2020-2024年高考數(shù)學(xué)試題分類匯編：概率與統(tǒng)計(jì)（解析版）

與題槐辜易挑針

五年考情?探規(guī)律

考點(diǎn)五年考情(2020-2024)命題趨勢(shì)

考點(diǎn)01分類、分步

2024年新課標(biāo)回卷：方格表選方格、列舉法.關(guān)于排列、組合與二項(xiàng)式定理的

計(jì)數(shù)原理

考查，往往以客觀題形式考查.

考點(diǎn)02“在不在'.'鄰

2022年新課標(biāo)回卷：站成一排參加文藝匯演.1.基本原理的應(yīng)用；

不鄰”排列問(wèn)題

2.基本原理與排列的綜合問(wèn)題；

2020年新高考回卷：志愿者安排、分步完成；

考點(diǎn)03計(jì)數(shù)原理與3.基本原理與組合的綜合問(wèn)題；

2023年新課標(biāo)回卷：選課方案、分類分步；

組合問(wèn)題4.基本原理、排列、組合綜合問(wèn)

2023年新課標(biāo)回卷：分層抽樣、分步完成.

題；

考點(diǎn)04排列組合綜

2020年新高考回卷：志愿者安排、先選后排.5.二項(xiàng)展開(kāi)式指定項(xiàng)(系數(shù))；

合問(wèn)題

6.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)；

考點(diǎn)05二項(xiàng)式定理2022年新高考1卷：兩個(gè)因式乘積、求項(xiàng)的

7.數(shù)學(xué)文化與楊輝三角.

及其應(yīng)用系數(shù).

2022年新高考1卷：古典概型；根據(jù)高考命題改革的要求，命題

考點(diǎn)06概率的計(jì)算

2023年新高考回卷：相互獨(dú)立事件、互斥事件數(shù)量減少，因此，命題的綜合性

的概率計(jì)算.會(huì)進(jìn)一步增強(qiáng)，關(guān)于概率統(tǒng)計(jì)的

考點(diǎn)07判斷事件的考查，預(yù)計(jì)會(huì)同卷出現(xiàn)客觀題、

2021年新高考1卷

獨(dú)立性主觀題.其中，主觀題會(huì)以隨機(jī)

2020年新高考回卷：容斥原理；變量數(shù)字特征的應(yīng)用為主，與現(xiàn)

2020年新高考回卷：折線圖的應(yīng)用；實(shí)社會(huì)相聯(lián)系，與其它知識(shí)交

2021年新高考1卷：兩組樣本數(shù)據(jù)數(shù)字特征匯，體現(xiàn)綜合性、應(yīng)用性.

考點(diǎn)08統(tǒng)計(jì)圖表的比較；1.概率的計(jì)算問(wèn)題：古典概型是

應(yīng)用及數(shù)字特征的計(jì)2021年新高考II卷：一組數(shù)據(jù)離散程度；基礎(chǔ)，條件概率、乘法公式與全

算2023年新課標(biāo)回卷：一組樣本數(shù)據(jù)的數(shù)字特概率公式的應(yīng)用，獨(dú)立性與條件

征；概率綜合問(wèn)題；

2023年新課標(biāo)回卷：頻率分布直方圖及其應(yīng)2.隨機(jī)抽樣、統(tǒng)計(jì)圖表及其應(yīng)

用；用、數(shù)據(jù)數(shù)字特征的計(jì)算及其應(yīng)

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2024年新課標(biāo)團(tuán)卷：頻率分布表及其應(yīng)用.用等，其中頻率分布表、頻率分

考點(diǎn)09頻率分布表布直方圖是重點(diǎn)；

2020年新課標(biāo)回卷

與獨(dú)立性檢驗(yàn)3.線性回歸問(wèn)題也許會(huì)成為“黑

2021年新高考II卷：正態(tài)分布密度曲線的特馬”、獨(dú)立性檢驗(yàn)；

4.兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、超幾何

考點(diǎn)10正態(tài)分布及征應(yīng)用；

其應(yīng)用2022年新課標(biāo)回卷：正態(tài)分布區(qū)間上的概率；分布、正態(tài)分布及其數(shù)字特征，

2024年新課標(biāo)1卷：正態(tài)分布的3b原則以及考查方式可能分別以客觀題、主

正態(tài)分布對(duì)稱性的應(yīng)用.觀題兩種.

2021年新高考1卷："一帶一路"知識(shí)競(jìng)賽，答

題選擇決策；

2021年新高考II卷：微生物繁殖、期望計(jì)算、

考點(diǎn)11隨機(jī)變量的證明、實(shí)際應(yīng)用，與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用交匯；

分布列、數(shù)學(xué)期望的2023年新課標(biāo)回卷：兩點(diǎn)分布、期望、與等比

應(yīng)用數(shù)列交匯；

2024年新課標(biāo)回卷：比賽得分、概率、期望；

2024年新課標(biāo)回卷：對(duì)立事件、獨(dú)立事件、計(jì)

算相關(guān)概率和期望、決策.

考點(diǎn)12頻率分布直

2022年新高考II卷：流行病學(xué)調(diào)查.

方圖與條件概率

考點(diǎn)13獨(dú)立性檢驗(yàn)2022年新高考1卷：地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用?/p>

與條件概率衛(wèi)生習(xí)慣的關(guān)系.

考點(diǎn)14概率的“新

2020年新高考回卷:信息端、隨機(jī)變量及其“信

定義”問(wèn)題

息幅”的性質(zhì).

分考個(gè)精準(zhǔn)練）

考點(diǎn)01分類、分步計(jì)數(shù)原理

1.（2024年新課標(biāo)全國(guó)回卷數(shù)學(xué)真題）在如圖的4x4的方格表中選4個(gè)方格，要求每行和每列均恰有一個(gè)方

格被選中，則共有種選法，在所有符合上述要求的選法中，選中方格中的4個(gè)數(shù)之和的最大值

是.

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11213140

12223342

13223343

15243444

【答案】24112

【分析】由題意可知第一、二、三、四列分別有4、3、2、1個(gè)方格可選；利用列舉法寫(xiě)出所有的可能結(jié)果，

即可求解.

【詳解】由題意知，選4個(gè)方格，每行和每列均恰有一個(gè)方格被選中，

則第一列有4個(gè)方格可選，第二列有3個(gè)方格可選，

第三列有2個(gè)方格可選，第四列有1個(gè)方格可選，

所以共有4x3x2x1=24種選法；

每種選法可標(biāo)記為(a,6,c,d),分別表示第一、二、三、四列的數(shù)字，

則所有的可能結(jié)果為：

(11.22,33,44),(11,22,34,43),(11,22,33,44),(11,22,34,42),(11.24,33,43),(11,24,33,42),

(12.21,33,44),(12,21.34,43),(12,22,31,44),(12,22,34,40),(12,24,31,43),(12,24,33,40),

(13,21,33,44),(13,21,34,42),(13,22,31,44),(13,22,34,40),(13,24,31,42),(13,24,33,40),

(15,21,33,43),(15,21,33,42),(15,22,31,43),(15,22,33,40),(15,22,31,42),(15,22,33,40),

所以選中的方格中，(15,21,33,43)的4個(gè)數(shù)之和最大，為15+21+33+43=112.

故答案為：24；112

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是確定第一、二、三、四列分別有4、3、2、1個(gè)方格可選，利用列

舉法寫(xiě)出所有的可能結(jié)果.

考點(diǎn)02"在不在”“鄰不鄰”排列問(wèn)題

2.(2022年新高考全國(guó)II卷數(shù)學(xué)真題)有甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站

在兩端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有()

A.12種B.24種C.36種D.48種

【答案】B

【分析】利用捆綁法處理丙丁，用插空法安排甲，利用排列組合與計(jì)數(shù)原理即可得解

【詳解】因?yàn)楸∫谝黄穑劝驯±?，看做一個(gè)元素，連同乙，戊看成三個(gè)元素排列，有3!種排列方

式；為使甲不在兩端，必須且只需甲在此三個(gè)元素的中間兩個(gè)位置任選一個(gè)位置插入，有2種插空方式；

注意到丙丁兩人的順序可交換，有2種排列方式，故安排這5名同學(xué)共有：3!x2x2=24種不同的排列方式，

故選：B

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考點(diǎn)03計(jì)數(shù)原理與組合問(wèn)題

3.（2020年新高考全國(guó)卷回?cái)?shù)學(xué)試題）6名同學(xué)到甲、乙、丙三個(gè)場(chǎng)館做志愿者，每名同學(xué)只去1個(gè)場(chǎng)館，

甲場(chǎng)館安排1名，乙場(chǎng)館安排2名，丙場(chǎng)館安排3名，則不同的安排方法共有（）

A.120種B.90種

C.60種D.30種

【答案】C

【分析】分別安排各場(chǎng)館的志愿者，利用組合計(jì)數(shù)和乘法計(jì)數(shù)原理求解.

【詳解】首先從6名同學(xué)中選1名去甲場(chǎng)館，方法數(shù)有C；；

然后從其余5名同學(xué)中選2名去乙場(chǎng)館，方法數(shù)有C；；

最后剩下的3名同學(xué)去丙場(chǎng)館.

故不同的安排方法共有以=6x10=60種.

故選：C

4.（2023年新課標(biāo)全國(guó)團(tuán)卷數(shù)學(xué)真題）某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)的情況，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣

方法作抽樣調(diào)查,擬從初中部和高中部?jī)蓪庸渤槿?0名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200

名學(xué)生，則不同的抽樣結(jié)果共有（）.

A.C：〉C短種B.GMC機(jī)種

C.C落C或種D.C%C乳種

【答案】D

【分析】利用分層抽樣的原理和組合公式即可得到答案.

【詳解】根據(jù)分層抽樣的定義知初中部共抽取60x縹=40人，高中部共抽取60X1^=20,

600600

根據(jù)組合公式和分步計(jì)數(shù)原理則不同的抽樣結(jié)果共有種.

故選：D.

5.（2023年新課標(biāo)全國(guó)回卷數(shù)學(xué)真題）某學(xué)校開(kāi)設(shè)了4門(mén)體育類選修課和4門(mén)藝術(shù)類選修課，學(xué)生需從這8

門(mén)課中選修2門(mén)或3門(mén)課，并且每類選修課至少選修1門(mén)，則不同的選課方案共有種（用數(shù)字作

答）.

【答案】64

【分析】分類討論選修2門(mén)或3門(mén)課，對(duì)選修3門(mén)，再討論具體選修課的分配，結(jié)合組合數(shù)運(yùn)算求解.

【詳解】（1）當(dāng)從8門(mén)課中選修2門(mén)，則不同的選課方案共有C：C：=16種；

（2）當(dāng)從8門(mén)課中選修3門(mén)，

①若體育類選修課1門(mén)，則不同的選課方案共有C；C：=24種；

②若體育類選修課2門(mén)，則不同的選課方案共有C：C：=24種；

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綜上所述：不同的選課方案共有16+24+24=64種.

故答案為：64.

考點(diǎn)04排列組合綜合問(wèn)題

6.（2020年新高考全國(guó)卷回?cái)?shù)學(xué)試題）要安排3名學(xué)生到2個(gè)鄉(xiāng)村做志愿者，每名學(xué)生只能選擇去一個(gè)村,

每個(gè)村里至少有一名志愿者，則不同的安排方法共有（）

A.2種B.3種C.6種D.8種

【答案】C

【分析】首先將3名學(xué)生分成兩個(gè)組，然后將2組學(xué)生安排到2個(gè)村即可.

【詳解】第一步，將3名學(xué)生分成兩個(gè)組，有C；C；=3種分法

第二步，將2組學(xué)生安排到2個(gè)村，有禺=2種安排方法

所以，不同的安排方法共有3x2=6種

故選：C

考點(diǎn)05二項(xiàng)式定理及其應(yīng)用

7.（2022年新高考全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題）的展開(kāi)式中的系數(shù)為（用數(shù)

字作答）.

【答案】-28

【分析】1l-￡|（x+?可化為結(jié)合二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求解.

【詳解】因?yàn)?1-（0+＞）8=（%+4-?天+＞）8,

所以11一￡|（X+?的展開(kāi)式中含的項(xiàng)為C*2y6一9C03y5=-28/1,

（1-y）8的展開(kāi)式中Yy6的系數(shù)為一28

故答案為：-28

考點(diǎn)06概率的計(jì)算

8.（2022年新高考全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題）從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概

率為（）

1112

A.—B.-C.-D.—

6323

【答案】D

【分析】由古典概型概率公式結(jié)合組合、列舉法即可得解.

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【詳解】從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，共有C；=21種不同的取法，

若兩數(shù)不互質(zhì)，不同的取法有：（2,4）,（2,6）,（2,8）,（3,6）,（4,6）,（4,8）,（6,8）,共7種,

21-72

故所求概率P=

213

故選：D.

9.（2023年新課標(biāo)全國(guó)回卷數(shù)學(xué)真題）在信道內(nèi)傳輸0,1信號(hào)，信號(hào)的傳輸相互獨(dú)立.發(fā)送0時(shí)，收到1

的概率為a（0＜a＜l）,收到0的概率為1-。；發(fā)送1時(shí)，收到0的概率為尸（0＜尸＜1）,收到1的概率為1-正

考慮兩種傳輸方案：?jiǎn)未蝹鬏敽腿蝹鬏?單次傳輸是指每個(gè)信號(hào)只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個(gè)信號(hào)重

復(fù)發(fā)送3次.收到的信號(hào)需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：?jiǎn)未蝹鬏敃r(shí)，收到的信號(hào)即為譯碼；三次傳輸時(shí)，收

到的信號(hào)中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼（例如，若依次收到1,0,1,則譯碼為1）.

A.采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1,0,1,則依次收到I,0,1的概率為（1-々）（1-￡）2

B.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1,則依次收到1,0,1的概率為/（I-/）?

C.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1,則譯碼為1的概率為月（1-02+（1-尸）3

D.當(dāng)0＜。＜0.5時(shí)，若發(fā)送0,則采用三次傳輸方案譯碼為。的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0

的概率

【答案】ABD

【分析】利用相互獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算判斷AB；利用相互獨(dú)立事件及互斥事件的概率計(jì)算判斷C；求

出兩種傳輸方案的概率并作差比較判斷D作答.

【詳解】對(duì)于A,依次發(fā)送1,0,1,則依次收到I,0,1的事件是發(fā)送1接收1、發(fā)送0接收0、發(fā)送1

接收1的3個(gè)事件的積，

它們相互獨(dú)立，所以所求概率為（1一￡）（1一①（1一￡）=（1一a）（l-￡）2,A正確；

對(duì)于B,三次傳輸，發(fā)送1,相當(dāng)于依次發(fā)送1,1,1,則依次收到I,0,1的事件，

是發(fā)送1接收1、發(fā)送工接收0、發(fā)送1接收1的3個(gè)事件的積，

它們相互獨(dú)立，所以所求概率為（1-0/4-￡）=以1-02,B正確；

對(duì)于C,三次傳輸，發(fā)送1,則譯碼為1的事件是依次收到1,1,0、1,0,1、0,1,1和1,1,1的事件

和，

它們互斥，由選項(xiàng)B知，所以所求的概率為C/（l-02+（1-￡）3=（1-011+26），C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,由選項(xiàng)C知，三次傳輸，發(fā)送0,則譯碼為0的概率P=（l-a）2（l+2c）,

單次傳輸發(fā)送0,則譯碼為。的概率尸而。＜c＜Q5,

因止匕尸一尸'=（l-a）2（I+2a）-（l-c）=a（I-e）（l-2a）＞0,即P＞P,D正確.

故選：ABD

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成兩兩互斥事件的和，

相互獨(dú)立事件的積是解題的關(guān)鍵.

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考點(diǎn)07判斷事件的獨(dú)立性

10.（2021年全國(guó)新高考I卷數(shù)學(xué)試題）有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中有放回的

隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球，甲表示事件”第一次取出的球的數(shù)字是1",乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)

字是2”,丙表示事件"兩次取出的球的數(shù)字之和是8",丁表示事件"兩次取出的球的數(shù)字之和是7",貝IJ（）

A.甲與丙相互獨(dú)立B.甲與丁相互獨(dú)立

C.乙與丙相互獨(dú)立D.丙與丁相互獨(dú)立

【答案】B

【分析】根據(jù)獨(dú)立事件概率關(guān)系逐一判斷

【詳解】P（甲）=3尸（乙）=[P（丙）=22（?。?2=]，

oo3o3oo

尸（甲丙）=0w尸（甲）尸（丙），P（甲?。?’-=尸（甲）尸（?。?，

36

P（乙丙）=—^尸（乙）P（丙），尸（丙丁）=0#?（?。㏄（丙），

36

故選：B

【點(diǎn)睛】判斷事件48是否獨(dú)立，先計(jì)算對(duì)應(yīng)概率，再判斷P（A）P（B）=尸（AB）是否成立

考點(diǎn)08統(tǒng)計(jì)圖表的應(yīng)用及數(shù)字特征的計(jì)算

11.（2020年新高考全國(guó)卷回?cái)?shù)學(xué)試題）某中學(xué)的學(xué)生積極參加體育鍛煉，其中有96%的學(xué)生喜歡足球或游

泳，60%的學(xué)生喜歡足球，82%的學(xué)生喜歡游泳，則該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)

的比例是（）

A.62%B.56%

C.46%D.42%

【答案】C

【分析】由容斥原理即可得解..

【詳解】由題意，該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例為

0.6+0.82-0.96=0.46

所以該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例為46%.

故選：C.

12.（2024年新課標(biāo)全國(guó)回卷數(shù)學(xué)真題）某農(nóng)業(yè)研究部門(mén)在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水稻，得

到各塊稻田的畝產(chǎn)量（單位：kg）并整理如下表

畝產(chǎn)

[900,950)[950,1000)[1000,1050)[1050,1100)[1100,1150)[1150,1200)

量

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頻數(shù)61218302410

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列結(jié)論中正確的是（）

A.100塊稻田畝產(chǎn)量的中位數(shù)小于1050kg

B.100塊稻田中畝產(chǎn)量低于1100kg的稻田所占比例超過(guò)80%

C.100塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于200kg至300kg之間

D.100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值介于900kg至1000kg之間

【答案】C

【分析】計(jì)算出前三段頻數(shù)即可判斷A；計(jì)算出低于1100kg的頻數(shù)，再計(jì)算比例即可判斷B；根據(jù)極差計(jì)

算方法即可判斷C；根據(jù)平均值計(jì)算公式即可判斷D.

【詳解】對(duì)于A,根據(jù)頻數(shù)分布表可知，6+12+18=36<50,

所以畝產(chǎn)量的中位數(shù)不小于1050kg,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,畝產(chǎn)量不低于1100kg的頻數(shù)為24+10=34,

100-34

所以低于1100kg的稻田占比為需=66%,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,稻田畝產(chǎn)量的極差最大為1200-900=300,最小為1150-950=200,故C正確；

對(duì)于D,由頻數(shù)分布表可得，平均值為

^x（6x925+12x975+18xl025+30xl075+24xl125+10x1175）=1067,故D錯(cuò)誤.

故選；C.

13.（多選）（2020年新高考全國(guó)卷回?cái)?shù)學(xué)試題）我國(guó)新冠肺炎疫情進(jìn)入常態(tài)化，各地有序推進(jìn)復(fù)工復(fù)產(chǎn)，下

面是某地連續(xù)11天復(fù)工復(fù)產(chǎn)指數(shù)折線圖，下列說(shuō)法正確的是

B.這11天期間，復(fù)產(chǎn)指數(shù)增量大于復(fù)工指數(shù)的增量；

C.第3天至第11天復(fù)工復(fù)產(chǎn)指數(shù)均超過(guò)80%;

D.第9天至第11天復(fù)產(chǎn)指數(shù)增量大于復(fù)工指數(shù)的增量；

【答案】CD

【分析】注意到折線圖中有遞減部分，可判定A錯(cuò)誤；注意考查第1天和第11天的復(fù)工復(fù)產(chǎn)指數(shù)的差的大

小，可判定B錯(cuò)誤；根據(jù)圖象，結(jié)合復(fù)工復(fù)產(chǎn)指數(shù)的意義和增量的意義可以判定CD正確.

【詳解】由圖可知，第1天到第2天復(fù)工指數(shù)減少，第7天到第8天復(fù)工指數(shù)減少，第10天到第11復(fù)工

第8頁(yè)共23頁(yè)

指數(shù)減少，第8天到第9天復(fù)產(chǎn)指數(shù)減少，故A錯(cuò)誤；

由圖可知，第一天的復(fù)產(chǎn)指標(biāo)與復(fù)工指標(biāo)的差大于第11天的復(fù)產(chǎn)指標(biāo)與復(fù)工指標(biāo)的差，所以這11天期間，

復(fù)產(chǎn)指數(shù)增量小于復(fù)工指數(shù)的增量，故B錯(cuò)誤；

由圖可知，第3天至第11天復(fù)工復(fù)產(chǎn)指數(shù)均超過(guò)80%,故C正確；

由圖可知，第9天至第11天復(fù)產(chǎn)指數(shù)增量大于復(fù)工指數(shù)的增量，故D正確；

14.(多選)(2021年全國(guó)新高考II卷數(shù)學(xué)試題)下列統(tǒng)計(jì)量中，能度量樣本玉,多,，%的離散程度的是()

A.樣本占,馬,…，x”的標(biāo)準(zhǔn)差B.樣本占,9一，%的中位數(shù)

C,樣本占,％的極差D.樣本工1，馬，…，毛的平均數(shù)

【答案】AC

【分析】考查所給的選項(xiàng)哪些是考查數(shù)據(jù)的離散程度，哪些是考查數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)即可確定正確選項(xiàng).

【詳解】由標(biāo)準(zhǔn)差的定義可知，標(biāo)準(zhǔn)差考查的是數(shù)據(jù)的離散程度；

由中位數(shù)的定義可知，中位數(shù)考查的是數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)；

由極差的定義可知，極差考查的是數(shù)據(jù)的離散程度；

由平均數(shù)的定義可知，平均數(shù)考查的是數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)；

故選：AC.

15.(多選)(2021年全國(guó)新高考I卷數(shù)學(xué)試題)有一組樣本數(shù)據(jù)毛，巧，…，相，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本

數(shù)據(jù)%，%，…，%，其中%=W+c(，=l,2,盛為非零常數(shù),則()

A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同

B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同

C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同

D.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同

【答案】CD

【分析】A、C利用兩組數(shù)據(jù)的線性關(guān)系有E(y)=E(x)+c、￡>(y)=Z)(x),即可判斷正誤；根據(jù)中位數(shù)、極

差的定義，結(jié)合已知線性關(guān)系可判斷B、D的正誤.

【詳解】A：E(y)=E(x+c)=E(x)+c且cwO,故平均數(shù)不相同，錯(cuò)誤；

B：若第一組中位數(shù)為七，則第二組的中位數(shù)為％=%+c,顯然不相同，錯(cuò)誤；

C：D(y)=D(x)+D(c)=D(x),故方差相同，正確；

D：由極差的定義知：若第一組的極差為/功-4正，則第二組的極差為

Jmax-Vmin=(工皿、+。)一(％in+。)=/ax-/in，故極差相同，正確；

故選：CD

16.(多選)(2023年新課標(biāo)全國(guó)回卷數(shù)學(xué)真題)有一組樣本數(shù)據(jù)玉，尤2,…，尤6,其中看是最小值，X6是最大值，

則()

A.x2,x3,x4,x5的平均數(shù)等于玉,%的平均數(shù)

第9頁(yè)共23頁(yè)

B.%，%，%，%的中位數(shù)等于王,馬,一-,%的中位數(shù)

C.尤2,無(wú)3，匕，毛的標(biāo)準(zhǔn)差不小于為，了2,…，尤6的標(biāo)準(zhǔn)差

D.工2,無(wú)3，X4，%的極差不大于玉,無(wú)2,…，無(wú)6的極差

【答案】BD

【分析】根據(jù)題意結(jié)合平均數(shù)、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差以及極差的概念逐項(xiàng)分析判斷.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：設(shè)尤2，%,工4，%的平均數(shù)為加，演,馬,…％的平均數(shù)為"，

貝°_X1+X2+X3+X4+X5+X6%+%3+尤4+工5_2。+%）-（彳5+彳2+X3+尤4）

'n~m~64-12-

因?yàn)闆](méi)有確定2（玉+%）,%+X,+X；+x4的大小關(guān)系，所以無(wú)法判斷的大小，

例如：1,2,3,4,5,6,可得〃?=〃=3.5；

例如1,1,1,1,1,7,可得相=1,〃=2；

例如1,2,2,2,2,2,可得〃?=2,"=口；故A錯(cuò)誤；

6

對(duì)于選項(xiàng)B：不妨設(shè)x1Vx2Vx3V迎4毛V%，

可知尤2,尤3，Z，%的中位數(shù)等于占，尤2,…％的中位數(shù)均為1；4,故B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)榭词亲钚≈担?是最大值，

則%,三，又，無(wú)5的波動(dòng)性不大于玉,無(wú)2,…，升的波動(dòng)性，即％2，%,無(wú)4，%的標(biāo)準(zhǔn)差不大于玉，工2,…，%的標(biāo)準(zhǔn)差，

例如：2,4,6,8,10,12,則平均數(shù)"=,（2+4+6+8+10+12）=7,

6

標(biāo)準(zhǔn)差為=^1[（2-7）2+（4-7）2+（6-7）2+（8-7）2+（10-7）2+（12-7）2]=,

4,6,8,10,則平均數(shù)加=；（4+6+8+10）=7,

標(biāo)準(zhǔn)差s?=^[（4-7）2+（6-7）2+（8-7）2+（10-7）2]=4,

顯然叵＞6，即所＞S2；故C錯(cuò)誤；

3

對(duì)于選項(xiàng)D：不妨設(shè)%Vx2V尤3Vx4V毛＜%，

則％一西3三-3，當(dāng)且僅當(dāng)玉=X2，%=天時(shí)，等號(hào)成立，故D正確；

故選：BD.

17.（2023年新課標(biāo)全國(guó)國(guó)卷數(shù)學(xué)真題）某研究小組經(jīng)過(guò)研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)

指標(biāo)有明顯差異，經(jīng)過(guò)大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖：

第10頁(yè)共23頁(yè)

頻率/tfl比^0黑率/俎距

0.040u8

o6

D.036o4

I)034

D.012

0.0)0.................................................

0.002蝦0.002????????>???'????????????ffi

9510()105110115120125130~^<>^70758085W95100105

患病X

利用該指標(biāo)制定一個(gè)檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值C,將該指標(biāo)大于C的人判定為陽(yáng)性，小于或等于C的人判

定為陰性.此檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為p(c);誤診率是將未患病者判定為陽(yáng)

性的概率，記為q(c).假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.

⑴當(dāng)漏診率p(c)=0.5%時(shí)，求臨界值c和誤診率；

(2)設(shè)函數(shù)/(c)=p(c)+q(c),當(dāng)ce［95/05］時(shí)，求〃c)的解析式，并求〃c)在區(qū)間［95,105］的最小值.

【答案】⑴c=97.5,q(c)=3.5%；

r-0.008c+0.82,95<c<100

(2)f(c)=|O.O1C-O.98,1OO<C<1O5,最小值為

【分析】(1)根據(jù)題意由第一個(gè)圖可先求出。，再根據(jù)第二個(gè)圖求出C297.5的矩形面積即可解出;

(2)根據(jù)題意確定分段點(diǎn)100,即可得出/(c)的解析式，再根據(jù)分段函數(shù)的最值求法即可解出.

【詳解】(1)依題可知，左邊圖形第一個(gè)小矩形的面積為5*0.002>0.5%,所以95<c<100,

所以(c-95)x0.002=0.5%,解得：c=97.5,

(/(c)=0.01x(100-97.5)+5x0.002=0.035=3.5%.

(2)當(dāng)ce［95,100］時(shí)，

/(c)=p(c)+q(c)=(c—95)X0.002+(100-c)x0.01+5x0.002=-0.008c+0,82>0,02；

當(dāng)?！?100,105］時(shí)，

/(c)=p(c)+q(c)=5x0.002+(c-100)x0.012+(105-c)x0.002=O.Olc-O.98>0,02,

-0.008c+0.82,95<c<100

故/?=

0.01c-0.98,100<c<105'

所以/(c)在區(qū)間［95,105］的最小值為0.02.

考點(diǎn)09頻率分布表與獨(dú)立性檢驗(yàn)

第11頁(yè)共23頁(yè)

18.（2020年新高考全國(guó)卷回?cái)?shù)學(xué)試題）為加強(qiáng)環(huán)境保護(hù)，治理空氣污染，環(huán)境監(jiān)測(cè)部門(mén)對(duì)某市空氣質(zhì)量進(jìn)

3

行調(diào)研，隨機(jī)抽查了100天空氣中的PM2.5和SO2濃度（單位：Hg/m）,得下表：

[0,50](50,150](150,475]

PM2.5

[0,35]32184

(35,75]6812

(75/15]3710

（1）估計(jì)事件"該市一天空氣中PM2.5濃度不超過(guò)75,且SO。濃度不超過(guò)150”的概率;

（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2x2列聯(lián)表：

[0,150](150,475]

[0,75]

(75」15]

（3）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，判斷是否有99%的把握認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO?濃度有關(guān)?

n(ad-be)。

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【答案】（1）0.64；（2）答案見(jiàn)解析；（3）有.

【分析】（1）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)以及古典概型的概率公式可求得結(jié)果；

（2）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)可得2x2列聯(lián)表；

（3）計(jì)算出長(zhǎng)2,結(jié)合臨界值表可得結(jié)論.

【詳解】（1）由表格可知，該市100天中，空氣中的R02.5濃度不超過(guò)75,且SO?濃度不超過(guò)150的天數(shù)

有32+6+18+8=64天，

第12頁(yè)共23頁(yè)

所以該市一天中，空氣中的PM2.5濃度不超過(guò)75,且SO?濃度不超過(guò)150的概率為三=0.64；

（2）由所給數(shù)據(jù)，可得2x2列聯(lián)表為:

[0,150](150,475]合計(jì)

PM2.5

[0,75]641680

(75,115]101020

合計(jì)7426100

（3）根據(jù)2x2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可得

K?_n(ad-bc)2100x(64x10-16x10)2=七四。7.4844>6.635,

(a+b){c+d)(a+c)(6+d)80x20x74x26481

因?yàn)楦鶕?jù)臨界值表可知，有99%的把握認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO2濃度有關(guān).

考點(diǎn)10正態(tài)分布及其應(yīng)用

19.（2021年全國(guó)新高考II卷數(shù)學(xué)試題）某物理量的測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布N（10,b2）,下列結(jié)論中不正確

的是（）

A.。越小，該物理量在一次測(cè)量中在（9.9,10.1）的概率越大

B.該物理量在一次測(cè)量中大于10的概率為0.5

C.該物理量在一次測(cè)量中小于9.99與大于10.01的概率相等

D.該物理量在一次測(cè)量中落在（9.9,10.2）與落在（10,10.3）的概率相等

【答案】D

【分析】由正態(tài)分布密度曲線的特征逐項(xiàng)判斷即可得解.

【詳解】對(duì)于A,，為數(shù)據(jù)的方差，所以。越小，數(shù)據(jù)在〃=1。附近越集中，所以測(cè)量結(jié)果落在（9910.1）內(nèi)

的概率越大，故A正確；

對(duì)于B,由正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性可知該物理量一次測(cè)量大于10的概率為0.5,故B正確；

對(duì)于C,由正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性可知該物理量一次測(cè)量結(jié)果大于10.01的概率與小于9.99的概率相等,

故C正確；

對(duì)于D,因?yàn)樵撐锢砹恳淮螠y(cè)量結(jié)果落在（9.9,10。）的概率與落在（10.2,10.3）的概率不同，所以一次測(cè)量結(jié)果

落在（9.9,10.2）的概率與落在（10,10.3）的概率不同，故D錯(cuò)誤.

故選：D.

20.（多選）（2024年新課標(biāo)全國(guó)國(guó)卷數(shù)學(xué)真題）隨著“一帶一路”國(guó)際合作的深入，某茶葉種植區(qū)多措并舉推

動(dòng)茶葉出口.為了解推動(dòng)出口后的畝收入（單位：萬(wàn)元）情況，從該種植區(qū)抽取樣本，得到推動(dòng)出口后畝收

第13頁(yè)共23頁(yè)

入的樣本均值了=2.1,樣本方差$2=0,01,已知該種植區(qū)以往的畝收入X服從正態(tài)分布N(1.8,O.F),假設(shè)

推動(dòng)出口后的畝收入y服從正態(tài)分布N(^,1),則()(若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布

尸(Z<M+cr)a0.8413)

A.P(X>2)>0.2B.P(X>2)<0.5

C.P(Y>2)>0.5D,P(y>2)<0.8

【答案】BC

【分析】根據(jù)正態(tài)分布的3b原則以及正態(tài)分布的對(duì)稱性即可解出.

【詳解】依題可知,x-2.1,r=0.01,所以y2V(2.1,O.l),

p(y>2)=P(Y>2.1-0.1)=P(Y<2.1+0.1)?0.8413>0.5,C正確,D錯(cuò)誤；

因?yàn)閄N(1.8,0.1),所以P(X>2)=P(X>L8+2xO.l),

因?yàn)镻(X<1.8+0.1)B0.8413,所以尸(X>1.8+0.1)n1一0.8413=0.1587<0.2,

而P(X>2)=尸(X>1.8+2x0.1)〈尸(X>1.8+0.1)<0.2,B正確，A錯(cuò)誤，

故選：BC.

21.(2022年新高考全國(guó)II卷數(shù)學(xué)真題)己知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,"),且尸(2<X42.5)=0.36,

則P(X>2.5)=.

7

【答案】0.14/—.

【分析】根據(jù)正態(tài)分布曲線的性質(zhì)即可解出.

【詳解】因?yàn)閄N(2,4)，所以尸(X<2)=尸(X>2)=0.5,因此

P(X>2.5)=P(X>2)-P(2<X<2.5)=0.5-0.36=0.14.

故答案為：0.14.

考點(diǎn)11隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用

22.(2024年新課標(biāo)全國(guó)回卷數(shù)學(xué)真題)甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標(biāo)有一個(gè)數(shù)字，甲的卡片上

分別標(biāo)有數(shù)字1,3,5,7,乙的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字2,4,6,8,兩人進(jìn)行四輪比賽，在每輪比賽中，兩

人各自從自己持有的卡片中隨機(jī)選一張，并比較所選卡片上數(shù)字的大小，數(shù)字大的人得1分，數(shù)字小的人

得0分，然后各自棄置此輪所選的卡片(棄置的卡片在此后的輪次中不能使用).則四輪比賽后，甲的總得

分不小于2的概率為.

【答案】:/0.5

【分析】將每局的得分分別作為隨機(jī)變量，然后分析其和隨機(jī)變量即可.

【詳解】設(shè)甲在四輪游戲中的得分分別為X1,X2，X3，X’,四輪的總得分為X.

對(duì)于任意一輪，甲乙兩人在該輪出示每張牌的概率都均等，其中使得甲獲勝的出牌組合有六種，從而甲在

第14頁(yè)共23頁(yè)

該輪獲勝的概率P（XL=1）=￡=$所以“穹1=|信=1,2,3,4）.

44oo

從而否"）=雙乂+*2+乂3+乂4）=2雙占）=2[=亍

k=\k=13L

記0=P（X=々）（Z=O,1,2,3）.

11

如果甲得0分，則組合方式是唯一的：必定是甲出1,3,5,7分別對(duì)應(yīng)乙出2,4,6,8,所以。。=5=五；

11

如果甲得3分，則組合方式也是唯一的：必定是甲出1,3,5,7分別對(duì)應(yīng)乙出8,2,4,6,所以A=Q=五.

3

而X的所有可能取值是0,1,2,3,故7o+Pi+P2+P3=l，。1+2〃2+323=￡（X）=].

所以Pl+P2=1，P1+2P2+三=彳，兩式相減即得P2=彳，故。2+。3=彳.

12822422

所以甲的總得分不小于2的概率為凸+?3=；.

故答案為：■

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為隨機(jī)變量問(wèn)題，利用期望的可加性得到等量關(guān)系，從

而避免繁瑣的列舉.

23.（2021年全國(guó)新高考I卷數(shù)學(xué)試題）某學(xué)校組織“一帶一路"知識(shí)競(jìng)賽，有4B兩類問(wèn)題，每位參加比

賽的同學(xué)先在兩類問(wèn)題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答

正確則從另一類問(wèn)題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，無(wú)論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問(wèn)題中的每個(gè)

問(wèn)題回答正確得20分，否則得0分；B類問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得80分，否則得0分，己知小明能正

確回答A類問(wèn)題的概率為0.8,能正確回答B(yǎng)類問(wèn)題的概率為0.6,且能正確回答問(wèn)題的概率與回答次序無(wú)

關(guān).

（1）若小明先回答A類問(wèn)題，記X為小明的累計(jì)得分，求X的分布列；

（2）為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問(wèn)題？并說(shuō)明理由.

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）B類.

【分析】（1）通過(guò)題意分析出小明累計(jì)得分X的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可.（2）與（1）類

似，找出先回答8類問(wèn)題的數(shù)學(xué)期望，比較兩個(gè)期望的大小即可.

【詳解】（1）由題可知，X的所有可能取值為0,20,100.

p（x=o）=l—0.8=02；

P（X=20）=0.8（1-0.6）=0.32；

P（X=100）=0.8x0.6=0.48.

所以X的分布列為

第15頁(yè)共23頁(yè)

X020100

P0.20.320.48

(2)由(1)知,E(X)=0x0.2+20x0.32+100x0.48=54.4.

若小明先回答B(yǎng)問(wèn)題，記y為小明的累計(jì)得分，則y的所有可能取值為0,80,100.

p(y=0)=l一0.6=04；

P(Y=80)=0.6(1-0.8)=0.12；

p(y=100)=0.8x0.6=0.48.

所以7)=0x0.4+80x0.12+100x0.48=57.6.

因?yàn)?4.4<57.6,所以小明應(yīng)選擇先回答B(yǎng)類問(wèn)題.

24.(2021年全國(guó)新高考II卷數(shù)學(xué)試題)一種微生物群體可以經(jīng)過(guò)自身繁殖不斷生存下來(lái)，設(shè)一個(gè)這種微生

物為第。代，經(jīng)過(guò)一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過(guò)一次繁殖后為第2代......，該微生物每代繁殖的個(gè)數(shù)是相互

獨(dú)立的且有相同的分布列，設(shè)X表示1個(gè)微生物個(gè)體繁殖下一代的個(gè)數(shù)，P(X=i)=p&=0,l,2,3).

(1)已知。0=。.4,/1=0.3,必=0.2,03=?！梗驟(X)；

(2)設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過(guò)多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關(guān)于x的方程：0。+。儼+02尤2+心/=%的

一個(gè)最小正實(shí)根，求證：當(dāng)E(X)41時(shí)，p=l,當(dāng)E(X)>1時(shí)，p<\.

(3)根據(jù)你的理解說(shuō)明(2)問(wèn)結(jié)論的實(shí)際含義.

【答案】(1)1;(2)見(jiàn)解析；(3)見(jiàn)解析.

【分析】(1)利用公式計(jì)算可得公X).

(2)利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合/■⑴=0及極值點(diǎn)的范圍可得了(無(wú))的最小正零點(diǎn).

(3)利用期望的意義及根的范圍可得相應(yīng)的理解說(shuō)明.

【詳解】(1)E(X)=0x0.4+lx0.3+2x0.2+3x0.1=l.

(2)設(shè)/(力=23三+。2犬+(。1-1)彳+。0，

因?yàn)椤?++Pl+Po=1，故/(x)=-(P?+Po+〃3)X+Po，

若E(X)41,則Pl+2P2+3。341,故p?+2p34Po.

(x)=323*2+2p?X-M+Po+n),

因?yàn)?'(。)=一(2+為+2)<。，/'(1)=02+2「3-夕0WO，

故尸(x)有兩個(gè)不同零點(diǎn)%,%，且為<0<1?尤2，

且xe(Y0,%)3々,+00)時(shí),第x)>0；時(shí),/,(%)<0；

故"X)在(-00,占)，(%，+00)上為增函數(shù)，在(%,當(dāng))上為減函數(shù)，

若X?=1,因?yàn)椤癤)在(X2，+°°)為增函數(shù)且〃1)=。，

第16頁(yè)共23頁(yè)

而當(dāng)xe（O，Z）時(shí)，因?yàn)?（元）在（%,%）上為減函數(shù)，故/（%）＞/伍）=/⑴=。，

23

故1為Po+Pi尤+P2x+p3x=x的一個(gè)最小正實(shí)根，

若3＞1