能否達(dá)到20.5m？為什么？①解：解方程20.5=20t-5t2,t2-4t+4.1=0,

因?yàn)?-4)2-4×4.1<0,

所以方程無實(shí)數(shù)根.

即小球的飛行高度達(dá)不到20.5m.(3)球的飛行高度能否達(dá)到20.5m？為什么？Oht你能結(jié)合圖指出為什么球不能達(dá)20.5m的高度嗎?20.5②我們也可以利用函數(shù)圖象來思考，認(rèn)為是在求直線h=20.5和h=20t-5t2的交點(diǎn)問題，將直線h=20.5畫出來，即可得出t.如圖所示，最高點(diǎn)縱坐標(biāo)正好為20，那么直線h=20.5和二次函數(shù)h=20t-5t2沒有交點(diǎn)，因?yàn)樾∏蝻w行軌跡在2S(頂點(diǎn)橫坐標(biāo))時(shí)，達(dá)到最大高度(最大值)，不會(huì)再有比20m還高的距離了.(4)球從飛出到落地要用多少時(shí)間？Oht解：小球飛出時(shí)和落地時(shí)的高度都為0m，解方程0=20t-5t2,t2-4t=0,t1=0，t2=4.當(dāng)球飛行0s和4s時(shí)，它的高度為0m.這表明小球從飛出到落地要用4s.從圖來看，0s時(shí)小球從地面飛出，4s時(shí)小球落回地面.在函數(shù)中y=0的時(shí)候落地的情況落地的點(diǎn)思考

你能發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系嗎?

當(dāng)已知二次函數(shù)

y值，求自變量x值時(shí)，可以看作是解對(duì)應(yīng)的一元二次方程.相反地，由解一元二次方程，又可看作是二次函數(shù)值為0時(shí)，求自變量x的值

例如，已知二次函數(shù)y=－x2＋4x的值為3，求自變量x的值，可以解一元二次方程－x2＋4x=3(即x2－4x+3=0).反過來，解方程x2－4x+3=0又可以看作已知二次函數(shù)y=x2－4x+3的值為0，求自變量x的值，還可以看做y=－x2＋4x和y=3的交點(diǎn)關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=m二次函數(shù)y=ax2+bx+c中，當(dāng)y=m時(shí)，所對(duì)應(yīng)的x的值特殊的，與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為當(dāng)y=0時(shí)，對(duì)應(yīng)一元二次方程的x的值拋物線y=ax2+bx+c與直線y=m交點(diǎn)的橫坐標(biāo)函數(shù)解析式函數(shù)圖象例1已知函數(shù)y=x2

－

4x+3.畫出這個(gè)函數(shù)的圖象;觀察圖象，當(dāng)x取哪些值時(shí)，函數(shù)值為0？423x1432-1yO-115當(dāng)x=1或x=3時(shí)，函數(shù)值為0.例2

用函數(shù)的圖象求下列方程的解：（1）x2－3x+2

=0；

（2）－x2－6x－9

=0；423x1432-1yO-115當(dāng)x=1或x=2時(shí)，函數(shù)值為0.x1yO-5-4-3-2-1-1-2-3-4-5當(dāng)x1=x2=-3時(shí)，函數(shù)值為0.二、利用一元二次方程討論二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)思考問題1不解方程，判斷下列一元二次方程跟的情況.（1）x2+x-2=0；∵?=b2-4ac=9>0，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.（2）x2-6x+9=0；∵?=b2-4ac=0，∴方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.（3）x2-x+1=0.∵?=b2-4ac=-3<0，∴方程有沒有實(shí)數(shù)根.問題2你能從函數(shù)解析式的角度解釋解這三個(gè)方程的含義嗎？（1）x2+x-2=0；已知二次函數(shù)y=x2+x-2的值為0，求自變量x的值.（2）x2-6x+9=0；已知二次函數(shù)y=x2-6x+9的值為0，求自變量x的值.（3）x2-x+1=0.已知二次函數(shù)y=x2-x+1的值為0，求自變量x的值.問題3你能從函數(shù)圖象的角度解釋解這三個(gè)方程的含義嗎？（1）x2+x-2=0；確定拋物線y=x2+x-2與x軸公共點(diǎn)的橫坐標(biāo).（2）x2-6x+9=0；確定拋物線y=x2-6x+9與x軸公共點(diǎn)的橫坐標(biāo).（3）x2-x+1=0.確定拋物線y=x2-x+1與x軸公共點(diǎn)的橫坐標(biāo).問題4觀察下列二次函數(shù)圖象，與x軸有公共點(diǎn)嗎？如果有公共點(diǎn)，寫出公共點(diǎn)的坐標(biāo).（1）y=x2+x-2；

（2）y=x2-6x+9；

（3）y=x2-x+1x12-1yO-2-1-212423x1432yO-112x1432yO-11兩個(gè)（-2,0），（1,0）

一個(gè)（3,0）沒有公共點(diǎn)二次函數(shù)圖象與x軸的公共點(diǎn)我們也可以通過平移來觀察，發(fā)現(xiàn)最多有兩個(gè)公共點(diǎn)，最少?zèng)]有公共點(diǎn).423x1432yO-11一個(gè)沒有兩個(gè)問題5當(dāng)x取公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)時(shí)，函數(shù)值是多少？由此你能得出相應(yīng)一元二次方程的根嗎？（1）y=x2+x-2x12-1yO-2-1-212拋物線y=x2+x-2與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，坐標(biāo)是（-2，0），（1，0）.

二次函數(shù)y=x2+x-2當(dāng)x的值為-2或1時(shí)，y=0y=0時(shí)，一元二次方程x2+x-2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，分別是-2，1

問題5當(dāng)x取公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)時(shí)，函數(shù)值是多少？由此你能得出相應(yīng)一元二次方程的根嗎？（2）y=x2-6x+9

拋物線y=x2-6x+9與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，坐標(biāo)是（3，0）.

二次函數(shù)y=x2-6x+9,當(dāng)x的值為3時(shí)，y=0.

y=0時(shí)，一元二次方程x2-6x+9=0有兩個(gè)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，是3

423x1432yO-11問題5當(dāng)x取公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)時(shí)，函數(shù)值是多少？由此你能得出相應(yīng)一元二次方程的根嗎？（3）y=x2-x+1

拋物線y=x2-6x+9與x軸只有沒有公共點(diǎn).二次函數(shù)y=x2-x+1,當(dāng)x取任何實(shí)數(shù)時(shí)，y都不等于0.

y=0時(shí)，一元二次方程x2-x+1=0沒有實(shí)數(shù)根.2x1432yO-11從二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象可得如下結(jié)論

歸納拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸位置關(guān)系有三種：有兩個(gè)公共點(diǎn)，有一個(gè)公共點(diǎn)，沒有公共點(diǎn).

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的三種情況：有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，沒有實(shí)數(shù)根.

從二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象可得如下結(jié)論

歸納拋物線y=ax2+bx+c與x軸公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)是x0

當(dāng)x=x0時(shí)

，函數(shù)y=ax2+bx+c

的值

y=0x=x0是方程ax2+bx+c=0的一個(gè)根

問題6

不畫圖象，你能確定二次函數(shù)的解析式、圖象與x軸的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)嗎？二次函數(shù)的圖象與x軸公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)

?=b2-4ac

?>0，函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)?=0，函數(shù)圖象與x軸有一個(gè)公共點(diǎn)?<0，函數(shù)圖象與x軸有沒有公共點(diǎn)函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，?>0函數(shù)圖象與x軸有一個(gè)公共點(diǎn)，?=0函數(shù)圖象與x軸有沒有公共點(diǎn)，?<0例1.已知二次函數(shù)y

=ax2+bx＋c(a≠0)的部分圖象如圖所示．(1)方程ax2+bx＋c=0的根是多少？解：方程ax2+bx＋c=0的根就是拋物線y

=ax2+bx＋c與x軸的公共點(diǎn)的橫坐標(biāo).因?yàn)槎魏瘮?shù)圖象對(duì)稱軸為x=1，其中一個(gè)公共點(diǎn)為（3,0），那么根據(jù)對(duì)稱性，另外一個(gè)公共點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,0）所以根為-1或3例1.已知二次函數(shù)y

=ax2+bx＋c(a≠0)的部分圖象如圖所示．(2)方程ax2+bx＋c=1的根的情況是什么？解：補(bǔ)全圖象得：方程ax2+bx＋c=1的根就是拋物線y

=ax2+bx＋c與直線y=1的公共點(diǎn)的橫坐標(biāo).由圖可得有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根y=1例1.已知二次函數(shù)y

=ax2+bx＋c(a≠0)的部分圖象如圖所示．(2)方程ax2+bx＋c=k沒有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是多少？解：要求方程ax2+bx＋c=k沒有實(shí)數(shù)根，就是拋物線y

=ax2+bx＋c與直線y=k沒有公共點(diǎn).我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)直線x=4的時(shí)候，拋物線和直線有一個(gè)公共點(diǎn)，把直線在往下平移會(huì)有兩個(gè)，往上平移就沒有了所以k>4y=4例1.已知二次函數(shù)y

=ax2+bx＋c(a≠0)的部分圖象如圖所示．(2)方程ax2+bx＋c=k沒有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是多少？解：要求方程ax2+bx＋c=k沒有實(shí)數(shù)根，就是拋物線y

=ax2+bx＋c與直線y=k沒有公共點(diǎn).我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)直線x=4的時(shí)候，拋物線和直線有一個(gè)公共點(diǎn)，把直線在往下平移會(huì)有兩個(gè)，往上平移就沒有了所以k>4y=4例2.不畫圖像，判斷下列二次函數(shù)的圖象與x軸公共點(diǎn)的個(gè)數(shù).(1)y=-x2-3x＋1解：∵?=b2-4ac=13>0，∴圖像與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn).(2)y=x2-4x＋4解：∵?=b2-4ac=0，∴圖像與x軸有一個(gè)公共點(diǎn).(3)y=2x2+3x＋2解：∵?=b2-4ac=-7<0，∴圖像與x軸沒有公共點(diǎn).三

利用二次函數(shù)求一元二次方程的近似解例利用函數(shù)圖象求方程x2-2x-2=0的實(shí)數(shù)根(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位).轉(zhuǎn)化求拋物線y=x2-2x-2與x軸公共點(diǎn)的橫坐標(biāo).解：畫出函數(shù)y=x2-2x-2的圖象（如下圖），由圖象可知，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，一個(gè)在-1與0之間，另一個(gè)在2與3之間.3yO-33x

先求位于-1到0之間的根，由圖象可估計(jì)這個(gè)根是-0.8或-0.7，利用計(jì)算器進(jìn)行探索，見下表：觀察上表可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x分別取-0.8和-0.7時(shí)，對(duì)應(yīng)的y由負(fù)變正，可見在-0.8與-0.7之間肯定有一個(gè)x使y=0，即有y=x2-2x-2的一個(gè)根，題目只要求精確到0.1，這時(shí)取x=-0.8或x=-0.7都符合要求.但當(dāng)x=-0.7時(shí)更為接近0.故x1≈-0.7.同理可得另一近似值為x2≈2.7.x…-0.8-0.7…y…0.24-0.11…例利用函數(shù)圖象求方程x2-2x-2=0的實(shí)數(shù)根(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位).法二：方程可化為x2-2x=2，即求直線y=2和y=x2-2x的交點(diǎn)的橫坐標(biāo).畫圖得：423x1432-1O-115y=2即產(chǎn)生了2個(gè)交點(diǎn)，同樣的一個(gè)在-1與0之間，另一個(gè)在2與3之間例利用函數(shù)圖象求方程x2-2x-2=0的實(shí)數(shù)根(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位).法三：方程可化為x2=2x+2，即求一次函數(shù)y=2x+2和y=x2的交點(diǎn)的橫坐標(biāo).畫圖得：423x1432-1O-11y=2x+2-2即產(chǎn)生了2個(gè)交點(diǎn)，同樣的一個(gè)在-1與0之間，另一個(gè)在2與3之間歸納利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似根1.用描點(diǎn)法畫出二次函數(shù)的圖象；2.觀察估計(jì)二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；

由圖象可知，圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn),其橫坐標(biāo)的取值范圍，通過取平均數(shù)的方法不斷縮小根所在的范圍（可將單位長(zhǎng)再十等分，借助計(jì)算器確定其近似值）；3.確定方程的近似解；由此可知，使二次函數(shù)的函數(shù)值更接近0的數(shù)，即為方程的近似解.針對(duì)訓(xùn)練1.已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象如圖所示，則一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的近似根為(

)A．x1≈－2.1，x2≈0.1B．x1≈－2.5，x2≈0.5C．x1≈－2.9，x2≈0.9D．x1≈－3，x2≈1B方法總結(jié)

解答本題首先需要根據(jù)圖象估計(jì)出一個(gè)根，再根據(jù)對(duì)稱性計(jì)算出另一個(gè)根，估計(jì)值的精確程度，直接關(guān)系到計(jì)算的準(zhǔn)確性，故估計(jì)盡量要準(zhǔn)確．四

二次函數(shù)與一元二次不等式的關(guān)系例4函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖，那么方程ax2+bx+c=0的根是_____________;不等式ax2+bx+c>0的解集是___________;不等式ax2+bx+c<0的解集是_________.

3-1Oxyx1=-1，x2=3x<-1或x>3-1<x<3變式

函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖，那么方程ax2+bx+c=0的根是_____________;不等式ax2+bx+c>0的解集是___________;不等式ax2+bx+c<0的解集是_________.

3-1Oxx1=-1，x2=3-1<x<3x<-1或x>3二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖象與x軸交點(diǎn)圖象不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集不等式ax2+bx+c<0(a>0)的解集

有兩個(gè)交點(diǎn)x1,x2(x1＜x2)有一個(gè)交點(diǎn)x0沒有交點(diǎn)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與一元二次不等式的關(guān)系x＜x1或

x>x2.x1＜x＜x2.x0之外的所有實(shí)數(shù)無解所有實(shí)數(shù)無解歸納x2x1xyOx0xyOxyO二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a<0)的圖象與x軸交點(diǎn)圖象不等式ax2+bx+c>0(a<0)的解集不等式ax2+bx+c<0(a<0)的解集

有兩個(gè)交點(diǎn)x1,x2(x1＜x2)有一個(gè)交點(diǎn)x0沒有交點(diǎn)x＜x1或

x>x2.x1＜x＜x2.x0之外的所有實(shí)數(shù)無解所有實(shí)數(shù)無解x2x1xyOx0xyOxyO針對(duì)訓(xùn)練1.已知二次函數(shù)y=x2-6x+8的圖象，利用圖象回答問題：(1)方程x2-6x+8=0的解是什么？(2)x取什么值時(shí)，y>0

？(3)x取什么值時(shí)，y<0

？xyO248解：(1)x1=2,x2=4;(2)x<2或x>4;(3)2<x<4.隨堂練習(xí)1.已知二次函數(shù)y=x2-2x-1圖象如圖所示.(1)根據(jù)圖像求出一元二次方程x2-2x-1=0根的范圍解：∵一元二次方程x2-2x-1=0的根就是二次函數(shù)y=x2-2x-1與x軸的交點(diǎn)∴由圖得方程有兩個(gè)根，-1<x1<0，2<x2<3(2)求不等式x2-2x-1>-1的解集解：由圖可得函數(shù)值必須在直線y=-1的上方，

∴x的解集為x<0或2<xy=-11.已知二次函數(shù)y=x2-2x-1圖象如圖所示.(3)根據(jù)圖像，請(qǐng)判斷直線y=k與二次函數(shù)y=x2-2x-1的交點(diǎn)個(gè)數(shù).解：當(dāng)k<-2時(shí)，直線與二次函數(shù)無交點(diǎn)

當(dāng)k=-2時(shí)，直線與二次函數(shù)有一個(gè)交點(diǎn)

當(dāng)k>-2時(shí)，直線與二次函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)2.已知二次函數(shù)y=-x2+x+2m(m為常數(shù)).(1)若拋物線與x軸有唯一公共點(diǎn)，求m的值;解：∵拋物線與x軸有唯一公共點(diǎn)∴?=b2-4ac=12-4·(-1)·2m=1+8m=0∴