2025年高考數(shù)學總復習專項訓練：橢圓

專練45橢圓

［基礎(chǔ)強化］

一、選擇題

1.橢圓器+看=1上一點M到其中一個焦點的距離為3,則點M到另一個焦點的距離為（）

A.2B.3

C.4D.5

答案：D

解析：：a=4,由橢圓的定義知，M到另一個焦點的距離為2a—3=2X4—3=5.

2.已知△ABC的頂點8,C在橢圓方+尸=1上，頂點A是橢圓的一個焦點，且橢圓的另一個焦點在

BC邊上,則△ABC的周長為（）

A.2小B.4^3

C.6D.12

答案：B

解析：由橢圓的方程得。=小.設(shè)橢圓的另一個焦點為E則由橢圓的定義得|BA|+LB/q=|CA|+|Cfl=

2a,所以△ABC的周長為|8A|+|BC|+|CA|=|54|+|8月+|CN+|CA|=（|8A|+|BF|）+（|C7q+|CA|）=2a+2a=4a

=44.

v2I

3.［2024?九省聯(lián)考］橢圓了+丁=1（。＞1）的離心率為I，貝U。=（）

A.羋B,^2

C.小D.2

答案：A

解析：由題意得e=?］=|,解得.故選A.

4.已知產(chǎn)1，&是橢圓CJ+?=1的兩個焦點，點M在。上，則的最大值為（）

A.13B.12

C.9D.6

答案：C

解析：由題，層=9,〃=4,則+\MFQ\=2a=6,

所以|MFi|.|加巳|?產(chǎn)?竺32=%當且僅當陽分|=\MF2\=3時，等號成立）,故選C.

5.已知橢圓C：￡+~=1的一個焦點為（2,0）,則C的離心率為（）

A.gB.；

「或D至

?2-L*?3

答案：C

解析：由題可知橢圓的焦點落在X軸上，c=2,

e=

，/=4+，=8,.\a=2\[2,??^l,

6.[2023?新課標I卷]設(shè)橢圓G：盤+>2=1（。>1）,Q：?+F=1的離心率分別為e\,勿?若￡2=5ei，

則〃=（）

A.畢B.小

C.V3D.y[6

答案：A

解析：方法一由已知得C1='QgI，e2=7\1=坐,因為02=小ei,所以坐=小x'a],

得。=￥.故選A.

方法二若。=手,則2>又e2=W,所以￡2=y[3e\,所以。

=*符合題意.故選A.

7.[2023?全國甲卷（理）]設(shè)。為坐標原點，F(xiàn)i，尸2為橢圓C：j+?=1的兩個焦點，點尸在C上，cos

3

ZF1PF2=5，則QPI=()

A,B.粵

C.號D.華

答案：B

解析：

2

方法一依題意a=3,b=#,c—yjcP—b=小.如圖，不妨令Fi(—A/3,0),F2(y[3,0).設(shè)1PBi

加2十H2—]23

=m,\PF2\=n,在△/中，cos//1尸6=---而^---=5①，

由橢圓的定義可得m+n=2a=6②.

由①②，解得.=竽.

WP\=x.

在△尸10尸和△尸2。尸中,ZFiOP+ZF2OP=Ti9

I人一、、.gd+B一m2_f+3一層

由余弦定理得26

2\f3x'

m2+n2—6（m+n）2—2mn—615匕…、。八'

/得0/9=---------=--------2---------=~2，所以1。尸1=匕一?

方法二依題意〃=3,b=y/6,c=yla2—b2=小.

如圖（圖同方法一），設(shè)點尸的坐標為（xo,jo）,a=/FiPF2,

3

貝I」COSZF1PF2=COS1=5，

2sinTCOS?2tanT..

LLz4CL1a

故sinZFiPF2=sina=-----------=-------=彳,貝Itany=5或tan5=2（舍去）.

..o（A1n（AJ乙乙乙

sin2+cos21+tan2

zy1

故△尸1尸尸2的面積SZ\BPF2=Z?2tan2=6X]=3.

又SAFIPF2=3X2c|yol=V3W，

故4=3,又命+y=1,

所以/=|,|OP|2=XQ+yo=竽，\OP\=^^-.

方法三依題意〃=3,b=?,c=yla2—b2=^3.

如圖（圖同方法一），設(shè)點尸的坐標為（xo,y0）,利用焦點三角形面積公式知SZ\BP&=Iosina.

A-I-cosa

346X11

因為cosNAP&=w，所以sin/QP3=7，故S叢FiPFz=—=3.又SAFIPB=5X2c\y0\=^|y0|,

1+|

故4=3,

又生+卷=1.所以/=1，QP|2=xj+yo=y,|。尸|=等.

方法四依題意〃=3,b=y[6,c=yla2—b2=y[3.

如圖（圖同方法一），不妨令Fi（一小,0）,F2（V3,0）.

根+2h2—]23

設(shè)|PFi|=m，\PF^=n,在△RPB中，COS/6PF2=-2MN=弓①，

由橢圓的定義可得m+〃=2a=6②.

由①②，解得》1〃=券.

因為用=/（PFI+PF2）,

所以|用F=：（m2+w2+2mMcos/LF\PFi）=^（機+w）2—^mn=竽,所以|尸。|=坐^.

8.設(shè)橢圓會+~=1的焦點為Q,B，點尸在橢圓上，若△防治為直角三角形，則△PQB的面積

為（）

A.3B.3或.

33

C.2D.6或3

答案：C

解析：由已知。=2,b=y[3,c=l,

若尸為短軸的頂點（0,y[3）時，ZFIPF2=60,△尸田出為等邊三角形，

???/尸不可能為直角，

b23

若NB=90。，則|尸四|=了=2，

1b23

SAPF1F2=2---2C=2.

9.[2022?全國甲卷（理），10]橢圓C：J+p=1（。>6>0）的左頂點為A,點P,。均在C上，且關(guān)于y

軸對稱.若直線AP,A0的斜率之積為（，則C的離心率為（）

A.乎B.當

C.2D-

答案：A

解析：設(shè)尸（為，弘），則點。的坐標為（一為，yi）.由題意，得點A（—a,0）.又直線AP,AQ的斜率之積為

4，所以京七三%=|，即巖彳="①.又點P在橢圓C上，所以2=1②.由①②，得當=

1,所以，=4〃，所以片=4（/—。2）,所以橢圓c的離心率e=。=坐.故選A.

二、填空題

?2

10.若方程上=1表示橢圓，則上的取值范圍是________.

j-Kk~3

答案：（3,4）U（4,5）

5—k>0,

解析：由題意可知｛左一3>0,

、5—k￥k-3,

解得3<k<4或4<k<5,

故上的取值范圍為（3,4）U（4,5）.

11.若一個橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率為.

3

答案:5

解析：由題意知,2a+2c=2（2b）,RPa+c=2bf又？=足一吩,消去仇整理得5c2=3/—2〃c,即5/

3

+2e—3=0,解得或e=—1（舍去）.

12.已知尸1，&是橢圓C：J+p=l（a>6>0）的兩個焦點,P為橢圓C上的一點，且抽，南，若△PAF2

的面積為9,則b=.

答案：3

解析:如圖,

VPF7-LPF2，

??.△尸西巳為直角三角形，

又△尸西p2的面積為9,

|PFI||PF2|=9,

得|「碎|尸外|=18,

222

在中，由勾股定理得：|PF1|+|PF2|=|F1F2|,

222

(IPF1I+|PF2|)-2|PF1||PF2|=4?,即2(a-c)=|PFi||PF2|=18,

222

得b=a—c=99:.b=3.

［能力提升］

13.已知橢圓C：J+/=l(a>b>0)的離心率為g,Ai，4分別為C的左、右頂點，B為C的上頂點.若

BA1-BA2=-I,則C的方程為(

K9

+1

A=1B--1

-fl+16-f8

C.y+，=1D.y+y2=i

答案：B

解析：由橢圓。的離心率為］,可得e=￡=、/〃2=3.化簡，得8/=9廿.易知4(—〃，0),43,

8〃2=9Z?2,

0),5(0,b),所以BA1BA2=(—a,~by(a—/?)=—/+〃=—].聯(lián)立得方程組

9Y+〃=T,解得

/=9,所以C的方程為弓+?=1.故選B.

廬=8.

14.［2023?新課標H卷］已知橢圓C：y+/=1的左、右焦點分別為B，F(xiàn)2,直線y=x+〃z與C交于A,

B兩點，若面積是面積的2倍，則m=()

A.IB.當

C—正D-2

J3u-3

答案：C

解析：由題意，F(xiàn)i(-V2,0),F2(V2,0),△RAB面積是△凡AB面積的2倍，所以點西到直線AB

的距離是點E2到直線AB的距離的2倍，即~^^~削=2x］V^+m|，解得m=—坐或m=-3巾(舍去)，

故選C.

15.Fi，6是橢圓，+p=l(a>b>0)的左、右焦點，若橢圓上存在一點尸，使/人睡=90。，貝嘛圓

的離心率的取值范圍是.

答案：咨，1)

解析：設(shè)R)為橢圓a+